专题18 探索三角形相似的条件（2知识点+6大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题18 探索三角形相似的条件 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 要点：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 知识点02 相似三角形的判定定理 1．判定定理（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 2．判定定理（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 3．判定定理（三）：如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 要点：此方法判定两个三角形是否相似，重点是求出对应三边的比，若三边对应成比例，那么这两个三角形相似. 4.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） 【题型1 两角对应相等，两个三角形相似】 例题：（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，，，，求证：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，是上的一个动点．当时，求证：． 2．（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，在中，平分交于点D． 求证：． 3．（24-25九年级上·贵州毕节·阶段练习）如图,在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，求证：． 【题型2 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似】 例题：（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【变式训练】 1．（2025·广东广州·一模）如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 3．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【题型3 三边对应成比例，两个三角形相似】 例题：（24-25九年级上·广西·期中）如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： (1)，，，，，； (2)，，，． 2．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图，在4×4的正方形网格纸中，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．求证：．    3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【题型4 判断三角形相似】 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各组条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，点D，E分别在边上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（    ）    A． B． C． D． 【题型5 添一个条件使两个三角形相似】 例题：（2025·山东济宁·三模）如图，中，P是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 【变式训练】 1．（2025·陕西渭南·一模）如图，中，是上一点，且，交于点，要证明：．在不添加任何辅助线的情况下，可添加一个条件为： ． 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有 ．（填序号） 3．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【题型6 与三角形相似有关的多结论题】 例题：（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，中，，将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的三角形一定与原三角形相似的是（  ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④ 2．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，点D在的边上，添加一个一条件，使，以下是嘉嘉和淇淇的做法．下列说法不正确的是（   ） 嘉嘉的做法：添加条件 证明：∵，．       ∴ (两组角对应相等的两个三角形相似） 淇淇的做法：添加条件 证明：∵，       ∴ (两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．嘉嘉的做法证明过程没有问题 B．淇淇的做法证明过程没有问题 C．嘉嘉的做法添加的条件没有问题 D．淇淇的做法添加的条件有问题 3．（23-24九年级上·河南·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，连接与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型7 三角形相似的证明综合题】 例题：（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 2．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 一、单选题 1．（2024九年级上·全国·专题练习）根据下列各组条件，不能判断和相似的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，点在的边上，要判断与相似，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，，点P在边上，，过点P作直线截，使截得的新三角形与原相似，满足这样条件的直线共有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 4．（2025·贵州贵阳·三模）如图，矩形中，点，分别是，边上的点，连接，，，若，则图中①，②，③，④四个三角形一定相似的是 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 5．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，与在一条直线上，，将图（2）的三角形截去一块，使他变为与图（1）相似的图形，下列做法不正确的是(    ) A．过点E作，交于点G，则 B．取的中点M，连接，则 C．在线段和上分别取点M、N，使得，则 D．在上取一点G，使得，则 二、填空题 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点D，E分别在的边上，请添加一个条件 ，使得．（写出一个即可） 7．（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形中，平分，且，．当 时，． 8．（22-23九年级上·河南鹤壁·阶段练习）直线与的边相交于点，与边相交于点，下列各条件： ①，②，③，④，⑤，能够判断的是 ． 9．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 10．（23-24九年级上·四川宜宾·开学考试）如图，在矩形中，，的平分线交边于点E，于点H，连接并延长交边于点F，连接交于点O，给出下列命题：①；②；③；④， 其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号） 三、解答题 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，， 求证：． 12．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中画一个格点，并作直线． (2)在图②中画一个格点，点在直线上，连接，使． (3)在图③中画一个格点，点不在直线，连接、，使． 13．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图、已知，，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 14．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 15．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． (1)求证：． (2)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长． 16．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在的正方形方格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上 (1)_____； (2)在网格纸中作一个与相似的； (3)只使用直尺，在线段上找一个点，使（保留作图痕迹） 17．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 18．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接． (1)如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）． (2)如图1所示，若为任意锐角，证明：． (3)若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 探索三角形相似的条件 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 要点：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 知识点02 相似三角形的判定定理 1．判定定理（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 2．判定定理（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 3．判定定理（三）：如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 要点：此方法判定两个三角形是否相似，重点是求出对应三边的比，若三边对应成比例，那么这两个三角形相似. 4.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） 【题型1 两角对应相等，两个三角形相似】 例题：（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据余角的性质得出．根据，即可证明结论． 【详解】证明：，， ，， ． ，， ． ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，是上的一个动点．当时，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据题意可得，，根据两个角分别对应相等的两个三角形相似即可求证． 【详解】证明：， ， ， 又， ， ， ． 2．（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，在中，平分交于点D． 求证：． 【答案】见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和，相似三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算出，结合平分，得，最后运用两组角分别相等的两个三角形是相似三角形，即可作答． 【详解】证明：∵在中，， ． 平分， ． ， ． 3．（24-25九年级上·贵州毕节·阶段练习）如图,在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、垂线的定义理解、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，，则，再通过等角的余角相等得出，最后利用相似三角形的判定方法即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型2 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似】 例题：（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】证明：，， ， ， ， ． 【变式训练】 1．（2025·广东广州·一模）如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【答案】见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用平行判定相似 【分析】本题考查考查相似三角形的判定，中位线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．方法一：利用先得出，再结合即可证明；方法二：先证明是的中位线，得出，即可证明． 【详解】证明：方法一：、分别是、的中点， ，， ， ， ； 方法二：、分别是、的中点， ， ． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【答案】(1)小星和小红对，小亮错 (2)见解析 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错； （2）证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 3．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】等边三角形的性质、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，，根据两边成比例夹角相等证得． 【详解】证明：是等边三角形， ，． ． 又，， ， ． 【题型3 三边对应成比例，两个三角形相似】 例题：（24-25九年级上·广西·期中）如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取格点G，连接，，根据勾股定理得到，，得到是等腰直角三角形，求出，进而求出根据勾股定理即可求出； （2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，， 由网格得，点G，A，C三点共线 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； 由勾股定理得，； （2）解：∵在中，，，， ∵在中，，， ∴ ∴． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： (1)，，，，，； (2)，，，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用两角对应相等判定相似、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定、三角形内角和定理；熟练掌握相似三角形的判定方法，通过计算得出三边成比例或两角对应相等是解决问题的关键． （1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理求出，得出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，，， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ，， ，， ． 2．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图，在4×4的正方形网格纸中，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．求证：．    【答案】见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、相似三角形的判定综合 【分析】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握．根据已知条件，结合网格可以求出和的度数，利用勾股定理求出相关线段的长；根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明与相似． 【详解】证明：∵，， ，，，， ∴，， ∴， ∴． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定： （1）利用勾股定理求出的值，然后求比值即可； （2）利用勾股地理和相似三角形的判定方法画图即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， （2）解：如图 ∵，， ∴， ∴． 当点E在点处时，同理可证． 【题型4 判断三角形相似】 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各组条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定逐一分析，即可完成求解． 【详解】A、根据不可判定全等，该项符合题意； B、根据即可判定全等，该项不符合题意； C、根据即可判定全等，该项不符合题意； D、根据即可判定全等，该项不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，点D，E分别在边上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定法则依次判断即可，掌握相似三角形的判定法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故A选项不符合题意； ∵，， ∴，故B选项不符合题意； ∵，， ∴，故C选项不符合题意； ∵，， ∴无法证明，故D选项不符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定定理是解题的关键． 分别根据相似三角形的判定方法进行逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴， 又∵ ∴，故该选项不符合题意； B、∵，， ∴，故该选项不符合题意； C、∵，， ∴，故该选项不符合题意； D、无法得出相似，故该选项符合题意． 故选：D． 【题型5 添一个条件使两个三角形相似】 例题：（2025·山东济宁·三模）如图，中，P是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，要使，观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，根据相似三角形的判定，还需有另一组角对应相等或者夹此角的两边对应成比例即可，熟练利用相似三角形的判定是解题的关键 【详解】解： 当或者或者时，． 故答案为：（答案不唯一） 【变式训练】 1．（2025·陕西渭南·一模）如图，中，是上一点，且，交于点，要证明：．在不添加任何辅助线的情况下，可添加一个条件为： ． 【答案】或或 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．根据相似三角形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴当或或时，． 故答案为：或或 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴，故②符合题意； ∵，， ∴，故④符合题意； 由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意； 故答案为：①②④． 3．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可． 【详解】解：如图， ， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或， ∵，，， ∴或， 解得：或； 故答案为或． 【题型6 与三角形相似有关的多结论题】 例题：（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理“有两个角分别相等的两个三角形相似”，按点P的运动轨迹，依次进行判断即可． 【详解】解：①当时，，， ②当时，，， ③当时，，， ④当时，，， 综上：一共有4个， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，中，，将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的三角形一定与原三角形相似的是（  ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①剪下的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似； ②剪下的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似； ③剪下的三角形与原三角形对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似． ④剪下的三角形与原三角形只有一个角相等，故两三角形不相似； 故正确的有①②③， 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，点D在的边上，添加一个一条件，使，以下是嘉嘉和淇淇的做法．下列说法不正确的是（   ） 嘉嘉的做法：添加条件 证明：∵，．       ∴ (两组角对应相等的两个三角形相似） 淇淇的做法：添加条件 证明：∵，       ∴ (两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．嘉嘉的做法证明过程没有问题 B．淇淇的做法证明过程没有问题 C．嘉嘉的做法添加的条件没有问题 D．淇淇的做法添加的条件有问题 【答案】B 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据题意已知，故添加两组对应边成比例夹角为或者添加一组对应角相等，即可求解． 【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故嘉嘉的做法以及过程没有问题，淇淇的做法添加的条件有问题，应为，说法正确；证明过程中用到两组对应边成比例及一组对应角相等，不能证明两个三角形相似，证明过程错误，故B选项符合题意； 故选：B． 3．（23-24九年级上·河南·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，连接与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定综合 【分析】①根据正方形和等边三角形的性质可得，然后根据三角形内角和求得即可判断；②证明是等边三角形，得出，在中，根据含直角三角形的性质即可求解；③根据，即可求解；④根据两角相等两个三角形相似即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∴，故①正确； ∵是等边三角形， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， 在中，， ， ∴，故②正确； ， ， ， ， ， ∴，故④正确； 在中，， ∴， ∴，故③错误； 综上分析可知，正确的结论有3个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定，勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键． 【题型7 三角形相似的证明综合题】 例题：（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、相似三角形的判定综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识． （1）由等边三角形的性质得到，证明，即可证明； （2）证明，由（1）知：，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，     ∴，       ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，          由（1）知：， ∴，   ∵， ∴． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】垂线的定义理解、根据等角对等边证明边相等、等边三角形的性质、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定． （1）由等边三角形性质得，，从而有；由得，由相似三角形的判定得证； （2）根据，，求出，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵，即：， ∴，， ∴，, ∴； （2）结论：． 证明∵， ∴； ∵， ∴，， 又∵， ∴ 2．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】比例的性质、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的利用等知识．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴ 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，结合，则结论得证； （2）证明即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 一、单选题 1．（2024九年级上·全国·专题练习）根据下列各组条件，不能判断和相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行判断作答即可，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，，则，故选项A不符合要求； ∵，，，， ∴，，则，故选项B不符合要求； ∵，，；，，， ∴，不能判断和相似，故选项C符合要求； ∵，，；，，， ∴，，则，故选项D不符合要求； 故选：C． 2．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，点在的边上，要判断与相似，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：∵是公共角， ∴当或时，（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求； 当时，（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求； 时，不是夹角，故不能判定与相似，故C错误，符合题意要求． 故选：C． 3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，，点P在边上，，过点P作直线截，使截得的新三角形与原相似，满足这样条件的直线共有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题的关键．根据相似三角形的判定条件，画出对应的图形进行分析即可解答． 【详解】解：如图，当直线时，此时，符合题意； 如图，当时，此时，符合题意； 如图，当直线时，此时，符合题意； 综上所述，满足这样条件的直线共有3条． 故选：B． 4．（2025·贵州贵阳·三模）如图，矩形中，点，分别是，边上的点，连接，，，若，则图中①，②，③，④四个三角形一定相似的是 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定，余角定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 由垂直得出，然后利用直角三角形的性质和余角性质得出，然后得出即可得出结论． 【详解】解：如图所示， ∵， ， ， 在矩形中，， 又， ， 故选：C． 5．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，与在一条直线上，，将图（2）的三角形截去一块，使他变为与图（1）相似的图形，下列做法不正确的是(    ) A．过点E作，交于点G，则 B．取的中点M，连接，则 C．在线段和上分别取点M、N，使得，则 D．在上取一点G，使得，则 【答案】B 【知识点】两直线平行同位角相等、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，平行线的性质，难度不大，运用空间想象判断是解题的关键．根据题意可得，即一组角相等，选项A、C，都可以利用平行证明另一组角相等，选项D直接给出另一组角相等，从而可以证明相似，选项B不能证明三角形相似，从而得解． 【详解】解：连接， ∵与在一条直线上， ∴点B，C，E，F四点共线， ∵， ∴， A、如下图，过点E作，交于点G， ∵， ∴， 又∵， ∴，选项A正确，不符合题意； B、如下图，取的中点M，连接， 无法证明，，因此无法证明，选项B错误，符合题意； C、如图在线段和上分别取点M、N，使得， ∵， ∴， 又∵， ∴，选项C正确，不符合题意； D、如下图，在上取一点G，使得， ∵，， ∴，选项D正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点D，E分别在的边上，请添加一个条件 ，使得．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据题意，得到两个三角形有一对公共角，根据相似三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵点D，E分别在的边上， ∴， ∴当时，； 故答案为：（答案不唯一）． 7．（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形中，平分，且，．当 时，． 【答案】9 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 当时，， 即：， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：9． 8．（22-23九年级上·河南鹤壁·阶段练习）直线与的边相交于点，与边相交于点，下列各条件： ①，②，③，④，⑤，能够判断的是 ． 【答案】②⑤ 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定方法，分别进行判定即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴，故此选项错误； ②，可以根据相似三角形的判定方法中的平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，判断出，故此选项正确； ③，缺少夹角相等，故不能判定，故此选项错误； ④，又∵， ∴，故此选项错误； ⑤可以变形为：， 又∵， ∴，故此选项正确； 故正确的有2个． 故答案为：②⑤． 9．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键．过点E作，交的延长线于点H，先证明，得到，，同时计算，因此得到，再证明，即可得到答案． 【详解】过点E作，交的延长线于点H， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·四川宜宾·开学考试）如图，在矩形中，，的平分线交边于点E，于点H，连接并延长交边于点F，连接交于点O，给出下列命题：①；②；③；④， 其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号） 【答案】①③④ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定综合 【分析】根据矩形的性质得到，由平分，得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，得到等腰三角形求出，得到①正确；设，则，求出，得到，故②错误；通过角的度数求出和是等腰三角形，从而得到④正确；由即可证得，故③正确． 【详解】解：在矩形中，， ∵平分， ∴， 是等腰直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴． ∴，故①正确； ∴， ∴， 设， 则， ， ，故②错误； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； ， ∴，故③正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点． 三、解答题 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，， 求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据已知线段的长度，推出，利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，即可得证． 【详解】证明：∵，，． ∴，， ∴，即， 又， ∴． 12．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中画一个格点，并作直线． (2)在图②中画一个格点，点在直线上，连接，使． (3)在图③中画一个格点，点不在直线，连接、，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】相似三角形的判定综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】（1）如图所示，取格点D，作直线，则直线和点即为所求； （2）如图所示，格点E即为所求； （3）如图所示，格点F即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，直线和点即为所求； 可证明，则， 可证明，则可证明； （2）解：如图所示，格点E即为所求； 可证明，再由即可证明； （3）解：如图所示，格点F即为所求； 可证明， 由勾股定理的逆定理可证明，则可证明． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 13．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图、已知，，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定． （1）在中，根据勾股定理求出，再用即可求出的长； （2）先求出的长，得到，再根据，即可证明． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 14．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、相似多边形的性质、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）直接利用两边成比例，夹角相等的两个三角形相似判定即可； （2）先利用相似性质得出，再分别在两个直角三角形和中，利用角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 15．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． (1)求证：． (2)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用两角对应相等判定相似、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和勾股定理是解题的关键． （1）根据题意得出，，即可证明； （2）设，则，根据题意得出，，再根据勾股定理即可得到，计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ； （2）解：设， ， ， , ， , ， ， 解得：， ． 16．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在的正方形方格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上 (1)_____； (2)在网格纸中作一个与相似的； (3)只使用直尺，在线段上找一个点，使（保留作图痕迹） 【答案】(1)135 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】根据正方形的性质求角度、勾股定理与网格问题、无刻度直尺作图、相似三角形的判定综合 【分析】（1）根据正方形的性质即可得解； （2）取格点，连接即可； （3）取格点、，连接交于点即可． 【详解】（1）解：如图，由题意得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求， 理由如下： ∵，，，，， ∴， ∴； （3）解：如图，点即为所求， 理由如下：由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，正方形的性质，无刻度直尺作图，熟练掌握相似三角形的判定及性质，勾股定理，正方形的性质，无刻度直尺作图是解题的关键． 17．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、相似三角形的判定综合、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 18．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接． (1)如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）． (2)如图1所示，若为任意锐角，证明：． (3)若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 (3)成立，证明见解析 【知识点】相似三角形的判定综合、三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的外角，相似三角形的判定，熟练掌握一线三等角相似模型，是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，结合三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）等边三角形的性质，得到，利用三角形的外角得到，即可得证； （3）成立，同法（2）即可得证． 【详解】（1）解：∵边三角形和等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）证明：由（1）知：， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （3）成立，证明如下： ∵等边三角形和等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$