专题21 相似三角形中的动点问题（3知识点+6大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题21 相似三角形中的动点问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 相似三角形动点问题主要涉及的知识 1. 相似三角形判定与性质：需掌握“两角分别相等”“两边成比例且夹角相等”“三边成比例”等判定定理；利用相似三角形对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比平方等性质，建立线段、角度关系。 2. 动点分析：明确动点运动路径、速度和时间关系，用含时间的代数式表示相关线段长度，进而建立相似三角形中边的比例方程，解决线段长度、面积最值等问题。 3. 数学思想运用：运用分类讨论思想，考虑动点不同位置导致的多种相似情形；结合函数思想，建立变量间函数关系，同时借助方程思想求解未知量。 【题型1 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 例题：（24-25九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当 时，与相似． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·全国·期中）如图，为边长为的等边三角形，，，P为边上动点，以的速度从B向C运动，假设P点运动时间为，当 s时，与相似． 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么当 ，与相似． 3．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动，如果P、Q同时出发，用表示移动的时间，那么：当 为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似． 【题型2 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 例题：（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在菱形中，，点E为边上一点，，点F为边上的一动点，将沿EF翻折，使点C落在点G处，当点G在菱形的对角线上时，的长度为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东梅州·期末）如图，中，，，，点P、Q分别为、上的动点，将沿折叠，使点对应点恰好落在边上，当与相似时，则的长为 ． 2．（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，在中，，，，点，分别为，上一个动点，沿折叠得到、点的对应点为，若点落在上，且与相似，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着→→的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为 ． 【题型3 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 例题：（2025·江苏泰州·一模）如图，在矩形中，，，E为的中点，为上的一点，连接、，当的值最小时， ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，点是上的动点，是的中点，连接，则的最小值为 ． 2．（2025·河南信阳·三模）如图，正方形的边长为．边上有一点，以为斜边，在正方形内部作一等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 3．（23-24九年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在矩形中，，，连接，于点O，分别与、交于点E，F．连接、，则的最小值为 ． 【题型4 相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 例题：（2025·河南驻马店·三模）如图1所示，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径运动，当点P到达点D时停止运动．过点P作，交于点Q，设点P运动的路程为x，，已知y关于x的函数图象如图2所示，当时，x的值为（    ）      A． B．4 C． D．4.5 【变式训练】 1．（2025·广西南宁·二模）“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1），根据使用时安放的位置测定物体的高低远近及大小，把“矩”放置在如图2所示的位置，令，若，，，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东临沂·一模）如图①，在矩形中，H为边上的一点，点M从点A出发沿折线运动到点B停止，点N从点A出发沿运动到点B停止，它们的运动速度都是，若点M、N同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论不正确的是（ ） ①在运动过程中，使得为等腰三角形的点M一共有4个． ②当时，． ③当时，． ④当时，． A．① B．② C．③ D．④ 3．（2025·山东日照·二模）如图，为矩形ABCD的边AD上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿BC运动到点停止，它们的速度都是．若点P、Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知与之间的函数图象如图所示．给出下列结论：①；②当时，；③在运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有3个；④与相似时，．以上结论正确个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型5 相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 例题：（2025·浙江嘉兴·二模）如图，正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点． (1)如图，求证：； (2)如图，当经过点时，求证：点是的中点； (3)当时，求的值． 【变式训练】 1．（2025九年级下·浙江·专题练习）在矩形中，点，分别是，边上的动点，连接，交于点． (1)如图（1），当点，分别是，的中点时，求证：； (2)若，点是边上的点，连接交于点，点是的中点， 如图（2），若，求的长； 如图（3），连接，当，且时，求的值． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，正方形中，点在的延长线上，且，点为边上的一个动点，连接交于点，连接交点． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若． ①求证：； ②求证：点是线段的黄金分割点． 3．（24-25九年级上·吉林白山·期末）如图①，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值； (2)求出是轴对称图形时的值； (3)如图②，连接，若垂直，直接写出的值． 【题型6 相似三角形中的动点探究应用问题】 例题：（2025·山东枣庄·模拟预测）【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）【知识探索】 （1）如图①，在矩形中，E为边上不与端点重合的一个动点，连接，过点A作的垂线，垂足为M，延长，分别交于点N，F，求证：； 【知识应用】 （2）在（1）的条件下，若，求的长； 【知识拓展】 （3）如图②，在中，，D，E分别是上的一点，且，若，求的值． 2．（23-24九年级上·湖南湘潭·阶段练习）（1）问题发现：如图1，在和中，，，点是线段上一动点，连接，填空： ①的值为_____________    ②的度数为___________            图1                  图2 （2）类比探究：如图2，在和中，，，点是线段上一动点，连接，请判断的值及的度数，并说明理由． （3）结论应用：如图2，在（2）的条件下，若，，求线段的长． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）（1）如图①，在正方形中，E为边上一动点，将沿折叠，得到，过点F作直线，分别交边于点M，N． 【问题探究】 ①求证：； 【问题解决】 ②当时，若，求正方形的边长； 【实际应用】 （2）如图②，有一块形状为正方形的纸片，小李要在边上找一点E，然后将沿折叠，得到，过点F作直线，分别交边于点M，N，小李沿着裁剪交边于点P，沿着裁剪交于点Q．当时，点P为线段的中点吗？请说明理由． 一、单选题 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 2．（24-25九年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在等腰三角形中，，，，E为的中点，D为上一动点，将绕点D顺时针旋转后得到对应线段，连接，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 3．（2025·陕西宝鸡·一模）如图，在矩形中，P（与点A，B不重合）是边上一动点，连接，过点D作，交的延长线于点E．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东深圳·三模）如图（a），在中，，为边的高，，，分别为边，上的动点，且．设的长为，的面积为，图（b）为点运动时随变化的关系图象，则的长度为（    ） A．4 B．5 C． D．6 二、填空题 5．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过 秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 6．（24-25九年级下·湖南衡阳·期中）如图（1），在正方形中，点是对角线上一动点，点是上的点，且．设，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为 ． 7．（2025九年级下·海南·专题练习）如图，在边长为5的菱形中，，点是边上一动点（点不与点重合），将线段绕点逆时针旋转，点恰好落在边上的点处，连接，则 ；若交对角线于点，则 ． 8．（2025·黑龙江佳木斯·二模）在矩形中，，，点在边上，且，是边上的一个动点，若是直角三角形，则的长为 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在等边三角形中，点是边上一动点（点不与端点重合），作，交边于点，交边于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 10．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，在矩形中，，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从出发，沿向点移动．设、两点移动时间为． (1)_____，_____；（用含的式子表示） (2)当运动时间为多少秒时，与相似． 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，正方形与正方形有公共顶点，连接、、，，． (1)求线段的长． (2)若点是平面内一动点，求的最小值． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在中，，，是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F，试探究线段、、之间的数量关系． 【特殊化研究】如图1，当D是边中点时，请写出线段、、之间的数量关系是_____________；请写出证明过程． 【一般化探究】 如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段、、之间的数量关系，请写出结论并证明； 【结论推广】请通过类比、归纳、猜想，探究出线段、、之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 13．（2024·山东济南·一模）【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接． 判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由： 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．    14．（2024·山西晋城·二模）综合与实践 问题情境： 在矩形纸片中，E是边上一动点，F是边上一动点，将矩形纸片沿所在直线翻折，点A的对应点为点H，点B的对应点为点G． 猜想证明： （1）当E是边的中点时． ①如图1，连接，试猜想与的位置关系，并加以证明； ②如图2，连接．若点B的对应点G恰好落在对角线上，延长与边交于点P．求证：P是边的中点． 问题解决： （2）如图3，当点B的对应点G落在边上时，与边交于点Q，连接．若，，，请直接写出的长． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21 相似三角形中的动点问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 相似三角形动点问题主要涉及的知识 1. 相似三角形判定与性质：需掌握“两角分别相等”“两边成比例且夹角相等”“三边成比例”等判定定理；利用相似三角形对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比平方等性质，建立线段、角度关系。 2. 动点分析：明确动点运动路径、速度和时间关系，用含时间的代数式表示相关线段长度，进而建立相似三角形中边的比例方程，解决线段长度、面积最值等问题。 3. 数学思想运用：运用分类讨论思想，考虑动点不同位置导致的多种相似情形；结合函数思想，建立变量间函数关系，同时借助方程思想求解未知量。 【题型1 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 例题：（24-25九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当 时，与相似． 【答案】或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据题意分类讨论，列出比例式，根据比例式求出运动时间． 【详解】解：点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为， 则，，， ∵， 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 故答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·全国·期中）如图，为边长为的等边三角形，，，P为边上动点，以的速度从B向C运动，假设P点运动时间为，当 s时，与相似． 【答案】12或16或21 【知识点】等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是分类讨论． 先根据等边三角形的性质得，再分和两种情况求出答案即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ， 当时，， 即， 解得：或； 当时，时， 即， 解得：． ∴或16或21． 故答案为：12或16或21． 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么当 ，与相似． 【答案】或 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】本题是相似三角形动点问题，相似三角形的性质．先由，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，用t表示出的长，再由时，，时，，分别得出及，最后求解即可； 【详解】解：，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动， ， ∵点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动， ， 若时，，即， 整理得：， 解得：， 则当时，与相似； 若时，，即， 解得：， 则当时，与相似； 综上所述：当秒或秒时，与相似， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动，如果P、Q同时出发，用表示移动的时间，那么：当 为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形——动点问题 【分析】本题主要考查了相似三角形．熟练掌握相似三角形的性质，分类讨论，是解题的关键． 分时，得；时，得两种情况． 【详解】解；根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形中： ①当时，，那么有：，解得， 即当时，； ②当时，，那么有：，解得， 即当时，； 所以，当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 【题型2 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 例题：（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在菱形中，，点E为边上一点，，点F为边上的一动点，将沿EF翻折，使点C落在点G处，当点G在菱形的对角线上时，的长度为 ． 【答案】1或 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查菱形的性质及相似三角形的判定及性质，折叠的性质，分情况讨论是解题的关键．（1）当点G在菱形对角线上时，由折叠的性质得，证出，得出，从而得到．（2）当点P在菱形对角线上时，设，由折叠的性质得 ，，从而证明，再由相似三角形的性质可得出，则从而求出，，最后利用列方程求解即可． 【详解】解：分两种情况：（1）当点G在菱形对角线上时，如图 由折叠的性质得， ∴垂直平分， ∵四边形是菱形， ， 又∵在菱形中，， ∴； （2）当点P在菱形对角线上时，如图 ∵，， ∴， 设， 由折叠的性质得 ，， 又∵在菱形中，， ∴ ，， 即 ，， 又∵ ， 解得或(不符合题意，舍去) ∴， 综上所述，的长为1或 故答案为：1或． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东梅州·期末）如图，中，，，，点P、Q分别为、上的动点，将沿折叠，使点对应点恰好落在边上，当与相似时，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意与相似要分情况讨论．根据直角三角形的性质可得，当与相似时，设，则，分两种情况：①，②，分别列方程求解即可． 【详解】解：中，，，， ， 当与相似时， 点始终在边上， 根据折叠， 设，则， 分两种情况： ①， 此时， ，即， 解得， ， ②， 此时， ，即， 解得， ， 综上，的长为或， 故答案为：或． 2．（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，在中，，，，点，分别为，上一个动点，沿折叠得到、点的对应点为，若点落在上，且与相似，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、用勾股定理解三角形、折叠问题、利用相似三角形的性质求解 【分析】分和两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的性质解答即可求解． 【详解】解：当时，如图，有，连接， 由折叠可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴； 当时，如图，有， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，余角性质，折叠的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着→→的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先求出的长，再分①时，是的中位线，然后求出的长度，再分点在上和在上两种情况列出方程求解即可；②时，利用相似三角形的判定及性质求出，然后分点在上和在上两种情况列出方程求解即可． 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∵，，， ∴， ①时， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴是的中位线， ∴（）， ∴点在→上时，（）， 点在→上时，点运动的路程为（）， ∴（舍去）； ②时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即 ∴（）， 点在→上时，（）， 点在→上时，点运动的路程为（）， （舍去）， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，平行线分线段成比例，三角形的中位线定理，难点在于分情况讨论． 【题型3 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 例题：（2025·江苏泰州·一模）如图，在矩形中，，，E为的中点，为上的一点，连接、，当的值最小时， ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、证明四边形是矩形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；在的延长线上截取，过点作，使得，则得出，即可证明，进而得出，则点在与垂直的上运动，当时，即时，最小，进而得出四边形是矩形，证明，得出，即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ∴，， 如图所示，在的延长线上截取，则，过点作，使得 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴点在与垂直的上运动， 当的值最小时，在上，最小值为的长 ∴当时，即时，最小 此时如图， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，点是上的动点，是的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．先求出，，的长度，当，即时，的值最小，证明，根据相似三角形的性质即可求出最小值． 【详解】解：在矩形中，，， ，，， 在中，由勾股定理得：， 是的中点， ， 当，即时，的值最小， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（2025·河南信阳·三模）如图，正方形的边长为．边上有一点，以为斜边，在正方形内部作一等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 4 【知识点】垂线段最短、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 连接，，，交于，由四边形是正方形，得，，，，，证明，得，点在上，从而根据垂线段最短可得解． 【详解】解：如图，连接，，，交于， ∵四边形是正方形， ∴，，，，， ∴，， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在上， 当与重合时，，此时最小，最小值， 当与重合时，此时最大，最大值， 故答案为：，． 3．（23-24九年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在矩形中，，，连接，于点O，分别与、交于点E，F．连接、，则的最小值为 ． 【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作，且，连接，，当、、三点共线时，有最小值，为的长，由矩形的性质，证明四边形是平行四边形，进而得出垂直平分，，则，利用勾股定理，求出的值，从而得出，再证明，由对应边成比例求出的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作，且，连接，， 四边形是平行四边形， ，， ， ∴当、、三点共线时，有最小值，为的长， 如图，当、、三点共线时， 四边形是矩形， ，， 又， 四边形是平行四边形， ，即， ， 垂直平分， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得：， ， ， ， ， ， 即的最小值为10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，最短路径问题等知识，作辅助线将求最小值转化为求的长是解题关键． 【题型4 相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 例题：（2025·河南驻马店·三模）如图1所示，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径运动，当点P到达点D时停止运动．过点P作，交于点Q，设点P运动的路程为x，，已知y关于x的函数图象如图2所示，当时，x的值为（    ）      A． B．4 C． D．4.5 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查动点的函数图象问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，由图象可知，分点在上和点在上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：由图象可知，当点与点重合时，此时点与点重合，， 当点与点重合时，此时点与点重合，此时，，即：， 当点与点重合时，，故， ①当点在上时，此时四边形为矩形， ∴， ∴当时，即：， ∴， ②当点在上时，如图： ∵矩形， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当，即：时，， 解得：； 故选B． 【变式训练】 1．（2025·广西南宁·二模）“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1），根据使用时安放的位置测定物体的高低远近及大小，把“矩”放置在如图2所示的位置，令，若，，，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质与判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，四边形是矩形，可得，，，再根据，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·山东临沂·一模）如图①，在矩形中，H为边上的一点，点M从点A出发沿折线运动到点B停止，点N从点A出发沿运动到点B停止，它们的运动速度都是，若点M、N同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论不正确的是（ ） ①在运动过程中，使得为等腰三角形的点M一共有4个． ②当时，． ③当时，． ④当时，． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】由图②可知：当时，点两点经过6秒时，最大，此时点在点处，点在点处并停止不动；由点两点的运动速度为，所以可得，利用四边形是矩形可知；当时，且保持不变，说明点在处不动，点在线段上运动，运动时间为秒，可得，即点为的中点；利用以上的信息对每个结论进行分析判断后得出结论． 【详解】解：如图，当点在的垂直平分线上时，为等腰三角形： 此时有两个符合条件的点； 当时，为等腰三角形，如图： 当时，为等腰三角形，如图： 综上所述，在运动过程中，使得为等腰三角形的点一共有4个． ∴正确； 过点作于点，如图， 由题意：， 由图②可知：点两点经过6秒时，最大，此时点在点处，点在点处并停止不动，如图， ∵点两点的运动速度为1cm/s， cm， ∵四边形是矩形， cm． ∵当s时，cm2， ． ． ∵当时，且保持不变， ∴点在处不动，点在线段上运动，运动时间为秒， cm，即点为的中点． ． ， 为等边三角形． ． 在中， ， ， ． ∴正确； 当时，，如图， 由知：， ． ， ， ． ， ． ， ． ∴正确； 当时，此时点在边上，如图， 此时， ． ∴不正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，主要涉及函数图象上点的坐标的实际意义，三角形的面积，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函数值．对于动点问题，依据已知条件画出符合题意的图形并求得相应线段的长度是解题的关键． 3．（2025·山东日照·二模）如图，为矩形ABCD的边AD上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿BC运动到点停止，它们的速度都是．若点P、Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知与之间的函数图象如图所示．给出下列结论：①；②当时，；③在运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有3个；④与相似时，．以上结论正确个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由图2可知，整个运动过程分为段，故点到达时，点同时到达，由此可知，，，由勾股定理求得，由此分别分析各命题的正误． 【详解】解：由图可知，，，， 四边形是矩形， ，． ， ，①正确； 当时，点在上，点在处， ，②正确； 如图，以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形； 以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形； 作的垂直平分线，交于，交于，当点位于或处时，是等腰三角形． 综上，运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有个，③错误； 是直角三角形， 当且仅当点在上时，与相似，此时，，，且， 或， 即或， 解得或（舍去）． 当与相似时，，④正确． 综上可得，正确的有：①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，函数图象与动点问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，一次函数的应用，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【题型5 相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 例题：（2025·浙江嘉兴·二模）如图，正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点． (1)如图，求证：； (2)如图，当经过点时，求证：点是的中点； (3)当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的值为或． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）由旋转性质可知，则，又四边形是正方形，则，故有，然后通过同角的余角相等即可求证； （）作交的延长线于点，证明，则有，，又四边形是正方形，所以，，然后有，故，最后由线段和差即可求证； （）过点作分别交，的延长线于点，，则，证明四边形是矩形，则，同理可得，则，故有，设，则，，，，在中，，，解得，，作于点，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转性质可知， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：作交的延长线于点， 由（）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （3）解：如图，过点作分别交，的延长线于点，，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， 在中，，，解得，， 作于点， 当时，，则， ∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 当时，，则， 同理， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴的值为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式训练】 1．（2025九年级下·浙江·专题练习）在矩形中，点，分别是，边上的动点，连接，交于点． (1)如图（1），当点，分别是，的中点时，求证：； (2)若，点是边上的点，连接交于点，点是的中点， 如图（2），若，求的长； 如图（3），连接，当，且时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2； 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据矩形的性质求得，利用三角形中位线的性质求得，推出，利用相似三角形的性质即可证明； （2）连接交于点，连接，利用三角形中位线定理求得，，再证明四边形是平行四边形，据此求解即可； 设，则，连接，，作于点，求得，证明是线段的垂直平分线，求得，得到，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：连接交于点， 矩形， ，，， ， 点，分别是，的中点， ，则， ， ， ； （2）解：连接交于点，连接， 由（1）知， ， ， ， ， ，即， 点是的中点，点是的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，即的长为2； 设，则，连接，，作于点， 则四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， 点是的中点， 是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，正方形中，点在的延长线上，且，点为边上的一个动点，连接交于点，连接交点． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若． ①求证：； ②求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、黄金分割 【分析】（）根据正方形的形性质可得，即得，进而由，可得，即可求证； （）①由得，进而可得，得到，再根据线段垂直平分线的性质得，得到，由平行线的性质得，即得到，即可证，即可求证；②由得，即可得，进而由得到，即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即； （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点是线段的黄金分割点. 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，黄金分割点等，掌握以上知识点是解题的关键． 3．（24-25九年级上·吉林白山·期末）如图①，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值； (2)求出是轴对称图形时的值； (3)如图②，连接，若垂直，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)或或 (3) 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、三线合一、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）由题意得，，，，再分和两种情况解答即可求解； （）当为等腰三角形时，是轴对称图形，分、、三种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可求解； （）解：过作于点，交于点，先证明可得，即得，，，再证明，得到，据此即可求解； 本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， 在中，，，， ∴， 当时，有， 即， 解得； 当时，有， 即， 解得； 综上，若与相似，的值为或； （2）解：当为等腰三角形时，是轴对称图形，分以下三种情况解答： ①当时，有， 解得； ②当时，过点作于， 则，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得； ③当时，过点作于， 则，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或或时，是轴对称图形； （3）解：过作于点，交于点，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 【题型6 相似三角形中的动点探究应用问题】 例题：（2025·山东枣庄·模拟预测）【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 【答案】（1），；（2），，见解析；（3）或. 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据题意证明，再利用性质得到，，继而得到本题答案； （2）先证明，再利用相似性质得，再得到，即可； （3）连接交于，证明出四边形是正方形，继根据勾股定理而得到关系式，并利用值． 【详解】（1），； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2），， 证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）连接交于 点与点关于对称 垂直平分 ， 又 四边形是正方形 过作于， 则是等腰直角三角形，设， ， ， 连接 为直角三角形斜边中点， ， ， ， ，， ， ， ， 解得或， 或. 【点睛】本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，正方形判定及性质，勾股定理，二次函数最值等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）【知识探索】 （1）如图①，在矩形中，E为边上不与端点重合的一个动点，连接，过点A作的垂线，垂足为M，延长，分别交于点N，F，求证：； 【知识应用】 （2）在（1）的条件下，若，求的长； 【知识拓展】 （3）如图②，在中，，D，E分别是上的一点，且，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由矩形的性质得到，然后结合求解即可； （2）证明出，得到，求出，然后证明出，得到，进而求解即可； （3）如图，分别过点A，B作，的垂线交于点F，得到四边形是正方形，设，由得到，得到，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ． 又， ， ． （2）解：四边形是矩形， ， ，， ． 又， ， ． ， ． ，， ， ． ， ． （3）解：如图，分别过点A，B作，的垂线交于点F． ，， 四边形是正方形． 设， ． ， ． 由（2）知，， ， ． 在中，． ， 由（2）知，． 又， ， ， ． 【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形和相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（23-24九年级上·湖南湘潭·阶段练习）（1）问题发现：如图1，在和中，，，点是线段上一动点，连接，填空： ①的值为_____________    ②的度数为___________            图1                  图2 （2）类比探究：如图2，在和中，，，点是线段上一动点，连接，请判断的值及的度数，并说明理由． （3）结论应用：如图2，在（2）的条件下，若，，求线段的长． 【答案】（1）①；②．（2）；；理由见解析（3）或． 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，，进而证明，由此得到答案． （2）通过证明，得到，，由此得到的度数． （3）通过（2）的条件，在中，利用勾股定理可以得到线段的长． 【详解】解：（1），， ， ， ，且， ， ， ， ． 故答案为：①；②． （2）， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，且， ， ， ， ． （3）由（2）知： ， ， ， ， ， 在中， ，， ， 即， 解得：或． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）（1）如图①，在正方形中，E为边上一动点，将沿折叠，得到，过点F作直线，分别交边于点M，N． 【问题探究】 ①求证：； 【问题解决】 ②当时，若，求正方形的边长； 【实际应用】 （2）如图②，有一块形状为正方形的纸片，小李要在边上找一点E，然后将沿折叠，得到，过点F作直线，分别交边于点M，N，小李沿着裁剪交边于点P，沿着裁剪交于点Q．当时，点P为线段的中点吗？请说明理由． 【答案】（1）①见解析，②；（2）点是线段的中点，理由见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①根据正方形和平行线的性质得，由折叠得：，推出，即可得证；②根据相似三角形的性质得，继而得到，，得到，得，，根据勾股定理得，再代入，可得结论； （2）证明得，，根据，推出，，继而得到，再根据，可得，即可得证． 【详解】（1）①证明：四边形是正方形， ， 由题意易得，四边形为矩形， ， ∴由折叠得：， ， ．                          ②解：由①知， ， ，              四边形为矩形， ，             ，              解得或（不符合题意，舍去）， ， ，                                 ， ， 正方形的边长为．                                     （2）证明：点P是线段的中点，理由如下： ， ，                           在和中，， ， ，                              ， ， ， ， ，                                ， ， ， 为的中点． 【点睛】本题考查正方形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、相似三角形——动点问题 【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 由中，，，，可求得的长，由为的中点，可求得的长，然后分别从若与若时，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：中，，，， ， ，为的中点，动点以的速度从点出发， ，， 若， ， ， ， ∴ ， 若时， ， ， ， ∴ ， 综上可得：的值为2或3.5． 故选：C． 2．（24-25九年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在等腰三角形中，，，，E为的中点，D为上一动点，将绕点D顺时针旋转后得到对应线段，连接，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，由旋转的性质可得，，求出，连接，由等腰三角形的性质可得，，求出，，得出点F的轨迹在的边上，当时，最小，此时F在上， 再证明，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ∴， 如图，连接， ， ∵在等腰三角形中，，，，E为的中点， ∴，， ∴，， ∴， 故点F的轨迹在的边上， 当时，最小， ∵， ∴此时F在上，如图， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 故选：D． 3．（2025·陕西宝鸡·一模）如图，在矩形中，P（与点A，B不重合）是边上一动点，连接，过点D作，交的延长线于点E．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：过点E作，易得四边形是矩形得到，然后证明，证明，然后代入相关数据即可解答． 【详解】解：如图：过点E作， ∵矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．（2025·广东深圳·三模）如图（a），在中，，为边的高，，，分别为边，上的动点，且．设的长为，的面积为，图（b）为点运动时随变化的关系图象，则的长度为（    ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，函数图象，先证明，推出 ；根据函数图象得：当时，有最大值，面积为，则，求出此时，得到点为中点，推出，进而证明，得到，求出，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 根据函数图象得：当时，有最大值，面积为，则， ∴， ∵， ∴此时，点为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 5．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过 秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 【答案】2或0.8 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可． 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，，， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似． 故答案为：2或． 6．（24-25九年级下·湖南衡阳·期中）如图（1），在正方形中，点是对角线上一动点，点是上的点，且．设，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、最短路径问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用轴对称得到最短距离是解题的关键．连接，，则，得到，推出，即当点在上时，的值最小，此时的值最小，根据可得，由可设，则，，在中，由勾股定理求出，得到，，，然后证明，根据相似三角形的性质解题即可． 【详解】解：如图，由正方形的性质可知点，关于直线对称，连接，， 四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， 当点在上时，的值最小，此时的值最小， 点， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：（负值已舍去）， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（2025九年级下·海南·专题练习）如图，在边长为5的菱形中，，点是边上一动点（点不与点重合），将线段绕点逆时针旋转，点恰好落在边上的点处，连接，则 ；若交对角线于点，则 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解 【分析】证明为等边三角形，可得，证明为等边三角形，，可得，如图，过点作交于， 证明为等边三角形，可得，证明，可得，再进一步可得结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转，点恰好落在边上的点处， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作交于， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了菱形、旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，掌握上述知识，数形结合分析是关键． 8．（2025·黑龙江佳木斯·二模）在矩形中，，，点在边上，且，是边上的一个动点，若是直角三角形，则的长为 ． 【答案】1或3或 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 分二种情况讨论：当时和当时，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：在矩形中，，，， 如图，当时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：或； 如图，当时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； 综上所述，的长为1或3或， 故答案为：1或3或． 三、解答题 9．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在等边三角形中，点是边上一动点（点不与端点重合），作，交边于点，交边于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是 【知识点】等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查等边三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，而，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由，，求得，，由相似三角形的性质得出，求得，得出答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 10．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，在矩形中，，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从出发，沿向点移动．设、两点移动时间为． (1)_____，_____；（用含的式子表示） (2)当运动时间为多少秒时，与相似． 【答案】(1)，； (2)秒与秒． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形——动点问题、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）先求出，进而表示出和的长度即可； （2）由题意可知， ，再分两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ， 动点以的速度移动，动点以的速度移动， ，， 故答案为：，； （2）解：由题意可知， ， ①如图1，当时，， ，即 解得：（秒）； ②如图2，当时，， ，即 解得：（秒）． 综上所述，为秒与秒时，与相似． 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，正方形与正方形有公共顶点，连接、、，，． (1)求线段的长． (2)若点是平面内一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、圆的基本概念辨析 【分析】（1）证明，即可求出． （2）根据则判断出点在以为圆心，为半径的圆上运动，当三点共线，且在上时，最小，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵正方形与正方形， ∴，， ， ， ， ， ∴， ． （2）解：∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 当三点共线，且在上时，最小，最小值． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的概念，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明三角形相似． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在中，，，是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F，试探究线段、、之间的数量关系． 【特殊化研究】如图1，当D是边中点时，请写出线段、、之间的数量关系是_____________；请写出证明过程． 【一般化探究】 如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段、、之间的数量关系，请写出结论并证明； 【结论推广】请通过类比、归纳、猜想，探究出线段、、之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【答案】特殊化研究：，证明见解析； 一般化探究：，证明见解析； 结论推广：当在射线上时，，当在延长线上时， 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】殊化研究：连接，结合等腰三角形性质证明，利用全等三角形性质和勾股定理求解，即可解题； 一般化探究：过点作于点，作于点，证明和为等腰直角三角形，结合勾股定理得到，，再证明，结合相似三角形性质设，，进而得到，证明四边形为矩形，结合矩形的性质证明，结合相似三角形性质求解，即可解题； 结论推广：根据题意分两种情况讨论，当在射线上时，以及当在延长线上时，解题方法与第二问类似． 【详解】解：特殊化研究： ，证明如下： 连接， D是边中点， 且在中，，， ，，， ， ， ， ， ， . ， ， ， ； 故答案为：； 一般化探究： ，证明如下： 过点作于点，作于点， ，， ， ，， 和为等腰直角三角形， ，，， 同理，， ， ， ， ， 设，， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ； 结论推广： 当在射线上时， 过点作于点，作于点， 由第二问同理可证，， ， 设，， ，， ， ， 四边形为矩形， 再同理可证， ，即， ； 当在延长线上时， 过点作于点，作于点， 由第二问同理可证，， ， 设，， ，， ， ， 四边形为矩形， 再同理可证， ，即， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，矩形的性质和判定，勾股定理，正确画出图形，作出辅助线，并找出对边之间的关系是解题的关键． 13．（2024·山东济南·一模）【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接． 判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由： 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．    【答案】（1）；（2）判断：，理由见解析；（3） 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（1）由正方形的性质得，，，，则有，即可证明，有成立； （2）由矩形的性质得，，结合题意可证得，则有，故； （3）过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，结合矩形的性质证得，有，即可证得，得到，得，则点G的运动轨迹是直线，作点D关于直线的对称点，则，得到的值最小为，将，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 则， 那么，， 故答案为：； （2）判断：，理由如下： ∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）如图，过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，    ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线， 作点D关于直线的对称点，则， ∴当点B，G，三点同一直线时，的值最小，即为， 由（2）得 ， ∴， ∴， ∴的最小值为的最小值，即， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和线段之间的转化及最短距离的求解． 14．（2024·山西晋城·二模）综合与实践 问题情境： 在矩形纸片中，E是边上一动点，F是边上一动点，将矩形纸片沿所在直线翻折，点A的对应点为点H，点B的对应点为点G． 猜想证明： （1）当E是边的中点时． ①如图1，连接，试猜想与的位置关系，并加以证明； ②如图2，连接．若点B的对应点G恰好落在对角线上，延长与边交于点P．求证：P是边的中点． 问题解决： （2）如图3，当点B的对应点G落在边上时，与边交于点Q，连接．若，，，请直接写出的长． 【答案】（1）①，②见解析；（2） 【知识点】矩形与折叠问题、全等的性质和HL综合（HL）、与三角形中位线有关的证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接交于点S，由折叠可得：，进而得到是的中位线，即可求解；连接，根据矩形的性质和折叠的性质可证，即可得到，从而得到答案； （2）设交于M，过点F作，先根据题意证明四边形是矩形，进而根据折叠的性质证明，求得，再证明，即可求解． 【详解】（1）证明：①； 连接交于点S，如图， 由折叠可得： ∴S是的中点， ∵E是边的中点 ∴是的中位线， ∴；   ②连接， ∵四边形是矩形， ∴ 由折叠得：， ∴ ∵E是边的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是的中位线 ∴P是边的中点； （2）解：设交于M，过点F作 ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形， 由折叠可得：， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 设则 在中，，解得，即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形中位线的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，梯形面积的计算，正确作出辅助线是关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$