精品解析：云南省临沧地区中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试卷

2024-2025学年临沧地区中学高二下学期4月月考数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则等于（ ） A. 63 B. 72 C. 81 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质计算出，再用求和公式计算即可. 【详解】由是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，可得， 即，解得，代入，故. 故选：C. 2. 某次考试学生甲还有四道单选题不会做，假设每道题选对的概率均为，则四道题中恰好做对2道的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式列式计算即得. 【详解】依题意，四道题中恰好做对2道的概率. 故选：C 3. 设事件，事件，已知事件A与事件B相互独立，则样本空间可能是下列哪个选项（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设样本空间含有个样本点，根据已知求出，结合独立事件的概率公式列出方程，求解得出，即可得出答案. 【详解】设样本空间含有个样本点， 由已知可得，， 所以，. 因为事件A与事件相互独立， 所以， 即，解得． 故选：B. 4. 一枚质地均匀的硬币掷出正面与反面的概率均等，将该硬币连续抛掷三次，已知三次中至少有一次正面，则三次中恰好有两次正面的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率中的缩小样本空间的方法求解即可. 【详解】设事件“三次中至少有一次正面”，事件“三次中恰好有两次正面”， 依题意，正反反，反正反，反反正，正正反，正反正，反正正，正正正， 正正反，正反正，反正正，则正正反，正反正，反正正， 则三次中恰好有两次正面的概率为. 故选：B. 5. 变量x与y的n组样本数据为，，…，，y与x线性相关，记，，则下面说法错误的是（ ） A. 回归直线必经过点 B. 样本相关系数r与回归系数同号 C. 对样本相关系数r，越大，两个变量之间的线性相关性越强 D. 回归直线至少经过点，，…，中的一个点 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线的性质判断A、D；由相关系数的实际意义及与回归方程中参数的关系判断B、C. 【详解】回归直线必过点，可能不过任何一个样本点，故A正确，D错误. 样本相关系数r为正时，两个变量为正相关，回归系数为正； 样本相关系数r为负时，两个变量为负相关，回归系数为负. 故样本相关系数r与回归系数同号，B正确. 样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强，C正确. 故选：D 6. 甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌，甲选择从中依次有放回的摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意分析可知服从二项分布，服从超几何分布，由二项分布和超几何分布的性质依次分析各个选项， 对于选项ABD，可通过特殊值赋值验证发现其时错误的. 【详解】对于甲，从中依次有放回的摸出n张，每次摸到数字卡牌的概率为，重复做次，所以， 对于乙，从中一次性摸出n张卡牌，不放回，所以服从超几何分布. 对于A，，，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等， 如取，则，故A错误； 对于B，，，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等， 如取，则，故B错误； 对于C，由二项分布的期望公式可得，由超几何分布的期望公式可得，故C正确； 对于D，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等，如取，则， ，故D错误. 故选：C. 7. 记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列前和公式与等差中项得到，判断A选项；由得到，结合等差中项，得到与0的大小关系，然后由的结果判断B选项；由与的大小关系得到数列的增减性，再对进行放缩得到结论，判断C选项；由与的正负情况建立不等式组，求得的范围，判断D选项. 【详解】因为，所以A不正确； ，所以， 又因为，所以，则，所以B不正确； 由，知，即为递增数列， 所以，所以C不正确； 由，得，所以D正确. 故选：D. 8. 甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还多少元（精确到个位，参考数据：，，）（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先求出学生甲在第5个月的还款额，再利用等比数列的性质，求和公式得到学生乙每个月的还款额均为元，从而得到10月初甲比乙将多还元. 【详解】学生甲从5月初到9月初已经还了4个月， 在第5个月的还款额为元， 设学生乙每个月的还款额均为元，第个月还款后还剩余元未还， 显然，，， ……，， 显然，故， 所以，故， 依次类推，可得， 即， 所以， 由等比数列求和公式可得 ， 故元， 学生乙每个月的还款额均为元， 所以甲比乙将多还元． 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 若数列满足，其中是关于n的一次函数，则数列一定是等差数列 B. 若数列的前n项和，则数列一定是等比数列 C. 若数列是等差数列，为数列的前项和，则数列，，一定是等差数列 D. 若数列是等比数列，为数列的前n项和，则数列，，一定是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等差等比数列的概念及性质逐个判断即可. 【详解】对于A，当时，，此时不是等差数列，所以A错误； 对于B，，符合等比数列的形式，所以B正确； 对于C，应把改为，C错误； 对于D，当公比为时，，D错误， 故选ACD． 10. 某次数学考试的最后一道多选题共有4个选项，正确答案为2项或3项，满分6分，评分标准是，全部选对得6分，部分选对得部分分（若正确答案为2项，仅选对1项得3分；若正确答案为3项，仅选对1项得2分，仅选对2项得4分），有错选或不选则得0分．已知最后这道多选题正确答案是3项的概率是2项的2倍．学生甲、乙、丙三名同学对这道题完全没有思路，只能靠猜，已知甲同学猜一个选项与猜两个选项的概率各为，乙同学决定猜一个选项，丙同学决定猜两个选项，设甲、乙、丙三名同学的得分分别为X、Y、Z，其得分的期望分别为，则下列说法正确的有（ ） A. 事件“”与事件“”是互斥的 B. 甲同学不得0分的概率 C. D. 在三名同学的得分和的条件下，他们中有且仅有一人得0分的概率是 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意结合事件的关系即可判断A；计算甲同学的概率分布，即可得甲同学不得0分的概率，从而判断B；分别求解甲乙丙三为同学的概率分布，计算期望，比较大小即可判断C；记事件“三名同学的得分和”，“他们中有且仅有一人得0分”，利用条件概率公式求解即可判断D. 【详解】不能同时等于2，即两事件不能同时发生，所以A正确； ，，， ， 所以，，，所以B正确； ，；，所以； ，，，所以，故C错误； 记事件“三名同学的得分和”，“他们中有且仅有一人得0分”， 事件A发生时仅可能有三个选项正确，则， ， 则，故D错误. 故选：AB． 11. 朱世杰（1249年-1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家，教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作，该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛从上往下看的示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层的果子数分别为，共有44层，问全垛共有多少个果子？现有一个层三角锥垛，设从顶层向下数，每层的果子数组成数列，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）（参考公式：） A. 是等差数列 B. C. 函数单调递增 D. 原书中该“堆垛问题”的结果为15180 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角锥垛层的果子数可以观察得数列的通项公式及前项和，再逐项判断. 【详解】依题意，每层的果子数分别为， 则数列的通项， 对于A，时，，为等差数列，A正确； 对于B，，B错误； 对于C， ，则，单调递增，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的公差为，随机变量满足，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据随机变量分布列的性质可得，即可得出与公差的关系，再根据，即可求得的取值范围. 【详解】由题意可知，可得， 由可得，解得， 综合可得，的取值范围为. 故答案为： 13. 已知随机变量的概率分布密度函数，若.则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可得，再根据正态分布的对称性即可得解. 【详解】因为随机变量的概率分布密度函数， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 等差数列中，且，则______；若集合中有2个元素，则实数的取值范围是______. 【答案】 ①. 12 ②. 【解析】 【分析】空1：根据等差数列的通项公式，结合已知，得到关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组，最后根据等差数列的通项公式进行求解即可； 空2：常变量分离，根据等差数列的前项和公式，构造新数列，利用新数列的单调性结合已知进行求解即可. 【详解】空1：设等差数列的公差为， 因为，且， 所以有：， 因此； 空2：由（1）知： 由，设， ， 显然当时，， 当时，，因此从第2项起，数列是递减数列， ，所以数列的最大项为， 因为中有2个元素， 所以不等式 只有两个不同正整数根， 而数列的最大项为，因此一定是不等式的解， 因此一定有：. 故答案为： 【点睛】本题考查了等差数列通项公式和前项和公式的应用，考查了数列单调性的应用，考查了数学运算能力. 四、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：． （1）若，求数列的通项公式； （2）若为数列的前项和，求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，按奇偶讨论求出数列的递推关系，再利用构造法求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合等比数列前项和公式求解. 【小问1详解】 依题意，，当 时， ，当时， ， 则，，而，则， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，， 所以数列的通项公式  【小问2详解】 由（1）知， ，则 ， ， 所以 . 16. 电视台对某时段收看综艺节目和新闻节目的观众进行抽样调查，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示（单位：人）． 收看综艺节目 收看新闻节目 20~40岁 45 10 40岁及以上 30 15 （1）从表中数据分析，是否有95%的把握认为在这一时段观众选择收看综艺节目还是新闻节目与年龄有关． （2）现从所抽取的40岁及以上的电视观众中利用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取3人做访谈，求选取的3人中至少有2人在这一时段收看综艺节目的概率． （3）将频率视为概率，从我市所有在这一时段收看综艺节目和新闻节目的观众中随机抽取20人，记其中收看新闻节目的观众数为X，求随机变量X的数学期望和方差． 参考公式：，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.811 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）没有的把握认为在这一时段观众选择收看综艺节目还是新闻节目与年龄有关 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据列联表计算卡方的值后结合临界值表可得判断； （2）根据古典概型结合组合计数可得概率； （3）由可求期望和方差. 【小问1详解】 所以没有的把握认为在这一时段观众选择收看综艺节目还是新闻节目与年龄有关. 【小问2详解】 由题意，抽取的这9人中有6人在这一时段收看综艺节目，有3人收看新闻节目 记事件“选取的3人中至少有2人在这一时段收看综艺节目”， 则 【小问3详解】 由题意，随机变量，所以， . 17. 已知数列的前n项和为，，其中． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和，若对任意且，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先得，由之间的关系得数列为等比数列，由此即可得解. （2）由等比数列求和公式、错位相减法结合数列单调性即可得解. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 两式相减，得，又， 所以数列为等比数列，首项为2，公比为3， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，， ， 则有， 两式相减得： ， 于是得， 因为且，， 当时，数列是递增数列，所以的最小值为18， 因此. 18. 已知数列满足，，且， （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）已知对于恒成立．求证：． 【答案】（1） 因为， 所以 所以 又， 所以， 所以数列是首项为12，公比为4的等比数列， （2）； （3） 因为， 所以对于恒成立， 所以对于，恒成立 当时，，即对于恒成立 所以对于恒成立 所以． 【解析】 【分析】（1）由递推关系，结合等比数列定义证明结论； （2）利用累加法求数列的通项公式； （3）结合证明，由此证明，结合等比数列求和公式证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得： 则有；；…， 累加可得： 所以， 又也满足故选， 所以， 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三小问结合条件证明，从而利用放缩法，结合等比数列求和公式证明结论. 19. 某药厂为获得新研发药品的治愈率，委托某公司进行调查，首轮抽取个患者进行试验，每个患者是否治愈相互独立． （1）假设，回答以下问题： （ⅰ）若，求患者痊愈比例为到的概率． （ⅱ）该公司第二轮再抽取个患者进行试验．为简化运算过程，拟用计算两轮试验治愈总人数为的概率，是否合理？若合理，请证明；若不合理，请说明理由． （2）在重伯努利试验中，随机变量，随着试验次数增加，其概率计算较为复杂，此时，根据中心极限定理，近似服从正态分布，故常用以下公式简化概率计算：，其中，随机变量．若用该公司首轮试验的治愈频率来估计治愈率，为保证有把握，使得与之间误差不超过0.01，则至少应抽取多少个患者？ 参考数据：． 【答案】（1）（ⅰ） （ⅱ）合理，理由： 首轮抽取个患者，每个患者治愈概率为，且相互独立， 设首轮治愈人数为，则服从二项分布， 即， 第二轮再抽取个患者，治愈概率仍为，且独立于首轮试验， 设次轮治愈人数为，则服从二项分布， 即， 总治愈人数，其中和独立， 由于两轮试验的均为且独立， 总治愈人数服从， 因此：； （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）判断治愈人数服从的分布计算即可； （ⅱ）设首轮治愈人数为，判断服从的分布，求出，设第二轮治愈人数为，同理求出，据此即可求解； （2）证明近似服从正态分布，求出，，求出临界值即可求解. 【小问1详解】 （ⅰ）治愈人数服从二项分布， 需要计算，即：， 因为， 所以； （ⅱ）略 【小问2详解】 根据中心极限定理，当较大时， 近似服从正态分布， ， ， ， 因为，所以临界值， 所以，因为在时取得最大值0.25， 所以代入此最坏情况以保证结果保守， 所以，所以至少需要抽取6400名患者以满足要求. 【点睛】关键点点睛：本题（2）关键在于对中心极限定理的理解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年临沧地区中学高二下学期4月月考数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则等于（ ） A. 63 B. 72 C. 81 D. 90 2. 某次考试学生甲还有四道单选题不会做，假设每道题选对的概率均为，则四道题中恰好做对2道的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 设事件，事件，已知事件A与事件B相互独立，则样本空间可能是下列哪个选项（ ） A. B. C. D. 4. 一枚质地均匀的硬币掷出正面与反面的概率均等，将该硬币连续抛掷三次，已知三次中至少有一次正面，则三次中恰好有两次正面的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 变量x与y的n组样本数据为，，…，，y与x线性相关，记，，则下面说法错误的是（ ） A. 回归直线必经过点 B. 样本相关系数r与回归系数同号 C. 对样本相关系数r，越大，两个变量之间的线性相关性越强 D. 回归直线至少经过点，，…，中的一个点 6. 甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌，甲选择从中依次有放回的摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还多少元（精确到个位，参考数据：，，）（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 若数列满足，其中是关于n的一次函数，则数列一定是等差数列 B. 若数列的前n项和，则数列一定是等比数列 C. 若数列是等差数列，为数列的前项和，则数列，，一定是等差数列 D. 若数列是等比数列，为数列的前n项和，则数列，，一定是等比数列 10. 某次数学考试的最后一道多选题共有4个选项，正确答案为2项或3项，满分6分，评分标准是，全部选对得6分，部分选对得部分分（若正确答案为2项，仅选对1项得3分；若正确答案为3项，仅选对1项得2分，仅选对2项得4分），有错选或不选则得0分．已知最后这道多选题正确答案是3项的概率是2项的2倍．学生甲、乙、丙三名同学对这道题完全没有思路，只能靠猜，已知甲同学猜一个选项与猜两个选项的概率各为，乙同学决定猜一个选项，丙同学决定猜两个选项，设甲、乙、丙三名同学的得分分别为X、Y、Z，其得分的期望分别为，则下列说法正确的有（ ） A. 事件“”与事件“”是互斥的 B. 甲同学不得0分的概率 C. D. 在三名同学的得分和的条件下，他们中有且仅有一人得0分的概率是 11. 朱世杰（1249年-1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家，教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作，该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛从上往下看的示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层的果子数分别为，共有44层，问全垛共有多少个果子？现有一个层三角锥垛，设从顶层向下数，每层的果子数组成数列，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）（参考公式：） A. 是等差数列 B. C. 函数单调递增 D. 原书中该“堆垛问题”的结果为15180 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的公差为，随机变量满足，则的取值范围为__________. 13. 已知随机变量的概率分布密度函数，若.则________. 14. 等差数列中，且，则______；若集合中有2个元素，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：． （1）若，求数列的通项公式； （2）若为数列的前项和，求． 16. 电视台对某时段收看综艺节目和新闻节目的观众进行抽样调查，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示（单位：人）． 收看综艺节目 收看新闻节目 20~40岁 45 10 40岁及以上 30 15 （1）从表中数据分析，是否有95%的把握认为在这一时段观众选择收看综艺节目还是新闻节目与年龄有关． （2）现从所抽取的40岁及以上的电视观众中利用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取3人做访谈，求选取的3人中至少有2人在这一时段收看综艺节目的概率． （3）将频率视为概率，从我市所有在这一时段收看综艺节目和新闻节目的观众中随机抽取20人，记其中收看新闻节目的观众数为X，求随机变量X的数学期望和方差． 参考公式：，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.811 6.635 7.879 10.828 17. 已知数列的前n项和为，，其中． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和，若对任意且，恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知数列满足，，且， （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）已知对于恒成立．求证：． 19. 某药厂为获得新研发药品的治愈率，委托某公司进行调查，首轮抽取个患者进行试验，每个患者是否治愈相互独立． （1）假设，回答以下问题： （ⅰ）若，求患者痊愈比例为到的概率． （ⅱ）该公司第二轮再抽取个患者进行试验．为简化运算过程，拟用计算两轮试验治愈总人数为的概率，是否合理？若合理，请证明；若不合理，请说明理由． （2）在重伯努利试验中，随机变量，随着试验次数增加，其概率计算较为复杂，此时，根据中心极限定理，近似服从正态分布，故常用以下公式简化概率计算：，其中，随机变量．若用该公司首轮试验的治愈频率来估计治愈率，为保证有把握，使得与之间误差不超过0.01，则至少应抽取多少个患者？ 参考数据：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $