专题09 认识一元二次方程（3知识点+6大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题09 认识一元二次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 知识点02 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 要点：(1)只有当时，方程才是一元二次方程； 　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 知识点03 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【题型1 判断是否是一元二次方程】 例题：（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 利用一元二次方程的定义求参数】 例题：（24-25九年级上·云南昆明·期中）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程是关于一元二次方程，则的值为 ． 2．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则 ． 3．（24-25九年级下·江西吉安·阶段练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 【题型3 一元二次方程的一般形式】 例题：（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一元二次方程化成一般形式后为 ． 2．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【题型4 一元二次方程的解求参数的值】 例题：（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知是关于的方程的解，则的值为 ． 【变式训练】 1．（2025·江苏镇江·二模）已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知是方程的一个根，则的值是 ． 3．（2025九年级下·云南·学业考试）若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为 ． 【题型5 一元二次方程的解求代数式的值】 例题：（2025·江苏无锡·一模）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 ． 【变式训练】 1．（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模）若是关于x的方程的解，则的值是 2．（2025·吉林·模拟预测）已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 3．（2025·山东威海·二模）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【题型6 一元二次方程的解的估算】 例题：（2025·宁夏吴忠·二模）观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【变式训练】 1.（2025·山东临沂·二模）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 2．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 3．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 一、单选题 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 3．（2025年湖南省初中学业水平考试数学BESTA卷）已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 4．（2025·浙江绍兴·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 5．（2025·广东深圳·模拟预测）已知是一元二次方程（）一个根，则一次函数的图象必过定点（   ） A． B． C． D． 6．（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）将一元二次方程化成一般式： ． 8．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 9．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则 ． 10．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 11．（24-25九年级下·江西抚州·期中）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 12．（2025·云南临沧·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ． 三、解答题 13．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 14．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）已知一元二次方程． (1)将方程化成一般形式； (2)写出二次项系数、一次项系数和常数项． 15．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 16．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 17．（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 18．（24-25九年级上·全国·阶段练习）定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程． (1)【概念感知】的“友好”方程是______； (2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 认识一元二次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 知识点02 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 要点：(1)只有当时，方程才是一元二次方程； 　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 知识点03 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【题型1 判断是否是一元二次方程】 例题：（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次幂为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、原方程化简得：，不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐一判断即可．一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故符合题意； B．含2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； C．的分母含未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D．当时，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选A． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是含有一个未知数且未知数的最高次数是是解题关键．根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，是一元二次方程； ③，不是整式方程，不是一元二次方程； ④，含有两个未知数，并且未知数的最高次数是，不是一元二次方程； 故选：B． 【题型2 利用一元二次方程的定义求参数】 例题：（24-25九年级上·云南昆明·期中）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可． 【详解】解：把 代入，得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【变式训练】 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程是关于一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是根据一元二次方程定义确定方程中未知数的最高次数以及二次项系数的条件． 根据一元二次方程的定义，方程中未知数最高次数为2且二次项系数不为0，据此确定a的值． 【详解】根据题意可得： 未知数的最高次数，即， 二次项系数，即， 综合以上两个条件，只能取， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的定义求参数 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·江西吉安·阶段练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），特别要注意的条件．根据题意列出关于m的等式求解即可． 【详解】解：根据题意可知 解得． 故答案为：． 【题型3 一元二次方程的一般形式】 例题：（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而合并同类项求出即可． 【详解】解： ， 整理得： 故答案为： 【变式训练】 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一元二次方程化成一般形式后为 ． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键．去括号，将移到方程的左边即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式的项或项的系数时，带着前面的符号．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项的系数为3， ∴一次项的系数为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 2 【知识点】多项式的项、项数或次数、化成一元二次方程的一般式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 先将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 【题型4 一元二次方程的解求参数的值】 例题：（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】3 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．把代入方程，解之即可得到的值． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 解得． 故答案为：3． 【变式训练】 1．（2025·江苏镇江·二模）已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，掌握方程的解的含义是解题的关键． 把代入原方程可得答案． 【详解】解：把代入原方程：， ． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知是方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解． 把代入，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（2025九年级下·云南·学业考试）若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为 ． 【答案】3 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，根据题意把代入关于x的一元二次方程中即可求出m的值． 【详解】解：将代入方程中得， 解得． 故答案为：3． 【题型5 一元二次方程的解求代数式的值】 例题：（2025·江苏无锡·一模）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 ． 【答案】2025 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解．把代入原方程，可得，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025． 【变式训练】 1．（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模）若是关于x的方程的解，则的值是 【答案】2021 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，理解一元二次方程的解的意义是解题的关键． 根据一元二次方程的解得到，将其代入中求解，即可解题． 【详解】解：是关于x的方程的解， ， 整理得， 则， 故答案为：． 2．（2025·吉林·模拟预测）已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2031 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，求代数式的值，根据一元二次方程的根的定义得出，然后把变形为，再把整体代入计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ ， 故答案为：2031． 3．（2025·山东威海·二模）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义求解即可． 【详解】解：将代入， 得，即， ∵， ∴， 故答案为：1． 【题型6 一元二次方程的解的估算】 例题：（2025·宁夏吴忠·二模）观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可知 当时，，所以方程的一个近似解是． 【详解】解：， 由表中数据可知：当时，， 一元二次方程的解是． 故选：C． 【变式训练】 1.（2025·山东临沂·二模）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 3．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 【答案】/ 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：时，， 时，， 时，存在， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为熟记：． 【详解】解：、中，没有说明，此选项不符合题意； 、是一元二次方程，此选项符合题意； 、整理后得是一元一次方程，此选项不符合题意； 、中，有个未知数，此选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，理解并掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式是关键． 根据一元二次方程的概念及一般式“”判定即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为， 故选：D ． 3．（2025年湖南省初中学业水平考试数学BESTA卷）已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是2， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2025·浙江绍兴·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 把m代入一元二次方程得到，再利用整体代入法解题即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故选C 5．（2025·广东深圳·模拟预测）已知是一元二次方程（）一个根，则一次函数的图象必过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数的规律探究问题、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一次函数的定义，根据题意得当时，，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程（）一个根， ∴ ∴ ∴一次函数的图象必过定点 故选：B． 6．（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． 二、填空题 7．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）将一元二次方程化成一般式： ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），移项时要注意符号的变化．根据一元二次方程的一般形式求解即可． 【详解】解：将一元二次方程化成一般式为， 故答案是：． 8．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；因此此题可根据“若一元二次方程，则a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项”进行求解即可． 【详解】解：由一元二次方程可知：一次项系数是； 故答案为． 9．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握定义是解题的关键．由2是一元二次方程的一个根，把代入方程，解之即可求得． 【详解】解：一元二次方程的一个根是2， ， 解得． 故答案为：． 10．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，求代数式的值，根据一元二次方程的根的定义得出，然后把变形为，再把整体代入计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为： 11．（24-25九年级下·江西抚州·期中）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：0． 12．（2025·云南临沧·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ． 【答案】（答案唯一）． 【知识点】一元二次方程的定义、三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解三元一次方程，理解“和谐”方程和“美好”方程的定义是解题关键．根据题意得到关于一元二次方程系数的方程组，求出系数之间的关系，再写出满足条件的方程即可． 【详解】解：由题意，一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， ， ， 一元二次方程为， ， 可取， 这个一元二次方程为（答案唯一）． 故答案为：（答案唯一）． 三、解答题 13．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 【答案】二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：， ， ∴该方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 14．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）已知一元二次方程． (1)将方程化成一般形式； (2)写出二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数为，一次项系数为，常数项为1 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式：一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），其中a叫做二次项系数，叫做二次项，b叫做一次项系数，叫做一次项，c叫做常数项． （1）根据一般式的定义，先利用多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后移项，合并同类项即可得到答案； （2）根据（1）所求即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得原方程的一般式为， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为1． 15．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【知识点】由一元二次方程的定义求参数、判断是否是一元一次方程、一元二次方程的定义 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 16．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1)是“凤凰方程”，理由见解析 (2) 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 17．（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析 (2)见解析 (3)或 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 18．（24-25九年级上·全国·阶段练习）定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程． (1)【概念感知】的“友好”方程是______； (2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【知识点】一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，新定义运算． （1）根据“友好”方程的定义求解； （2）先把代入方程得到，再写出关于的一元二次方程的“友好”方程为，再把代入得，然后根据一元二次方程解的定义可判断是方程的一个解． 【详解】（1）解：的“友好”方程是； 故答案为：； （2）解：是．理由如下： 把代入方程得， 即， 关于的一元二次方程的“友好”方程为， 把代入得， 所以是方程的一个解， 即为的“友好”方程的一个解． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$null