专题22 认识方程（3知识点+7大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

专题22 认识方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 方程的有关概念 定义：含有未知数的等式叫做方程. 【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数． 知识点02 一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数． 知识点03 方程的解、解方程 1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 2.解方程：求方程的解的过程. 【题型1 判断各式是否是方程】 例题：（2024七年级上·江苏·专题练习）下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查方程的定义，掌握含有未知数的等式叫做方程是解题的关键． 根据方程的定义求解即可． 【详解】解：①中不含有未知数，不是方程； ②不是等式，不是方程； ③、④符合方程的定义； ⑤是代数式，不是等式，不是方程； 综上，方程有2个． 故本题选：A． 【变式训练】 1.（2024七年级上·江苏·专题练习）在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 【答案】A 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查了方程的定义，熟知方程的定义是解题的关键． 含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可． 【详解】解：方程有：，，共2个， 故选：A． 2.（24-25九年级上·全国·单元测试）下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．根据方程的定义可以解答． 【详解】解：，，，这3个式子即是等式又含有未知数，都是方程． 不是等式，因而不是方程． （a，b为已知数）不含未知数，所以不是方程． 故有3个式子是方程． 故选：C． 3.（23-24七年级上·全国·单元测试）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中是方程的有（    ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．8 个都是 【答案】C 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查方程的定义，根据含有未知数的等式，叫做方程，进行判断即可。 【详解】解：①符合方程的定义，故本小题正确； ②不含有未知数，不是方程，故本小题错误； ③不是等式，故本小题错误； ④符合方程的定义，故本小题正确； ⑤不是等式，故本小题错误； ⑥不是等式，故本小题错误． ⑦符合方程的定义，故本小题正确； ⑧ 符合方程的定义，故本小题正确． 故选C． 【题型2 列方程】 例题：（23-24七年级下·全国·期末）列等式表示“的2倍与10的和等于8” ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】此题考查了列方程，根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为： 【变式训练】 1.（23-24六年级下·全国·单元测试）设某数为x，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数x的2倍为，相反数为，据此根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 2.（23-24七年级下·广东河源·开学考试）一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】设这个场地的宽为米，则长为米，然后根据长方形的周长公式即可解答． 【详解】解：设这个场地的宽为米，则长为米， 由题意可得：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、设出未知数、明确等量关系是解答本题的关键． 3.（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共列方程，解题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程． 【详解】解：设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，则碳水化合物含量为，依题意可列方程，， 故答案为：． 【题型3 判断是否是一元一次方程】 例题：（23-24七年级上·贵州遵义·期中）下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元一次方程要分为两步：（1）判断是否是整式方程；（2）对整式方程化简，化简后判断是否只含有一个未知数，并且未知数的指数是1只含有一个未知数． 【详解】解：A．符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，故正确，符合题意； B．含有两个未知数，是二元一次方程，故错误，不符合题意； C．未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故错误，不符合题意； D．分母含有未知数，是分式方程，故错误，不符合题意． 故选：A． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．一元一次方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都是整式．根据一元一次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意； B、未知数的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：A 2.（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）已知下列方程：（1）；（2）；（3） ；（4）； （5）；（6）．其中一元一次方程的个数有（    ） A．2 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，“只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0”．根据一元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：（1）是分式方程，故（1）不符合题意； （2），即，符合一元一次方程的定义，故（2）符合题意； （3），即，符合一元一次方程的定义，故（3）符合题意； （4）的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程，故（4）不符合题意； （5），即，符合一元一次方程的定义，故（5）符合题意； （6）中含有2个未知数，属于二元一次方程．故（6）不符合题意． 综上所述，一元一次方程的个数是3个． 故选：D． 3.（23-24七年级上·广东汕头·期末）已知下列方程：①；②；③；④；⑤，其中一元一次方程有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，是常数且． 【详解】解：①不是整式方程，不是一元一次方程； ②是一元一次方程； ③是一元一次方程； ④，函数2个未知数，不是一元一次方程； ⑤是一元一次方程． 一元一次方程有：②③⑤共3个． 故选：B 【题型4 根据一元一次方程求参数的值】 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，那么 ． 【答案】1 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查一元一次方程的定义：等号两边是整式，只有一个未知数且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程，根据定义列式求解即可得到答案 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义列出关于m的方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：． 2.（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得且，据此即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 3.（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有种情况，分别讨论①当且时，②当且时，③当时是否满足该方程为一元一次方程即可． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 可考虑三种情况， ①当且时， 即且， 则，解得：， 此时，故排除； ②当且时， 即且， ，符合条件； ③当即时， ，符合条件； 综上：的值为或， 故答案为：或． 【题型5 判断是否是一元一次方程的解】 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】方程的解 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解．直接利用一元一次方程的解的意义分别判断得出答案． 【详解】解：A、当时，，故此选项不符合题意； B、当时，，故此选项符合题意； C、当时，，故此选项不符合题意； D、当时，，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·吉林长春·期中）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入每个方程，看看方程左右两边是否相等即可，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解）是解此题的关键． 【详解】解：A．把代入方程，得左边，右边，左边右边， 所以不是方程的解，故本选项不符合题意； B．把代入方程，得左边，右边，左边右边， 所以不是方程的解，故本选项不符合题意； C．把代入方程，得左边，右边，左边右边， 所以是方程的解，故本选项符合题意； D．把代入方程，得左边，右边，左边右边， 所以不是方程的解，故本选项不符合题意． 故选：C． 2.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解能够使方程两边左右相等是解题关键．将分别代入方程计算即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 3.（23-24七年级上·江苏苏州·期末）下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】方程的解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，牢记方程的解的定义“使方程中等号左右两边相等的未知数的值，就是方程的解”是解题的关键． 分别将依次代入每个方程，若等式左右两边相等，则为方程的解． 【详解】解：分别将依次代入每个方程， A. 左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； B. 左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； C. 左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； D. 左边，右边， 左边右边， 是方程的解； 故选：． 【题型6 已知一元一次方程的解求参数的值】 例题：（23-24七年级下·四川泸州·开学考试）若是方程的解，则 ． 【答案】1 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．将代入原方程进行解答即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 故答案为：1． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·江苏常州·期末）是方程的解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查了一元一次方程的解，将代入方程，再解方程即可，解题的关键是正确理解方程的解的概念及应用． 【详解】把代入方程得，， 解得：， 故答案为：． 2.（23-24七年级下·河南驻马店·期末）若关于x的方程的解为， 则k的值为 ． 【答案】1 【知识点】方程的解 【分析】本题考查方程的解，将代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把，代入，得：， ∴； 故答案为：1． 3.（23-24七年级上·全国·单元测试）是方程的解，则 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．根据一元一次方程的解的概念解答即可． 【详解】∵是方程的解， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值】 例题：（23-24七年级上·广东佛山·期末）若是方程的解，则的值为 ． 【答案】2035 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、方程的解 【分析】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是把解代入方程中，得到代数式．把代入方程，得出，进而可得，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：2035． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·四川成都·期末）若关于x的方程的解是，则的值为 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了方程解的概念，将代入方程，即可求解． 【详解】解：关于x的方程的解是， 将代入方程，有， 整理得，则， 故答案为：． 2.（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】方程的解 【详解】把代入方程中得，，即， ∴． 3.（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如果是方程的解，那么 ． 【答案】1 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，先把代入方程得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的解， ， ． 故答案为：1． 一、单选题 1．（24-25七年级下·四川巴中·期中）下列方程的解是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解的概念．将代入方程能够使得左右两边相等即可． 【详解】解：A、将代入，左边右边，故本选项不合题意； B、将代入，左边右边，故本选项不合题意； C、将代入，左边右边，故本选项不合题意； D、将代入，左边右边，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得答案． 【详解】解：由一元一次方程的定义可知，四个选项中，只有A选项中的方程是一元一次方程， 故选：A． 3．（24-25七年级下·四川巴中·期中）若方程的解是，则β的值为（   ） A． B．4 C．0 D． 【答案】D 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．把代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：D． 4．（24-25七年级下·河南周口·期中）下列式子中，是方程的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】D 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题主要考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，据此求解即可． 【详解】解：根据方程的定义可得，①④⑤是方程，②③⑥不是方程， 故选：D． 5．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）若是方程的根，则的值为（   ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，把代入已知方程，并求得，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可，运用整体代入思想是解决此问题的关键． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 二、填空题 7．（24-25七年级上·广东广州·期末）列等式表示“的倍与的和等于的倍与的差“为 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，的倍与的和可表示为，的倍与的差可表示为，据此建立方程即可． 【详解】解：由题意得，列等式为：， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·四川巴中·期中）如果是一元一次方程，那么 ，则 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程解、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，代数式求值，根据一元一次方程的定义可得，即得，再代入代数式计算即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中 是方程， 是一元一次方程． 【答案】 ②④⑤ ④⑤ 【知识点】判断各式是否是方程、判断是否是一元一次方程 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，只含有一个未知数且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，解答即可． 本题考查了方程，一元一次方程的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是方程的是②；④；⑤； 故答案为：②④⑤． 是一元一次方程的是④；⑤； 故答案为：④⑤． 10．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如果关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元一次方程的一般形式为只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，得到且，解之即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 且，即且， 解得， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若是关于的方程的解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】判断是否是方程的解、添括号、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了一元一次方程的解，添括号，代数式求值，由一元一次方程解的定义可得，再利用添括号法则对代数式进行变形，最后整体代入代数式计算即可求解，掌握整体代入思想是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于的方程的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的解等知识点，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键． 先通过解一元一次方程用a表示出方程的解，然后根据方程的解为整数确定a的可能取值，最后求和即可． 【详解】解： ， ∵该方程的解为整数，是质数， ∴或， ∴a的值为， ∴满足条件的所有整数的和为． 故答案为． 三、解答题 13．（24-25七年级上·河南商丘·阶段练习）判断下列方程后面所给出的数，哪些是方程的解． (1)，（，）； (2)，（，）． 【答案】(1)，不是原方程的解；，是原方程的解 (2)，不是原方程的解；，是原方程的解 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查的是方程的解的含义，判断方程的解； （1）把，分别代入，由方程左右两边的值是否相等可得答案； （2）把，分别代入，由方程左右两边的值是否相等可得答案； 【详解】（1）解：（1）将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边≠右边， ∴不是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边＝右边， ∴是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边＝右边， ∴是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边≠右边， ∴不是原方程的解； （2）解：将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边≠右边， ∴不是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边＝右边， ∴是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边≠右边， ∴不是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边＝右边， ∴是原方程的解． 14．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程是一元一次方程，求的值． 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，列出方程与不等式，求解即可． 【详解】解：由题意，得，且， 所以，且， 所以． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某校女生占全体学生数的52，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长． 【答案】(1) (2) 【知识点】列方程 【分析】本题考查列方程，找到等量关系是本题关键． （1）根据全校人数女生人数，女生人数—男生人数＝80建立等量关系即可； （2）根据扩大部分面积为5x，通过原来面积加上扩大部分面积等于现在总面积可建立等量关系． 【详解】（1）设这所学校的学生数为，那么女生数为， 男生数为． 根据“女生比男生多80人”， 列得方程． （2）设正方形绿地的边长为m， 扩大部分面积为：5x 那么扩大后的绿地面积为． 根据“扩大后的绿地面积是”． 列得方程． 16．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求m的值； (2)已知：是该一元一次方程的解，求n的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】方程的解、一元一次方程的定义 【分析】本题考查一元一次方程的定义，方程的解． （1）根据一元一次方程的定义可得，，求解即可； （2）把代入方程，求解即可． 【详解】（1）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且 ∴； （2）由（1）得，该一元一次方程为， ∵是该方程的解， ∴， ∴． 17．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知关于x、y的代数式：，，且代数式． (1)若，化简代数式M； (2)若代数式M是关于x、y的一次多项式，求的值； (3)当是关于x的一元一次方程时，求代数式M的值． 【答案】(1)； (2)9； (3)． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式的项、项数或次数、整式的加减中的化简求值、判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了整式的加减运算，多项式的次数以及一元一次方程的定义等知识点，解题的关键是熟练运用整式运算法则，根据多项式次数和一元一次方程的条件列方程求解． （1）先将A，B代入，再把代入化简． （2）对化简后，根据一次多项式的条件确定a，b的值，进而求． （3）根据一元一次方程的定义求出a，b的值，再代入求值． 【详解】（1）∵， 把代入上式，得 ； （2）由（1），可知18x－12． ∵代数式是关于x，y的一次多项式， ∴，解得， 将代入，得； （3）∵是关于的一元一次方 程，∴， 解得 将代入， 得， 把代入， 得． 18．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． （2）已知，当，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 （3）已知，，，求的值． （4）关于x的一元一次方程的解，解关于y的一元一次方程． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【知识点】相反数的定义、倒数、已知式子的值，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，求代数式的值，一元一次方程的解，本题是阅读型题目，正确掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键． （1）利用相反数和倒数的意义求得的值，代入运算即可； （2）利用已知条件求得关于a，b，c的值，再利用整体代入的方法解答即可； （3）去墇括号后，重新结组，再利用整体代入的方法解答即可； （4）利用换元的思想方法将看成即可得出结论． 【详解】（1）∵a，b互为相反数， 互为倒数，， 故答案为：； 已知，当，的值是2023， 当时， 故答案为：－2007； ； 关于x的一元一次方程的解， ， ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22 认识方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 方程的有关概念 定义：含有未知数的等式叫做方程. 【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数． 知识点02 一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数． 知识点03 方程的解、解方程 1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 2.解方程：求方程的解的过程. 【题型1 判断各式是否是方程】 例题：（2024七年级上·江苏·专题练习）下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 1.（2024七年级上·江苏·专题练习）在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 2.（24-25九年级上·全国·单元测试）下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（23-24七年级上·全国·单元测试）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中是方程的有（    ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．8 个都是 【题型2 列方程】 例题：（23-24七年级下·全国·期末）列等式表示“的2倍与10的和等于8” ． 【变式训练】 1.（23-24六年级下·全国·单元测试）设某数为x，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是 ． 2.（23-24七年级下·广东河源·开学考试）一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ． 3.（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为 ． 【题型3 判断是否是一元一次方程】 例题：（23-24七年级上·贵州遵义·期中）下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）已知下列方程：（1）；（2）；（3） ；（4）； （5）；（6）．其中一元一次方程的个数有（    ） A．2 B．5 C．4 D．3 3.（23-24七年级上·广东汕头·期末）已知下列方程：①；②；③；④；⑤，其中一元一次方程有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型4 根据一元一次方程求参数的值】 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，那么 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 2.（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 3.（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【题型5 判断是否是一元一次方程的解】 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·吉林长春·期中）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24七年级上·江苏苏州·期末）下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 【题型6 已知一元一次方程的解求参数的值】 例题：（23-24七年级下·四川泸州·开学考试）若是方程的解，则 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·江苏常州·期末）是方程的解，则的值是 ． 2.（23-24七年级下·河南驻马店·期末）若关于x的方程的解为， 则k的值为 ． 3.（23-24七年级上·全国·单元测试）是方程的解，则 ． 【题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值】 例题：（23-24七年级上·广东佛山·期末）若是方程的解，则的值为 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·四川成都·期末）若关于x的方程的解是，则的值为 ． 2.（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ． 3.（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如果是方程的解，那么 ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·四川巴中·期中）下列方程的解是的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川巴中·期中）若方程的解是，则β的值为（   ） A． B．4 C．0 D． 4．（24-25七年级下·河南周口·期中）下列式子中，是方程的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤ 5．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）若是方程的根，则的值为（   ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 6．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级上·广东广州·期末）列等式表示“的倍与的和等于的倍与的差“为 ． 8．（24-25七年级下·四川巴中·期中）如果是一元一次方程，那么 ，则 ． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中 是方程， 是一元一次方程． 10．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如果关于的方程是一元一次方程，则 ． 11．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若是关于的方程的解，则的值是 ． 12．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于的方程的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 三、解答题 13．（24-25七年级上·河南商丘·阶段练习）判断下列方程后面所给出的数，哪些是方程的解． (1)，（，）； (2)，（，）． 14．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程是一元一次方程，求的值． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某校女生占全体学生数的52，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长． 16．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求m的值； (2)已知：是该一元一次方程的解，求n的值． 17．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知关于x、y的代数式：，，且代数式． (1)若，化简代数式M； (2)若代数式M是关于x、y的一次多项式，求的值； (3)当是关于x的一元一次方程时，求代数式M的值． 18．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． （2）已知，当，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 （3）已知，，，求的值． （4）关于x的一元一次方程的解，解关于y的一元一次方程． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$