专题23 一元一次方程的解法（3知识点+8大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

专题23 一元一次方程的解法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 知识点02 一元一次方程的解法 1.合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用. 2.移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. 3.去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号. 4.去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数. 【注意】：（1）移项的时候注意变号； （2）去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号. 知识点03 一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值. 【题型1 等式的基本性质】 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意； B、若，则，原变形正确，符合题意； C、若，则，原变形错误，不符合题意； D、若，则，原变形错误，不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·全国·课后作业）已知等式，下列变形不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质对各选项判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求； 故选：D． 2.（24-25七年级上·全国·课后作业）下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【知识点】等式的性质 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，逐项判断，即得． 【详解】解：A、， 等号两边都减y加3， 得， 故本选项正确， 符合题意； B、， 当时，， 故本选项错误， 不符合题意； C、， 当时， ， 故本选项错误， 不符合题意； D、， 两边都乘以2， 得， 故本选项错误， 不符合题意． 故选：A． 3.（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，当时，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”，可得；当时，，可得， ∴或， ∴错误，符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边减去同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 故选：． 【题型2 解一元一次方程--合并同类型与移项】 例题：（23-24七年级上·江西宜春·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等． （1）先移项、合并同类项，然后化未知数的系数为1； （2）先去移项、合并同类项；最后化未知数的系数为1． 【详解】（1）移项得， 合并同类项得； （2）移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·四川凉山·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题概念． （1）依次移项、合并同类项、系数化1，即可解方程； （2）依次移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：； （2）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：． 2.（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （2）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （3）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （4）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 3.（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）（2）（3）先移项，合并同类项，再系数化1，据此即可作答． （4）先去分母，移项，合并同类项，据此即可作答． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得； （2）解： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得； （3）解： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得； （4）解： 去分母，得 移项，得， 合并同类项，得， 【题型3 解一元一次方程--去括号】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）解方程 (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； （1）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． （2）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． （3）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 化系数为1得：． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1，根据步骤求解各题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2.（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤及注意事项是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可； （3）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可； （4）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可． 【详解】（1） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， （2） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， （3） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， （4） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 3.（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解； （2）去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解； （3）逐步去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解； 掌握解方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ． 【题型4 解一元一次方程--去分母（整数）】 例题：（23-24七年级上·四川遂宁·期末）解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】解： 去分母， 去括号， 移项，合并同类项， 化系数为1，． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）解方程∶ 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 2.（23-24七年级上·天津·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ． 3.（23-24七年级下·重庆·开学考试）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解． 【详解】解：（1）， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 化系数为1得，； （2）， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 化系数为1得，． 【题型5 解一元一次方程--去分母（小数）】 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键；去分母，去括号，移项、合并同类项即可解决． 【详解】解：， 原方程化为：， 去分母，得：， 去括号得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得． 【变式训练】 1.（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化．先化整，然后根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 方程整理得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：． 2.（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：； 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，解含绝对值的方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键；去分母，去括号，移项、合并同类项即可； 【详解】解：， 整理得：， 去分母得：， 去括号得：， ∴， 解得：； 3.（24-25七年级上·重庆·阶段练习）解方程 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，比例的基本性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据比例的基本性质可得，即可求解； （2）先去分母，合并同类项，然后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【题型6一元一次方程的错解复原问题】 例题：（23-24七年级上·宁夏银川·期末）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． ，（第一步） ，（第二步） ，（第三步） ，（第四步） ．（第五步） (1)任务一：填空． ①以上求解步骤中，第一步的依据是________________________． ②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________． (2)任务二：请直接写出该方程的解． 【答案】(1)①等式的基本性质（等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立）；②二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号 (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查的是解方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． （1）①根据去分母的步骤进行分析，即可得到答案； ②根据解方程的步骤进行分析，即可得到答案； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：①第一步为去分母，依据是等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立， 故答案为：等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立； ②第二步开始出现错误， 原因是：括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号， 故答案为：二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； （2）解： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：． 【变式训练】 1.（2024·宁夏银川·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程． 解：去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得． (1)圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程； (2)请尝试解方程． 【答案】(1)有错误，见解析 (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】（1）去分母的时候方程的右边没有乘上6，去括号后，两个括号的后一项漏乘，更正后再根据解一元一次方程的基本步骤进行解题，即可作答． （2）根据解一元一次方程的基本步骤可得答案． 本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 【详解】（1）解：圆圆的解答过程错误，正确的解答过程如下： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得； （2）解：， ， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 2.（23-24七年级下·吉林长春·期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：______，得    第一步 去括号，得    第二步 移项，得    第三步 合并同类项，得    第四步 方程两边同除以2，得    第五步 (1)以上求解步骤中，第一步进行的是______； (2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误； (3)请写出正确解方程的过程． 【答案】(1)去分母 (2)三 (3)见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母， 故答案为：去分母； （2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号， 故答案为：三； （3）解： 两边同乘6得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同除以2，得． 3.（2024·宁夏吴忠·一模）以下是小明解方程的解答过程． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 (1)以上过程中是从第______步开始出错的． (2)第一问中出现错误的原因____________． (3)写出这个方程的正确解答过程． 【答案】(1)一 (2)去分母的时候方程右边没有乘以6 (3)，过程见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）观察解题过程可知，以上过程中是从第一步开始出错的，原因是在去分母的时候方程右边没有乘以6； （2）由（1）可得答案； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，以上过程中是从第一步开始出错的，原因是在去分母的时候方程右边没有乘以6； 故答案为：一； （2）解：由（1）得出现错误的原因为去分母的时候方程右边没有乘以6， 故答案为：去分母的时候方程右边没有乘以6； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 【题型7 利用一元一次方程同解问题求解】 例题：（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程与方程的解相同，则的值为 ． 【答案】 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的解法．根据解一元一次方程的一般步骤，可得的解，把解代入方程，解方程可得答案． 【详解】解： 解得：， ∵方程与方程的解相同， ∴把代入得：， 解得：． 故答案为： 【变式训练】 1.（23-24六年级上·山东泰安·期末）若方程与的解相同，则a的值为 ． 【答案】8 【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查同解方程，先求出方程的解，将其代入中，求出a的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 把代入，得：， 解得：； 故答案为：8． 2.（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程和有相同的解，则 ． 【答案】/ 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了方程的解的定义，已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”． 解方程，把方程的解代入即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值． 【详解】解：解方程得：， 把代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 3.（23-24七年级下·福建泉州·期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，分别解出两方程的解，然后让它们的解相等，即可求得的值．掌握解一元一次方程是解答本题的关键． 【详解】解：， 去分母得， 去括号， 移项合并得， 解得得， 解， 移项合并得：， 解得， 由题意得：， 解得． 故答案为：． 【题型8 一元一次方程整数解问题】 例题：（23-24七年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ． 【答案】2或3或4或7 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】首先解方程表示出的值，然后根据解为正整数求解即可．本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 关于的方程的解为正整数， 为正整数， 或或或 或或或． 故答案为：2或3或4或7 【变式训练】 1.（23-24七年级下·河南洛阳·期末）若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为 ． 【答案】，0和1 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于的一元一次方程，然后根据，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 要为的倍数， 或或． 故答案为：，0和1． 2.（23-24七年级下·重庆·期中）关于的一元一次方程的解为整数，则所有整数的和为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程——拓展 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程去分母，去括号，移项合并，把的系数化为1，表示出方程的解，由方程的解为整数，确定出整数的值即可． 【详解】解： 解为整数， 或或或， 则所有整数的和为， 故答案为：． 3.（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）已知关于的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程——拓展 【分析】本题考查了一元一次方程的解．先根据等式的性质求出方程的解，根据方程的解为非整数得出m的值，进而得出答案． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 方程的解是非负整数， ∴为1或2或5或10， 的值为或或或4， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25七年级下·山西临汾·期中）若代数式与的值互为相反数，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相反数的应用、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查相反数的性质，解一元一次方程，根据相反数的性质得到，解方程即可解答． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， 解得． 故选：A 2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）下列等式变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查的是等式的变形，掌握等式的基本性质是解决此题的关键．根据等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】A．若，则，原变形正确，不符合题意； B．若，则或0，原变形错误，符合题意； C．若，则，原变形正确，不符合题意； D．若，则，原变形正确，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25六年级下·山东泰安·期中）下列变形正确的是（    ） A．由，移项得 B．由，去括号得 C．由，去分母得 D．由，系数化为1得 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、等式的性质2 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键． 根据各方程变形得到结果后，依次判断即可． 【详解】解：A、由，移项得，不符合题意； B、由，去括号得，符合题意； C、由，去分母得，不符合题意； D、由，系数化为得，不符合题意． 故选：B． 4．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）解方程时，把分母化成整数，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题考查了解一元一次方程的一般步骤，解题的关键是熟练掌握利用分数的性质把分母化为整数．根据题意直接根据分数的基本性质，即可得出答案． 【详解】解： ， 把分母化成整数，得：， 即． 故选：B 5．（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，解一元一次方程，把代入去分母时漏乘的方程，即可求出a的值，再解正确的方程即可． 【详解】解：方程右边的漏乘了6，方程化为， ， 把代入，得 ， 解得， 所以原方程为 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 解得：， 故选：B． 6．（24-25六年级下·山东烟台·期中）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：．若，则x的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【详解】解：， 即， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 故选：A． 二、填空题 7．（2025·河南周口·二模）若，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】等式的性质2 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，“等式两边乘同一个数，结果仍相等”，可得结论． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·四川内江·期中）如果的解与的解相同，则a的值是 ． 【答案】4 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】先求的解，得到方程的解，代入计算即可． 本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：解方程， 解得， ∵的解与的解相同， ∴方程的解为， ∴， 故答案为：4． 9．（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知方程的解比关于的方程的解大5，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，熟练掌握方程解的定义和解一元一次方程的步骤是解题的关键． 先求出方程的解为，易得的解为，然后代入得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：解方程得， ∵方程的解比关于的方程的解大5， ∴方程的解为． 将代入方程得到， ∴，解得． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了一元一次方程的解，设，则方程的可变为，即，进而根据关于的一元一次方程的解为，可得，即得，据此解答即可求解，掌握一元一次方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：设，则方程的可变为， 即， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知为整数，若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有的值是 ． 【答案】或/1或 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于的一元一次方程，然后根据“关于的方程的解为正整数”求出所有情况，即可得到答案． 【详解】解：， ， 关于的方程的解为正整数， 且要为的倍数， ∵为整数， 或． 故答案为：或． 12．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）若输入正整数x的值，按图中程序计算，输出结果是71，则满足条件的x的值为 ． 【答案】26或11或6 【知识点】程序流程图与代数式求值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查的是代数式求值和一元一次方程的应用，根据题意列出关于x的方程是解题的关键．根据题意分别列出方程，求解后若x为正整数，则满足要求，至解得方程的解不为正整数则停止． 【详解】解：当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； ∵x为正整数， ∴满足条件的x的值为26或11或6． 故答案为：26或11或6． 三、解答题 13．（24-25七年级下·山东威海·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （2）先根据分数的性质，将方程化简，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤求解即可． 本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解题步骤． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： ∴， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 14．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）已知：， 试比较和的大小，并说明理由． 将下面的解题过程补充完整． 解：_______， 理由如下： ， _______（不等式的基本性质2）． _______（不等式的基本性质1）． 【答案】＜；； 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 利用不等式的基本性质进行分析解答即可． 【详解】解：，理由如下： ， （不等式的基本性质2）． （不等式的基本性质1）． 15．（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法和步骤成为解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （3）先化简，再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （4）先将方程中的分数化成整数，然后再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ， ， ． （4）解：， ， ， ， ， ． 16．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次方程的解法，正确掌握一元一次方程的解法与步骤是解题关键． （1）移项、合并同类项，系数化1即可； （2）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化1即可； （3）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化1即可； （4）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化1即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （3）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （4）解：， 乘2得：， 乘3得：， 移项、合并同类项得：， 乘4得：， ， ． 17．（24-25七年级下·河南南阳·期中）补全下列解方程过程，并在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为．（①__________________） 去分母，得②______．（③__________________） 去括号，得．（④__________________）． （⑤______），得．（⑥__________________） （⑦__________________）得．（合并同类项法则） 将未知数的系数化为1，得⑧______．（⑨__________________） 【答案】见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是利用分数的基本性质将方程的系数化为整数． 先将原方程化为整系数方程，再利用一元一次方程的一般解法求解． 【详解】解：原方程可变形为（①分数的性质） 去分母，得②6（③等式的基本性质2） 去括号，得（④乘法分配律与去括号法则） （⑤移项），得（⑥等式的性质1） （⑦合并同类项）得．（合并同类项法则） 将未知数的系数化为1，得⑧（⑨等式的基本性质2）． 18．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求k的值． (2)若关于x的方程与方程的解相同，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】判断是否是一元一次方程、一元一次方程解的关系 【分析】本题主要考查了一元一次方程，一元一次方程方程的解， （1）根据一元一次方程的定义计算即可； （2）解方程并将其解代入一元一次方程的具体形式，得到关于m的一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴； （2）解：关于x的方程是一元一次方程， 解方程， 解得， 将代入， 得， 解得． 19．（24-25七年级下·福建漳州·期中）规定：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平均值方程”．例如：方程的解为，而，则该方程是“平均值方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“平均值方程”，求的值； (2)若关于的一元一次方程是“平均值方程”，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，代数式求值，解题关键是理解已知条件中的新定义的含义． （1）先求出方程的解，再根据已知条件中的新定义，列出关于的方程，解方程求出即可； （2）先求出方程的解，再根据已知条件中的新定义，列出关于，的等式，求出，再代入所求式子进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 解得：， 关于的一元一次方程是“平均值方程”， ， ， ， ； （2）解：， 解得：， 关于的一元一次方程是“平均值方程”， ， ， ， ， ． 20．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则___________． (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：∵与方程互为“反对方程”， ∴， 故答案为：-5． （2）∵关于的方程与方程互为“反对方程”， 即与互为“反对方程”， （3）的“反对方程”为， 由得，， 由，得， 由条件可知与都为整数，也为整数， 当时，，都为整数， 当时，，都为整数， 的值为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23 一元一次方程的解法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 知识点02 一元一次方程的解法 1.合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用. 2.移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. 3.去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号. 4.去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数. 【注意】：（1）移项的时候注意变号； （2）去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号. 知识点03 一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值. 【题型1 等式的基本性质】 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练】 1.（24-25七年级上·全国·课后作业）已知等式，下列变形不正确的是（　　） A． B． C． D． 2.（24-25七年级上·全国·课后作业）下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3.（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型2 解一元一次方程--合并同类型与移项】 例题：（23-24七年级上·江西宜春·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·四川凉山·期中）解下列方程： (1)； (2)． 2.（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 3.（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型3 解一元一次方程--去括号】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）解方程 (1)； (2)； (3) 【变式训练】 1.（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 2.（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 3.（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： (1) (2) (3) 【题型4 解一元一次方程--去分母（整数）】 例题：（23-24七年级上·四川遂宁·期末）解方程： 【变式训练】 1.（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）解方程∶ 2.（23-24七年级上·天津·期末）解方程： (1)； (2)． 3.（23-24七年级下·重庆·开学考试）（1）解方程：； （2）解方程：． 【题型5 解一元一次方程--去分母（小数）】 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： 【变式训练】 1.（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 2.（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：； 3.（24-25七年级上·重庆·阶段练习）解方程 (1) (2) 【题型6一元一次方程的错解复原问题】 例题：（23-24七年级上·宁夏银川·期末）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． ，（第一步） ，（第二步） ，（第三步） ，（第四步） ．（第五步） (1)任务一：填空． ①以上求解步骤中，第一步的依据是________________________． ②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________． (2)任务二：请直接写出该方程的解． 【变式训练】 1.（2024·宁夏银川·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程． 解：去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得． (1)圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程； (2)请尝试解方程． 2.（23-24七年级下·吉林长春·期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：______，得    第一步 去括号，得    第二步 移项，得    第三步 合并同类项，得    第四步 方程两边同除以2，得    第五步 (1)以上求解步骤中，第一步进行的是______； (2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误； (3)请写出正确解方程的过程． 3.（2024·宁夏吴忠·一模）以下是小明解方程的解答过程． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 (1)以上过程中是从第______步开始出错的． (2)第一问中出现错误的原因____________． (3)写出这个方程的正确解答过程． 【题型7 利用一元一次方程同解问题求解】 例题：（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程与方程的解相同，则的值为 ． 【变式训练】 1.（23-24六年级上·山东泰安·期末）若方程与的解相同，则a的值为 ． 2.（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程和有相同的解，则 ． 3.（23-24七年级下·福建泉州·期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，则a的值为 ． 【题型8 一元一次方程整数解问题】 例题：（23-24七年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·河南洛阳·期末）若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为 ． 2.（23-24七年级下·重庆·期中）关于的一元一次方程的解为整数，则所有整数的和为 ． 3.（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）已知关于的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·山西临汾·期中）若代数式与的值互为相反数，则等于（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）下列等式变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25六年级下·山东泰安·期中）下列变形正确的是（    ） A．由，移项得 B．由，去括号得 C．由，去分母得 D．由，系数化为1得 4．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）解方程时，把分母化成整数，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25六年级下·山东烟台·期中）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：．若，则x的值为（    ） A． B． C．1 D．2 二、填空题 7．（2025·河南周口·二模）若，则 （填“”“”或“”）． 8．（24-25七年级下·四川内江·期中）如果的解与的解相同，则a的值是 ． 9．（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知方程的解比关于的方程的解大5，则k的值为 ． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 11．（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知为整数，若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有的值是 ． 12．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）若输入正整数x的值，按图中程序计算，输出结果是71，则满足条件的x的值为 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·山东威海·期中）计算： (1)； (2)． 14．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）已知：， 试比较和的大小，并说明理由． 将下面的解题过程补充完整． 解：_______， 理由如下： ， _______（不等式的基本性质2）． _______（不等式的基本性质1）． 15．（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)． (4)． 17．（24-25七年级下·河南南阳·期中）补全下列解方程过程，并在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为．（①__________________） 去分母，得②______．（③__________________） 去括号，得．（④__________________）． （⑤______），得．（⑥__________________） （⑦__________________）得．（合并同类项法则） 将未知数的系数化为1，得⑧______．（⑨__________________） 18．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求k的值． (2)若关于x的方程与方程的解相同，求m的值． 19．（24-25七年级下·福建漳州·期中）规定：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平均值方程”．例如：方程的解为，而，则该方程是“平均值方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“平均值方程”，求的值； (2)若关于的一元一次方程是“平均值方程”，求代数式的值． 20．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则___________． (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$