专题26 反比例函数的图象和性质（2知识点+12大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题26 反比例函数的图象和性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：12大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 反比例函数的图象与性质 1、图象：由两条曲线组成（双曲线） 2、性质： 函数 图象 所在象限 增减性 第1、 三象限 在同一象限内，随的增大而减小 第2、 四象限 在同一象限内，随的增大而增大 越大，函数图象越远离坐标原点 知识点02 反比例函数比例系数k的几何意义 如图，在反比例函数上任取一点，过这一点分别作轴，轴 的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积 【题型1 判断(画)反比例函数图象】 例题：（2025八年级下·浙江·专题练习）函数的图象大致是（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定为反比例函数，由，即可得到答案． 【详解】解：根据定义，为反比例函数 ∵ ∴两支曲线分别位于第二、四象限内 故选A． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）函数在平面直角坐标系中的图形可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数解析式可得反比例函数的图象在第二、四象限，即可得解． 【详解】解：∵函数，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 故选：C． 2．（24-25九年级下·广东汕尾·阶段练习）反比例函数的图象大致是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据题意可直接进行求解． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象分布在第二、四象限，即：    故选：C． 3．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）反比例函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正比例函数的图象、判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查反比例函数的图象的性质，根据反比例函数的，可知反比例函数的图象是双曲线且在第一、三象限，根据各选项的图象和图象所在的象限判断即可． 【详解】解：反比例函数的大致图象是双曲线，且在第一、三象限， A选项，是正比例函数图象，故A选项不符合题意； B选项：是正比例函数图象，故B选项不符合题意； C选项：是双曲线，且在第一、三象限，故C选项符合题意； D选项：是双曲线，但是在第二、四象限，故D选项不符合题意． 故选：C． 【题型2 已知反比例函数的图象判断其解析式】 例题：（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，且，即可作答． 【详解】解：∵， 结合图象，得， 故选：A 【变式训练】 1．（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】本题考查了反比例函数的图象，了解反比例函数的图象与系数的关系是解答本题的关键． 根据函数的图象的形状和所处的位置判断即可． 【详解】解：函数的图象为双曲线，所以为反比例函数的图象， ∵图象位于第二、四象限， ∴对应的函数的解析式可能是． 故选：C． 2．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）如图所示，该函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】本题考查了反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键，由图象可知，反比例函数，然后对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由图象可知，反比例函数， A中不是反比例函数，故不符合要求； B中是反比例函数，但不经过第二、第四象限，故不符合要求； C中是反比例函数，经过第二、第四象限，故符合要求； D中不是反比例函数，故不符合要求； 故选：C． 3．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图所示，其函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查的是反比例函数的图象，根据反比例函数的图象进行解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∴， ∴可能是． 故选：B． 【题型3 判断反比例函数所在象限】 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）反比例函数的图像在第 象限，经过点（， ）． 【答案】 二、四 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，，当时，图像在一、三象限，当时，图像在二、四象限，正确掌握该性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴其图像在二，四象限． 将代入得，， ∴经过点． 故答案为：二、四；． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）反比例函数①、②、③、④的图像，在第一、三象限的是 ，在第二、四象限的是 ． 【答案】 ①④ ②③ 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键；由反比例函数的性质可知：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，，然后问题可求解． 【详解】解：①，图像在第一、三象限； ②，图像在第二、四象限； ③，图像在第二、四象限； ④，，，图像在第一、三象限． 答案是∶ ①④；②③． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）反比例函数①、②、③、④的图象中，在第一、三象限的是 ，在第二、四象限的是 ； 【答案】 ①②④ ③ 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，对于反比例函数来说，当时，反比例函数图象分别位于第一、三象限，当时，反比例函数图象分别位于第二、四象限．据此进行判断即可． 【详解】解：反比例函数①、②、③即、④的图象中， ∵， ∴在第一、三象限的是①②④，在第二、四象限的是③； 故答案为：①②④，③ 3．（2025·广东清远·一模）关于的方程无解，则反比例函数的图象在第 象限． 【答案】一、三 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质．根据一元二次方程根的判别式，求得，再判断反比例函数图象所在象限即可． 【详解】解：∵关于的方程无解， ， 解得：， ∴反比例函数图象在第一，三象限， 故答案为：一，三． 【题型4 判断反比例函数的增减性】 例题：（2025·湖北武汉·模拟预测）函数中，在每个象限内，y随x的增大而 ． 【答案】增大 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键在于熟知对于反比例函数，当时，图象在每一象限内，y随x增大而减小，当时，图象在每一象限内，y随x增大而增大．据此即可求解． 【详解】解：∵函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 故答案为：增大． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）根据反比例函数表达式，当时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查判断反比例函数的增减性，根据时，在每一个象限，y随x的增大而减小，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴双曲线过一，三象限，在每一个象限，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小； 故答案为：减小． 2．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）下列函数：①；②；③；④；⑤．随的增大而减小的是 （填序号）． 【答案】①④ 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断一次函数的增减性 【分析】本题综合考查一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），分别根据一次函数的性质、反比例函数及二次函数的性质对各小题进行逐一解答即可． 【详解】解：①，是一次函数，，故y随着x增大而减小，故符合题意； ②，是正比例函数，，故y随着x增大而增大，故不符合题意； ③即，是反比例函数，，在一、三象限内，y随x的增大而减小，故不符合题意； ④是反比例函数，，在第三象限内，y随x的增大而减小，故符合题意； ⑤，是反比例函数，，在二、四象限内，y随x的增大而增大，故不符合题意． 故答案为：①④． 3．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）已知反比例函数 ，下列结论∶①图象必经过；②图象在一、二象限内；③y随的增大而增大；④当 时，则 ，其中错误的结论有 ．(填序号) 【答案】②③④ 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可得答案． 【详解】解：①当时，，即图象必经过点，正确； ②，图象在第二、四象限内，错误； ③，每一象限内，y随x的增大而增大，错误； ④，每一象限内，y随x的增大而增大，当时，；当时，；当时，函数无意义，错误， 故答案为：②③④． 【题型5 已知反比例函数分布的象限求参数范围】 例题：（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m= ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质根据反比例函数的定义和图像经过的象限确定即可确定m的值． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴，即， ∵函数图像经过第二、四象限， ∴，即， ∴． 故答案为． 【变式训练】 1．（2024九年级下·云南·学业考试）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则实数的值可能为 （写出一个即可）． 【答案】6（满足即可） 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，；当时，图象在二、四象限． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴， ∴符合题意的k的值可以为6， 故答案为：6（满足即可）． 2．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数：当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：. 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了函数图象与系数的关系，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键． （1）由反比例函数图象和性质尽快求出k的取值范围； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征求出k的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限， ∴， 解得，； （2）∵点在该反比例函数的图象上， ∴， 解得，． 【题型6 已知反比例函数的增减性求参数】 例题：（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数图象在每个象限内的函数值y随自变量x的增大而减小，得出，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知点，为反比例函数图象上的两点，当时，，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【详解】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围． 【点睛】解：∵反比例函数的图象上两点，，当时，， ∴， 解得， 故答案为：． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】根据，且，得到，解答即可． 本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据，且， ∴即， 解得， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）已知反比例函数． (1)若该函数经过，求k的值； (2)若该函数图象的每一支上，y都随x的增大而减小，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用待定系数法求解； （2）构建不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，把代入解析式， 得，， 解得，； （2）解：函数图象的每一支，y随x的增大而减小， ， 解得，． 【题型7 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 例题：（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了正比例函数图像，反比例函数图像的性质等知识．熟练掌握正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称是解题的关键． 根据正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称作答即可． 【详解】解：∵正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称， ∴这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点H，若的面积为5，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】此题主要考查反比例函数的图像和性质，直接根据反比例函数的对称性和k的几何意义即可求解. 【详解】解：根据反比例函数的对称性可知， ∵是面积为5， ∴的面积是2.5， ∴， ∵双曲线位于二、四象限， ∴k＝． 故答案为：. 【题型8 比较反比例函数值或自变量的大小】 例题：（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）已知点、、在反比例函数的图象上，并且，则、、的大小关系为 （用<号表示） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟悉掌握反比例函数的增减性是解题关键． 在反比例函数中，，根据反比例函数的增减性即可确定． 【详解】∵在反比例函数中，， ∴在每一个象限内，随着增大而增大， ∵， ∴、两点在第二象限，在第三象限， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·天津滨海新·模拟预测）若图象上有三个点，则大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大， ∵点在反比例函数图象上，且， ∴； 故选C． 2．（24-25九年级上·北京·阶段练习）反比例函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象所在象限以及增减性判断即可． 【详解】解：由题意，反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵反比例函数的图象经过点，，，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）已知点，，在函数的图象上，比较，，大小 （用“”连接）． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征．函数图像上点坐标都满足该函数解析式．把点的坐标分别代入函数解析式，代入函数解析式，求得、、的值，然后比较它们的大小即可． 【详解】解：点，，在函数的图象上， ，， 故答案为：． 【题型9 已知比例系数求特殊图形的面积】 例题：（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，的面积．本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，该知识点是中考的重要考点． 【详解】解：∵是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为， ∴面积， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知点、分别在反比例函数与图象上，且，若，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，反比例函数的几何意义，勾股定理，一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的几何意义是解本题的关键． 过作轴，过作轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，证明，利用反比例函数的几何意义求出与面积，进而得到面积之比，利用面积比等于相似比的平方确定出相似比，即为与之比，设出，，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出与的长，即可求出三角形的面积． 【详解】解：过作轴于，过作轴于， ，， ， ， ， 点，分别分别在反比例函数与图象上， ，，即， ， 在中，设，则，， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ，， 则． 故答案为：． 2．（2024·湖北·模拟预测）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 【答案】1 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键．延长交轴于点，连接、，根据反比例函数中的几何意义得到，，从而推出，最后利用和同底等高即可得到答案． 【详解】解：延长交轴于点，连接、，如图 点在双曲线上，点在双曲线上，且轴 ， 和同底等高 故答案为：1． 3．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，是轴上的一个动点，则的面积为 ． 【答案】6 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查已知反比例函数的值求面积，连接，得到的面积等于的面积，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵是反比例函数的图象上一点，， ∴轴，， ∵是轴上的一个动点， ∴； 故答案为：6． 【题型10 根据图形面积求比例系数（解析式）】 例题：（2025·河南·模拟预测）如图，已知A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，连接并延长交反比例函数图象于点C，连接，若，则k的值为 ． 【答案】6 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，利用A，C关于原点对称求解是解决问题的关键．先由对称性质可得，得出，即，求得，再根据反比函数图象在第一、三象限求解即可． 【详解】解：根据反比例函数图象的对称性可得，点A，C关于原点对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比函数图象在第一、三象限， ∴， 故答案为：6． 【变式训练】 1．（2025·安徽合肥·三模）如图，反比例函数的图像经过的顶点轴，点在轴上，若点的坐标为，则实数的值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数的性质解题的关键． 设点，根据题意可得的值，即可求点坐标，代入解析式可求解． 【详解】解：∵轴，点的坐标为， 设点， ∵， 解得：， ∴， ． 故答案为： ． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，点，在轴上，点在轴上，点在反比例函数（，）的图象上，若的面积为3，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，待定系数法求函数解析式．设，则，，根据，得到，进而根据待定系数法即可求解． 【详解】解：设， ∴在中，，即轴， ∴，， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为： 3．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，已知矩形的面积为16，轴，是轴上的两个点，点分别在反比例函数，的图象上，则的值为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，根据题意，数形结合得到，解一元一次方程即可得到答案．熟记反比例函数的几何意义是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 点分别在反比例函数，的图象上， 由反比例函数的几何意义可知，，， 矩形的面积为16， ，解得， 故答案为：． 【题型11 判断反比例函数的图象和性质】 例题：（24-25九年级上·广东河源·期末）关于反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点 C．图象是一条直线 D．的值随的值增大而减小 【答案】B 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数解析式得到反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限随的增大而增大， ∴只有B选项符合题意， 故选：B ． 【变式训练】 1．（2025·湖南娄底·一模）关于反比例函数 ，下列说法错误的是（   ） A．图像经过点 B．图像位于第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解并掌握反比例函数的图像及性质是解题关键．根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：对于反比例函数，当时，可有， 即图像经过点， 因为，所以图该函数像位于第一、三象限，当时，y随x的增大而减小， 当时，， 故选项A、B、D正确，不符合题意，选项C错误，符合题意． 故选：C． 2．（2025·山西忻州·一模）已知反比例函数的图象经过点，则下列描述正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．y的值随x的值增大而增大 C．当时， D．点在该图象上 【答案】D 【知识点】求反比例函数解析式、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质， 先求出关系式，再根据反比例函数图象的性质逐个分析即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为. 所以反比例函数的图象位于第一，三象限；在每一个象限内，函数值y随着x的增大而减小；当时，；当时，，可知点在反比例函数的图象上， 所以正确的是D， 故选：D. 3．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）已知反比例函数，则下列结论不正确的是（   ） A．反比例函数的图象分别位于第二、四象限 B．图象关于原点成中心对称 C．若、为函数图象上两点，且则 D．图象关于直线成轴对称 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵反比例函数， ∴反比例函数的图象分别位于第二、四象限，原选项正确，不符合题意； 、图象关于原点成中心对称，原选项正确，不符合题意； 、若、为函数图象上两点，当，则，当，则；当，则，原选项不正确，符合题意； 、图象关于直线成轴对称，原选项正确，不符合题意； 故选：． 【题型12 反比例函数的图象和性质综合】 例题：（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，即可求解； （2）当时，y随x的值增大而减小，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， ∴a的取值范围是：； （2）解：∵当时，y随x的值增大而减小， ， 解得：， ∴a的取值范围是：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知函数． (1)当为何值时，此函数为正比例函数，且随的增大而增大？ (2)当为何值时，此函数为反比例函数，且图象经过第一、三象限？ 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、根据反比例函数的定义求参数、正比例函数的性质、正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了正比例和反比例函数的定义以及性质求解即可． （1）根据正比例函数的定义以及性质求解即可． （2）根据反比例函数的定义以及性质求解即可． 【详解】（1）解：当函数为正比例函数时， 则， 解得：， ∵随的增大而增大． ∴， ∴， ∴． （2）当函数为反比例函数时， 则， 解得：， ∵图象经过第一、三象限 ∴， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）（1）画出函数的图象． ①列表： x … … y … … ②描点并连线． （2）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）上升；变大 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断（画）反比例函数图象 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，画反比例函数图象，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． （1）先列表，然后描点，最后连线即可得出反比例函数图象； （2）根据反比例函数的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）列表： x … … y … 1 2 3 6 … 函数图象如答图： （2）从图象可以看出，曲线从左向右上升，当x由小变大时随之变大． 故答案为：上升；变大． 3．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）【综合与探究】 【研究背景】在学习一次函数、二次函数及反比例函数的图象与性质过程中，同学们学会了探究函数图象与性质的路径和方法．数学兴趣小组的同学运用学习过的知识，类比反比例函数图象与性质的研究路径，对函数的图象与性质进行探究． 【探究过程】 （1）确定函数自变量的取值范围； （2）绘制函数图象： ①列表：列出x与y的几组对应值； x … 0 1 2 … y … 3 2 m … ②描点：根据表中的数值在坐标系中描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点得到函数图象． （3）结合图象探究函数的性质． 【请完成以下任务】 (1)函数自变量x的取值范围是________； (2)表格中m的值是________； (3)把函数图象补充完整； (4)观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）； (5)若一次函数与函数相交于点，结合函数图象求出使不等式成立的x的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3)见解析 (4)减小 (5)或 【知识点】求自变量的取值范围、从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，不等式的解集，正确地画出函数的图象是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件即可得到结论， （2）把代入解方程得到即可； （3）根据题意画出函数的图象即可； （4）根据反比例函数的性质即可得到结论； （4）根据一次函数和反比例函数的交点即可得到结论． 【详解】（1）解：函数自变量x的取值范围是， 故答案为：； （2）解：把代入得， 故答案为：1； （3）解：把函数图象补充完整如图所示； （4）解：观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值y随x的增大而减小， 故答案为：减小； （5）解：一次函数过点，则， 由得：， ， 由图象得，不等式成立的x的取值范围为或 ， 故答案为：或． 一、单选题 1．（24-25九年级下·重庆·期中）反比例函数图像一定经过的点是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据每个选项中x的值求出y的值，与点的坐标比较即可作出判断． 【详解】解：A、当时，，所以点在反比例函数的图象上，故此选项符合题意； B、当时，，所以点不在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； C、当时，，所以点不在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； D、当时，，所以点不在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（2025·广东茂名·模拟预测）如果反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，那么的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】根据反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，得到，解答即可． 本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限， ∴， 故选：A． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）反比例函数的图象，随增大而减小，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，图象位于第一、三象限内，当时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，在每一象限内，y随x的增大而减小是解题的关键．根据反比例函数的图象与性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴， 解得：． 故选：A． 4．（2025·山西长治·三模）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象在第一、三象限 B．图象与轴有一个交点 C．当时，随的增大而减小 D．如果点和点均在该函数的图象上，那么 【答案】D 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查了反比例函数图像的性质.根据反比例函数解析式为，，即可得到反比例函数图像经过二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，由此即可判断． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴图象与轴无交点，故B选项不符合题意； ∴反比例函数图像经过二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，故A选项不符合题意； ∴当时，y随x的增大而增大，故C选项不符合题意； ∴如果点和点均在该函数的图象上，那么， 故选：D． 5．（2025·湖南永州·模拟预测）反比例函数的图象上的两点分别是，其中，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数图象位于一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小， ∵， ∴， ∴在第一象限， ∴， 故选：A． 二、填空题 6．（22-23九年级上·福建漳州·期末）已知反比例函数的图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，则实数的值可以是 （只需写出一个符合条件的实数）． 【答案】（答案不唯一，即可） 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟知时，反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小是解题关键． 根据反比例函数的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∴k的值可以是（答案不唯一，只要即可）； 故答案为：（答案不唯一，只要即可）． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）反比例函数的图象上有两点，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解不等式，由反比例函数的性质，时，在每个象限内，y随x的增大而减小，得，然后解不等式即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）对于函数，当时，y的取值范围是 ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】 或 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、由反比例函数值求自变量 【分析】题目主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性质求解是解题关键． 先求出当时的函数值，然后结合反比例函数的性质在第一象限内y随x的增大而减小，即可确定当时，y的取值范围；然后继续利用反比例函数的性质即可得出当时x的取值范围． 【详解】解：当时，， ∵中， 在第一象限与第三象限内y随x的增大而减小， 当时，y的取值范围为：； 当时，，解得， ∵中， ∴在第一象限与第三象限每一象限内y随x的增大而减小，在第三象限内，， ∴当时，x的取值范围是：或； 故答案为：；或 9．（2025·福建龙岩·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，连接，则的面积为 ． 【答案】1 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．由于正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，则点与点关于原点对称，所以，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，所以的面积为1． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点， 点与点关于原点对称， ， 轴于点， 的面积． 故答案为：1． 10．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，轴，垂足为，，分别交双曲线于点，，若，的面积为，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例系数的几何意义，反比例函数的图象与性质；过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．设，根据题意则，根据系数的几何意义，，面积为，即可得到，即可得到，解得． 【详解】解：设， 轴，垂足为，， ， 点，在双曲线上， ， ， 的面积为，面积为， ， 解得， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图像： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题主要考查了画反比例函数图像，熟知画反比例函数图象的方法是解题的关键． （1）先列表，再描点，最后连线画出函数图像即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出函数图像即可． 【详解】（1）解：列表如下： … 1 3 … … 3 1 … 画函数图象如下： （2）解：列表如下： … 1 3 … … 1 3 … 画函数图象如下： 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）根据反比例函数表达式，想象它的图像具有的特征，并回答下列问题： (1)所取值的符号有什么关系？这个函数的图像会在哪几个象限？ (2)这个函数的图像与轴，轴有交点吗？为什么？ (3)当时，随着的增大，怎样变化？当时，随着的增大，怎样变化？ 【答案】(1)相反，第二，四象限 (2)这个函数的图像与轴，轴都没有交点，理由见解析 (3)增大，增大 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性 【分析】本题主要考查了反比例函数图像的性质，反比例函数的增减性，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键。 （1）根据题意可得，可得x、y异号，即所取值的符号相反，则这个函数的图像会在第二，四象限； （2）根据得到，据此可得结论； （3）根据比例系数小于0即可得到增减性，据此可得答案。 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴x、y异号，即所取值的符号相反， ∴这个函数的图像会在第二，四象限； （2）解：这个函数的图像与轴，轴都没有交点，理由如下： ∵， ∴， ∴这个函数的图像与轴，轴都没有交点； （3）解：∵反比例函数解析式为，， ∴在每个象限内，y随x增大而增大， ∴当时，随着的增大，也增大，当时，随着的增大，也增大． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并根据图象回答：反比例函数的图象有____________个分支，当时，对应的图象在____________象限；当时，对应的图象在____________象限． 【答案】图见解析；两，第四，第二 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性、判断（画）反比例函数图象 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象的画法．根据函数图象的画法，作图即可，再根据图象的性质回答问题． 【详解】解：列表得， 1 2 3 1 3 描点，连线，反比例函数的图象如图， 由图象得：反比例函数的图象有两个分支， 当时，对应的图象在第四象限； 当时，对应的图象在第二象限． 故答案为：两，第四，第二． 14．（24-25八年级下·河南新乡·期中）已知反比例函数，为常数，． (1)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，试判断点，是否在这个函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在这个函数图象上，不在这个函数图象上，理由见解析 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、求反比例函数值 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，得到，进行求解即可； （2）根据反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，进行判断即可． 【详解】（1）解：在函数的每一支上，随的增大而增大， ， ． （2）点在这个函数图象上，不在这个函数图象上， 理由：， ． 这个函数的表达式为， ∵， 点在这个函数图象上， 当时，， 点不在这个函数图象上． 15．（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求的取值范围； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值，的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】判断反比例函数的增减性、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键． （1）由反比例函数的性质可得，求解即可； （2）由反比例函数的图象可得当时，y随x的增大而增大，结合即可得解． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴． ∴． （2）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵， ∴． 16．（2025·广东深圳·一模）已知反比例函数在其图象所在的各象限内，随的增大而减小． (1)求的最小整数值． (2)判断直线与该反比例函数图象是否有交点，并说明理由． 【答案】(1)的最小整数值为0 (2)有交点，理由见解析 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，以及正比例函数的图象与性质． （1）根据反比例函数的增减性质可知，解不等式即可； （2）根据反比例函数图象和正比例函数图象经过的象限进行判定即可． 【详解】（1）解：∵由题意，得 ∴ ∴的最小整数值为0 （2）解：有交点，理由如下： 由题意得，反比例函数的图象在第一、三象限； ∵， ∴直线经过第一、三象限， ∴直线与该反比例函数图象有交点 17．（2025·贵州毕节·一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 【答案】(1)8 (2)或 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】（1）先根据反比例函数k的几何意义，求出k，再反比例函数的图象位置确定k的值； （2）先写出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，然后分“点在第一象限”、“点在第三象限”两种情况，分别求出当时的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8， ∴， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ； （2）， ∴反比例函数的表达式是， ∵点在该反比例函数的图象上， ， ， 点在第一象限． 分情况讨论： ①当点在第一象限时， 随的增大而减小， 当时，； ②当点在第三象限时，， ，符合题意，此时． 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），已知反比例函数的增减性求参数，解题关键是理解反比例函数k的几何意义． 18．（2025·山东·模拟预测）学习函数时，我们经历了列表、描点、连线、画出函数图象、观察分析图象特征、概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： x … 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象． (2)观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______． (3)深度思考：函数的图象可由函数的图象向____平移____个单位长度得到，想象平移后得到的函数的图象，直接写出当时，x的取值范围是____ 【答案】(1)见解析 (2)①增大；② (3)上；2个；或 【知识点】用描点法画函数图象、判断反比例函数的增减性、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查函数图象及性质，图象的平移； （1）利用描点法画出函数图象即可； （2）通过观察图象即可求解； （3）根据函数图象平移规则“上加下减”解决问题即可． 【详解】（1）解：在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象，如图所示， （2）解：观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而增大； 故答案为：增大； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 故答案为：； （3）解：函数的图象可由函数的图象向上平移个单位长度得到， ∵当时，， ∴当时，x的取值范围是或． 故答案为：上；2个；或． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26 反比例函数的图象和性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：12大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 反比例函数的图象与性质 1、图象：由两条曲线组成（双曲线） 2、性质： 函数 图象 所在象限 增减性 第1、 三象限 在同一象限内，随的增大而减小 第2、 四象限 在同一象限内，随的增大而增大 越大，函数图象越远离坐标原点 知识点02 反比例函数比例系数k的几何意义 如图，在反比例函数上任取一点，过这一点分别作轴，轴 的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积 【题型1 判断(画)反比例函数图象】 例题：（2025八年级下·浙江·专题练习）函数的图象大致是（ ） A．B．C．D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）函数在平面直角坐标系中的图形可能是（   ） A．B．C． D． 2．（24-25九年级下·广东汕尾·阶段练习）反比例函数的图象大致是（    ） A．  B．  C．   D．   3．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）反比例函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【题型2 已知反比例函数的图象判断其解析式】 例题：（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 【变式训练】 1．（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）如图所示，该函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图所示，其函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【题型3 判断反比例函数所在象限】 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）反比例函数的图像在第 象限，经过点（， ）． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）反比例函数①、②、③、④的图像，在第一、三象限的是 ，在第二、四象限的是 ． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）反比例函数①、②、③、④的图象中，在第一、三象限的是 ，在第二、四象限的是 ； 3．（2025·广东清远·一模）关于的方程无解，则反比例函数的图象在第 象限． 【题型4 判断反比例函数的增减性】 例题：（2025·湖北武汉·模拟预测）函数中，在每个象限内，y随x的增大而 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）根据反比例函数表达式，当时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）． 2．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）下列函数：①；②；③；④；⑤．随的增大而减小的是 （填序号）． 3．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）已知反比例函数 ，下列结论∶①图象必经过；②图象在一、二象限内；③y随的增大而增大；④当 时，则 ，其中错误的结论有 ．(填序号) 【题型5 已知反比例函数分布的象限求参数范围】 例题：（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m= ． 【变式训练】 1．（2024九年级下·云南·学业考试）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则实数的值可能为 （写出一个即可）． 2．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上，求的值． 【题型6 已知反比例函数的增减性求参数】 例题：（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知点，为反比例函数图象上的两点，当时，，则的取值范围为 ． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）已知反比例函数． (1)若该函数经过，求k的值； (2)若该函数图象的每一支上，y都随x的增大而减小，求k的取值范围． 【题型7 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 例题：（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 【变式训练】 1．（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 2．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点H，若的面积为5，则k的值为 ． 【题型8 比较反比例函数值或自变量的大小】 例题：（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）已知点、、在反比例函数的图象上，并且，则、、的大小关系为 （用<号表示） 【变式训练】 1．（2025·天津滨海新·模拟预测）若图象上有三个点，则大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京·阶段练习）反比例函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为 ． 3．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）已知点，，在函数的图象上，比较，，大小 （用“”连接）． 【题型9 已知比例系数求特殊图形的面积】 例题：（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，则的面积为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知点、分别在反比例函数与图象上，且，若，则的面积为 ． 2．（2024·湖北·模拟预测）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 3．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，是轴上的一个动点，则的面积为 ． 【题型10 根据图形面积求比例系数（解析式）】 例题：（2025·河南·模拟预测）如图，已知A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，连接并延长交反比例函数图象于点C，连接，若，则k的值为 ． 【变式训练】 1．（2025·安徽合肥·三模）如图，反比例函数的图像经过的顶点轴，点在轴上，若点的坐标为，则实数的值为 ． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，点，在轴上，点在轴上，点在反比例函数（，）的图象上，若的面积为3，则的值为 ． 3．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，已知矩形的面积为16，轴，是轴上的两个点，点分别在反比例函数，的图象上，则的值为 ． 【题型11 判断反比例函数的图象和性质】 例题：（24-25九年级上·广东河源·期末）关于反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点 C．图象是一条直线 D．的值随的值增大而减小 【变式训练】 1．（2025·湖南娄底·一模）关于反比例函数 ，下列说法错误的是（   ） A．图像经过点 B．图像位于第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 2．（2025·山西忻州·一模）已知反比例函数的图象经过点，则下列描述正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．y的值随x的值增大而增大 C．当时， D．点在该图象上 3．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）已知反比例函数，则下列结论不正确的是（   ） A．反比例函数的图象分别位于第二、四象限 B．图象关于原点成中心对称 C．若、为函数图象上两点，且则 D．图象关于直线成轴对称 【题型12 反比例函数的图象和性质综合】 例题：（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知函数． (1)当为何值时，此函数为正比例函数，且随的增大而增大？ (2)当为何值时，此函数为反比例函数，且图象经过第一、三象限？ 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）（1）画出函数的图象． ①列表： x … … y … … ②描点并连线． （2）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 3．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）【综合与探究】 【研究背景】在学习一次函数、二次函数及反比例函数的图象与性质过程中，同学们学会了探究函数图象与性质的路径和方法．数学兴趣小组的同学运用学习过的知识，类比反比例函数图象与性质的研究路径，对函数的图象与性质进行探究． 【探究过程】 （1）确定函数自变量的取值范围； （2）绘制函数图象： ①列表：列出x与y的几组对应值； x … 0 1 2 … y … 3 2 m … ②描点：根据表中的数值在坐标系中描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点得到函数图象． （3）结合图象探究函数的性质． 【请完成以下任务】 (1)函数自变量x的取值范围是________； (2)表格中m的值是________； (3)把函数图象补充完整； (4)观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）； (5)若一次函数与函数相交于点，结合函数图象求出使不等式成立的x的取值范围． 一、单选题 1．（24-25九年级下·重庆·期中）反比例函数图像一定经过的点是（    ）． A． B． C． D． 2．（2025·广东茂名·模拟预测）如果反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，那么的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）反比例函数的图象，随增大而减小，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山西长治·三模）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象在第一、三象限 B．图象与轴有一个交点 C．当时，随的增大而减小 D．如果点和点均在该函数的图象上，那么 5．（2025·湖南永州·模拟预测）反比例函数的图象上的两点分别是，其中，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法判断 二、填空题 6．（22-23九年级上·福建漳州·期末）已知反比例函数的图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，则实数的值可以是 （只需写出一个符合条件的实数）． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）反比例函数的图象上有两点，且，则的取值范围是 ． 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）对于函数，当时，y的取值范围是 ；当时，x的取值范围是 ． 9．（2025·福建龙岩·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，连接，则的面积为 ． 10．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，轴，垂足为，，分别交双曲线于点，，若，的面积为，则的值为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图像： (1)； (2)． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）根据反比例函数表达式，想象它的图像具有的特征，并回答下列问题： (1)所取值的符号有什么关系？这个函数的图像会在哪几个象限？ (2)这个函数的图像与轴，轴有交点吗？为什么？ (3)当时，随着的增大，怎样变化？当时，随着的增大，怎样变化？ 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并根据图象回答：反比例函数的图象有____________个分支，当时，对应的图象在____________象限；当时，对应的图象在____________象限． 14．（24-25八年级下·河南新乡·期中）已知反比例函数，为常数，． (1)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，试判断点，是否在这个函数图象上，并说明理由． 15．（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求的取值范围； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值，的大小． 16．（2025·广东深圳·一模）已知反比例函数在其图象所在的各象限内，随的增大而减小． (1)求的最小整数值． (2)判断直线与该反比例函数图象是否有交点，并说明理由． 17．（2025·贵州毕节·一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 18．（2025·山东·模拟预测）学习函数时，我们经历了列表、描点、连线、画出函数图象、观察分析图象特征、概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： x … 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象． (2)观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______． (3)深度思考：函数的图象可由函数的图象向____平移____个单位长度得到，想象平移后得到的函数的图象，直接写出当时，x的取值范围是____ 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$