专题13 一元二次方程的根与系数的关系（2知识点+6大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题13 一元二次方程的根与系数的关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 知识点02 一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③； ④；⑤； ⑥；⑦； ⑧；⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 【题型1 利用一元二次方程根与系数的关系求值】 例题：（2025·辽宁鞍山·二模）一元二次方程的两个根分别为，，则 ． 【变式训练】 1．（2025·江西·模拟预测）设m，n是一元二次方程的两个根，则 ． 2．（2025·山东泰安·二模）已知两个不相等的实数，满足：，则 ． 3．（2025九年级下·江苏南京·专题练习）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 【题型2 通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值】 例题：（2025·四川乐山·模拟预测）已知关于的一元二次方程的两根为，，则的值为 ． 【变式训练】 1．（2025·山东聊城·三模）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ． 2．（2025·重庆巴南·二模）若m，n为一元二次方程的两个根，则的值为 ． 3．（2025·湖北十堰·二模）若a，b是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【题型3 利用一元二次方程根与系数的关系求参数】 例题：（2025·江苏南京·一模）设，是关于x的方程的根，且，则k的值为 ． 【变式训练】 1．（2025·四川成都·二模）已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为 ． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，且，则实数的值为 ． 3．（2025·四川绵阳·二模）已知关于x的方程有两个不等实数根，且，则m的值是 【题型4 利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假】 例题：（2025八年级下·安徽·专题练习）对于一元二次方程下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（   ） ①若，则； ②若关于x的方程没有实数根，则； ③代数式有最小值； ④若关于x的方程的解为p和q，则的值为． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．只有② B．只有②④ C．只有②③ D．只有②③④ 3．（24-25八年级下·山东泰安·期中）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则； ②若方程的两根之积为，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ④若是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型5 利用一元二次方程根与系数的关系比较根的大小】 例题：（23-24九年级上·广东深圳·期中）已知，是关于的方程的两根，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．， 【变式训练】 1.（23-24九年级下·湖南娄底·阶段练习）关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（   ） A． B．1 C．3 D．9 2.（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）设方程有两个根和，且，那么方程的较大根的范围为（    ） A． B． C． D． 3.（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ． 【题型6 与一元二次方程根与系数有关的解答证明题】 例题：（24-25八年级下·北京·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的两个实数根为，且，求的值． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (3)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读材料：如果一元二次方程的两个实数根分别是、，那么，．借助该材料完成下列各题： (1)若、是方程的两个实数根，______；______； (2)若、是方程的两个实数根，______；______； (3)若、是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 一、单选题 1．（2025·河南周口·模拟预测）若是方程 的一个根，则另一个根是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·广西崇左·三模）若是方程 的两个根，则的值为（    ） A． B．1 C．6 D． 3．（2025·河北廊坊·二模）已知，是关于x的方程的两个根，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）若方程的两根分别为，，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 5．（2025·四川南充·二模）如果实数、（）分别满足，，则的值等于（   ） A． B． C． D．2025 二、填空题 6．（2025·广东惠州·一模）已知方程的两根分别为a和b，则 ． 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知是一元二次方程的两个实数根，则 ． 8．（2025·江苏南通·一模）设是方程的两个根，且，则的值为 ． 9．（2025·四川·二模）若关于x的一元二次方程的两个实数根，满足，且，则k的值为 ． 10．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，满足，则 ． 三、解答题 11．（2025·湖南长沙·三模）已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： (1)； (2)． 12．（2025·江苏扬州·二模）已知关于的方程：，其中是常数． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值． 13．（2025·四川乐山·二模）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：______，______； (2)已知，求的值． 14．（24-25八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 15．（2025·云南临沧·模拟预测）已知关于是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是___________；（填写序号） (2)已知关于的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 一元二次方程的根与系数的关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 知识点02 一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③； ④；⑤； ⑥；⑦； ⑧；⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 【题型1 利用一元二次方程根与系数的关系求值】 例题：（2025·辽宁鞍山·二模）一元二次方程的两个根分别为，，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·江西·模拟预测）设m，n是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴， 故答案为：． 2．（2025·山东泰安·二模）已知两个不相等的实数，满足：，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可得实数是关于x的方程的两个不相等的实数根，则由根与系数的关系即可得到答案． 【详解】解：∵两个不相等的实数，满足：， ∴实数是关于x的方程的两个不相等的实数根， ∴， 故答案为：． 3．（2025九年级下·江苏南京·专题练习）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是牢记根与系数的关系并正确代入计算． 先根据一元二次方程的系数确定两根之和与两根之积，再代入式子计算． 【详解】∵一元二次方程的两个实数根分别为和， ， ． 故答案为：1 【题型2 通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值】 例题：（2025·四川乐山·模拟预测）已知关于的一元二次方程的两根为，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关公式是解题关键． 先对进行变形得，利用一元二次方程的根与系数的关系得、，后整体代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，得：，， ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·山东聊城·三模）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，先把代入方程，整理得，再用根与系数的关系求得，最后代入求值即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 2．（2025·重庆巴南·二模）若m，n为一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系、多项式乘以多项式法则和代数式求值．利用一元二次方程根与系数关系得到，再利用多项式的乘法则计算，整体代入计算即可． 【详解】解：∵m，n为一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为： 3．（2025·湖北十堰·二模）若a，b是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可．本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，对于一元二次方程，若它的两个根为，，则满足，．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根， ∴，， ． 故答案为：． 【题型3 利用一元二次方程根与系数的关系求参数】 例题：（2025·江苏南京·一模）设，是关于x的方程的根，且，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 根据条件得出，，原式整理为，从而列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意，知， ∴，即 解得． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·四川成都·二模）已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的情况是解题的关键，由于，是方程的两个实数根，可得，，代入可得，进而得到，，代入原式验证后，即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，原方程为， ∴，不符合题意舍去， 当时，原方程为， ∴，符合题意舍去， 综上所述：， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，且，则实数的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系将已知条件转化为关于a的方程。 由一元二次方程根与系数的关系可知，再整体代入中，求出a的值． 【详解】解：∵是的两个实数根， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 3．（2025·四川绵阳·二模）已知关于x的方程有两个不等实数根，且，则m的值是 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，再根据完全平方公式变形得到关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根为， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型4 利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假】 例题：（2025八年级下·安徽·专题练习）对于一元二次方程下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识． 根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：若方程的两个根是和2，则， ∴， ∴； 故①正确； 若c是方程的一个根，则， ∴或， 故②错误； 若，则， 即有一个根是； 故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根， 故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（   ） ①若，则； ②若关于x的方程没有实数根，则； ③代数式有最小值； ④若关于x的方程的解为p和q，则的值为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】配方法的应用、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据可得，据此解方程即可判断①；根据题意可得关于x的方程没有实数根，据此利用根的判别式求解即可判断②；，据此可判断③；关于x的方程的解为p和q，则，进而根据完全平方公式的变形得到，再根据即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或，故①说法错误； ∵关于x的方程没有实数根， ∴关于x的方程没有实数根， ∴关于x的方程没有实数根， ∴， ∴，故②说法正确； ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为，故③正确； ∵关于x的方程的解为p和q， ∴关于x的方程的解为p和q， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴或，故④错误， 故选B． 2．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．只有② B．只有②④ C．只有②③ D．只有②③④ 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，∴方程必有一个根为，故①错误，不符合题意； ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意； ③由c是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确，不符合题意；④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正确，符合题意． 正确的结论为②④， 故选：B． 3．（24-25八年级下·山东泰安·期中）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则； ②若方程的两根之积为，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ④若是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键． 按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质等知识对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，， 一元二次方程有两个相等的实数根或两个不相等的实数根， ，故①错误； ②若方程的两根之积为，则，得到，故②正确； ③方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故③正确； ④由是方程的一个根，得，即． 当，则；当，则不一定等于，故④不一定正确． 综上所述：正确的有个； 故选：B． 【题型5 利用一元二次方程根与系数的关系比较根的大小】 例题：（23-24九年级上·广东深圳·期中）已知，是关于的方程的两根，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此即可得出，结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出，结合的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出，结论C错误；D、由，可得出、异号，结论D错误．综上即可得出结论． 【详解】解：A、， ，结论正确，符合题意； B、、是关于的方程的两根， ， 的值不确定， 结论不一定正确，不合题意； C、、是关于的方程的两根， ，结论错误，不合题意； D、， 、异号，结论D错误，不合题意． 故选：A． 【变式训练】 1.（23-24九年级下·湖南娄底·阶段练习）关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（   ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系，根据，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵方程的两个根，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 解得：，， ∵， ， 解得：，故， 故选：C． 2.（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）设方程有两个根和，且，那么方程的较大根的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是由根与系数的关系得出，，再设方程的为，，根据跟与系数的关系得出，，从而得出方程的两根为，，然后由，求出，的取值范围，从而得出结论． 【详解】解：方程有两个根和， ，， 设方程的为，， 则，， ，， ， 方程的两根为，， ，， ，， ，，即， 方程的较大根的范围为． 故选：C． 3.（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程根系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的知识解答．根据关于x的方程有两个不相等的实数根，，可以得到a的取值范围，再根据得出，利用根与系数的关系得出，，再利用分类讨论的方法求出a的取值范围，本题得以解决． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 当时，解不等式得：， ∴； 当时，解不等式得：， ∴此时无解； 综上分析可知：． 故答案为：． 【题型6 与一元二次方程根与系数有关的解答证明题】 例题：（24-25八年级下·北京·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有实数根得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）∵，是该方程的两个根， ∴， ∴， 解得：或； 由（1）可知：， ∴． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式，以及根与系数的关系是解题的关键． （1）利用根的判别式，进行计算即可解答； （2）利用根与系数的关系和已知可得，求出，代入方程得：，再求解即可． 【详解】（1）， 方程总有两个不相等的实数根； （2）， ， 代入方程得：， 解得：． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (3)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)的取值范围是； (3)的值为． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】此题考查了一元二次方程的解， 一元二次方程，一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点的应用及正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程得，然后解一元二次方程即可； （）由题意得，然后解不等式即可； （）由题意可得，，则，解得，， 再通过即可求出的值． 【详解】（1）解：∵该方程有一个根是， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵该方程有两个实数根， ∴， 解得． 即的取值范围是； （3）解：∵该方程的两个实数根，， ∴，， ∴， 化简得， 解得，， 由（）可知，， 所以的值为． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读材料：如果一元二次方程的两个实数根分别是、，那么，．借助该材料完成下列各题： (1)若、是方程的两个实数根，______；______； (2)若、是方程的两个实数根，______；______； (3)若、是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)4，； (2)2，12； (3)． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）直接根据根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系求出，，然后根据分式的加法和完全平方公式的变形求解即可； （3）首先由根与系数的关系得出，，然后根据完全平方公式变形求出求的值，最后检验即可． 【详解】（1）解：、是方程的两个实数根， ，， 故答案为：4，； （2）解：、是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：2，12； （3）解：、是关于的方程的两个实数根， ，， 又∵， ，即， 解得，或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， ． 一、单选题 1．（2025·河南周口·模拟预测）若是方程 的一个根，则另一个根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 设另一个根为，根据根与系数的关系，即可求出另一个根． 【详解】解：设另一个根为， 根据题意，得， 解得． 故选：B． 2．（2025·广西崇左·三模）若是方程 的两个根，则的值为（    ） A． B．1 C．6 D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 3．（2025·河北廊坊·二模）已知，是关于x的方程的两个根，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，根据判别式判断根的情况，根据根与系数的关系，判断两根的符号，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∵，是关于x的方程的两个根， ∴；故A正确，B错误； ∴， ∴异号或其中一个的值为0，的值不一定大于0；故C，D错误； 故选A． 4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）若方程的两根分别为，，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系； 先根据一元二次方程根的判别式的意义求出，再利用根与系数的关系得出，结合已知条件即可求出m的取值范围． 【详解】解：将方程整理为， ∴， 解得：， 根据根与系数的关系可得：， ∵， ∴， ∴， 综上，m的取值范围为， 故选：D． 5．（2025·四川南充·二模）如果实数、（）分别满足，，则的值等于（   ） A． B． C． D．2025 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟练的构建一元二次方程的解本题的关键． 由，可得，可得，可得，是方程的两个根，，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，而，， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴； 故选：C． 二、填空题 6．（2025·广东惠州·一模）已知方程的两根分别为a和b，则 ． 【答案】4 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．一元二次方程的两根为，则，，据此进行求解即可． 【详解】解：∵方程的两根分别为a和b，， ∴ ∴ 故答案为：4． 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数之间的关系，得到，整体代入法进行计算即可．熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴； 故答案为：． 8．（2025·江苏南通·一模）设是方程的两个根，且，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次根与系数的关系，熟知若是一元二次方程的两实数根，则是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2025·四川·二模）若关于x的一元二次方程的两个实数根，满足，且，则k的值为 ． 【答案】2 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据所给一元二次方程有实数根，得出关于k的不等式，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根，，且，， ∴， 由是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 故 解得，符合题意， 故答案为：2． 10．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，满足，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系得出关系式可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 经检验当时，符合题意， 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·湖南长沙·三模）已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】分式的求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，熟知根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系得到，再由计算求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再把所求式子去括号得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的两根， ∴， ∴ ． 12．（2025·江苏扬州·二模）已知关于的方程：，其中是常数． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值． 【答案】(1)见解析 (2)2015 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解的定义，正确变形、灵活应用整体思想是解题关键； （1）证明方程的判别式大于0即可； （2）当时，原方程为，根据一元二次方程根与系数的关系和方程解的定义可得，然后把所求式子变形后再整体代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：当时，原方程为， ∵、是此方程的两个根， ∴， ∴ ∴ ． 13．（2025·四川乐山·二模）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)，1； (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式等知识．解题的关键是： （1）根据根与系数的关系求出和的值即可； （2）将转化成，然后将和的值代入即可得解． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系，得，， 故答案为：，1； （2）解：∵， ∴， 又，， ∴， 整理得， 解得，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， ∴． 14．（24-25八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，熟知解一元二次方程的方法和根与系数的关系是解题的关键． （1）由根与系数的关系得到，，再根据代值计算即可； （2）由根与系数的关系得到，，再根据得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：当时，原方程为， ∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∴ ； （2）解：∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 解得  ． 15．（2025·云南临沧·模拟预测）已知关于是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是___________；（填写序号） (2)已知关于的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】(1) (2) (3)和 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握“差根方程”的定义是解题的关键． （1）解方程并根据定义进行判断即可； （2）解方程得到，，根据定义得到，即； （3）分为斜边和为直角边两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， 该方程是差根方程； ， ， ， ， 该方程不是差根方程； 故答案为： （2）， 因式分解得：， 解得：， 关于x的方程是“差根方程”， ； （3）设 当为斜边时，， ， ， ， 解得， ， 解得舍去，边长不能为负， ， 方程为， 当为斜边，则， ， ， ， 当时，时，解得由韦达定理可得方程为， 当时，(边长不能为负，舍去， 综上，这个差根方程为和 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$