精品解析：广东省广州市花都区2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷

2024学年第二学期阶段性抽测 八年级数学（问卷） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写镇（街）、学校、试室号、姓名、学号及准考证号等自己的个人信息，再用2B铅笔把对应准考证号的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡上交． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列各组数据中，不能作为直角三角形三边边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为了测量池塘边A，B两地之间的距离，在A，B的同侧取一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得，则A，B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 顺次连接矩形各边中点所得四边形必定是（ ） A. 等腰梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 8. 如图，在菱形中，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，的垂直平分线分别交，于点D，E，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 10. 八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知如图，在中，，，，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 计算：______． 12. 比较大小：_____ 3（填“”或“”或“”）． 13. 在中，，是边上的中线，若，则________． 14. 如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为9和7，则正方形C的面积是________． 15. 已知，化简_______． 16. 如图，点P是正方形的对角线上一个动点，连接，过点P作于点E，于点F，连接，有下列4个结论： ①；②；③一定是等腰三角形； ④的最小值等于．其中正确的结论有________．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 如图，在中，于点D，，求的长． 19. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 20. 如图，为推进绿色亚运城市建设，广州市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板，，两块光伏发电板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和． （1）光伏发电板，的边长分别为_____，_____；（用最简二次根式表示） （2）计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积． 21. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，． 求： （1）对角线的长； （2）菱形的面积． 22. 如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里． 求： （1）两船分别航行了多少海里？ （2）“小蛮腰号”的航行方向． 23. 如图，四边形中，，对角线相交于点O． （1）请从下列条件①，②中选择一个作为已知，求证：四边形为矩形． 条件①：；条件②：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，则按第一个解答计分．） （2）在（1）的结论下，作平分交于点E，若，求的度数． 24. 如图，在四边形中，，，点P从点A出发，在射线上以的速度向右运动；点Q从点C同时出发，在线段上以的速度向点B运动．当点Q到达端点B时，点P也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒． （1） ______， ______； （2）在点P，Q运动过程中，是否存在t值，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 25. 已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿面折，得到． （1）求出a，b的值； （2）如图1，若点D为中点，延长交于点F，求的长； （3）如图2，若，点M为线段上的动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期阶段性抽测 八年级数学（问卷） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写镇（街）、学校、试室号、姓名、学号及准考证号等自己的个人信息，再用2B铅笔把对应准考证号的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡上交． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 故选：A． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数是小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 在下列各组数据中，不能作为直角三角形三边边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的四则运算，根据二次根式的加法、减法、乘法、除法法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 5. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案． 【详解】解：A、根据矩形的性质可知不一定成立，故A选项不符合题意； B、根据矩形的性质可知，不一定成立，故B选项不符合题意； C、根据矩形的性质可知不一定成立，故C选项不符合题意； D、根据矩形的性质可知一定成立，故D选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，为了测量池塘边A，B两地之间的距离，在A，B的同侧取一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得，则A，B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，三角形的中位线等于第三边的一半，由此即可计算． 【详解】解：∵D、E分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：A． 7. 顺次连接矩形各边中点所得四边形必定是（ ） A. 等腰梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的判定，根据三角形的中位线定理和菱形的判定可知，顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形． 【详解】解：如图，连接、， ∵E、F、G、H分别是矩形的、、、边上的中点， ∴，（三角形的中位线等于第三边的一半）， ∵矩形的对角线， ∴， ∴四边形是菱形． 故选：B． 8. 如图，在菱形中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识．由菱形的性质得，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， ， ， 故选：D． 9. 如图，中，，的垂直平分线分别交，于点D，E，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、勾股定理，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：（负值舍去）， ∴， 故选：B． 10. 八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知如图，在中，，，，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的应用，根据a、b、c的值，求出p的值，代入公式计算即可求出S，再根据三角形面积公式即可求出边上的高． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 设边上的高的长为， ∴， ∴， 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，即可计算出结果． 【详解】解：． 12. 比较大小：_____ 3（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】对于两个正数，可通过比较平方后结果的大小判断原数大小，平方更大的原数更大，据此求解. 【详解】解：∵ ，， 又∵ ， ∴ . 13. 在中，，是边上的中线，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线定理，即可求解． 【详解】∵，点是的中点， ∴为斜边的中线， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 14. 如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为9和7，则正方形C的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，理解并掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理的几何意义解答即可． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别为9和7， ∴它们分别是直角三角形的两条直角边的平方， 根据勾股定理的几何意义，得， ∴ 故答案为：． 15. 已知，化简_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式性质和绝对值化简．根据二次根式性质和绝对值意义化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：1． 16. 如图，点P是正方形的对角线上一个动点，连接，过点P作于点E，于点F，连接，有下列4个结论： ①；②；③一定是等腰三角形； ④的最小值等于．其中正确的结论有________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】延长交于点N，延长交于点M，证明得到，即可判断①；根据三角形的内角和定理即可判断②；根据P的任意性可以判断③；根据，当最小时，有最小值，即可判断④． 【详解】解：延长交于点N，延长交于点M， ∵四边形是正方形． ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，四边形是矩形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，故①正确； 在与中，， ∴， ∴，故②正确； ∵P是上任意一点， ∴的长不确定，即是等腰三角形不一定成立，故③错误； ∵， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∵， ∴此时P为的中点， 又∵， ∴，即的最小值为，故④正确； 故正确的是：①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，正确证明，以及理解P的任意性是解决本题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 直接利用二次根式的性质，以及二次根式的除法化简，再合并，即可得出答案． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，于点D，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，求出的长是解题的关键． 利用勾股定理求出，再根据求解，即可解题． 【详解】解：于点D，， ， ． 19. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//DC，AB=DC， ∴∠BAE=∠DCF， 在△AEB和△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（SAS）， ∴BE=DF． 【解析】 【分析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 20. 如图，为推进绿色亚运城市建设，广州市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板，，两块光伏发电板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和． （1）光伏发电板，的边长分别为_____，_____；（用最简二次根式表示） （2）计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式以及最简二次根式的定义进行解题即可； （2）根据图形进行列式计算即可． 【小问1详解】 解：∵两块正方形的光伏发电板的面积为， 故光伏发电板的边长为； ∵两块正方形的光伏发电板的面积为， 故光伏发电板的边长为． 【小问2详解】 ， 根据题意可得，阴影部分是一个长为，宽为的矩形， 故阴影部分的面积为（）． 21. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，． 求： （1）对角线的长； （2）菱形的面积． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理的运用． （1）根据菱形的性质可得，然后利用等边三角形的判定判断出是等边三角形，即可求解； （2）过点A作，得，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，然后求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形． ∴； 【小问2详解】 过点A作，如图所示： 由（1）得是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴菱形的面积． 22. 如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里． 求： （1）两船分别航行了多少海里？ （2）“小蛮腰号”的航行方向． 【答案】（1）“广州湾号”航行路程为海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； （2）“小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，方向角，根据题意得出是直角三角形是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出答案． 【小问1详解】 解：∵“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，航行时间为2小时， ∴“广州湾号”航行路程为：海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； 【小问2详解】 由（1）得（海里），（海里）， ∵两船相距26海里， ∴（海里）， ∵，， 故， 是直角三角形， ， ∴， “小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 23. 如图，四边形中，，对角线相交于点O． （1）请从下列条件①，②中选择一个作为已知，求证：四边形为矩形． 条件①：；条件②：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，则按第一个解答计分．） （2）在（1）的结论下，作平分交于点E，若，求的度数． 【答案】（1） 解：选择条件①：； 证明：∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 选择条件②： ∵， ∴， ∵， ∴，、 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． （2） 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，证明四边形为矩形是关键． （1）选择条件①，根据三个角是直角的四边形是矩形进行证明即可；选择条件②，根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明即可； （2）证明，得到是等边三角形，则，，求出，即可得到的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形为矩形． ∴，， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ 24. 如图，在四边形中，，，点P从点A出发，在射线上以的速度向右运动；点Q从点C同时出发，在线段上以的速度向点B运动．当点Q到达端点B时，点P也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒． （1） ______， ______； （2）在点P，Q运动过程中，是否存在t值，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，t的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题，代数式表示，平行四边形的判定，一元一次方程等知识，解题的关键是根据题意列出方程求解． （1）根据速度，时间，路程之间的关系，利用代数式表示出，即可； （2）根据题意分两种情况讨论，当点P在线段上时，当点P在的延长线上时，结合平行四边形判定得到，再建立方程求解，即可解题． 【小问1详解】 解：， 根据题意可知：，， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：存在，连接， 当点P在线段上时， 又要以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 解得， 当点P在的延长线上时，如图所示： 又要以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 解得， 综上所述，t的值为或． 25. 已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿面折，得到． （1）求出a，b的值； （2）如图1，若点D为中点，延长交于点F，求的长； （3）如图2，若，点M为线段上的动点，求的最小值． 【答案】（1） （2）的长为； （3）的最小值为． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定定理，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键 （1）由二次根式的定义求解即可； （2）连接，结合正方形的性质及折叠的性质，由可判定，由全等三角形的性质得， 设，由勾股定理求解即可； （3）过点M作于点N，根据折叠的性质及含30度角的直角三角形的性质得出，确定，当且仅当O、M、N三点共线时取得等号，此时，连接，然后利用等边三角形的判定及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得：； 【小问2详解】 由（1）得， ， ， 故正方形的边长为4； 连接， 正方形的边长为4， 点D为中点， ，，， 由折叠得：，，， ，， 在和中 ， （）， ， 设， ，， ， ， 解得：， 故的长为； 【小问3详解】 过点M作于点N，如图所示： ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 当且仅当O、M、N三点共线时取得等号，此时， 连接， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $