精品解析：安徽省淮南市田家庵区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025年度第二学期八年级期中学情调研 数学卷 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 能作为直角三角形的三边长的一组数是（ ） A. 1，2，3 B. 6，9，12 C. 6，8，10 D. ，， 4. 下列根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知在中，，，，则的长为（ ） A. B. 3 C. 5或 D. 5 7. 如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ） A. AB=CD B. AC=BD C. AC⊥BD D. AD=BC 8. 小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点E，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图，在菱形中摆放了一副三角板，等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点为的中点，含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．连接，若，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 10. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论： （1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：（每小题3分，共24分） 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 12. 实数和在数轴上如图所示，化简的结果是______． 13. 如图，在直角三角形中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，，则图中阴影部分的面积为_____． 14. 如图，在菱形中，，点E、F分别在边上，且，若菱形边长为2，则四边形的面积为______． 15. 若与互为相反数，则________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，为半径画弧交轴正半轴于点，点的横坐标为_____． 17. 古代数学名著《算法统宗》中有一首计算秋千绳索长度的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”．翻译成现代文：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为____尺． 18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，分别是边，上的点，已知点，点，连接，则的周长为___________． 三、解答题：（共46分） 19. （1） （2）． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图． （1）在图①中，画一个格点三角形ABC，使得，，； （2）在（1）的条件下，直接写出AC边上的高； （3）在图②中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数． 21. 先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． （1）请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证； （2）你能只用一个正整数来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律； （3）按此规律，若（，为正整数），则的值为_____． 22. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作且，连接，，连接交于点．     （1）求证：． （2）若菱形的边长为4，，求的长． 23. 如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当 时，四边形是平行四边形； （2）在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年度第二学期八年级期中学情调研 数学卷 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不能含分母．据此逐个判断即可． 【详解】A. ：被开方数为分数，含有分母，可化为，不是最简，不符合题意； B. ：，含完全平方因数，可化为，不是最简，不符合题意； C. ：被开方数，无平方因数，且根号外无分母，符合最简条件，符合题意； D. ：，含完全平方因数，可化为，不是最简，不符合题意； 故选：C． 2. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质及运算法则，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】A. ，正确，不符合题意； B. ，正确，不符合题意； C. 不能合并，故原式错误，符合题意； D. ，正确，不符合题意； 故选：C． 3. 能作为直角三角形的三边长的一组数是（ ） A. 1，2，3 B. 6，9，12 C. 6，8，10 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据较短两边的平方和等于较长边的平方的三角形是直角三角形，逐项判断即可． 【详解】解：A、，1，2，3不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； B、，6，9，12不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； C、，6，8，10能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； D、，，，不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； 故选：C． 4. 下列根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简，根据同类二次根式的概念即可判断． 【详解】A.=，与是同类二次根式 B.=3，与不是同类二次根式， C.与不是同类二次根式 D.=与不是同类二次根式 故选A． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 5. 如图，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】结合已知与平行四边形判定定理依次判断即可． 【详解】解：A、两组对边分别平行，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、两组对边分别相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故该选项符合题意； D、一组对边平行且相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意． 6. 已知在中，，，，则的长为（ ） A. B. 3 C. 5或 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理求线段长，根据题意，作出图形，数形结合，由勾股定理列式求解即可得到答案，熟记勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示： 在中，，，，则由勾股定理可得， 故选：D． 7. 如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ） A. AB=CD B. AC=BD C. AC⊥BD D. AD=BC 【答案】A 【解析】 【分析】由点E、F、G、H分别是四边形ABCD中AD、BC、BD、AC的中点，根据三角形中位线的性质，可得EG=FH=AB，EH=FG=CD，又由当EG=FH= EH=FG时，四边形EGFH是菱形，即可求得答案． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BC、BD、AC的中点，∴EG=FH=AB，EH=FG=CD， ∵当EG=FH= EH=FG时，四边形EGFH是菱形， ∴当AB=CD时，四边形EFGH是菱形． 故选：A． 【点睛】此题考查了菱形的判定以及三角形中位线的性质．此题难度适中，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键． 8. 小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点E，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处，， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 则， ∴， 解得， 即， 故选：B． 9. 如图，在菱形中摆放了一副三角板，等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点为的中点，含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．连接，若，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由的长可求得的长，再求得的长，再利用含度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接交于， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 10. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论： （1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE=BF；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；连接BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，则S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°， 而CE=DF， ∴AF=DE， 在△ABF和△DAE中 ∴△ABF≌△DAE， ∴AE=BF，所以（1）正确； ∴∠ABF=∠EAD， 而∠EAD+∠EAB=90°， ∴∠ABF+∠EAB=90°， ∴∠AOB=90°， ∴AE⊥BF，所以（2）正确； 连接BE， ∵BE＞BC， ∴BA≠BE， 而BO⊥AE， ∴OA≠OE，所以（3）错误； ∵△ABF≌△DAE， ∴S△ABF=S△DAE， ∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF， ∴S△AOB=S四边形DEOF，所以（4）正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”． 二、填空题：（每小题3分，共24分） 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案． 【详解】解：代数式有意义， 故答案为： 12. 实数和在数轴上如图所示，化简的结果是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，二次根式的化简.由数轴可得，，判断，，再化简二次根式与绝对值，然后合并即可. 【详解】解：由题意可得：，， ∴，， ∴ . 故答案为：. 13. 如图，在直角三角形中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．由勾股定理得出，再根据阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：依题意，由勾股定理得：， 即， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为7， 故答案为：7． 14. 如图，在菱形中，，点E、F分别在边上，且，若菱形边长为2，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，通过证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键． 连接，由菱形的性质可证明，得出，作，即可求出四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ， 又∵， ∴和都是等边三角形， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 作交于点， 在中，， ， ∴， ， ， 则四边形的面积为， 故答案为：． 15. 若与互为相反数，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及绝对值的非负性、算术平方根的非负性、非负式和为零的条件、解二元一次方程组及值等知识，熟练掌握非负式和为零的条件是解决问题的关键． 根据题意可知，再根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性，得到非负式和为零的条件是，解这个二元一次方程组得到，从而代入求解即可． 【详解】解：与互为相反数， ， 即，解得， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，为半径画弧交轴正半轴于点，点的横坐标为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理．先利用勾股定理求出，再求出即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ， 由作图方法可知， ∴， 点的横坐标为， 故答案为：． 17. 古代数学名著《算法统宗》中有一首计算秋千绳索长度的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”．翻译成现代文：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为____尺． 【答案】14.5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设秋千绳索长为尺， 则（尺）， 在中，，即， 解得：， 故答案为：14.5． 18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，分别是边，上的点，已知点，点，连接，则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到使，作轴于，由正方形的性质推出，得到，，由，得到，得到，即可证明，得到，即可得到的周长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：延长到使，作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长， 的坐标是， ，， ， 的周长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形的性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形，证明的周长． 三、解答题：（共46分） 19. （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算： （1）先把每一个二次根式化为最简，然后再进行二次根式的加减运算即可； （2）根据完全平方公式及二次根式的运算进行求解即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 ． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图． （1）在图①中，画一个格点三角形ABC，使得，，； （2）在（1）的条件下，直接写出AC边上的高； （3）在图②中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数． 【答案】（1） 如图①，△ABC即为所求． （2）2 （3） 如图②，△DEF即为所求作． 【解析】 【分析】（1）根据网格特点结合勾股定理作图即可； （2）由勾股定理的逆定理可得△ABC是以AC为斜边的直角三角形，然后利用面积法求解即可； （3）可以作一个两条直角边是，斜边是的等腰直角三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴图①中△ABC是以AC为斜边的直角三角形， ∴AC边上的高＝； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查作图−应用与设计，勾股定理，勾股定理的逆定理，面积法求高等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． （1）请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证； （2）你能只用一个正整数来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律； （3）按此规律，若（，为正整数），则的值为_____． 【答案】（1） 有“穿墙”现象的数为，验证如下： ； （2） ， 证明：； （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 22. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作且，连接，，连接交于点．     （1）求证：． （2）若菱形的边长为4，，求的长． 【答案】（1） 证明：为菱形， ， ， 四边形是平行四边形． ， ∴， 平行四边形是矩形； ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质得出，证明四边形是平行四边形．根据，证明平行四边形是矩形，即可证明结论； （2）先证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在菱形中，，， 为等边三角形， ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴在中，由勾股定理得． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的判定，勾股定理． 23. 如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当 时，四边形是平行四边形； （2）在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 【答案】（1） （2）存在，，或， （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质，即可解答； （2）分点P在点Q的左侧和右侧两种讨论，利用菱形的判定与性质及勾股定理即可求得答案； （3）连结，过点O作直线的对称点E，连结，先证明四边形是平行四边形，得到，，然后证明，再根据两点之间线段最短，可得到点P在上时，取最小值，求出此最小值，由此即可求得答案． 【小问1详解】 解：，点D是的中点， ，， 四边形为矩形， ， 由已知，，则， 若四边形是平行四边形， 则， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：存在；理由如下： 当点P在点Q的左侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， Q点的坐标为， 当点P在点Q的右侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， ， 综上所述，在线段上存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形，且，或，． 【小问3详解】 解：连结，过点O作直线的对称点E，连结，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 点O和点E关于直线的对称， 垂直平分， ， ， 当点P在上时，取最小值，此时， 即当点P在上时，四边形周长的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，线段和的最值问题等知识，平移线段是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $