专题28 反比例函数与一次函数（2知识点+4大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题28 反比例函数与一次函数 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 知识点02 求一次函数与反比例函数的交点坐标 （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定 ①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点。 （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况 【题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，函数和（，k是常数）的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·河南焦作·二模）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A．B．C．D． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C．D． 3．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A．B．C．D． 【题型2 一次函数与反比例函数的交点问题】 例题：（2025·上海闵行·模拟预测）正比例函数与反比例函数的图象都经过点，那么 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）若正比例函数与反比例函数的图象交于点，则另一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3.（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【题型3 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 例题：（2025·江苏连云港·二模）如图，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，连接，，求的面积． 【变式训练】 1．（2025·四川南充·一模）如图，直线与轴交于，与双曲线交于．将直线平移，与轴交于，与双曲线交于． (1)求双曲线的解析式． (2)当时，求点C，D的坐标． 2．（2025·江西吉安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． (1)求直线的表达式； (2)将直线沿轴方向向上平移个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点，若，请求出的值． 3．（2025·山东日照·二模）已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求的面积； ②直接写出不等式的解集． 【题型4 一次函数与反比例函数的实际应用】 例题：（24-25八年级下·重庆·阶段练习）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 2．（23-24九年级上·江西宜春·期中）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 3．（2024八年级下·江苏·专题练习）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 一、单选题 1．（2025·广西南宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于，B两点，当时，的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（2025·辽宁盘锦·二模）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致位置是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·贵州毕节·三模）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若在水温为20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中，正确的是（   ） A．水温从20℃加热到100℃，需要7min B．水温上升过程中，y与x的函数关系式是 C．若上午8点在水温为20℃时接通电源，则可以保证当天上午能用到不低于80℃的水泡茶 D．一个加热周期的时间为20min 二、填空题 4．（2025·安徽池州·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点横坐标为1，点纵坐标为点纵坐标的2倍． （1）点的横坐标为 ； （2）不等式的解集为 ． 5．（2025·陕西延安·三模）已知正比例函数（为常数，且）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象的一个交点坐标是，则另一个交点的坐标是 ． 6．（2025·甘肃白银·二模）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积为，压敏电阻的阻值随所受液体压力的变化关系如图2所示（水深越深，压力越大），电源电压保持不变，当电路中的电流为时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式），则下列说法中正确的是 ． ①当水箱未装水时，压强为 ②当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力为 ③当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度是 ④若想使水深时报警，应使定值电阻的阻值为 三、解答题 7．（2025·湖北荆州·三模）如图，正比例函数的图象与反比例函数为常数，且）的图象交于两点． (1)求的值； (2)求点的坐标． 8．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，以，为邻边作，反比例函数的图象经过点，设点的横坐标为． (1)当时，求的值； (2)当时，求反比例函数的解析式． 9．（2025·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，求的面积． 10．（2025·福建福州·三模）光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出与之间的函数表达式； (2)福州市花茉莉花承载着幸福吉祥的寓意．它适宜在照度为的室内生长，那么智能玻璃的透明度应控制在什么范围内？请说明理由． 11．（2025·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 12．（2025·江苏连云港·二模）如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线相交于点P，轴于点C，且，点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与相似时，求点Q的坐标． 13．（2025·河南平顶山·三模）如图，反比例函数的图象与直线：交于点和点、与轴的负半轴相交于点A，且点为的中点． (1)求反比例函数解析式． (2)结合图象，直接写出不等式的解集． (3)连接，，求的面积． 14．（2025·河南商丘·二模）已知反比例函数与一次函数相交于点和点，如图所示，且一次函数与轴，轴分别交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设是轴上一点，当和面积相等时，求点的坐标； 15．（2025·广东广州·二模）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度随时间变化的部分示意图.该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时开始制冷，温度开始逐渐下降；当温度下降到时停止制冷，温度开始逐渐上升；当温度上升到时，再次开始制冷，按照以上方式循环工作.通过研究发现，当时，温度是时间的一次函数；当时，温度是时间的反比. (1)求当时的反比例函数关系式，并求出的值； (2)若规定温度不高于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是多少？ 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题28 反比例函数与一次函数 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 知识点02 求一次函数与反比例函数的交点坐标 （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定 ①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点。 （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况 【题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，函数和（，k是常数）的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答，即可求解． 【详解】解：A、当时，反比例函数y位于第一、三象限，一次函数图象经过一、二、三象限，故本选项错误，不合题意； B、当时，反比例函数y位于第一、三象限，一次函数图象经过一、二、三象限，故本选项错误，不合题意； C、当时，反比例函数y位于第二、四象限，一次函数图象经过一、二、四象限，故本选项正确，符合题意； D、当时，反比例函数y位于第二、四象限，一次函数图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（2025·河南焦作·二模）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数它的图象综合分析，掌握一次函数与反比例函数函数的图象与性质是解题的关键． 先确定直线与y轴交于点，函数与可知反比例函数比例系数与一次函数斜率符号相反，故不同时过第一、三象限或第二、四象限，综合即可判断结果． 【详解】解：对于，当，， ∴直线与y轴交于点，故A、D不符合题意； 由函数与，可知反比例函数比例系数与一次函数斜率符号相反，故不同时过第一、三象限或第二、四象限，故C不符合题意，B符合题意， 故选：B． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据反比例函数的图象与性质分析判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，选项中没有符合条件的图象； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A选项的图象符合要求． 故选：A． 3．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的图像，由函数知直线必过这一点，据此可得． 【详解】解：由函数知直线必过这一点， 故选：C． 【题型2 一次函数与反比例函数的交点问题】 例题：（2025·上海闵行·模拟预测）正比例函数与反比例函数的图象都经过点，那么 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】将点A坐标代入反比例函数即可求出m，即可找到点A的坐标；将点A坐标代入正比例函数即可求解． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，关键在于求出交点坐标． 【详解】解：将点A坐标代入反比例函数得：. ∴. ∴， 将点A坐标代入正比例函数得：. ∴. 故答案为：. 【变式训练】 1．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）若正比例函数与反比例函数的图象交于点，则另一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的交点问题，坐标与图形的变化—中心对称，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可，也是解题关键． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称． ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故选：B． 2．（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合：一次函数与反比例函数的交点问题，结合图象信息得点A的横坐标为2，因为正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，故点B的横坐标为，即可作答． 【详解】解：∵点A的横坐标为2，且正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴点B的横坐标为， 则当时，x的取值范围是或， 故选：B 3.（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）由直线与轴交于点，与轴交于点，求出直线表达式，再将代入即可得到答案； （2）当时，求的取值范围就是确定直线在反比例函数图象上方部分对应的的取值范围，求出直线与双曲线的交点是和，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， ，解得， 直线， 在直线上， ，则， 直线与反比例函数在第四象限内的图象交于点， ，则反比例函数的表达式为； （2）解：当时，求的取值范围就是确定直线在反比例函数图象上方部分对应的的取值范围，如图所示： 联立得，则， 解得或， 直线与双曲线的交点是和， 由图可知当时，的取值范围是或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定一次函数表达式、待定系数法确定反比例函数表达式、求直线与反比例函数交点、利用函数图象解不等式等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解决问题的关键． 【题型3 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 例题：（2025·江苏连云港·二模）如图，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数与几何综合，三角形相似的判定与性质． （1）先求出m的值，利用待定系数法求出k即可得解； （2）过点A作轴于点P，过点N作轴于点Q，证明，得，根据，得，根据，得，可得，即得． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过， ∴， ∴反比例函数的解析式为；； （2）解：过点A作轴于点P，过点N作轴于点Q， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵中, ∴只有， ∴， ∴， ∴， ∵轴， 当， ∴， 当， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（2025·四川南充·一模）如图，直线与轴交于，与双曲线交于．将直线平移，与轴交于，与双曲线交于． (1)求双曲线的解析式． (2)当时，求点C，D的坐标． 【答案】(1)双曲线的解析式为 (2)， 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，准确理解题意，找到各点与表达式间的关系是正确解答此题的关键． （1）将代入，求得m，即可求解； （2）作轴于轴于． 证明（AAS）．得．由，得．即可求得点D坐标，设直线为，代入点D坐标，即可求解点C坐标． 【详解】（1）解：将代入直线的解析式中，得． 解得． 将代入双曲线的解析式中，得． 双曲线的解析式为． （2）解：作轴于轴于． 则． ． ， ， ． ． 由题意，， ． 由，得． ； 设直线为，则． ， 直线为． 由，得． ． 2．（2025·江西吉安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． (1)求直线的表达式； (2)将直线沿轴方向向上平移个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点，若，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，数形结合是解题的关键． （1）先求出点．再用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）记平移后的直线与轴的交点为，则，连接BD．根据列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ． 点． 把点代入， 得：， ． 直线的表达式为：． （2）记平移后的直线与轴的交点为，则， 连接， ． ． 即：． ． 3．（2025·山东日照·二模）已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求的面积； ②直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)①；②不等式的解集为或． 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积等． （1）先根据一次函数求出点坐标，再代入反比例函数计算即可； （2）①先求出的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式，再求出C、D两点的坐标，再根据，代入数据计算即可； ②根据函数图象即可写出不等式的解集． 【详解】（1）解：直线过点， ， 将代入中，得， 反比例函数的解析式为； （2）解：①由（1）知，反比例函数的解析式为， 点，在的图象上， ， ，， 由平移得，平移后直线的解析式为， 将代入中，得， ； 直线的解析式为， 令，得， ， ； ②∵，， ∴不等式的解集为或． 【题型4 一次函数与反比例函数的实际应用】 例题：（24-25八年级下·重庆·阶段练习）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1)3 (2)深消毒阶段为线段的函数关系式；降消毒阶段为反比例函数解析式 (3)消毒有效 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）根据图象信息直接解答即可 （2）设线段的函数关系式为，结合和，利用待定系数法解答即可．根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可． （3）根据解析式为，，当时，； 当时，；确定循环时长，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图象知，当10分钟时，效力为3， 故答案为：3． （2）解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和，利用根据题意，得， 解得， 所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为． 故本次消毒有效． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】(1) (2) (3)对病毒有作用的时间长为分钟 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题． 【详解】（1） 解：设药物燃烧时的函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧时的函数关系式为； （2） 解：设燃烧后函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧后的函数关系式为； （3） 解：由题意得： 解得：， （分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 2．（23-24九年级上·江西宜春·期中）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温不低于的时间加热过程中水温低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 3．（2024八年级下·江苏·专题练习）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 【答案】(1)20摄氏度 (2) (3) 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】（1）根据图象设一次函数解析式为，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式； （3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，用24小时减去这些时间即可． 本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：， 根据题意，可得， 解得， 直线， 当时，， 恒定温度为：； （2）由（1）可知：一次函数解析式为， 根据图象可知：， 设小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：， 小时函数解析式为：； （3）解：当时，， ， 故最多关闭． 一、单选题 1．（2025·广西南宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于，B两点，当时，的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比例函数的交点问题．先求出的值，进而求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，根据反比例函数的值小于正比例函数的值时，反比例函数图象在正比例函数图象的下方，可得自变量的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点， ∴， 解得：， ∴， 将代入反比例函数，则， ∴， ∴反比例函数解析式为， 令，则， 解得， ∴， ∴， 根据图象可得，当时，反比例函数图象在正比例函数图象的下方， 自变量的取值范围是或． 故选：B． 2．（2025·辽宁盘锦·二模）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致位置是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数和一次函数图象的特点，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、反比例函数的图象在第一、三象限，可得， 一次函数经过一、三、四象限，故此选项错误； B、反比例函数的图象在第二、四象限，可得， 一次函数经过二、三、四象限，故此选项错误； C、反比例函数的图象在第二、四象限，可得， 一次函数经过二、三、四象限，故此选项正确； D、反比例函数的图象在第一、三象限，可得， 一次函数经过一、三、四象限，故此选项错误； 故选：C． 3．（2025·贵州毕节·三模）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若在水温为20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中，正确的是（   ） A．水温从20℃加热到100℃，需要7min B．水温上升过程中，y与x的函数关系式是 C．若上午8点在水温为20℃时接通电源，则可以保证当天上午能用到不低于80℃的水泡茶 D．一个加热周期的时间为20min 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 因为开机加热时，饮水机每分钟上升，所以开机加热到，所用时间为，即可判断A；利用点，可以求出反比例函数解析式，令，则，求出每40分钟，饮水机重新加热，即可判断D；若上午8点在水温为20℃时接通电源，则当天时第二个周期结束，根据剩余时间计算即可判断C；将代入，即可判断B． 【详解】解：∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法不正确，不合题意； ∴在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是， 在中，令，则， 即：每40分钟，饮水机重新加热，故D选项说法不正确，不符合题意； 若上午8点在水温为20℃时接通电源， 则当天时第二个周期结束， 此时距还有10分钟， ∵ ∴把代入，得：， 即：时的水温为80℃，故C选项说法正确，符合题意； 将代入 可得，故B选项说法不正确，不合题意； 故选：C． 二、填空题 4．（2025·安徽池州·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点横坐标为1，点纵坐标为点纵坐标的2倍． （1）点的横坐标为 ； （2）不等式的解集为 ． 【答案】 2 或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，涉及到一次函数与反比例函数的性质，一次函数及反比例函数图象上点的坐标特征等知识，数形结合是解题的关键． （1）设，由点纵坐标为点纵坐标的2倍，可得点纵坐标为，再由一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，可得点横坐标为； （2）由可得，一次函数与关于原点对称，可得一次函数与反比例函数的图象交于两点，且与B，A两点关于原点对称，再求解即可． 【详解】解：（1）设， 点纵坐标为点纵坐标的2倍， 点纵坐标为， 一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点， 点横坐标为， 故答案为：2； （2）由可得， 一次函数与关于原点对称， 一次函数与反比例函数的图象交于两点，且与B，A两点关于原点对称，如下图， 点C、D两点的横坐标分别为， 根据函数图象，不等式的解集是或． 故答案为：或． 5．（2025·陕西延安·三模）已知正比例函数（为常数，且）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象的一个交点坐标是，则另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数图象均是中心对称图形， ∴正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点关于原点对称， ∵一个交点坐标是， ∴另一个交点为， 故答案为：． 6．（2025·甘肃白银·二模）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积为，压敏电阻的阻值随所受液体压力的变化关系如图2所示（水深越深，压力越大），电源电压保持不变，当电路中的电流为时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式），则下列说法中正确的是 ． ①当水箱未装水时，压强为 ②当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力为 ③当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度是 ④若想使水深时报警，应使定值电阻的阻值为 【答案】①③④ 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】本题跨学科考查了反比例函数、一次函数的实际应用，理解每个变量的实际意义是解题的关键． 根据题意结合图、图、图可得，，对各个选项进行逐个计算即可． 【详解】解：①由图得：当时，，故此项说法正确； ② 当报警器刚好开始报警时，， 解得，由图可求得： ， 解得，故此项说法错误； ③当报警器刚好开始报警时，由上得， 则有， ， 由图求得， ∴， 解得：， 故此项说法正确； ④当报警器刚好开始报警时：， ， 当时，， ， ， ，故此项说法正确． 故答案为：①③④． 三、解答题 7．（2025·湖北荆州·三模）如图，正比例函数的图象与反比例函数为常数，且）的图象交于两点． (1)求的值； (2)求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查正比例函数，反比例函数，二元一次方程组求交点的坐标，掌握以上知识是关键 （1）把点代入正比例函数得到，再代入反比例函数解析式得到； （2）联立正比例函数，反比例函数得到二元一次方程组，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴， ∴， 解得，， ∴； （2）解：由（1）得，正比例函数解析式为，反比例函数解析式为， ∴联立得： ， 解得： 或， ∴． 8．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，以，为邻边作，反比例函数的图象经过点，设点的横坐标为． (1)当时，求的值； (2)当时，求反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【知识点】正比例函数的性质、反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，求得C的坐标是解题的关键． （1）由题意可知，结合平行四边形的性质求出，然后利用待定系数法即可求解； （2）由题意可知，然后利用待定系数法，根据得到，即可求解． 【详解】（1）点在直线上，点的横坐标为1， ． 四边形为平行四边形，轴， 轴，． ． 点在反比例函数的图象上， ． （2）点在直线上，点的横坐标为， ． 四边形为平行四边形，轴， 轴，． ． 点在反比例函数的图象上，， ， 解得（舍去），． 故反比例函数的解析式为． 9．（2025·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数中的三角形面积问题，根据数形结合思想求解是解题的关键． （1）根据待定系数法求得反比例函数，再求得B点的坐标，最后再根据待定系数法求得一次函数； （2）根据一次函数求得的长度，根据，即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得，解得． 反比例函数的表达式为． 把代入，得， 解得：， 即点的坐标为． 把代入， 得， 解得：， 一次函数的表达式为． （2）解：将直线与轴的交点记为， 令，则，解得， 即点的坐标为． ． ． 10．（2025·福建福州·三模）光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出与之间的函数表达式； (2)福州市花茉莉花承载着幸福吉祥的寓意．它适宜在照度为的室内生长，那么智能玻璃的透明度应控制在什么范围内？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法，将点代入反比例函数表达式求出参数； （2）通过将给定的照度值代入已求出的函数表达式，求出对应的透明度，从而确定透明度的范围． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 把代入得，． 与之间的函数表达式为； （2）解：智能玻璃的透明度应控制在范围内， 理由如下： 把和别代入得， 且在第一象限随的增大而减小， 智能玻璃的透明度应控制在范围内． 【点睛】 11．（2025·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一次函数图象平移问题、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数图象的问题，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线解析式为，则可求出，过点A作轴交直线于T，则，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； ∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 如图所示，过点A作轴交直线于T， ∵， ∴点T的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ． 12．（2025·江苏连云港·二模）如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线相交于点P，轴于点C，且，点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与相似时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题属于反比例函数综合题，主要相似三角形的性质、待定系数法求函数解析式等知识点，熟练掌握待定系数法以及分类讨论思想是解题的关键． （1）把A坐标代入直线解析式求出a的值，确定出直线解析式，把代入直线解析式求出x的值，确定出P坐标，再代入反比例解析式求出k的值，即可确定出双曲线解析式； （2）设代入反比例解析式得到，分两种情况考虑：当时；当，由相似得比例求出m的值，进而确定出n的值，即可得出Q坐标． 【详解】（1）解：把代入中，得：， ∴， ∵， ∴把代入中，得：，即， 把代入中，得：， ∴双曲线解析式为． （2）解：如图，轴于点H，连接；设， ∵在双曲线上， ∴， ∵点B在上， ∴． 当时，，即，整理得：，即，解得或（舍去）， ∴， ∴； 当时，，即，整理得，解得：或（舍）， ∴， ∴， 综上所述，或． 13．（2025·河南平顶山·三模）如图，反比例函数的图象与直线：交于点和点、与轴的负半轴相交于点A，且点为的中点． (1)求反比例函数解析式． (2)结合图象，直接写出不等式的解集． (3)连接，，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、根据三角形中线求面积、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，函数与不等式的关系，三角形中线的性质． （1）把点代入反比例函数中，即可求解； （2）由点是线段的中点，且点的纵坐标为0，得到点的纵坐标为4，把代入反比例函数，可得．根据函数与不等式的关系即可求解； （3）运用待定系数法求出直线的解析式，令，求出点A的坐标，根据三角形中线的性质得到即可求解． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ，解得， 反比例函数解析式为． （2）解：点是线段的中点，且点的纵坐标为0， 由中点公式，得点的纵坐标为4， 把代入反比例函数，得． 点的坐标为． 结合图象，得不等式的解集为． （3）解：把点，代入直线：， 得解得 直线的解析式为． 当时，即，解得， ∴ ． 点是线段的中点， ． 14．（2025·河南商丘·二模）已知反比例函数与一次函数相交于点和点，如图所示，且一次函数与轴，轴分别交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设是轴上一点，当和面积相等时，求点的坐标； 【答案】(1)一次函数解析式为：；反比例函数表达式； (2)或 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式和面积问题，数形结合和准确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，得到点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）求出直线与轴交点的坐标为，得到，根据和面积相等列出方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 将点代入反比例函数表达式得，则 将点、的坐标代入一次函数解析式得到 解得 ∴一次函数解析式为：； （2）当时，，解得，， ∴直线与轴交点的坐标为，故； 或 点坐标为或 15．（2025·广东广州·二模）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度随时间变化的部分示意图.该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时开始制冷，温度开始逐渐下降；当温度下降到时停止制冷，温度开始逐渐上升；当温度上升到时，再次开始制冷，按照以上方式循环工作.通过研究发现，当时，温度是时间的一次函数；当时，温度是时间的反比. (1)求当时的反比例函数关系式，并求出的值； (2)若规定温度不高于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是多少？ 【答案】(1)， (2)有效制冷时间是9分钟 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的图象和性质，函数与方程的关系，是解题的关键． （1）由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的t的值即可； （2）求出一次函数的解析式，分别求出时一次函数中与反比例函数中的x值，即可求解． 【详解】（1）解：设当时的反比例函数关系式为， 由图象可知，点在函数图象上， ， 解得，， 当时的反比例函数关系式为． 当时，， 解得，； （2）解：当时，， 解得：， 设当时的一次函数关系式为， 由图象可知，点，点在函数图象上， 则， 解得： 当时的一次函数关系式为， 当时，， 解得，， （分钟）． 答：在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是9分钟． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$