精品解析：山东省威海荣成市16校联盟（五四制）2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期初三数学期中阶段质量反馈 总分值：120分 答题时间：120分钟 一、选择题（共10题，计30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列一元二次方程两实数根和为-4是（ ） A. B. C. D. 4. 在估算一元二次方程的根时，小晗列表如下： 1 1.1 1.2 13 1.4 0.29 0.76 由此可估算方程的一个根的范围是（） A. B. C. D. 5. 定义新运算：，例如：，若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，正确的是_____． 甲：连接，作的中 垂线交于， 则四边形是菱形． 乙：分别作与的平分线，分别交于点，交于点，则四边形是菱形． A. 甲正确，乙错误 B. 甲、乙均错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲、乙均正确 8. 小明用四根长度相等的木条制作了角度能够调整的菱形学具．他先将学具调整为图（1）所示的菱形，其中，然后调整为图（2）所示的正方形，此时对角线，则图（1）中菱形的对角线的长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 9. 如图，在矩形纸片中，，点M是边上的一点，点N是边上的中点，佳佳按如下方式作图： ①连接，；②取，的中点P，Q；③连接，． 若四边形是矩形，可以推断的长度不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，在正方形外取一点，连接、、．过点作的垂线交于点．若，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ①②③ 二、填空题（共6题，计18分） 11. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是_____． 12. 如果，那么x的取值范围是___________． 13. 2021年，某市准备加大对雾霾的治理力度，2021年第一季度投入资金100万元，第二季度和第三季度计划共投入资金260万元． 设这两个季度计划投入资金的平均增长率为x，则列方程是_________ 14. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根相等，则______． 15. 如图，菱形的边长为13，对角线的长为24，延长至，平分，点是上任意一点，则的面积为_____． 16. 如图，在正方形中，点、、分别在、、上，连接、、、、，其中，，若，则一定等于_____．（用含α的式子表示） 三、解答题（共8题，计72分） 17. 计算、解方程： （1）； （2）． 18. 小明在解关于方程时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值大．求原方程的根． 19. 【阅读材料】三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法．以为例，大致方法如下： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：如图，构造一个长为，宽为的长方形，且面积为； 第三步：如图，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形．则大正方形的边长为，小正方形的边长为； 第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到．虽然在几何图形中的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得，即可求得方程的两个根，． 方法理解】 （1）在图的三个构图中，能体现方程的解法的是_____（填序号） ； （2）利用你所选择的构图，运用上述材料中的方法解方程． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等实数根； （2）若，是该方程的两根，且满足，求m的值． 21. 请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值． 22. 受市场波动影响，华佳超市某商品的销售量持续两个月下降，销量由1月份的500件下降到3月份的320件，为此，超市进行降价促销去库存活动，根据以往经验，当售价每降价1元时，销量就会增加20件． （1）已知2，3月份的月下降的百分率是相同的，求这个百分率； （2）已知该商品进价为20元/件，原售价为56元/件，超市计划在3月份销量的基础上，4月份销售这种商品能获利13520元，那么每件商品应降价多少元？4月份的销量是多少？ 23. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了如下的数学活动： 如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 24. 如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接． （1）求证：； （2）如图2，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②探究：线段之间的数量关系？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期初三数学期中阶段质量反馈 总分值：120分 答题时间：120分钟 一、选择题（共10题，计30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不最简二次根式，不符合题意； 故选：C 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，分母有理化的步骤即可解答． 【详解】解：∵与不能合并， ∴错误， ∴故项不符合题意； ∵， ∴正确， 故项符合题意； ∵， ∴错误， 故项不符合题意； ∵， ∴错误， 故项不符合题意； 故选． 【点睛】本题考查了二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，分母有理化的步骤，掌握对应法则是解题的关键． 3. 下列一元二次方程两实数根和为-4是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根与系数的关系计算即可； 【详解】A中，故错误； B中，故错误； C中，故错误； D中，故准确； 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确计算是解题的关键． 4. 在估算一元二次方程的根时，小晗列表如下： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 由此可估算方程的一个根的范围是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法． 结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】由表可知， 当时，， 当时，， ∴方程的一个根的范围是． 故选：C． 5. 定义新运算：，例如：，若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有实数根， ∴， 解得：． 故选：D． 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 7. 如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，正确的是_____． 甲：连接，作的中 垂线交于， 则四边形是菱形． 乙：分别作与的平分线，分别交于点，交于点，则四边形是菱形． A. 甲正确，乙错误 B. 甲、乙均错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲、乙均正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据甲的作法作出图形，首先证明，可得，其次根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，可判断四边形是菱形；根据乙的作法作出图形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，再由角平分线的定义和平行线的性质可得，可判断四边形是菱形，即可得到答案． 【详解】解：根据甲的作法作出图形，如下图所示. ， ， ， 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， 故甲的作法正确； 根据乙的作法作出图形，如下图所示. ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， 故乙的作法正确； 综上所述，甲、乙均正确， 故选：D． 8. 小明用四根长度相等的木条制作了角度能够调整的菱形学具．他先将学具调整为图（1）所示的菱形，其中，然后调整为图（2）所示的正方形，此时对角线，则图（1）中菱形的对角线的长为（ ） A 6 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形和菱形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据正方形的性质求出，证明是等边三角形，得到，连接，求出，即可得到答案． 【详解】解：在正方形中，， ， 在菱形中，， 是等边三角形， ， 如图，连接， ， ， ， 故选：C 9. 如图，在矩形纸片中，，点M是边上的一点，点N是边上的中点，佳佳按如下方式作图： ①连接，；②取，的中点P，Q；③连接，． 若四边形是矩形，可以推断的长度不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，三角形的中位线的性质，垂线段最短的含义，如图，连接，，求解四边形是矩形时，，再进一步分析即可． 【详解】解：如图，连接，， 的中点分别是P，Q，N，， ， ∴四边形是平行四边形． 当四边形是矩形时，则． ∴点M到的距离不超过4，即， 故选：D 10. 如图，在正方形外取一点，连接、、．过点作的垂线交于点．若，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、勾股定理的运用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键． 利用即可证明，根据和等腰直角三角形的性质得出，得出，进而可以判断①正确；根据勾股定理计算可得EB的长，进而可以判断②；连接，可得，即可判断③；根据，进而可以判断④． 【详解】解：在正方形，，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ； ，， ，， ， ，故①成立； ， ， 在中，，， 故②不成立； 如图，连接， 由②得：，， ， ； 故③成立； ， ， ， ， ， ， ； 故④不成立． 综上所述，正确结论的序号是①③； 故选：A 二、填空题（共6题，计18分） 11. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴ 即 解得：， 故答案为：10． 12. 如果，那么x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查二次根式有意义的条件，分式有意的条件．根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为0，即可解答． 【详解】解：∵， ∴且， 解得且， 故答案为：． 13. 2021年，某市准备加大对雾霾的治理力度，2021年第一季度投入资金100万元，第二季度和第三季度计划共投入资金260万元． 设这两个季度计划投入资金的平均增长率为x，则列方程是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得等量关系为：第一季度的投入资金×（1+增长率）=第二季度的投入资金，第一季度的投入资金×（1+增长率）=第三季度的投入资金，把相关数值代入即可列出方程． 【详解】解：设第二、三季度计划投入资金的平均增长率为x， 可列方程为． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 14. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根相等，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的定义．根据一元二次方程的的两个实数根相等，然后计算根据，解出m的值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根相等， ∴，且， 解得， 故答案为：． 15. 如图，菱形的边长为13，对角线的长为24，延长至，平分，点是上任意一点，则的面积为_____． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 连接交于点，根据菱形的性质可得与互相垂直平分，再根据平分，平分，可以证明，根据平行线间的距离处处相等可得，进而可得． 【详解】解：连接交于点， 由菱形的性质可知：与互相垂直平分， ， ， ， ， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：60． 16. 如图，在正方形中，点、、分别在、、上，连接、、、、，其中，，若，则一定等于_____．（用含α式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作于点，根据“”证明，则，根据旋转得到，，，则，再证明、、三点在同一条直线上，证明，得，则，所以． 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形是正方形， ，，， ，， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， ， 将绕点顺时针旋转得到，则，，， 点、分别在、上，， ，， ， ， 、、三点在同一条直线上， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共8题，计72分） 17. 计算、解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先变形为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 解得，． 18. 小明在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值大．求原方程的根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根、解一元二次方程，根据小明在解关于的方程时，只抄对了，，所抄的比原方程的值大，可知小明解的方程是，把代入方程，可得：，从而可知原方程为，利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意可知，小明解的方程是， 把代入方程， 可得：， 解得：， 原方程为， 方程两边同时加可得：， 把方程左边分解因式可得：， 两边同时开平方可得：， 或， 解得：，． 19. 【阅读材料】三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法．以为例，大致方法如下： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：如图，构造一个长为，宽为的长方形，且面积为； 第三步：如图，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形．则大正方形的边长为，小正方形的边长为； 第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到．虽然在几何图形中的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得，即可求得方程的两个根，． 【方法理解】 （1）在图的三个构图中，能体现方程的解法的是_____（填序号） ； （2）利用你所选择的构图，运用上述材料中的方法解方程． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了用几何图形解一元二次方程，完全平方公式的应用，掌握数形结合思想是解题的关键． （）根据材料信息即可求解； （）仿照材料例题即可求解． 【小问1详解】 解：在图的三个构图中，能体现方程的解法的是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ，． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两根，且满足，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数之间的关系，正确理解题意是解题的关键： （1）根据根的判别式得出，再根据完全平方式转化，进而可得出结论； （2）根据一元二次方程根与系数之间的关系得出，，再将其代入得出，求解即可 【小问1详解】 证明： ， 故无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ，． 故m的值为或． 21. 请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）2 （2）2025 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到；将整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：由得， 则， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由得，则， ∴， ∴ ． 22. 受市场波动影响，华佳超市某商品的销售量持续两个月下降，销量由1月份的500件下降到3月份的320件，为此，超市进行降价促销去库存活动，根据以往经验，当售价每降价1元时，销量就会增加20件． （1）已知2，3月份的月下降的百分率是相同的，求这个百分率； （2）已知该商品进价为20元/件，原售价为56元/件，超市计划在3月份销量的基础上，4月份销售这种商品能获利13520元，那么每件商品应降价多少元？4月份的销量是多少？ 【答案】（1）2，3月份的月下降的百分率为； （2）当商品降价10元时，4月份销售这种商品能获利13520元，4月份的销量是520件． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据销量、利润、进价、售价之间的关系正确列出一元二次方程． （1）设平均下降的百分率为x，根据1月份、3月份销量列一元二次方程，即可求解； （2）设商品降价y元，用含y的代数式表示出4月份销量及单件利润，根据获利13520元列一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设平均下降的百分率为x， 由题意知， 解得，（不合题意，舍去）， 答：2，3月份的月下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设当商品降价y元时，商场4月份可获利13520元， 由题意知， 整理得，即， 解得， ， 答：当商品降价10元时，4月份销售这种商品能获利13520元，4月份的销量是520件． 23. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了如下的数学活动： 如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定是解题的关键． （1），理由如下，由矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定得到，即可得到； （2）根据矩形的性质、折叠的性质得到，设，根据勾股定理得到，解得，即可得到答案． 【小问1详解】 解： ，理由如下， ∵四边形是矩形， ． ， 由折叠的性质得， ， ． 同理：． ． ． 【小问2详解】 解：由折叠的性质得． 设， ． 在中，． ． 解得：． ∴． 24. 如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接． （1）求证：； （2）如图2，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②探究：线段之间的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质，得，结合，得，即得； （2）①证明：如图，作于M，于N，证明四边形是矩形，得，得，由角平分线性质，得，得，得，即得矩形是正方形；②根据正方形性质，得， ，得，得，∴．由，得． 【小问1详解】 证明：∵四边形正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①证明：如图，作于M，于N， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ②， 理由如下， ∵矩形为正方形， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形判定和性质，矩形判定和性质，全等三角形判定和性质，角平分线判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$