专题23 相似三角形的应用（3知识点+9大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题23 相似三角形的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 相似三角形的应用涉及的知识 1.相似三角形的判定：包括两角分别相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例的两个三角形相似。这些判定方法是应用的基础，用于判断实际问题中的三角形是否相似。 2.相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例，且周长比、对应线段比等于相似比，面积比等于相似比的平方。这些性质可用于计算长度、高度、面积等实际问题。 3.实际应用场景：在测量高度（如测量树高、建筑物高度）、计算距离（如河宽测量） 、工程设计和图形缩放等场景中，通过构建相似三角形模型，利用其性质解决实际问题。 【题型1 利用三角形相似求建筑物高问题】 例题：（2024·陕西渭南·一模）如图，一广场上的灯柱的高为，是该广场上的一座建筑，小强站在F处发现自己的眼睛E、灯柱的顶端C和建筑的顶端A恰好在一条直线上，已知小强的眼睛到地面的高度，小强到灯柱的距离，灯柱到该建筑底端的距离，且F，D、B在同一水平线上，，，，请你帮助小强求出该广场上的建筑的高度． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质与判定，过点E作分别交于H、G，则四边形，四边形都是矩形，据此求出的长度，再证明，得到，代值计算出的长度即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作分别交于H、G，则四边形，四边形都是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴该广场上的建筑的高度为． 【变式训练】 1．（2025·陕西榆林·二模）中国大地原点，亦称大地基准点，位于陕西省境内，其主体建筑为观测塔楼．一个阳光明媚的下午，张旭同学参观完观测塔楼后，想运用所学知识测量该塔楼的高度，如图为他的测量示意图，在地面上的点处放置一个平面镜（大小不计），张旭站在地面上的点处，眼睛位于点处时，恰好在平面镜中看到塔楼顶端的像，然后在地面上竖立一根木棍，发现同一时刻，木棍的影子顶端和塔楼的影子顶端重合于地面上的点处，经测量，米，米，米，米，米，已知、、、、在同一水平直线上，，，，图中所有的点都在同一平面内，请你计算该塔楼的高度． 【答案】该塔楼的高度为27米 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角的判定方法及其性质的运用是关键． 根据题意可证，得， 即，再证，  且，得，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意可得， ，， ， ， ， 即， ， ，， ， ， ，  且， ，即， ， ， 解得米，即该塔楼的高度为27米． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）响铃塔位于陕西省榆林市境内，作为全国重点文物保护单位，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．某校项目式学习小组开展了测量响铃塔高度的项目活动，共拟定了如下表所示的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 测量员在地面上的点处测得塔顶的仰角的度数，在地面上竖立一根标杆，发现地面上的点、标杆顶端和塔顶在一条直线上，、，点、、、在一条直线上，图中所有的点都在同一平面内 测量员在地面上的点处测得塔顶A的仰角的度数，在地面上的点处放置一面平面镜（大小不计），测量员站在地面上的点处，眼睛位于点处时恰好在平面镜内看到塔顶的像，、，点在一条直线上，图中所有的点都在同一平面内 测量结果 ，，， ，，， 请你选择上述两种方案中的一种，计算响铃塔的高度． 你选择的是方案_____． 【答案】见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质； 方案①：根据，得到为等腰直角三角形，从而得到，结合证明即可得到答案；方案②：根据，得到为等腰直角三角形，从而得到，结合得到即可得到答案； 【详解】解：方案① ，， 为等腰直角三角形， ， ， ∴， ， ， ，即， 解得，即响铃塔的高度为； 方案② ，， 为等腰直角三角形， ， 又， ， ， ， ，即， 解得，即响铃塔的高度为． 3．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）清虚阁，位于山西省晋中市榆次老城中，俗称南阁，建成于明代成化五年（1469），是榆次区境内仅见的，也是晋中地区稀有的古代阁楼式建筑杰作，如图，某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测量清虚阁的高度． 步骤一：在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且清虚阁，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A，F，D三点成一线； 步骤二：从标杆后退到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也成一线． 请你根据以上数据，计算清虚阁的高度． 【答案】清虚阁的高度为米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键. 根据垂直的定义得到 ，根据相似三角形的性质得到，得到，求得，于是得到结论． 【详解】解： ， ， ， ， ，即 ， ， 解得， ， 解得， 答：清虚阁的高度为米． 【题型2 利用三角形相似求影长问题】 例题：（2025·贵州·一模）如图，小星利用自己的身高想要测量水平操场上旗杆的高度，请帮助小星按下列任务设计一种测量方案： 任务一：你选取的工具是___________（可选工具：小镜子、标杆、皮尺）； 任务二：请在图中画出方案示意图； 任务三：结合你画的示意图，从以下测量数据中选取合适的数据，求出旗杆的高度（结果保留整数）． 测量数据：①小星与旗杆的距离为，②小星到镜子的距离为，③镜子到旗杆的距离为，④同一时刻，小星的影长为，旗杆的影长为，⑤小星的身高为（眼睛到头顶的距离忽略不计），⑥标杆长，⑦小星与标杆的距离为． 【答案】任务一：①皮尺；②小镜子、皮尺；③标杆、皮尺．（答案不唯一）；任务二：示意图1或图2或图3均可．（答案不唯一）；任务三：（答案不唯一），如选取数据①，⑤，⑥，⑦．学校旗杆的高度约为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 任务一：根据测量需要选择即可； 任务二：根据题意画图即可； 任务三：选取数据①，⑤，⑥，⑦．证明，利用相似三角形的性质求出，进而可求出旗杆的高度． 【详解】解：任务一：①皮尺；②小镜子、皮尺；③标杆、皮尺．（答案不唯一） 任务二：示意图1或图2或图3均可．（答案不唯一） 任务三：（答案不唯一） 如图3，选取数据①，⑤，⑥，⑦． 得， ， ． ， ， ， ． ， ． 答：学校旗杆的高度约为． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，某数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长为，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一教学楼，影子不一定落在地面上，有一部分落在墙上，测得落在地面上的影长为，留在墙上的影高为，，，点，，，在同一平面内，求旗杆的高度． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，过C作于E，首先证明四边形为矩形，可得，，根据题意得到，求出的长，即可求出旗杆的高度． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 四边形为矩形， ，， 根据题意可得，即， 解得， ． 答：旗杆的高度为． 2．（2025·广东广州·一模）数学活动课上，老师让同学们借助太阳光线，分组测量塔高度，并给出测量设计方案．测量工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺．请根据以下信息解决问题：选择其中一个小组方案，求出塔高；若认为两个方案均不可行，则说明理由． 小天组：采用在同一时刻棍影和塔影一端在同一点重合的分次测量方式．如图1，第一次测量某一时刻木棍与塔影一端重合在点，测得棍影为1米；第二次测量另一时刻棍影与塔影一端重合在点，测得米，木棍移动距离米． 小河组：采用固定木棍分次测量方式．如图2所示，第一次测量在某一时刻，标记塔影的位置并测量出棍影长为1.5米．第二次测量在某一时刻，标记塔影的位置并测量出棍影长为2米，两次塔影顶端的距离为12.4米． （注：图中箭头表示太阳光线，同一时刻太阳光可视为平行光） 【答案】两种方案都能得到合理结果，塔高度约为25米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查利用相似三角形测高，小天组：证，可得，再证，可得，根据即可求解；小河组：小河组：由题意得，证明，，推出，求出，即可解答． 【详解】解：小天组：由题意得， ∴， ∴，， ∴，， ∵米，米，米， ∴米， ∴，， ∴， ∴，即， ∴米； 小河组：由题意得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米， ∵米， ∴， ∴米，与米非常接近，可视作测量或记录误差所致， 综上，两种方案都能得到合理结果，塔高度约为25米． 3．（24-25九年级上·山东济南·期中）小敏同学在学习了投影一章的知识后，想利用相关知识测量小区内一座假山的高度，于是他设计了这样的方案： 如图1，假山的顶端有一盏路灯E，小敏同学在假山的一侧垂直于地面树立一根高度为的标杆，移动标杆的位置，测量路灯下标杆投影的长度，以及标杆底段B到假山正下方点D的距离，利用三角形相似的相关知识便可以求出假山的高度． (1)若，，请用关于a，b的代数式表示假山的高度． (2)在实际操作中，小敏测得，但在测量的长度时，发现假山正下方的点D处根本无法直接到达，小敏稍加思索，便得出了改进方案，如图2所示，他将竖直标杆移动到C点处，测得此时标杆在路灯下的影长变为，根据这些数据便可以计算假山的高度，请你帮助小敏求出假山的高度． 【答案】(1)DE=m (2)假山的高度为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）先证，得，进而得，再代入，，即可得出结论； （2）先证，，得，再由得，，得关于x的方程，解方程得，即，再由（1）的结论得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即，即， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 设，则，， ∴， 解得，即， 由（1）得 ∴假山的高度为． 【题型3 利用三角形相似求河宽问题】 例题：（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，为一条宽为4米的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为3米（即米），因为施工需要，现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点P作为另一端的固定点，已知吊篮的截面为直径为1米的半圆（直径米），绳子米，钢架高度2.2米（米），距离防洪堤边缘为0.5米（米）． （1）西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为 米； （2）滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，则的长度应大于 米． 【答案】 5 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接，利用勾股定理求解即可； （2）延长交于点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O，根据等腰三角形的性质和勾股定理求得，从而求得吊篮的总长度为，根据题意可得点C到滑轨的距离不小于1.7，再利用可得，设，根据比例关系即可求出． 【详解】解：（1）如图所示，连接， 由题意可知， 则由勾股定理可得：， 故答案为：5； （2）如图所示，延长交与点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，设切点为J，延长交与点W． 则， ， ， ， 即， ∴， 则至少为米， ∵， ∴， ∴， 设，则，，，， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质，构造相似三角形和求出吊盒的总长度是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，为了估计河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点，在近岸取点，使与河岸垂直，在近岸取点，使，与交于点．已测得米，米，米，求河宽的长． 【答案】河宽长为36米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，得到是解题的关键． 证明，根据对应边成比例即可求解． 【详解】解： 河宽长为36米． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽． 【答案】河宽为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：过点A作于点M，交于点N，易证可得，由意义可得，代入可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点A作于点M，交于点N， ∵， ∴， ， ∴ ∵， ∴，解得：， ∴． 答：河宽为． 3．（24-25九年级上·广西百色·期中）某数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽．测量时，他们选择了河对岸的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E，C，A共线．已知：，，测得，，（测量示意图如图所示）．请根据相关测量信息，求河宽的长． 【答案】14米 【知识点】根据平行线判定与性质证明、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 由，，得，进而得出，所以，构建方程即可解决问题． 【详解】解： ，， ， ， ， 即， （米）． 答：河宽的长是14米． 【题型4 利用三角形相似求树高问题】 例题：（2025·河南平顶山·一模）樱花红陌上，杨柳绿池边．每年初春时节，郑州大学校区的樱花竞相开放，为美丽的郑大校园增添了别样的景致，钟灵毓秀的郑大人把樱花赋予美丽、热情、纯洁、高尚的精神品质．高新区某中学的数学兴趣小组利用周末时间对大路旁的一棵樱花树进行测量，他们采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，那么这棵樱花树的高度（的长）是多少米？ 【答案】米 【知识点】相似三角形实际应用、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握三角函数定义是关键．过点E作水平线交于点G，交于点H，求出米，证明，，即，解得米，即可得到答案． 【详解】解：过点E作水平线交于点G，交于点H，如图， ∵是水平线，， ∴米，米， 米， ∴（米）， 根据题意，得，， ∴， ∴，即，解得米， ∴（米）． 所以这棵樱花树的高度为米． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 【答案】树高为8米 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：和均为直角， ． , ． ，，， ． ． 答：树高为8米． 2．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时刻得高的标杆在地面的影长为． (1)点D到地面的距离为 米 (2)求电线杆的高（结果保留根号） (3)若是在坡底下C处的一棵大树，树尖刚好落在光线上，在山坡上有一建筑物高，求此时它落在坡面上的影长 （结果保留根号）． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】含30度角的直角三角形、相似三角形实际应用、平行投影 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用、直角三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）如图：延长交地面于M点，过D作垂直于的延长线于M，然后根据直角三角形的性质即可解答； （2）在求电线杆在地面的实际影长，然后根据影长与实物比即可求得电线杆的高度； （3）由题意得，然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图：延长交地面于M点，过D作垂直于的延长线于N， ∵， ∴． 故答案为：2． （2）解：由勾股定理得， ∵得高的标杆在地面的影长为， ∴， ∴的影长， ∴电线杆的高为． （3）解：由题意得∶，， ∴， ∴，即，解得：， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴，即，解得：． 【题型5 利用三角形相似求杠杆问题】 例题：（2025·江西·模拟预测）桔棉俗称“吊杆”（如图），是我国古代的农用工具，是一种利用杠杆原理工作的取水机械．桔棉示意图如图所示，是垂直于水平地面的支撑杆，是杠杆，，当点运动到点处时，物体运动到处．若，则，两点之间的距离为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 证明即可得解． 【详解】解：连接，， 由题意可知：，， ， 又， ， ， 又， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在杠杆的端点A处焊接一圆球，已知，则要使该圆球向上抬升（竖直高度），杠杆的另一端点B需要向下压的竖直距离是 ． 【答案】24 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线，构造相似三角形是解决问题的关键，首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度即可． 【详解】如图，过点作水平线,过点作于点,过点作于点, ,， , , , , ，， ， ， 故答案为：. 2．（24-25九年级上·辽宁·期末）我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以为支点，当端上放置重物时，端着地，端到地面的距离是；当工人用力按压端，直至点着地落到时，端的重物被送到处，此时重物到地面的距离为90，求支点到地面的距离． ． 【答案】支点P到地面的距离为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，正确运用相似三角形的性质是解题的关键． 证明，即可解决问题． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， 又， ， ， ， 根据题意得，， ， ， ， ， 解得． 答：支点P到地面的距离为． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以P为支点，当C端上放置重物时，C端着地，D端距离地面是；当工人用力按压D端，直至点D着地落到时，C端的重物被送到处，此时重物距离地面为，求支点P到地面的距离． 【答案】支点到地面的高度为为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据平行线的判断和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：依题意得： ，， ， ， ， 又，， ， ， 同理可证： ， ， ， 答：支点到地面的高度为为． 【题型6 利用三角形相似求镜面问题】 例题：（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在点处水平放置一平面镜，然后向后退，保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时小明的眼睛离地面的高度，同时量得小明与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离． (1)求证：； (2)求旗杆的高度． 【答案】(1)见解析 (2)9.6米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是： （1）根据，证明即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意，得，， ∴； （2）解：∵， ∴，即， 解得，经检验，符合题意， 答：旗杆的高度9.6米． 【变式训练】 1．（2024九年级上·全国·专题练习）检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米．如图①，现因房间两面墙的距离为3米，因此使用平面镜来解决房间小的问题．若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图②，由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表的上下边沿上发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为米，求镜长的长． 【答案】米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确做出辅助线构造相似三角形成为解答本题的关键． 如图：作，垂足为D，并延长交于E，然后证明，可得，最后将相关数据代入计算即可． 【详解】解：如图，作，垂足为点D，并延长交于点E． ， ， ， ． （米），米，米， ， ． 答：镜长的长为米． 2．（2024·陕西西安·三模）小安和大智想利用所学的几何知识测量一座古塔的高度，测量方案如下：如图，小安位于大智和古塔之间，直线上平放一平面镜，在镜面上做一个标记，记为点C，镜子不动，小安看着镜面上的标记来回走动，走到点D时，看到塔顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，此时测得小安眼睛与地面的高度米，米．同时，在阳光下，古塔的影子与大智的影子顶端H恰好重合，测得大智身高为1.8米，影长为3.6米，已知，米，A、H、G三点共线，且测量时所用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息，求出古塔的高度．    【答案】古塔的高度为96米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，准确判断出相似三角形，理解相似三角形的性质是解题关键．直接利用相似三角形的判定与性质得出，证明，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ， ， 米，米， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：米， 经检验，是上述分式方程的解且符合实际意义， 故米． 答：古塔的高度为96米． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期中）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长 (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键， （1）证明，得，代入数据求解，即可得解； （2）如图，作于点，延长线交于点，证明，得，代入数据求解，即可得解． 【详解】（1）解：由题意知， ， 又， ， ， 由题意知， ， 解得， 即小视力表中相应“”的高是． （2）解：如图，如图，作于点，延长线交于点， 由题意知，， ， ∴， ， ， ， ， ， 由题意知， ， ， ， ∴镜长至少为． 【题型7 利用三角形相似求古文问题】 例题：（2025·河北廊坊·二模）“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图所示的位置，令（单位：），（单位：），若，，，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，根据题意，则，又四边形是矩形，可得，，则，再根据，由此即可求解，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·天津河西·期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 【答案】树高为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据题意可知，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到的长． 【详解】解：， ， ， ， 代入，，，解得， ． 答：树高为． 2．（24-25九年级下·陕西榆林·阶段练习）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（如图1和图2中的折线）． 小明利用周末来到西岳庙进行社会实践活动，准备利用“矩”来测量西岳庙内古柏的高度． 测量过程：如图，小明通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（），并且边与点在同一直线上，、均与垂直． 测量结果：，，，，． 解决问题：求西岳庙内古柏的高度． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形（相似三角形实际应用），由题意发现是解题的关键． 延长交于点，易得四边形为矩形，于是可得，，，由，可证得，于是可得，即，进而可得，然后根据即可求出西岳庙内古柏的高度． 【详解】解：如图，延长交于点， 易得四边形为矩形， ，，， ，， ， ， 即：， ， ， 西岳庙内古柏的高度是． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）数学思考 (1)我国古代经典数学著作《孙子算经》有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”其大意如下：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳底下的影长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：丈尺，尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长尺．则可列方程： _________． 解决问题 (2)数学兴趣小组的同学对某古塔进行了测量，测量方法如下：如图，甲同学在古塔的影子顶端处竖直立一根木棒，并测得此时木棒的影长米，然后，乙同学在的延长线上找出一点，使得，，三点在同一直线上，并测得米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒米，，，根据以上测量数据，求古塔的高度． 【答案】(1) (2)米 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、根据实际问题列二元一次方程组、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和在“同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决，掌握相似三角形的判定和性质定理是解答本题的关键． （1）利用“在同一时刻物高与影长的比相等”列方程即可解答； （2）设古塔的高度为米，影长为米，先利用“同一时刻物高与影长的比相等”列方程得，即，所以，再证明得到，即，然后解方程组求出即可． 【详解】（1）解：根据题意知在“同一时刻物高与影长的比相等”， ， 故答案为：； （2）解：设古塔的高度为米，影长为米， 根据题意得：，即， ， ，， ， ， ，即， ， 解得：， 经检验，为原方程的解， 古塔的高度为米． 【题型8 利用三角形相似求现实生活相关问题】 例题：（23-24·浙江宁波·模拟预测）如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，连接，延长交于，由勾股定理得出，根据轴对称的性质得出，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ， 在中，， ∵铁夹的剖面图是轴对称图形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：A． 【变式训练】 1.（23-24·浙江宁波·模拟预测）如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高．当时，点B到地面的距离，则点A到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．利用相似三角形的判定与性质进而求出的长即可得出的长． 【详解】解：由题意可得：，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即，解得：， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 故选C． 2.（23-24·吉林长春·二模）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆米，则两梯杆跨度B、C之间距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 【题型9 利用三角形相似求三角形内接矩形问题】 例题：（23-24春·河北石家庄·九年级石家庄二十三中校考阶段练习）有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有 ． 【答案】6 【分析】利用求得，然后求得，这样就可以计算得小长方形一共有4层，然后再次利用相似比，可求得每层可分割几个小长方形，最后确定小长方形的总数即可. 【详解】如图：当最上层的小长方形的一边与AB、AC交于点E、F时， ∴ ∴，且，， ∴ ∴ ∵小长方形的宽为 ∴能分割四层小长方形 设最底层的上一层的靠近点A的边为x 根据三角形相似可得： 解得，正好能分割两个小长方形 再上一层靠近点A的边就会小于，因此只能分割一个小长方形，且最上层分割了一个小长方形 ∴按如图方式分割成的小长方形零件最多有个 故答案为6 【点睛】本题主要考查了三角形的相似在实际生活中的应用，能够灵活应用相似比求解对应的边是解决问题的关键 【变式训练】 1.（23-24九年级·广西桂林·期中）如图，有一块三角形余料ABC，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为 cm． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，的长，即可得出答案． 【详解】矩形中，，， ∴， ， ， ∵， ， ， ∵矩形零件的长与宽的比为， 设 ，，则，， ， 解得：， ，， 矩形的周长为： ． 故答案为：． 2.（23-24九年级·河南周口·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，过点作于点，交于点，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 3.（23-24·江苏盐城·二模）（1）【问题探究】如图①，点B，C分别在上，米，米，米，米，米． ①探究与是否相似并说明理由； ②求的长． （2）【问题解决】如图②，四边形规划为园林绿化区，对角线将整个四边形分成面积相等的两部分，已知米，四边形的面积为平方米，为了更好地美化环境，政府计划在边上分别确定点E，F，在边上确定点P，Q，使四边形为矩形，在矩形内种植花卉，在四边形剩余区域种植草坪，为了方便市民观赏，计划在之间修一条小路，并使得最短，根据设计要求，求出的最小值，并求出当最小时，花卉种植区域的面积．    【答案】（1）①，理由见解析；②26米；（2），平方米． 【分析】（1）①通过两边对应成比例且夹角相等，证明出；②利用相似三角形的性质即可求出的长； （2）作交于点G，通过三角形的面积求出的长，然后通过得到，用含有n的式子将需要的量表示出来，放在中，通过勾股定理得到一个二次函数解析式，利用二次函数图像和性质求出最值即可． 【详解】解：（1）①，理由如下： ∵米，米，米，米， ∴， 又∵， ∴， ②∵， ∴， ∴米． （2）如图所示，作交于点G， ∵平方米， ∴平方米， ∴米， ∵四边形为矩形，    ∴， ∴， ∴， 设，则，即，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴当时，最小，最小为，即最小为， 此时，， ∴， ∴最小值为，此时花卉种植区域的面积为平方米．    【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的图像和性质等知识点，解题的关键在于能够合理的添加辅助线，构造相似三角形，要求能够熟练运用相似三角形的性质以及二次函数性质. 一、单选题 1．（2025·广东清远·二模）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，则当测试距离为时，最大的“”字高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据条件可得，根据相似三角形的性质即可求解，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得， 故选：． 2．（2025·河南信阳·模拟预测）如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似形综合应用，分别证明和，运用相似三角形的性质可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴，即， ∴； 又，， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴． 故选：C． 3．（2025·广东东莞·二模）如图①：是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图：．拉杆，米，则两梯杆跨度之间距离为（   ） A．2米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，米， ∴， ∴， 即两梯杆跨度、之间距离为米， 故选：B． 4．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）四分仪是一种古老的测量工具，可以追溯到公元2世纪的托勒密时代．如图就是一种四分仪在距离测量上的应用，该四分仪是在边长为1 米的正方形的一个顶点处安装一根方向杆．若将该四分仪的方向杆对准远处的目标物 E，在四分仪上读出的长度为20厘米，已知点 B，C，E在同一条直线上，则目标物 E 与点 B 之间的距离为（    ） A．1米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】C 【知识点】相似三角形实际应用、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，通过已知的边长比例关系求解未知距离，熟练运用相关知识点是正确解答此题的关键． 由正方形中，，证明，得，即，求出进而得解． 【详解】解：， ， 正方形中，， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：C． 二、填空题 5．（2025·广东珠海·三模）立一杆高八尺，影长六尺；今有一楼，影长九丈．问楼高几何？（选自《海岛算经》）题目大意：直立一根8尺高的标杆，其影子长度为6尺；此时有一栋楼，影长9丈，这栋楼有多高？根据题意，可求得这栋楼高 丈． 【答案】12 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据同时同地物高与影长的比值相同建立方程求解即可． 【详解】解：设这栋楼高x丈， 由题意得，， 解得， ∴这栋楼高12丈， 故答案为：12． 6．（2025·贵州遵义·二模）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，那么支柱的高度为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解图示，掌握相似相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意，可得，，由此即可求解． 【详解】解：∵支柱经过的中点， ∴， 当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，如图所示，点与点对应，点与点对应，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 7．（2025·福建厦门·二模）如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度 ． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，过作交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解；能熟练利用相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：过作交于， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 8．（2025·湖南邵阳·一模）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，若，则海岛的高为 ． 【答案】28 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】通过相似三角形的性质，构建比例关系，设出海岛高和相关水平距离，列方程求解．本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键． 【详解】解：设海岛高， ． ∵，， ∴, ∴， ∴，即 ①． 又∵，， ∴, ∴， ∴，即 ②． ∴①，得； ∴②，得 ． ∴，解得 ． 即海岛的高为 ， 故答案为：28． 三、解答题 9．（2025·贵州贵阳·二模）如图，为了估算河的宽度，小星在河对岸选定一个目标点，在近岸处选取点和，使点三点共线，过点作直线，过点作直线，在直线上取点，测得．交直线于点，经测量得，求河的宽度． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】根据直线，直线，证明，列比例式解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键． 【详解】解：直线，直线， ， ， ， ， ， ， 解得， 河的宽度． 10．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）近年来，全国各地积极践行绿色发展理念，把打造绿色宜居环境作为提升城市形象和居民幸福感的重要举措，科学规划、合理布局，不断优化人居环境如图，某市要从一块的城市绿地上划出一块矩形做花坛．已知，要求矩形花坛的长与宽的比为，且较长边在上，点G、F分别在上，所划出的矩形花坛的长和宽各是多少？ 【答案】矩形的长为，宽为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，过点作交于点，交于点，用勾股定理求出的长，再证明，从而求出；然后证明，设，则，由矩形的长与宽的比为可知，根据相似列比例式求解即可，判断三角形相似，并列出比例式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点． ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，． ． ． 设，则，由矩形的长与宽的比为可知． ． 解得． ． 答：矩形的长为，宽为． 11．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔的光从点G出发经平面镜上点B反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． 【答案】点E到地面的高度为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意证明和，得到，即，即可得到答案． 【详解】解：反射角等于入射角， ． ． 又， ∴， ， ． ． ． ，解得． 由题意，可得， ． ，即， 解得． 点E到地面的高度为． 12．（2025·陕西西安·三模）小凌和数学小组的同学在老师的指导下，利用课余时间进行测量华清池《长恨歌》群雕最高点到地面距离的活动．如图，小凌在B处竖立一根竖杆，在点A处架设一根横杆，杆可以绕着点A在平面内旋转．在工作人员的帮助下小凌测得与之间的距离为，小凌绕点A转动杆，通过观测发现当点D恰好位于点时（此时点C位于点），雕塑的顶端P在的延长线上．测得，点到的距离为，点到的距离为，，，，图中所有点均在同一平面内，请你求出《长恨歌》群雕最高点到地面的距离． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查相似三角形判定与性质，矩形的判定与性质；根据题意证出，利用相似三角形的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：延长交于点G，过点分别向作垂线，垂足分别是E、F， 则四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴《长恨歌》群雕最高点到地面距离的长为． 13．（2025·河南商丘·模拟预测）图1是焦作市某路口的地标性建筑玻璃球，某兴趣小组想借助影子测量玻璃球的半径，兴趣小组建立了如图2所示的模型．在某一时刻，太阳光照射玻璃球，落在地面上的影子米，同一时刻，一根1米长竖直立在地面上的木杆的影子长米．设光线分别与相切于点，则即为玻璃球的直径，请求出玻璃球的半径． 【答案】玻璃球半径为5米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是列出比例式． 根据平行截得的线段成比例，列出比例式求解即可． 【详解】解：设玻璃球半径为米， ∵太阳光线是平行线， ∴，即，解得：米． 14．（2025·江苏南京·二模）如图，夜晚，小亮从点A朝着路灯P的正下方沿直线走到点B． (1)若他在点A处的影长为，他的身高为，路灯高P距离地面的高度为，求此时他到路灯的水平距离； (2)已知他在点A，B处的影长之差为，他的身高为，求路灯P离地面的高度（用含b，h的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形实际应用 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据，可得，即可求解； （2）过点C作，交于点G．可得，从而得到，进而得到．然后根据，可得，再由，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，即． ， ． （2）解：过点C作，交于点G． ， ． ， ． ． ． ， · ， ． ． ． 因此，路灯P离地面的高度为 15．（2025·江苏苏州·一模）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 【答案】[发现]不会发生改变，；[探索] 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． [发现]证明，根据相似三角形的性质即可得出，进而可得出答案． [探索]根据题意画出图形，然后延长交与点L，交于点K，得出，由相似三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：[发现]∵与关于对称，，且，分别与相交于点M，N． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当观测点P在上自由移动时，的长度是不会发生改变，且． [探索]根据题意画图，然后延长交与点L，交于点K， 则， 同上可知：， 可知， ∴ 即， 解得： 即井口到水面距离AC的长． 16．（2025·广东阳江·一模）综合与实践 【实践主题】借助标杆测量校园内路灯的高度． 【素材】标杆、皮尺、激光仪等工具． 【实践操作】如图，表示路灯的高度实验小组在路灯旁的水平空地上直立一根高米的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，（图中各点均在同一竖立平面内），测得米，米．      【问题解决】 （1）根据实验小组的测量数据，计算路灯的高度； 【反思交流】 （2）在交流中，一位同学对实验小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可以直接到达，将无法测得线段的长，最后不能求得路灯的高度所以实验小组在此基础上对原有方案进行补充改进：如图，在点处再直立一根同样高度的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，若，请你根据实验小组改进后的方案用含的代数式表示路灯的高度． 【答案】（1）米，（2） 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】根据可知，根据米，米，米，可知，从而可求的长度； 首先根据据可知，根据米，米，，从而可得，根据可知，根据米，米，，可得，等量代换可得，整理可得． 本题主要考查了相似三角形的性质和应用，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度． 【详解】解：， ， ， 米，米，米， 米， ， 解得：米； ， ， ， 又米，米， ， 整理得：， ， ， ， 又米，米，， ， ， 解得：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23 相似三角形的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 相似三角形的应用涉及的知识 1.相似三角形的判定：包括两角分别相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例的两个三角形相似。这些判定方法是应用的基础，用于判断实际问题中的三角形是否相似。 2.相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例，且周长比、对应线段比等于相似比，面积比等于相似比的平方。这些性质可用于计算长度、高度、面积等实际问题。 3.实际应用场景：在测量高度（如测量树高、建筑物高度）、计算距离（如河宽测量） 、工程设计和图形缩放等场景中，通过构建相似三角形模型，利用其性质解决实际问题。 【题型1 利用三角形相似求建筑物高问题】 例题：（2024·陕西渭南·一模）如图，一广场上的灯柱的高为，是该广场上的一座建筑，小强站在F处发现自己的眼睛E、灯柱的顶端C和建筑的顶端A恰好在一条直线上，已知小强的眼睛到地面的高度，小强到灯柱的距离，灯柱到该建筑底端的距离，且F，D、B在同一水平线上，，，，请你帮助小强求出该广场上的建筑的高度． 【变式训练】 1．（2025·陕西榆林·二模）中国大地原点，亦称大地基准点，位于陕西省境内，其主体建筑为观测塔楼．一个阳光明媚的下午，张旭同学参观完观测塔楼后，想运用所学知识测量该塔楼的高度，如图为他的测量示意图，在地面上的点处放置一个平面镜（大小不计），张旭站在地面上的点处，眼睛位于点处时，恰好在平面镜中看到塔楼顶端的像，然后在地面上竖立一根木棍，发现同一时刻，木棍的影子顶端和塔楼的影子顶端重合于地面上的点处，经测量，米，米，米，米，米，已知、、、、在同一水平直线上，，，，图中所有的点都在同一平面内，请你计算该塔楼的高度． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）响铃塔位于陕西省榆林市境内，作为全国重点文物保护单位，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．某校项目式学习小组开展了测量响铃塔高度的项目活动，共拟定了如下表所示的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 测量员在地面上的点处测得塔顶的仰角的度数，在地面上竖立一根标杆，发现地面上的点、标杆顶端和塔顶在一条直线上，、，点、、、在一条直线上，图中所有的点都在同一平面内 测量员在地面上的点处测得塔顶A的仰角的度数，在地面上的点处放置一面平面镜（大小不计），测量员站在地面上的点处，眼睛位于点处时恰好在平面镜内看到塔顶的像，、，点在一条直线上，图中所有的点都在同一平面内 测量结果 ，，， ，，， 请你选择上述两种方案中的一种，计算响铃塔的高度． 你选择的是方案_____． 3．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）清虚阁，位于山西省晋中市榆次老城中，俗称南阁，建成于明代成化五年（1469），是榆次区境内仅见的，也是晋中地区稀有的古代阁楼式建筑杰作，如图，某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测量清虚阁的高度． 步骤一：在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且清虚阁，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A，F，D三点成一线； 步骤二：从标杆后退到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也成一线． 请你根据以上数据，计算清虚阁的高度． 【题型2 利用三角形相似求影长问题】 例题：（2025·贵州·一模）如图，小星利用自己的身高想要测量水平操场上旗杆的高度，请帮助小星按下列任务设计一种测量方案： 任务一：你选取的工具是___________（可选工具：小镜子、标杆、皮尺）； 任务二：请在图中画出方案示意图； 任务三：结合你画的示意图，从以下测量数据中选取合适的数据，求出旗杆的高度（结果保留整数）． 测量数据：①小星与旗杆的距离为，②小星到镜子的距离为，③镜子到旗杆的距离为，④同一时刻，小星的影长为，旗杆的影长为，⑤小星的身高为（眼睛到头顶的距离忽略不计），⑥标杆长，⑦小星与标杆的距离为． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，某数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长为，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一教学楼，影子不一定落在地面上，有一部分落在墙上，测得落在地面上的影长为，留在墙上的影高为，，，点，，，在同一平面内，求旗杆的高度． 2．（2025·广东广州·一模）数学活动课上，老师让同学们借助太阳光线，分组测量塔高度，并给出测量设计方案．测量工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺．请根据以下信息解决问题：选择其中一个小组方案，求出塔高；若认为两个方案均不可行，则说明理由． 小天组：采用在同一时刻棍影和塔影一端在同一点重合的分次测量方式．如图1，第一次测量某一时刻木棍与塔影一端重合在点，测得棍影为1米；第二次测量另一时刻棍影与塔影一端重合在点，测得米，木棍移动距离米． 小河组：采用固定木棍分次测量方式．如图2所示，第一次测量在某一时刻，标记塔影的位置并测量出棍影长为1.5米．第二次测量在某一时刻，标记塔影的位置并测量出棍影长为2米，两次塔影顶端的距离为12.4米． （注：图中箭头表示太阳光线，同一时刻太阳光可视为平行光） 3．（24-25九年级上·山东济南·期中）小敏同学在学习了投影一章的知识后，想利用相关知识测量小区内一座假山的高度，于是他设计了这样的方案： 如图1，假山的顶端有一盏路灯E，小敏同学在假山的一侧垂直于地面树立一根高度为的标杆，移动标杆的位置，测量路灯下标杆投影的长度，以及标杆底段B到假山正下方点D的距离，利用三角形相似的相关知识便可以求出假山的高度． (1)若，，请用关于a，b的代数式表示假山的高度． (2)在实际操作中，小敏测得，但在测量的长度时，发现假山正下方的点D处根本无法直接到达，小敏稍加思索，便得出了改进方案，如图2所示，他将竖直标杆移动到C点处，测得此时标杆在路灯下的影长变为，根据这些数据便可以计算假山的高度，请你帮助小敏求出假山的高度． 【题型3 利用三角形相似求河宽问题】 例题：（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，为一条宽为4米的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为3米（即米），因为施工需要，现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点P作为另一端的固定点，已知吊篮的截面为直径为1米的半圆（直径米），绳子米，钢架高度2.2米（米），距离防洪堤边缘为0.5米（米）． （1）西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为 米； （2）滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，则的长度应大于 米． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，为了估计河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点，在近岸取点，使与河岸垂直，在近岸取点，使，与交于点．已测得米，米，米，求河宽的长． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽． 3．（24-25九年级上·广西百色·期中）某数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽．测量时，他们选择了河对岸的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E，C，A共线．已知：，，测得，，（测量示意图如图所示）．请根据相关测量信息，求河宽的长． 【题型4 利用三角形相似求树高问题】 例题：（2025·河南平顶山·一模）樱花红陌上，杨柳绿池边．每年初春时节，郑州大学校区的樱花竞相开放，为美丽的郑大校园增添了别样的景致，钟灵毓秀的郑大人把樱花赋予美丽、热情、纯洁、高尚的精神品质．高新区某中学的数学兴趣小组利用周末时间对大路旁的一棵樱花树进行测量，他们采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，那么这棵樱花树的高度（的长）是多少米？ 【变式训练】 1．（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 2．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时刻得高的标杆在地面的影长为． (1)点D到地面的距离为 米 (2)求电线杆的高（结果保留根号） (3)若是在坡底下C处的一棵大树，树尖刚好落在光线上，在山坡上有一建筑物高，求此时它落在坡面上的影长 （结果保留根号）． 【题型5 利用三角形相似求杠杆问题】 例题：（2025·江西·模拟预测）桔棉俗称“吊杆”（如图），是我国古代的农用工具，是一种利用杠杆原理工作的取水机械．桔棉示意图如图所示，是垂直于水平地面的支撑杆，是杠杆，，当点运动到点处时，物体运动到处．若，则，两点之间的距离为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在杠杆的端点A处焊接一圆球，已知，则要使该圆球向上抬升（竖直高度），杠杆的另一端点B需要向下压的竖直距离是 ． 2．（24-25九年级上·辽宁·期末）我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以为支点，当端上放置重物时，端着地，端到地面的距离是；当工人用力按压端，直至点着地落到时，端的重物被送到处，此时重物到地面的距离为90，求支点到地面的距离． ． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以P为支点，当C端上放置重物时，C端着地，D端距离地面是；当工人用力按压D端，直至点D着地落到时，C端的重物被送到处，此时重物距离地面为，求支点P到地面的距离． 【题型6 利用三角形相似求镜面问题】 例题：（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在点处水平放置一平面镜，然后向后退，保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时小明的眼睛离地面的高度，同时量得小明与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离． (1)求证：； (2)求旗杆的高度． 【变式训练】 1．（2024九年级上·全国·专题练习）检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米．如图①，现因房间两面墙的距离为3米，因此使用平面镜来解决房间小的问题．若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图②，由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表的上下边沿上发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为米，求镜长的长． 2．（2024·陕西西安·三模）小安和大智想利用所学的几何知识测量一座古塔的高度，测量方案如下：如图，小安位于大智和古塔之间，直线上平放一平面镜，在镜面上做一个标记，记为点C，镜子不动，小安看着镜面上的标记来回走动，走到点D时，看到塔顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，此时测得小安眼睛与地面的高度米，米．同时，在阳光下，古塔的影子与大智的影子顶端H恰好重合，测得大智身高为1.8米，影长为3.6米，已知，米，A、H、G三点共线，且测量时所用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息，求出古塔的高度．    3．（23-24九年级上·福建漳州·期中）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长 (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【题型7 利用三角形相似求古文问题】 例题：（2025·河北廊坊·二模）“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图所示的位置，令（单位：），（单位：），若，，，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·天津河西·期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 2．（24-25九年级下·陕西榆林·阶段练习）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（如图1和图2中的折线）． 小明利用周末来到西岳庙进行社会实践活动，准备利用“矩”来测量西岳庙内古柏的高度． 测量过程：如图，小明通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（），并且边与点在同一直线上，、均与垂直． 测量结果：，，，，． 解决问题：求西岳庙内古柏的高度． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）数学思考 (1)我国古代经典数学著作《孙子算经》有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”其大意如下：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳底下的影长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：丈尺，尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长尺．则可列方程： _________． 解决问题 (2)数学兴趣小组的同学对某古塔进行了测量，测量方法如下：如图，甲同学在古塔的影子顶端处竖直立一根木棒，并测得此时木棒的影长米，然后，乙同学在的延长线上找出一点，使得，，三点在同一直线上，并测得米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒米，，，根据以上测量数据，求古塔的高度． 【题型8 利用三角形相似求现实生活相关问题】 例题：（23-24·浙江宁波·模拟预测）如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（23-24·浙江宁波·模拟预测）如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高．当时，点B到地面的距离，则点A到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24·吉林长春·二模）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆米，则两梯杆跨度B、C之间距离为 米． 【题型9 利用三角形相似求三角形内接矩形问题】 例题：（23-24春·河北石家庄·九年级石家庄二十三中校考阶段练习）有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有 ． 【变式训练】 1.（23-24九年级·广西桂林·期中）如图，有一块三角形余料ABC，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为 cm． 2.（23-24九年级·河南周口·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 3.（23-24·江苏盐城·二模）（1）【问题探究】如图①，点B，C分别在上，米，米，米，米，米． ①探究与是否相似并说明理由； ②求的长． （2）【问题解决】如图②，四边形规划为园林绿化区，对角线将整个四边形分成面积相等的两部分，已知米，四边形的面积为平方米，为了更好地美化环境，政府计划在边上分别确定点E，F，在边上确定点P，Q，使四边形为矩形，在矩形内种植花卉，在四边形剩余区域种植草坪，为了方便市民观赏，计划在之间修一条小路，并使得最短，根据设计要求，求出的最小值，并求出当最小时，花卉种植区域的面积．    一、单选题 1．（2025·广东清远·二模）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，则当测试距离为时，最大的“”字高度为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南信阳·模拟预测）如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离为（       ） A． B． C． D． 3．（2025·广东东莞·二模）如图①：是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图：．拉杆，米，则两梯杆跨度之间距离为（   ） A．2米 B．米 C．米 D．米 4．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）四分仪是一种古老的测量工具，可以追溯到公元2世纪的托勒密时代．如图就是一种四分仪在距离测量上的应用，该四分仪是在边长为1 米的正方形的一个顶点处安装一根方向杆．若将该四分仪的方向杆对准远处的目标物 E，在四分仪上读出的长度为20厘米，已知点 B，C，E在同一条直线上，则目标物 E 与点 B 之间的距离为（    ） A．1米 B．4米 C．5米 D．6米 二、填空题 5．（2025·广东珠海·三模）立一杆高八尺，影长六尺；今有一楼，影长九丈．问楼高几何？（选自《海岛算经》）题目大意：直立一根8尺高的标杆，其影子长度为6尺；此时有一栋楼，影长9丈，这栋楼有多高？根据题意，可求得这栋楼高 丈． 6．（2025·贵州遵义·二模）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，那么支柱的高度为 ． 7．（2025·福建厦门·二模）如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度 ． 8．（2025·湖南邵阳·一模）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，若，则海岛的高为 ． 三、解答题 9．（2025·贵州贵阳·二模）如图，为了估算河的宽度，小星在河对岸选定一个目标点，在近岸处选取点和，使点三点共线，过点作直线，过点作直线，在直线上取点，测得．交直线于点，经测量得，求河的宽度． 10．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）近年来，全国各地积极践行绿色发展理念，把打造绿色宜居环境作为提升城市形象和居民幸福感的重要举措，科学规划、合理布局，不断优化人居环境如图，某市要从一块的城市绿地上划出一块矩形做花坛．已知，要求矩形花坛的长与宽的比为，且较长边在上，点G、F分别在上，所划出的矩形花坛的长和宽各是多少？ 11．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔的光从点G出发经平面镜上点B反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． 12．（2025·陕西西安·三模）小凌和数学小组的同学在老师的指导下，利用课余时间进行测量华清池《长恨歌》群雕最高点到地面距离的活动．如图，小凌在B处竖立一根竖杆，在点A处架设一根横杆，杆可以绕着点A在平面内旋转．在工作人员的帮助下小凌测得与之间的距离为，小凌绕点A转动杆，通过观测发现当点D恰好位于点时（此时点C位于点），雕塑的顶端P在的延长线上．测得，点到的距离为，点到的距离为，，，，图中所有点均在同一平面内，请你求出《长恨歌》群雕最高点到地面的距离． 13．（2025·河南商丘·模拟预测）图1是焦作市某路口的地标性建筑玻璃球，某兴趣小组想借助影子测量玻璃球的半径，兴趣小组建立了如图2所示的模型．在某一时刻，太阳光照射玻璃球，落在地面上的影子米，同一时刻，一根1米长竖直立在地面上的木杆的影子长米．设光线分别与相切于点，则即为玻璃球的直径，请求出玻璃球的半径． 14．（2025·江苏南京·二模）如图，夜晚，小亮从点A朝着路灯P的正下方沿直线走到点B． (1)若他在点A处的影长为，他的身高为，路灯高P距离地面的高度为，求此时他到路灯的水平距离； (2)已知他在点A，B处的影长之差为，他的身高为，求路灯P离地面的高度（用含b，h的式子表示）． 15．（2025·江苏苏州·一模）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 16．（2025·广东阳江·一模）综合与实践 【实践主题】借助标杆测量校园内路灯的高度． 【素材】标杆、皮尺、激光仪等工具． 【实践操作】如图，表示路灯的高度实验小组在路灯旁的水平空地上直立一根高米的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，（图中各点均在同一竖立平面内），测得米，米．      【问题解决】 （1）根据实验小组的测量数据，计算路灯的高度； 【反思交流】 （2）在交流中，一位同学对实验小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可以直接到达，将无法测得线段的长，最后不能求得路灯的高度所以实验小组在此基础上对原有方案进行补充改进：如图，在点处再直立一根同样高度的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，若，请你根据实验小组改进后的方案用含的代数式表示路灯的高度． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$