专题19 圆与圆的位置关系（5知识点+6大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题19 圆与圆的位置关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：圆与圆的位置关系 1、圆与圆相交，有两个公共点； 2、圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； 3、圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 知识点02：圆与圆的位置关系的判定 1、几何法 若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d． 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 2、代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 知识点03：圆与圆的公切线 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 知识点04：圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 知识点05：圆系方程 1、以为圆心的同心圆圆系方程：； 2、与圆同心圆的圆系方程为； 3、过直线与圆交点的圆系方程为 4、过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 【题型01：判断圆与圆的位置关系】 一、单选题 1．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 2．（24-25高二上·陕西西安·期末）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 3．（24-25高二上·浙江·月考）已知圆，则以下选项中与圆内切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广西南宁·月考）已知圆.动点在直线上运动，现以点为圆心半径为作圆记为，则圆与圆的位置为（    ） A．相离 B．相交 C．内含 D．相交或相切 5．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 6．（24-25高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外切 C．相交或相切 D．内切 7．（23-24高二上·浙江·期中）已知圆与圆，则“”是“圆与圆外切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型02：由圆与圆的位置关系求参数】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆与圆外切，则（    ） A． B． C．7 D．13 2．（24-25高二上·江西宜春·月考）两圆和相切，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州黔南·月考）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏常州·期中）若圆上总存在两点到点的距离等于3，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型03：圆与圆相交下的公共弦问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆，点，若直线，分别切圆于，两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则下列结论错误的是（    ） A．直线的方程为 B． C．均与圆相切 D．四边形的面积为 【题型04：公切线的条数问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·山东·期中）圆：与圆：的公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·江苏无锡·期中）圆与圆的公切线条数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·福建福州·月考）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽·月考）与点的距离为2，且与点的距离为1的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 6．（24-25高二上·重庆·期中）若圆与圆有公切线，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【题型05：求公切线方程及长度】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南·月考）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 二、填空题 2．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为 . 3．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 4．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 三、解答题 5．（24-25高二上·陕西西安·月考）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【题型06：圆系方程】 一、单选题 1．（2024高二·全国·专题练习）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（23-24高二下·全国·课堂例题）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 三、解答题 3．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知圆C：． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程． 一、单选题 1．（23-24高二上·湖北武汉·月考）已知圆，圆，则与的位置关系是（    ） A．外切 B．内切 C．外离 D．相交 2．（24-25高二上·四川成都·月考）若圆与圆相交于、，则所在直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知圆，圆，则这两个圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高二上·重庆荣昌·期中）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．2或-1 D．3或 5．（23-24高二上·安徽宿州·期中）若圆与圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江西新余·月考）已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（ ） A． B． C．或1 D． 7．（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山东·期中）已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 9．（23-24高二上·河北石家庄·期中）若直线与圆及圆共有3个公共点，则所有符合条件的a的和为（    ） A．0 B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知圆与圆，下列选项正确的有（   ） A．若，则两圆外切 B．若，则直线为两圆的一条公切线 C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D．若，则两圆公共弦的长度为 11．（24-25高二上·江苏镇江·期中）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 12．（24-25高二上·四川乐山·期末）已知和，则下列说法正确的是（   ） A．两圆相交，有两个公共点 B．两圆的公共弦所在直线方程为 C．两圆公共弦长度为 D．经过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程为 三、填空题 13．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆，圆，两圆交于，两点，则面积的最小值为 ． 四、解答题 14．（23-24高二上·辽宁本溪·月考）已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦长； (2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 15．（24-25高二上·江西抚州·月考）已知圆的圆心为，且圆与直线相切. (1)求圆的方程： (2)圆，是否存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2，若存在，求出实数的值：若不存在，请说明理由. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 圆与圆的位置关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：圆与圆的位置关系 1、圆与圆相交，有两个公共点； 2、圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； 3、圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 知识点02：圆与圆的位置关系的判定 1、几何法 若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d． 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 2、代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 知识点03：圆与圆的公切线 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 知识点04：圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 知识点05：圆系方程 1、以为圆心的同心圆圆系方程：； 2、与圆同心圆的圆系方程为； 3、过直线与圆交点的圆系方程为 4、过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 【题型01：判断圆与圆的位置关系】 一、单选题 1．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 【答案】D 【分析】根据圆心距和半径的关系即可求解. 【详解】的圆心和半径为，，的圆心和半径为，, 故,,故两圆相交， 故选：D 2．（24-25高二上·陕西西安·期末）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【分析】利用几何法可判断出两圆的位置关系. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为， 故圆与圆外切. 故选：C. 3．（24-25高二上·浙江·月考）已知圆，则以下选项中与圆内切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】明确圆的圆心和半径，计算圆心距，根据两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差的绝对值来判断两圆是否内切. 【详解】圆的圆心为，半径. 对A选项：圆心，半径，因为圆心距，所以两圆不内切，故A选项不满足条件； 对B选项：圆心，半径，因为圆心距，所以两圆内切，故B选项满足条件； 对C选项：圆心，半径，因为圆心距，所以两圆不内切，故C选项不满足条件； 对D选项：圆心，半径，因为圆心距，所以两圆不内切，故D选项不满足条件. 故选：B 4．（24-25高二下·广西南宁·月考）已知圆.动点在直线上运动，现以点为圆心半径为作圆记为，则圆与圆的位置为（    ） A．相离 B．相交 C．内含 D．相交或相切 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，进而根据可得结论. 【详解】由，可得圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离， 因为动点在直线上运动，所以， 又圆的半径为，所以， 所以圆与圆的位置为相离. 故选：A. 5．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【答案】C 【分析】求解两圆的圆心和半径，计算圆心距和两半径之间的关系，即可求解. 【详解】， 故的圆心为，半径为， ， 故的圆心为，半径为， 故，当且仅当时，等号成立，而， 当时，两圆外离或相交，时，两圆内切， 故两圆不可能内含. 故选：C 6．（24-25高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外切 C．相交或相切 D．内切 【答案】A 【分析】利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程为圆，再判断圆心距和半径的关系即可得解. 【详解】由，得， 则，整理得， 表示圆心为，半径为的圆， 圆的圆心为为圆心，半径， 两圆的圆心距为，满足， 所以两个圆相交. 故选：A. 7．（23-24高二上·浙江·期中）已知圆与圆，则“”是“圆与圆外切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用两圆相切圆心距与两半径之和相等，分别证明充分性和必要性是否成立即可得出答案. 【详解】根据题意将圆化成标准方程为； 易知， 所以可得圆心，半径为，圆心，半径为， 可得，两半径之和； 若，圆心距，两半径之和，此时， 所以圆与圆外切，即充分性成立； 若圆与圆外切，则，解得或（舍）， 所以必要性成立； 即“”是“圆与圆外切”的充分必要条件. 故选：C 【题型02：由圆与圆的位置关系求参数】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆与圆外切，则（    ） A． B． C．7 D．13 【答案】C 【分析】由题意分别求两圆的圆心和半径，根据两圆外切可得，代入运算求解． 【详解】由，可得圆的圆心，半径为， 由，可得， 所以圆心为，半径为， 因为两圆外切，所，所以， 则，解得． 故选：C. 2．（24-25高二上·江西宜春·月考）两圆和相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆半径相等，则只能外切，圆心距等于半径之和﹒ 【详解】∵两圆的半径相等，∴两圆必相外切． ∴，即． 故选：B 3．（24-25高二上·贵州黔南·月考）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出两圆的圆心和半径，结合两圆外离求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心，半径为，， 又，且两圆外离， 则，即，解得， 所以，即的取值范围是. 故选：C 4．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，由题意有，即可求参数范围. 【详解】由，则， 由，则， 则， 因为圆与圆有公共点，所以， 即，解得， 所以实数取值范围是. 故选：C. 5．（24-25高二上·江苏常州·期中）若圆上总存在两点到点的距离等于3，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点，由圆与圆的位置关系建立不等式求解即可． 【详解】因为圆上总存在两个点到点的距离为， 所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点， 则圆与圆相交， 所以，即， 解得：或， 所以实数的取值范围是． 故选：A． 【题型03：圆与圆相交下的公共弦问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两圆的方程整理成一般式，化简后相减得到一个二元一次方程即得. 【详解】将两个圆的方程化为一般式，分别为和， 作差整理得，即为所求． 故选：B. 2．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程相减可得答案. 【详解】，① ，② ①②得. 故选：B. 3．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程作差得到公共弦方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【详解】圆即，圆心，半径； 圆即，圆心，半径， 因为，则，所以两圆相交， 则两圆的公共弦方程为， 则到的距离， 所以. 故选：A 4．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆，点，若直线，分别切圆于，两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知直线为圆和以为直径的圆的公共弦，求出以为直径的圆，即可求出结果． 【详解】因为直线，分别切圆于，两点， 所以， 所以点在以为直径的圆上． 因为， 所以以为直径的圆的圆心为， 半径为， 故以为直径的圆的方程，即， 又圆，即， 两圆方程相减得， 所以直线的方程为：． 故选：A． 5．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出公共弦所在的直线方程以及公共弦长，利用面积公式计算即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆即，则圆心为，半径， 所以，则，所以两圆相交； 联立,相减可得直线：， 所以到直线的距离为， 利用圆与直线相交可得：， 所以. 故选：A. 6．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则下列结论错误的是（    ） A．直线的方程为 B． C．均与圆相切 D．四边形的面积为 【答案】D 【分析】对于A，将圆的方程化为标准方程，求解出圆心的坐标，则圆的标准方程可求，最后化为一般方程再联立两个圆的一般方程，通过相减消去得到直线的方程并判断；对于B，利用弦长公式即可判断；对于C，根据切线的定义进行判断；对于D，根据结合线段长度求解出结果并判断. 【详解】由圆，得， 则圆心，半径， 线段的中点坐标为，且， 则圆，即. 对于选项A：联立，两式作差可得：， 即直线的方程为，故A正确； 对于选项B：圆心到直线的距离为， 则，故B正确； 对于选项C：因为在以为直径的圆上，则， 由圆心与切点的连线与切线垂直，可得均与圆相切，故C正确； 对于选项D：因为，且， 则， 所以四边形的面积为，故D错误． 故选：D． 【题型04：公切线的条数问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·山东·期中）圆：与圆：的公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据圆方程确定圆心坐标和半径，即可确定圆与圆的位置关系，从而可确定公切线条数. 【详解】由，可得， 所以圆心， 设两圆的半径分别为，则， 圆心距， 所以两圆外切，则公切线的条数为3条， 故选:C. 2．（24-25高二上·江苏无锡·期中）圆与圆的公切线条数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程可知圆心和半径，可得，进而判断两圆的位置关系，即可得结果. 【详解】由题意可知：圆，即， 可知其圆心为，半径； 圆，即， 可知其圆心为，半径； 因为，即， 所以两圆相交，公切线有2条. 故选：B. 3．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据公切线的条数确定两圆的位置关系，进而求解即可. 【详解】由题意知，，因为圆与圆有且仅有一条公切线， 所以两圆内切，故，即， 解得. 故选：C. 4．（24-25高二下·福建福州·月考）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆恰有两条公切线时两圆相交，即圆心距满足，列不等式即可求出的取值范围． 【详解】由圆与圆恰有两条公切线，得圆与圆相交， 而圆心，半径，圆心，半径，则 ， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 5．（24-25高二上·安徽·月考）与点的距离为2，且与点的距离为1的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】求出以点为圆心，分别以2，1为半径的圆方程，再判断两圆的位置关系即可得解. 【详解】与点的距离为2的直线是圆的切线， 与点的距离为1的直线是圆的切线， 两圆的圆心距，因此圆与圆外切，有3条公切线， 所以满足条件的直线共有3条. 故选：C 6．（24-25高二上·重庆·期中）若圆与圆有公切线，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据公切线的数量判断两圆位置关系，结合圆心距和半径列出不等式，求解即可. 【详解】由题意知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 假设圆与圆没有公切线， 此时两圆内含，所以圆心距，即，解得， 所以当圆与圆有公切线时，实数的范围是， 故选：B. 【题型05：求公切线方程及长度】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南·月考）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 二、填空题 2．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为 . 【答案】 【分析】根据标准方程确定圆心、半径，进而得到两圆位置关系为内切，确定切点即可写出公切线方程. 【详解】由，圆心为，半径为， 由，圆心为，半径为， 显然，即两圆内切，且切点为， 所以两圆公切线的方程为. 故答案为： 3．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 4．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【分析】求出两圆圆心和半径，两圆圆心距以及两圆心所在直线方程即可得两圆公切线情况，再结合直线垂直关系以及两平行直线距离公式即可求公切线方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为.    故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 三、解答题 5．（24-25高二上·陕西西安·月考）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【分析】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【详解】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 【题型06：圆系方程】 一、单选题 1．（2024高二·全国·专题练习）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆系方程，利用圆心坐标求出参数，建立方程求解即可. 【详解】经过圆：和圆：交点的圆可设为，即， 圆心在直线上，故，解得， 所以圆的方程为. 故选：A. 二、填空题 2．（23-24高二下·全国·课堂例题）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 【答案】 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 三、解答题 3．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知圆C：． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）根据圆心到直线的距离即可求解， （2）联立两圆方程可得交点坐标，进而根据圆的性质利用几何法求解圆心坐标，进而可求解，或者利用圆系方程，代入圆心坐标即可求解. 【详解】（1）当直线有斜率时，设切线的斜率为k，则切线方程为， 即 ∵圆心到切线的距离等于半径2， ∴ 解得或． 因此，所求切线方程为，或． 当直线无斜率时，则，此时直线与圆不相切，不满足题意， 故切线方程为，或． （2）法一： 联立，解得或． ∴圆C与圆Q的交点为，， 线段AB的垂直平分线为，设所求圆的圆心为，半径为r． 由，解得，所以圆心为，． 因此，所求圆的方程为 法二：设经过圆C与圆Q交点的圆为：．（） 即 即 圆心代入直线，得． 因此，所求圆的方程为． 一、单选题 1．（23-24高二上·湖北武汉·月考）已知圆，圆，则与的位置关系是（    ） A．外切 B．内切 C．外离 D．相交 【答案】C 【分析】根据圆心距与半径的关系判断即可得解. 【详解】由题意知，， 两圆心距离， 所以两圆相外离. 故选：C 2．（24-25高二上·四川成都·月考）若圆与圆相交于、，则所在直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两圆方程作差，可得出直线的方程. 【详解】因为圆与圆相交于、， 将这两圆方程作差可得， 因此，直线的方程为. 故选：A. 3．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知圆，圆，则这两个圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由圆的方程表示出圆心与半径，求得圆心距以及半径的和差，并进行比较，可得答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的方程可化为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距， 因为，，， 所以两个圆的位置关系是相交，公切线共有2条. 故选：B. 4．（24-25高二上·重庆荣昌·期中）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．2或-1 D．3或 【答案】D 【分析】根据给定条件，可得圆内切于圆，进而求出的值 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆与圆有且仅有一条公共切线，得圆内切于圆， 则，而，因此，所以或. 故选：D 5．（23-24高二上·安徽宿州·期中）若圆与圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意确定两圆的圆心和半径，利用圆与圆的位置关系建立不等式组，解之即可. 【详解】由题意知，， 则， 因为圆C与圆O有公共点， 所以，即， 解得. 故选：A. 6．（24-25高二上·江西新余·月考）已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（ ） A． B． C．或1 D． 【答案】C 【分析】先求出公共弦方程，在根据勾股定理由弦长计算圆心到公共弦的距离进而求出，最后再求圆的半径. 【详解】两圆相减得公共弦方程为：， 根据题意可知，圆的圆心到公共弦的距离， 解得：或， 当时，圆的标准方程为：， 当时，圆的标准方程为：， 所以或. 故选：C 7．（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】由题可先设出圆系方程：， 则圆心坐标为； ， 又圆心在直线上，可得，解得， 所以圆的方程为：，故A正确. 故选：A. 8．（24-25高二上·山东·期中）已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【分析】先分析的圆心，根据条件可知直线经过的圆心，由此可求的值，然后根据圆心距与半径之间的关系作出判断即可. 【详解】， 所以的圆心为，半径且， 的圆心为，半径， 因为关于直线对称，所以直线经过圆心， 所以，解得， 所以，所以， 所以圆与圆外切， 故选：B. 9．（23-24高二上·河北石家庄·期中）若直线与圆及圆共有3个公共点，则所有符合条件的a的和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆的位置关系，结合图形，得要与一圆相切或过两圆的交点. 【详解】，圆心，半径 由，得，圆心，半径， 圆心距为，，故两圆相交， 直线与圆及圆共有3个公共点， 情形一，与圆在下方相切时，则，得， 情形二，与圆在上方相切时，则，得， 情形三，过两圆的交点时， 两圆相减得，代入圆得：， 则两交点分别为，代入直线， 得，或 则所有符合条件的a的和为. 故选：D 二、多选题 10．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知圆与圆，下列选项正确的有（   ） A．若，则两圆外切 B．若，则直线为两圆的一条公切线 C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D．若，则两圆公共弦的长度为 【答案】ABD 【分析】根据两圆外切的条件可判断A，根据切线定义判断B，根据两圆的公共弦的求法判断C，求得公共弦长判断D. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 由圆，可得圆心为， 若，两圆心间距离为，即两圆心间距离等于两圆半径之和，故A正确； 若，则两圆心到距离分别为，，即两圆心到距离分别为圆的半径，故B正确； 若，则，又， 两圆的方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为，故C错误； ，由选项C可知两圆的公共弦所在直线方程为， 所以到直线的距离为， 所以弦长为，故D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高二上·江苏镇江·期中）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 【答案】AC 【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，对于C，求出，再由可求得结果，对于D，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可. 【详解】由，得，则，半径， 由，得，则，半径， 对于A，公共弦所在的直线方程为， 即，所以A正确， 对于B，到直线的距离， 所以公共弦的长为，所以B错误， 对于C，因为，，， 所以圆与圆的公切线长为，所以C正确， 对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为， 所以直线为，即，所以D错误， 故选：AC. 12．（24-25高二上·四川乐山·期末）已知和，则下列说法正确的是（   ） A．两圆相交，有两个公共点 B．两圆的公共弦所在直线方程为 C．两圆公共弦长度为 D．经过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程为 【答案】ABD 【分析】确定两圆的圆心和半径，确定两圆的位置关系，可确定两圆的位置关系，判断A的真假；求两圆公共弦所在直线方程，确定B的真假；求公共弦长判断C的真假；求满足条件的圆的标准方程，判断D的真假. 【详解】因为：，所以，. ：，所以，. 所以. 对A选项：因为，即，所以两圆相交，有两个公共点，故A正确； 对B选项：由， 所以两圆的公共弦所在直线方程为即，故B正确； 对C选项：到直线的距离为：，所以两圆的公共弦长度为：，故C错误； 对D选项：设所求圆的方程为：（） 整理得：. 因为圆心在直线上，所以. 所以所求圆的方程为：即， 配方得：.故D正确. 故选：ABD 三、填空题 13．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆，圆，两圆交于，两点，则面积的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由圆的方程求两圆的圆心坐标及半径，证明两圆相交，求两圆的公共弦方程，再求面积的的解析式，令，可得，判断函数的单调性，结合单调性求最小值. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径， 圆的圆心的坐标为，半径， 所以，，， ， 故， 所以圆与圆相交， 将方程与方程相减可得， 所以直线的方程为， 因为到直线的距离， 所以， 又到直线的距离， 所以面积， 令，则，， 所以，， 设，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以当时，函数取最小值， 故当时，取最小值， 所以当，即时，面积取最小值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于先求出公共弦的方程，结合弦长公式点到直线的距离公式求出的面积的表达式，再结合换元法，结合函数单调性求最值. 四、解答题 14．（23-24高二上·辽宁本溪·月考）已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦长； (2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案， （2）解法一：设过两圆的交点的圆为，求出圆心坐标代入中可求出，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为，然后列方程组可求出，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程. 【详解】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即，化简得， 所以圆的圆心到直线的距离为， 则，解得， 所以公共弦长为. （2）解法一： 设过两圆的交点的圆为， 则； 由圆心在直线上，则，解得， 所求圆的方程为，即. 解法二： 由（1）得，代入圆， 化简可得，解得； 当时，；当时，； 设所求圆的圆心坐标为， 则，解得； 所以； 所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 15．（24-25高二上·江西抚州·月考）已知圆的圆心为，且圆与直线相切. (1)求圆的方程： (2)圆，是否存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2，若存在，求出实数的值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，时满足题意 【分析】（1）根据点到直线的距离公式结合直线与圆相切的条件求出半径即可得圆的方程； （2）根据圆与圆相交的条件和圆的弦长公式即可求解. 【详解】（1）设圆的半径为， 圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离是圆的半径， 即， 所以圆的方程为. （2）圆：的圆心为，半径为， 两个圆有公共弦，则， 即，解得， 由得两圆公共弦所在直线方程为， 又两圆的公共弦长为2，则圆心到公共弦所在直线的距离为 ，且，即， 所以，解得或， 又，所以，经检验符合题意， 故存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$