专题29 反比例函数与几何图形的综合问题（3知识点+5大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题29 反比例函数与几何图形的综合问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 1.反比例函数性质：掌握反比例函数y=(k≠0)的图象特征、增减性、k的几何意义，即过函数图象上一点向坐标轴作垂线，所得矩形面积为，三角形面积为。 2.几何图形性质：包括三角形、四边形等图形的边、角、周长、面积计算，全等、相似的判定与性质，特殊图形（如等腰三角形、平行四边形等）的性质和判定方法。 3.综合应用：将反比例函数与几何图形结合，通过坐标表示线段长度，利用几何关系建立方程求解，或根据函数性质分析几何图形的变化规律。 【题型1 反比例函数与三角形的综合问题】 例题：（2025·江西景德镇·一模）如图，三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点在轴上，反比例函数经过的中点，交边于点，已知点． (1)点的坐标为______，反比例函数解析式为______； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质结合轴，可得，易证是等腰直角三角形，可得，进而得到，利用待定系数啊即可求出反比例函数解析式； （2）连接，由（1）知，求出直线的解析式为，联立，求出，由即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， 解得： ∴反比例函数解析式为； 故答案为：，； （2）解：如图，连接， 由（1）知， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）； ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数交点问题，三角形的面积，解一元二次方程，综合应用以上知识点是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，与次函数的图像交于点，的图像交y轴于点B．将过点A、B的直线向下平移，平移后的直线与反比例函数的图像交于点C，交y轴于点D，且点C的横坐标为3．． (1)求k，m的值； (2)直接写出当时，不等式的解集是： ； (3)在x轴负半轴上确定一点E，使得以A、D、E三点为顶点的三角形是等腰三角形，请求出所有符合条件的点E的坐标．​ 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】反比例函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、一次函数与反比例函数的交点问题、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，定义三角形的定义： （1）分别把点A的坐标代入两函数解析式中利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （2）先求出点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点坐标，再分三种情况利用勾股定理进行讨论求解． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴反比例函数解析式为， 把代入，得：，解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：，， ， 由函数图象可知，当时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴当时，不等式的解集为； （3）解：∵点在反比例函数的图象上，且横坐标为3， ∴， ∴， ∵直线是直线平移得到的 ∴可设直线的解析式为， 把，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设， ∵， ∴， 当以A、D、E三点为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①时，， 解得：或（舍去）； ②时，， 解得：或（舍去）； ③时，， 解得：（舍去）． 综上：或， ∴点或． 2．（2025·江苏连云港·二模）如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线相交于点P，轴于点C，且，点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与相似时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题属于反比例函数综合题，主要相似三角形的性质、待定系数法求函数解析式等知识点，熟练掌握待定系数法以及分类讨论思想是解题的关键． （1）把A坐标代入直线解析式求出a的值，确定出直线解析式，把代入直线解析式求出x的值，确定出P坐标，再代入反比例解析式求出k的值，即可确定出双曲线解析式； （2）设代入反比例解析式得到，分两种情况考虑：当时；当，由相似得比例求出m的值，进而确定出n的值，即可得出Q坐标． 【详解】（1）解：把代入中，得：， ∴， ∵， ∴把代入中，得：，即， 把代入中，得：， ∴双曲线解析式为． （2）解：如图，轴于点H，连接；设， ∵在双曲线上， ∴， ∵点B在上， ∴． 当时，，即，整理得：，即，解得或（舍去）， ∴， ∴； 当时，，即，整理得，解得：或（舍）， ∴， ∴， 综上所述，或． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，．是反比例函数的图像在第一象限内的一动点，当轴时，的面积为2． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，当点在射线上时，为轴正半轴上一点，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查待定系数法求反比例解析式，相似三角形判定及性质等． （1）设点，继而得到，根据面积列式得，求出，再代入反比例解析式即可求出； （2）先求出，后分两种情况讨论，①当时和②当与不平行时，分别利用相似三角形判定及性质即可作答． 【详解】（1）解：轴，， 设点， ， 的面积为， ，解得， ， 点在反比例函数图像上， ， 反比例函数表达式为：； （2）解：点， 直线表达式为， 点是射线与反比例函数交点，， ∴， ①当时，， ，即， ， ， ②当与不平行时，， ，即， ， ， 综上，符合条件的点坐标为或． 【题型2 反比例函数与平行四边形的综合问题】 例题：（2024·江苏常州·二模）如图，四边形是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和的中点D，，平行四边形的面积是48． (1)点C的坐标为___________，点A的纵坐标为___________； (2)求反比例函数的表达式． 【答案】(1)；8 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，反比例函数与几何综合： （1）过点A作于E，由平行四边形的性质得到，则，再根据平行四边形面积计算公式求出，则点A的纵坐标为8； （2）设，则，，进而得到，解得，则，即反比例函数解析式为． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积是48， ∴， ∴， ∴点A的纵坐标为8， 故答案为：；8； （2）解：设，则， ∵，D为的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A和的中点D， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【变式训练】 1．（2024·河南周口·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，原点是其对角线的交点，轴，点，反比例函数的图象经过点，直线的解析式为． (1)求反比例函数的表达式； (2)写出不等式时，的取值范围； (3)求图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1)； (2)和； (3)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求反比例函数解析式，平行四边形的性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）用待定系数法可求反比例函数解析式； （2）由原点是平行四边形对角线的交点，可求出一次函数的解析式，再求出反比例函数与一次函数的交点坐标即可求解； （3）由反比例函数图象及平行四边形的对称性可得，阴影部分的面积之和为平行四边形面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵轴，点， ∴ 将点代入，得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵原点是平行四边形对角线的交点， ∴点关于原点对称， ∵ ∴ 将代入直线的解析式中，得： ， 解得：， ∴直线的解析式， 联立和得： ， 解得：，， ∴反比例函数与的交点为：如图： ∴不等式时，即，的取值范围是和． （3）解：设分别与轴交于点，如图： 由反比例函数图象及平行四边形的对称性可得，阴影部分的面积之和为平行四边形面积， ∵点， ∴点到轴的距离为， 又∵， ∴． 2．（2024·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，以A，B，C为顶点作平行四边形，点D落在第二象限，与y轴交于点E，反比例函数()经过点A，与边交于点F，反比例函数()经过点D． (1)求和的值； (2)连接，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由 【答案】(1)，； (2)四边形是平行四边形，理由见解析． 【分析】（1）把点代入解析式求得，根据，，，且四边形是平行四边形，设，根据题意，得，解得，继而得到，代入解析式计算即可； （2）求得的坐标，判定，结合，即可判断四边形是平行四边形． 本题考查了反比例函数解析式的确定，平行四边形的判定和性质，待定系数法求解析式，熟练掌握平行四边形的判定和性质，待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（1）把点代入解析式， 得， ∵，，，且四边形是平行四边形， 设，根据题意，得， 解得， ∴， 代入解析式，得． （2）∵，， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴； ∵，， 设直线的解析式为，， 根据题意，得， 解得， ∴， 设， ∴， 解得(舍去)， ∴； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 3．（2024·河南南阳·二模）如图，平行四边形的边在轴正半轴上，反比例函数的图象经过点，是边的中点． (1)直接写出的值为_________；点的坐标为_________； (2)尺规作图：在边上求作一点，连接，使轴（保留作图痕迹，不写作法） (3)若交反比例函数的图象于点．连接、，求． 【答案】(1)4； (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，用待定系数法确定反比例函数的解析式，平行四边形的性质，尺规作图，三角形的面积公式． （1）把点代入求得的值，利用中点坐标公式，求出点的坐标； （2）作线段的垂直平分线交于点E，作直线，直线即为所求； （3）先求出的坐标，利用进行求解即可． 【详解】（1）解：把点代入得， ∵，D是边的中点， ∴； （2）解：作线段的垂直平分线交于点E，作直线，直线即为所求，如图所示： ； （3）解：∵点，D是边的中点，点， ∴点的纵坐标为2， 把代入，得． ∴点． ∴． ∴． 【题型3 反比例函数与矩形的综合问题】 例题：（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在矩形中，点，在轴上，轴，对角线，相交于点，，，若点的纵坐标为，解答下列问题． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ．（用含的代数式表示） (2)若反比例函数经过，两点，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了点的坐标与几何图形，矩形的性质， 三角形的中位线定理等； （1）由矩形的性质得，可得，，即可求解； （2）过作轴交于，作轴交于，由三角形的中位线定义得是的中位线，由三角形中位线定理得，可得，将，两点的坐标分别代入即可求解； 掌握矩形的性质，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 点的纵坐标为， ， ， ，； 故答案：，； （2）解：过作轴交于，作轴交于， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， 反比例函数经过，两点， ， ， ， 解得：， ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，矩形在平面直角坐标系中，反比例函数分别与边、交于E、F两点，连接、，作直线EF分别交y轴、x轴于点G、H． (1) _______（填“”、“”、“”）； (2)若，，，求k的值； (3)当，时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数k值意义，矩形的性质，待定系数求一次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）利用k的几何意义求解即可； （2）先求出，，利用待定系数法求出的解析式，再求出H的坐标，然后根据得出关于k的方程，求解即可； （3）设，，利用矩形的性质，k的几何意义可求出，，，，，利用待定系数法求出的解析式，再求出H的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数分别与矩形的边、交于E、F两点， ∴ ，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵反比例函数分别与矩形的边、交于E、F两点，，， ∴， 设的解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：设，，则，， ∴， ∴， ∴，， 设的解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，． (1)若的面积为3， ①当，求k的值和的面积； ②当直线的解析式为，求的面积． (2)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)①k的值为6，的面积为8；②的面积为 (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）①根据三角形面积得出的值，求出点坐标，再根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积计算三角形面积即可； ②根据三角形面积得出的值，根据点和点的坐标在直线上，列方程组求解的值，再根据①中式子，计算三角形面积即可； （2）分和两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出的值即可． 【详解】（1）解：①点的坐标为，， ，， 设反比例函数的解析式为， 则， 的面积为3， ， 解得， 即反比例函数解析式为， ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积， 的值为6，的面积为8； ②设，的面积为3， ， ， ，直线的解析式为， ， 解得或（不符合题意，舍去）或（舍去是负数的情况）， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积， 代入的值得， 的面积为； （2）解：， ，，， ①当时，作，交延长线于点，作，交延长线于， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， ， 解得（舍去负值）， ②当时，作，交延长线于点，过点作轴于点， 同理①可证， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得或， 当时，点和点与点重合，此情况舍去， 综上所述，符合条件的值为或12， 即反比例函数解析式为或． 3．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，四边形是矩形，，，反比例函数的图象过点．    (1)求的值． (2)点为反比例图象上的一点，作直线，轴，当四边形是正方形时，求点的坐标． (3)点为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点，使得以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)12 (2)点坐标为或 (3)点的坐标为或或或或或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）先求出点坐标，代入解析式可求解； （2）分两种情况讨论，由正方形的性质可求解； （3）由平行四边形的面积为14，可求点坐标，再分为边和对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解． 【详解】（1）解：，， 点，点，点， 反比例函数的图象过点， ； （2）， 反比例函数解析式为：， 设点， 四边形是正方形， ， 当点在第一象限时， ， ，（舍去）， 点； 当点在第三象限， ， （舍去），， 点； 综上所述：点坐标为或； （3）设点坐标为， 若为边， 以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14， ， ，， 点或， 以、、、为顶点组成的四边形是平行四边形， ，， 点或或或； 若为对角线， 设点， 以、、、为顶点组成的四边形是平行四边形， 与互相平分， ，或，， ，，或，， 点或， 综上所述：点的坐标为或或或或或． 【题型4 反比例函数与菱形的综合问题】 例题：（2024·河南洛阳·二模）如图，菱形的边在x轴正半轴上，点A的坐标，反比例函数的图象经过的中点D． (1)求k的值； (2)的垂直平分线交反比例函数的图象于点E，连接、，求的面积． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查反比例函数的综合，菱形的性质，垂直平分线的定义，中点坐标公式，三角形的面积求法等知识，运用数形结合思想是解题的关键． （1）先求出的长度，也就是菱形的边长，从而求出点的坐标，再用中点公式求出点D的坐标，从而得解； （2）根据点的坐标求出点E的横坐标，继而求出点E的坐标，再利用割补法求面积即可． 【详解】（1）解：∵A点坐标， ∴， 四边形是菱形，边长为5， ， 的纵坐标为4，横坐标为， ， 为的中点，在反比例函数上， 的横坐标为，纵坐标为， ∴； （2）∵， ∴反比例函数解析式是 ∵E在AB的垂直平分线上，A，， E点横坐标为， 把代入 得：， ， 如图，过A作⊥ x轴于 H，的垂直平分线交x轴于F， 则，，，，， ． 【变式训练】 1．（2024·江苏苏州·一模）如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，且与边交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)判断点是否为边的中点，并说明理由． 【答案】(1)， (2)点D不是边的中点，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解析式是关键． （1）根据点坐标求出菱形边长，根据平移性质得到点坐标即可； （2）先求出线段的中点坐标，再代入反比例函数解析式验证即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∵四边形为菱形， ∴， 根据平移性质可得点B的坐标为． （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为：， ，， 线段的中点坐标为， 在反比例函数中，当时，， 点不是边的中点 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，菱形的顶点A的坐标为，顶点O与坐标原点重合，顶点B在x轴正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图像经过点D． (1)求的长及k的值； (2)反比例的图像上存在点E，使得的面积为，求点E的坐标． 【答案】(1)5，22 (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与几何，平行四边形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用两点间距离公式求即可，利用平行四边形的性质可得出D的坐标，然后把D的坐标代入求解即可； （2）设E的纵坐标为，则E到的距离为，然后利用的面积求，在把代入反比例函数解析式求出E的横坐标即可． 【详解】（1）解∶∵点A的坐标为 ∴， ∵菱形， ∴，轴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 代入，得； （2）解：设E的纵坐标为，则E到的距离为， ∵的面积为， ∴， 解得或2， 由（1）知：反比例函数解析式为， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴E的坐标为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，设所在直线解析式为． (1)求的值，并根据图象直接写出关于的不等式的解集； (2)若将菱形沿x轴正方向平移个单位，在平移中，若反比例函数图象与菱形的边始终有交点，求m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】 本题考查了菱形的性质，反比例函数图形上点的坐标特点，坐标与图形性质和平移等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可； （2）A和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：延长交轴于，由题意得轴， 点的坐标为， ，， ， ， 点坐标为， ， 由图象得关于的不等式的解集为：； （2）将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 使得点落在函数的图象点处， 点的坐标为， 点在的图像上， ，解得：，经检验符合题意， ． ． 【题型5 反比例函数与正方形的综合问题】 例题：（23-24八年级下·浙江金华·期末）如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）． (1)求m的值和一次函数的解析式． (2)求点C的坐标． (3)将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移等，其中，确定点在上是解题的关键. （1）由待定系数法即可求解； （2）证明即可求解； （3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，则点在上，进而求解. 【详解】（1）将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得： 将点、B的坐标代入函数表达式得： 解得： 则一次函数的表达式为：； （2）过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点， ， ， ， ， ∴ ∴点； （3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时, 则点在上, 由点的坐标得，直线的表达式为： 由（1）知，反比例函数表达式为：， 联立上述两个函数表达式得： ， 解得：(舍去)或 ， 即点， 由点的坐标得， 则重叠正方形的边长为． 【变式训练】 1．（2024·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，且与边相交于点，连接交于点． (1)若，则点的坐标为______； (2)连接，若的面积为，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据正方形的性质得到，求得，得到，得到反比例函数解析式为，进而可得点的坐标； （）设，则点，根据图形可得，利用梯形的面积公式解答即可求解； 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正方形的性质，反比例函数的几何意义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：在正方形中，， 把代入得，， 解得， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵， 把代入得，， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解：设，则点， 根据反比例函数的几何意义得 ，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2023·甘肃兰州·模拟预测）如图，正方形中，，过点作轴的垂线交过点的反比例函数图象于点，交轴于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)在坐标轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，直接写出点坐标；不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键． （1）过点A作轴于点F，求出，证明，进一步求出点坐标为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）证明，则，得到，则E点的横坐标为，把代入得，即可得到答案； （3）分四种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作轴于点F， ， ， ∵四边形为正方形， ， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点坐标为， 设反比例函数解析式为， 把代入得， ∴反比例函数解析式为; （2）∵四边形为正方形， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴E点的横坐标为， 把代入得， 点坐标为; （3）如图， ∴ ∴ 当则， 故点的坐标是， 当则， 当设，则， 故在中，， 即， 解得，即点与点G重合，故， 当则， 综上可知，符合题意的点的坐标为或或或 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)①的值为4；②m，的值为1，3； (2)当时，； (3) 【分析】（1）①将点的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论； ②过点作轴，可得，可用，表达点的坐标，建立关于，的二元一次方程组即可得出结论； （2）过点作轴于点，可得，可用，表达点的坐标，由此建立关于，的不等式，解之即可； （3）过点作轴于点，设，由等腰三角形的性质可表达点和点的坐标，由此建立关于的方程，解之即可． 【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ； 即的值为4； ②如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得． ，的值为1，3； （2）解：当时，，理由如下： 如图，过点作轴于点， 同理（1）可得，， ，， ， ， ， 若，则， ，， ， 即当时，； （3）解：由（2）得，，又， ∴， ，， ，即， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 是等腰直角三角形， ， 设，， ，， 点是的中点， ； ， ， 点在上， ，整理得， （舍）或； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等相关知识，用，表达出点，的坐标是解题关键． 一、单选题 1．（23-24九年级下·安徽宣城·自主招生）如图，直线与反比例函数相交于点，与轴交于点，将射线绕点逆时针旋转，交反比例函数图象于点，则点构成的三角形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一次函数与反比例函数的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】过作于，过作轴于，过作延长线于，连接，设交轴于点，证明，设，由点和点，则，，求得，可得，进而求得直线的解析式为，联立，然后求出，再通过即可求解． 【详解】解：过作于，过作轴于，过作延长线于，连接，设交轴于点， ∵直线与反比例函数相交于点， ∴，， 解得：，， ∴直线解析式为，反比例函数， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵点和点， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴， 令，则， ∴， ∴， 联立，解得：或， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，一次函数与几何图形，掌握知识点的应用是解题的关键． 2．（24-25八年级下·海南儋州·期中）如图，平行四边形的顶点 在 轴的正半轴上，点在对角线 上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点 的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、利用平方根解方程、正比例函数的性质、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 求出反比例函数，设的解析式为，由经过，得出的解式为，设，且，由平行四边形的性质得，，则，，代入面积公式即可得出结果． 【详解】解：反比例函数的图象经过点 ， ， 反比例函数， 经过原点O， 设的解析式为， 经过点， 则， ， 的解析式为， 反比例函数经过点C， 设，且， 四边形是平行四边形， ，， 点B的纵坐标为， 的解析式为， ∴， ∴ ， ， ， ， 解得：或（舍去）， 点B的坐标是， 故选：D． 3．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】求反比例函数解析式、利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形、坐标与图形综合 【分析】过点作于点，利用菱形性质，坐标与图形，勾股定理求出点坐标，再根据点为中点，求出点坐标，最后利用待定系数法求出值，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 点，点， ，，， ， 四边形为菱形， ， ， ， ， 解得， ， 与交于点， 点为中点， ， 反比例函数的图象经过点， ． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形性质，坐标与图形，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 4．（2025·安徽合肥·二模）如图，正方形和矩形的面积相等，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点，则的长为（   ） A．16 B．8 C． D． 【答案】C 【知识点】公式法解一元二次方程、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据正方形的性质结合反比例函数的解析式，求出点坐标，设，根据两个图形的面积相等，求出点坐标，代入反比例函数解析式，求出的值即可． 【详解】解：∵正方形，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点， ∴， ∴， ∴， 设， ∵正方形和矩形的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（舍去）； 经检验是原方程的解； ∴． 故选C． 5．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，矩形的两边分别在坐标轴上，，点P在反比例函数（k为常数，）的图象上，且在矩形内部，其横坐标为c．过点P作轴交于点E，作轴交于点F，连接．记 的面积为S，以下说法正确的是（    ） A．S的值仅与a，b有关 B．S的值仅与c，k有关 C．S的值仅与k有关 D．S的值与a，b，c，k都有关 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，根据题意，先确定各点的坐标，，，，再根据利用列式求解即可． 【详解】解：由条件可知， ∵点P在反比例函数（k为常数，）的图象上，且横坐标为c， ∴， ∵轴， ∴， ∴，， ， ∴， ∴的面积为S仅与k值有关． 故选：C． 二、填空题 6．（2025·陕西安康·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，点在轴上，点在反比例函数的图象上．若菱形的面积是8，则这个反比例函数的表达式是 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、利用菱形的性质求面积 【分析】本题主要考查菱形的性质、反比例函数的比例系数k的几何意义等知识点．正确作出辅助线、根据菱形性质求出是解题的关键． 如图：连接交于D，由菱形的性质可知，根据反比例函数 中k的几何意义以及菱形的面积求出k的值即可． 【详解】解：如图：连接交于D， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵顶点A在反比例函数的图象上， ∴， 由反比例函数的一支在第二象限，则，即， ∴． 故答案为：． 7．（2025·福建泉州·一模）如图，在直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x轴和y的正方向上，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点E，若点，则点E的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵正方形   ∴ ∵点E在反比例函数图象上，且点E的纵坐标为3， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·广西来宾·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在第二象限，边的中点横坐标为，反比例函数的图象经过点、．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式是解题的关键． 设，则，由题意知，，则．即，由反比例函数的图象经过点、，可得，可求，进而可求． 【详解】解：设，则， 由题意知，， ，则， ∵反比例函数的图象经过点、， ， 解得，， ， ， 故答案为：． 9．（2025·陕西西安·模拟预测）在学习完“反比例函数的图象与性质”后，小明同学将一张直角边长为4个单位长度的等腰直角三角形纸片，摆放在如图所示的平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在轴负半轴，轴正半轴上，小明发现将三角形纸片向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 【答案】1或3 【知识点】反比例函数与几何综合、坐标系中的平移、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴，， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， 解得：或． 故答案为：1或3． 10．（2025·江苏无锡·二模）如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接． （1） （填“>”“<”或“=”）． （2）若，则 ．    【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，矩形的性质，平行四边形的判断及性质，几何图形的面积公式等知识点，利用代数式求出各点坐标是解题的关键． 设点的坐标为，利用矩形的性质可得到和的坐标，代入反比例中可表示出和的坐标，再求出所在直线的解析式，进而求出的坐标，进而判断，用、、表示线段长，再利用三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设点的坐标为 ∵四边形为矩形 ∴， ∵点，在反比例函数上 ∴， ∴直线的解析式为 令，则， ∴，，，， ∴，， ∴ 令，则 ∴，∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 解得：，(舍去)， 故答案为：=，8 三、解答题 11．（2025·广东广州·二模）如图，平行四边形的顶点O与原点重合，边在x轴的正半轴上，且点，，反比例函数的图象经过对角线的中点D． (1)求反比例函数的表达式． (2)已知线段的垂直平分线分别交，于点M，N．求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查作图基本作图、待定系数法求反比例函数解析式、平行四边形的性质、线段垂直平分线的作法，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）由，可得，结合平行四边形的性质可得，进而可得，将的坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可得出答案． （2）由勾股定理及线段垂直平分线的定义可得，再结合已知条件证明，可得，求出的长，根据可得答案． 【详解】（1）解：， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， 点为的中点， ， 反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的表达式为； （2）如图，连接， ，， 轴，， 由勾股定理得，， 为线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ，即， 解得， ． 12．（2025·江苏苏州·一模）如图，四边形为矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点（不与边的端点重合），连接，，． (1)若为边的中点，求的值及点的坐标； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质与矩形的性质，解题关键是根据点的坐标求出反比例函数解析式，再利用反比例函数图象的性质求解； （1）先根据为边的中点求出点D的坐标，再根据待定系数法求出解析式，求出点E坐标即可； （2）设出点D的坐标，点E坐标，根据，得出 【详解】（1）解：∵点的坐标为，为边的中点， ∴点的坐标为， 代入得，， 解得，， 把代入得，， 解得，， 点E坐标为 （2）解：∵点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点， 设点D的坐标为，点E坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，（舍去）或， 则点D的坐标为，点E坐标为， ，， ． 13．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，直线与坐标轴交于，两点，点在轴上，点在第一象限，四边形为菱形，边交反比例函数的图象于点，已知点的坐标为，且． (1)求的值和反比例函数的解析式． (2)若点在双曲线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)的值为，反比例函数的解析式为 (2)点的坐标为或 【知识点】反比例函数与几何综合、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用，掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）运用待定系数法即可解答； （2）根据已知条件求出，然后令为底，求出得出点在双曲线到x轴距离，即可得出坐标 【详解】（1）解：由题意知，点在直线上， ，即， 点为直线与轴的交点， 且． 在菱形中，，又轴， 点的坐标为． ， 点的坐标为． 反比例函数的解析式为． 综上可知，的值为，反比例函数的解析式为． （2）由（1）知，，， ， ， ， ． 又∵点在双曲线上， 点的坐标为或． 14．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）如图，已知，，，，D为B点关于的对称点，反比例函数的图象经过D点． (1)证明四边形为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在的图象（）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形是平行四边形，求M点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)反比例函数的解析式为 (3)M点的坐标为：（0，） 【知识点】反比例函数与几何综合、证明四边形是菱形、求反比例函数解析式、已知两点坐标求两点距离 【分析】此题主要考查平行四边形的性质，菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式，注意掌握坐标与图形的关系是关键． （1）由，，，利用勾股定理可求得，又由D为B点关于的对称点，可得，，即可得到四边形的四条边相等，即可得证结论； （2）由四边形为菱形，可求得点D的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式； （3）由四边形是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵为点关于的对称点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴D点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过D点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴是经过平移得到的， ∵将B点先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到A点， ∴将M先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到N点， ∵M点在y轴正半轴， ∴M点的横坐标为0， ∴即根据平移可知点的横坐标为3， 代入， 得，即N点坐标为， ∴根据平移的路径可知点的纵坐标为：， ∴点的坐标为． 15．（2025·河南濮阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对称中心是原点O，点A，D的坐标分别为，，动点P在边上，过点P的反比例函数的图象交边于点Q，连接． (1)求点B的坐标； (2)当点P是边的中点时，求对应的反比例函数的表达式； (3)直接写出图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1)点的坐标 (2) (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、求反比例函数解析式、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了中心对称图形的性质、待定系数法求反比例函数解析式，求得平行四边形的顶点的坐标是解此题的关键． （1）根据中心对称的性质即可得出点的坐标； （2）先求出点，再利用待定系数法求解即可； （3）由图形可得阴影部分的面积为平行四边形的面积的一半，求出平行四边形的面积即可． 【详解】（1）解：的对称中心是原点，点的坐标为， 点的坐标； （2）解：∵，点P是边的中点， ∴， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为； （3）解：∵，， ∴， ∴，与之间的距离为6， ∴由图结合中心对称图形的性质可得：． 16．（2025·江西九江·二模）已知正方形的三个顶点，恰好落在反比例函数的图象上，如图所示． (1)求反比例函数的解析式； (2)求直线的解析式； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】反比例函数与几何综合、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、根据正方形的性质证明 【分析】本题涉及正方形的性质、反比例函数和一次函数的解析式求解以及三角形面积的计算，解题的关键是正确的求得反比例函数的解析式． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得； （2），过点作轴的平行线，过点分别作，交平行线于G、F． 证明，可得点C坐标，根据点的坐标求出直线解析式， （3）如图．连接，，由（2）可知，计算三角形面积． 【详解】（1）解：点恰好落在双曲线上， ．解得． A、B坐标为，． 将代入，得． 反比例函数的解析式为． （2）解：由（1）可知．如图，过点作轴的平行线， 过点分别作，交平行线于G、F． ； 可得，． 四边形是正方形， ，． ． ， ． ， ． 点C坐标为，即． 设直线的解析式为， 则解得 直线的解析式为． （3）解：如图．连接，，由（2）可知 ． 17．（19-20八年级下·重庆万州·期末）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求线段的长； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N的坐标为或或 【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，矩形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据B的坐标，利用中点坐标公式求出D的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出E的坐标，即可求出的长； （2）根据D坐标确定出直线与直线解析式，过点M作轴交于点N，设，，由，把已知面积代入求出t的值，即可确定出M坐标； （3）由题意得：，，，设，分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，D为中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过的中点D， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得：，即， 则； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则， ∵ ， ∴，解得：， 则点M坐标为； （3）解：存在； 由题意得：，，，设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即； 当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即； 当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即， 综上，N的坐标为或或． 18．（24-25九年级上·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点、分别为、，顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上． (1)如图1，当点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由． 【答案】(1)①4  ②1，3 (2)；理由见解析 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）①根据点坐标为求出的值即可； ②过点作轴于点， 证明，得出，，根据点D的坐标得出，求出，即可得出答案； （2）过点作轴于点， 根据解析（1）得出，求出， 根据，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ； 即的值为4； ②如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ∴， 解得， 的值为1，3； （2）解：当时，， 如图，过点作轴于点， 同理（1）可得，， ，， ， ， ， 若，则， ，， ， 即当时，； 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，用m，n表达出点C，D的坐标是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题29 反比例函数与几何图形的综合问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 1.反比例函数性质：掌握反比例函数y=(k≠0)的图象特征、增减性、k的几何意义，即过函数图象上一点向坐标轴作垂线，所得矩形面积为，三角形面积为。 2.几何图形性质：包括三角形、四边形等图形的边、角、周长、面积计算，全等、相似的判定与性质，特殊图形（如等腰三角形、平行四边形等）的性质和判定方法。 3.综合应用：将反比例函数与几何图形结合，通过坐标表示线段长度，利用几何关系建立方程求解，或根据函数性质分析几何图形的变化规律。 【题型1 反比例函数与三角形的综合问题】 例题：（2025·江西景德镇·一模）如图，三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点在轴上，反比例函数经过的中点，交边于点，已知点． (1)点的坐标为______，反比例函数解析式为______； (2)连接，求的面积． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，与次函数的图像交于点，的图像交y轴于点B．将过点A、B的直线向下平移，平移后的直线与反比例函数的图像交于点C，交y轴于点D，且点C的横坐标为3．． (1)求k，m的值； (2)直接写出当时，不等式的解集是： ； (3)在x轴负半轴上确定一点E，使得以A、D、E三点为顶点的三角形是等腰三角形，请求出所有符合条件的点E的坐标．​ 2．（2025·江苏连云港·二模）如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线相交于点P，轴于点C，且，点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与相似时，求点Q的坐标． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，．是反比例函数的图像在第一象限内的一动点，当轴时，的面积为2． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，当点在射线上时，为轴正半轴上一点，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【题型2 反比例函数与平行四边形的综合问题】 例题：（2024·江苏常州·二模）如图，四边形是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和的中点D，，平行四边形的面积是48． (1)点C的坐标为___________，点A的纵坐标为___________； (2)求反比例函数的表达式． 【变式训练】 1．（2024·河南周口·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，原点是其对角线的交点，轴，点，反比例函数的图象经过点，直线的解析式为． (1)求反比例函数的表达式； (2)写出不等式时，的取值范围； (3)求图中阴影部分的面积之和． 2．（2024·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，以A，B，C为顶点作平行四边形，点D落在第二象限，与y轴交于点E，反比例函数()经过点A，与边交于点F，反比例函数()经过点D． (1)求和的值； (2)连接，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由 3．（2024·河南南阳·二模）如图，平行四边形的边在轴正半轴上，反比例函数的图象经过点，是边的中点． (1)直接写出的值为_________；点的坐标为_________； (2)尺规作图：在边上求作一点，连接，使轴（保留作图痕迹，不写作法） (3)若交反比例函数的图象于点．连接、，求． 【题型3 反比例函数与矩形的综合问题】 例题：（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在矩形中，点，在轴上，轴，对角线，相交于点，，，若点的纵坐标为，解答下列问题． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ．（用含的代数式表示） (2)若反比例函数经过，两点，求的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，矩形在平面直角坐标系中，反比例函数分别与边、交于E、F两点，连接、，作直线EF分别交y轴、x轴于点G、H． (1) _______（填“”、“”、“”）； (2)若，，，求k的值； (3)当，时，求的值． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，． (1)若的面积为3， ①当，求k的值和的面积； ②当直线的解析式为，求的面积． (2)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式． 3．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，四边形是矩形，，，反比例函数的图象过点．    (1)求的值． (2)点为反比例图象上的一点，作直线，轴，当四边形是正方形时，求点的坐标． (3)点为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点，使得以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型4 反比例函数与菱形的综合问题】 例题：（2024·河南洛阳·二模）如图，菱形的边在x轴正半轴上，点A的坐标，反比例函数的图象经过的中点D． (1)求k的值； (2)的垂直平分线交反比例函数的图象于点E，连接、，求的面积． 【变式训练】 1．（2024·江苏苏州·一模）如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，且与边交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)判断点是否为边的中点，并说明理由． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，菱形的顶点A的坐标为，顶点O与坐标原点重合，顶点B在x轴正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图像经过点D． (1)求的长及k的值； (2)反比例的图像上存在点E，使得的面积为，求点E的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，设所在直线解析式为． (1)求的值，并根据图象直接写出关于的不等式的解集； (2)若将菱形沿x轴正方向平移个单位，在平移中，若反比例函数图象与菱形的边始终有交点，求m的取值范围． 【题型5 反比例函数与正方形的综合问题】 例题：（23-24八年级下·浙江金华·期末）如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）． (1)求m的值和一次函数的解析式． (2)求点C的坐标． (3)将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长． 【变式训练】 1．（2024·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，且与边相交于点，连接交于点． (1)若，则点的坐标为______； (2)连接，若的面积为，求的值． 2．（2023·甘肃兰州·模拟预测）如图，正方形中，，过点作轴的垂线交过点的反比例函数图象于点，交轴于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)在坐标轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，直接写出点坐标；不存在请说明理由． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 一、单选题 1．（23-24九年级下·安徽宣城·自主招生）如图，直线与反比例函数相交于点，与轴交于点，将射线绕点逆时针旋转，交反比例函数图象于点，则点构成的三角形面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·海南儋州·期中）如图，平行四边形的顶点 在 轴的正半轴上，点在对角线 上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点 的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则值为（   ） A． B． C． D．2 4．（2025·安徽合肥·二模）如图，正方形和矩形的面积相等，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点，则的长为（   ） A．16 B．8 C． D． 5．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，矩形的两边分别在坐标轴上，，点P在反比例函数（k为常数，）的图象上，且在矩形内部，其横坐标为c．过点P作轴交于点E，作轴交于点F，连接．记 的面积为S，以下说法正确的是（    ） A．S的值仅与a，b有关 B．S的值仅与c，k有关 C．S的值仅与k有关 D．S的值与a，b，c，k都有关 二、填空题 6．（2025·陕西安康·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，点在轴上，点在反比例函数的图象上．若菱形的面积是8，则这个反比例函数的表达式是 ． 7．（2025·福建泉州·一模）如图，在直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x轴和y的正方向上，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点E，若点，则点E的坐标是 ． 8．（24-25九年级上·广西来宾·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在第二象限，边的中点横坐标为，反比例函数的图象经过点、．若，则的值为 ． 9．（2025·陕西西安·模拟预测）在学习完“反比例函数的图象与性质”后，小明同学将一张直角边长为4个单位长度的等腰直角三角形纸片，摆放在如图所示的平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在轴负半轴，轴正半轴上，小明发现将三角形纸片向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 10．（2025·江苏无锡·二模）如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接． （1） （填“>”“<”或“=”）． （2）若，则 ．    三、解答题 11．（2025·广东广州·二模）如图，平行四边形的顶点O与原点重合，边在x轴的正半轴上，且点，，反比例函数的图象经过对角线的中点D． (1)求反比例函数的表达式． (2)已知线段的垂直平分线分别交，于点M，N．求的值． 12．（2025·江苏苏州·一模）如图，四边形为矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点（不与边的端点重合），连接，，． (1)若为边的中点，求的值及点的坐标； (2)若，求的面积． 13．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，直线与坐标轴交于，两点，点在轴上，点在第一象限，四边形为菱形，边交反比例函数的图象于点，已知点的坐标为，且． (1)求的值和反比例函数的解析式． (2)若点在双曲线上，且，求点的坐标． 14．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）如图，已知，，，，D为B点关于的对称点，反比例函数的图象经过D点． (1)证明四边形为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在的图象（）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形是平行四边形，求M点的坐标． 15．（2025·河南濮阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对称中心是原点O，点A，D的坐标分别为，，动点P在边上，过点P的反比例函数的图象交边于点Q，连接． (1)求点B的坐标； (2)当点P是边的中点时，求对应的反比例函数的表达式； (3)直接写出图中阴影部分的面积之和． 16．（2025·江西九江·二模）已知正方形的三个顶点，恰好落在反比例函数的图象上，如图所示． (1)求反比例函数的解析式； (2)求直线的解析式； (3)连接，求的面积． 17．（19-20八年级下·重庆万州·期末）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求线段的长； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（24-25九年级上·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点、分别为、，顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上． (1)如图1，当点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$