精品解析：山东省威海市荣成市蜊江中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023—2024学年度第二学期八年级数学学科期中质量检测题 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 在实数范围内，不论x取何值，下列各式始终有意义是（ ） A B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 实数a，b在数轴上的位置如图，则化简的结果是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A. 1 B. 2 C. 4 D. 1或4 5. 已知如图，在中，，为锐角，将沿对角线边平移，得到，连接和，若使四边形是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：；乙方案：；丙方案：；其中正确方案是（　　） A. 甲、乙、丙 B. 只有乙、丙 C. 只有甲、乙 D. 只有甲 6. 若一元二次方程组 ​两根之和为​，则​（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 7. 在的网格里，各组线段长度表示的数能够合并的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 8. 如图，菱形，对角线交于点，点为上一点，过点分别作于点，作于点．若，则的值为（ ） A 14 B. C. D. 9. 如图，在中，，，，以斜边为边向外作正方形，连接，则（ ） A B. C. D. 10. 我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，如果我们规定一个新数“”使它满足，即有一个根为i，并且进一步规定：一切实数可以与新数“”进行运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：……那么的值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果） 11. 若，则 =________． 12. 当a取值范围为________时，． 13. 如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为_____米． 14. 小明和同学玩纸条重叠游戏，他将两个宽度都为厘米的足够长纸条重叠在一起，得到了四边形，即直线与的距离为厘米，直线与的距离为厘米，如图所示，则四边形面积的最小值为______ 平方厘米． 15. 中考新考法传统文化幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则A，B，C，D之和为__________． 16. 矩形中，，，点为上一点，连接，以点为圆心长为半径作弧与以点为圆心长为半径所作的弧交于另一点，射线交于点，当四边形的面积等于矩形面积的一半时，的长度等于______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 如图，数轴上点代表的数为，点代表的数为． （1）若，求的值． （2）A、B之间距离能否为1，并说明理由． 19. 如图，装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍．工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分m，搅拌棍A到底端D处的长度为，最后测量出桶的高为，圆桶内壁的底面直径为．已知桶内的液面与桶底面平行，其平面示意图如图2所示．请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积（结果保留π） 20. 关于的一元二次方程． （1）试判断该方程根的情况并说明理由； （2）若是该方程的两个实数根，且，求该方程的解． 21. 2023年10月26日，神舟十七号发射升空，与空间站构成三船三舱构型． 某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型． 已知该模型每件成本40元，当商品售价为70元时，十月售出256件，十一月、十二月销量持续走高，十二月售出400件． （1）求十一、十二这两个月的月平均增长率． （2）为了让利于爱好者，商店决定在每月售出400件的基础上降价销售，若模型单价每降低1元，可多售出5件，要使商店仍能获利9000元，每件模型应降价多少元？ 22. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 23. 【背景】法国数学家弗朗索瓦·韦达于年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理．根据韦达定理，不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积，还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程． （）【探究】写出符合条件的一元二次方程，使得其两根、满足 ，：___________； ，：______________________． （）【应用】，，若，求的值． （）【推广】若实数、、满足，，求正数的最小值． 24. 已知，如图，在正方形中，点分别是边上的动点． （1）如图1，若，垂足为，求证：； （2）如图2，点是边上一点，且，垂足为． ①判断与是否相等？并说明理由； ②如图3，若垂直平分，交对角线交于点，写出线段之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期八年级数学学科期中质量检测题 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 在实数范围内，不论x取何值，下列各式始终有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义条件，被开方数是非负数，分别分析得出答案． 【详解】解：A、，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，不论取何值，，此式始终有意义，故此选项符合题意； D、，不论取何值，，此式都无意义，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的减法法则、二次根式的化简法则、二次根式的乘除法法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A.，该选项计算错误，故该选项不符合题意； B.，该选项计算正确，故该选项符合题意； C.，该选项计算错误，故该选项不符合题意； D.，该选项计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的减法法则、二次根式的化简法则、二次根式的乘除法法则，是解题的关键． 3. 实数a，b在数轴上的位置如图，则化简的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】数轴可得，即可得，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】由数轴可得，即可得， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了根据数轴判断式子的符号，再结合二次根式的性质性质化简的知识，由数轴得到，是解答本题的关键． 4. 如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A. 1 B. 2 C. 4 D. 1或4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设t秒后，的面积等于4 由题意得：，，则 整理得： 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故选：A． 5. 已知如图，在中，，为锐角，将沿对角线边平移，得到，连接和，若使四边形是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：；乙方案：；丙方案：；其中正确的方案是（　　） A. 甲、乙、丙 B. 只有乙、丙 C. 只有甲、乙 D. 只有甲 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定及平移的性质，灵活选择判定定理是解题的关键．先根据题意可知四边形是平行四边形，再根据三种方案结合菱形的判定定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 根据平移可知，， ∴，， 四边形是平行四边形， ∴． 方案甲，添加不能判断四边形是菱形； 方案乙，由， 平行四边形是菱形； 方案丙，由， ∵， ∴， ∴， ， 平行四边形是菱形． 所以正确的是乙和丙． 故选：B． 6. 若一元二次方程组 ​两根之和为​，则​（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：设一元二次方程组 的两根分别为 ， ， 一元二次方程组 的两根之和为， ， ， 当时，，不合题意舍去． 故选： C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键． 7. 在的网格里，各组线段长度表示的数能够合并的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，同类二次根式的定义．根据勾股定理计算得到各线段的长度，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：由题意得，，，， 与是同类二次根式，可以合并， 故选：C． 8. 如图，菱形，对角线交于点，点为上一点，过点分别作于点，作于点．若，则值为（ ） A. 14 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由四边形是菱形，推出，，，由勾股定理求出，由的面积的面积的面积，得到，因此，得到． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的面积，勾股定理，关键是由的面积的面积的面积，得到． 9. 如图，在中，，，，以斜边为边向外作正方形，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用勾股定理，三角形的全等判定和全等性质，正方形的性质，牢记相关定理内容并作出符合题意的辅助线是解题的关键．延长，过点E作垂直于的延长线于点F，证明，可得，然后在中，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：延长，过点E作垂直于的延长线于点F，如下图： ∵四边形是正方形 ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：，即：， ∵， ∴； 故选：B． 10. 我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，如果我们规定一个新数“”使它满足，即有一个根为i，并且进一步规定：一切实数可以与新数“”进行运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：……那么的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则，将变形成，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查新定义运算，同底数幂的乘法及幂的乘方的逆运算，解题的关键是仔细阅读已知材料，找到关于运算的规律． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果） 11. 若，则 =________． 【答案】 【解析】 【详解】设， 即x=2k，y=3k ，z=4k ， ∴， 故答案为： 【点睛】考点：比例的应用． 12. 当a取值范围为________时，． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：当且时，成立， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为0． 13. 如图，在一块长15m、宽10m矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为_____米． 【答案】1 【解析】 【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽为x m，根据题意得： （10﹣x）（15﹣x）＝126， 解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去）， 则道路的宽应为1米； 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 14. 小明和同学玩纸条重叠游戏，他将两个宽度都为厘米的足够长纸条重叠在一起，得到了四边形，即直线与的距离为厘米，直线与的距离为厘米，如图所示，则四边形面积的最小值为______ 平方厘米． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，于点，由，证明四边形是平行四边形，由，且，得，所以，则四边形是菱形，所以，由，可知的最小值为，则的最小值为，所以当时，，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，于点， 四边形是平行四边形， 直线与的距离为厘米，直线与的距离为厘米， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 的最小值为， 的最小值为， ， 当时，， 故答案为：． 【点睛】此题考查两条平行线之间的距离、平行四边形的判定、根据面积等式证明线段相等、菱形的判定、垂线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 15. 中考新考法传统文化幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则A，B，C，D之和为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了数的规律探究，涉及考查一元一次方程的应用，方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等是解题的关键． 根据横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等列出方程求解即可． 【详解】解：对角线方向上的实数相乘的结果为， 根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， A，B，C，D之和为， 故答案为：． 16. 矩形中，，，点为上一点，连接，以点为圆心长为半径作弧与以点为圆心长为半径所作的弧交于另一点，射线交于点，当四边形的面积等于矩形面积的一半时，的长度等于______． 【答案】1或3 【解析】 【分析】过点E作交于点H，首先求出矩形面积，然后根据题意得到，求出，然后证明出，得到，然后证明出四边形是矩形，设，则，，然后在中利用勾股定理求解即可． 详解】如图所示，过点E作交于点H， ∵矩形中，，， ∴矩形面积， ∵四边形的面积等于矩形面积的一半， ∴ ∴，即 ∵ ∴ ∵根据题意得，，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴设， ∴，， ∴在中， ∴ 整理得， 解得， ∴的长度等于1或3． 故答案为：1或3． 【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先算乘方，乘法，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 18. 如图，数轴上点代表的数为，点代表的数为． （1）若，求的值． （2）A、B之间距离能否为1，并说明理由． 【答案】（1）3或 （2）A、B之间距离不能为1，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴和有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式． （1）先根据数轴上两点间的距离公式求，再根据，列出关于的方程，解方程即可； （2）先求出，再假设，列出关于的方程，利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况，从而判断即可． 【小问1详解】 点代表的数为，点代表的数为，， ， ， ， ， 或， 解得：或； 【小问2详解】 不能为1，理由如下： 若点代表的数为，点代表的数为，， 则， ， ， ，，， ， 原方程无解， ，之间的距离不能为1． 19. 如图，装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍．工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分m，搅拌棍A到底端D处的长度为，最后测量出桶的高为，圆桶内壁的底面直径为．已知桶内的液面与桶底面平行，其平面示意图如图2所示．请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积（结果保留π） 【答案】桶内所装液体的体积为立方米． 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据油面和桶底是一组平行线，利用平行线分线段成比例定理求得，再利用圆柱的体积公式计算即可解答． 【详解】解：由题意得，， ， ，解得：， ∴桶内所装液体的体积（立方米）． 答：桶内所装液体的体积为立方米． 20. 关于的一元二次方程． （1）试判断该方程根的情况并说明理由； （2）若是该方程的两个实数根，且，求该方程的解． 【答案】（1）该方程有两个不相等的实数根，详见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)根据方程，计算根的判别式，确定根的情形． (2)根据方程，利用根与系数关系定理，代入计算． 【小问1详解】 方程有两个不相等的实数根．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ， 故方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵是该方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， 解得， 故原方程变形为， 解得． 【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数关系定理，方程的解法，熟练掌握根的判别式，根与系数关系定理是解题的关键． 21. 2023年10月26日，神舟十七号发射升空，与空间站构成三船三舱构型． 某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型． 已知该模型每件成本40元，当商品售价为70元时，十月售出256件，十一月、十二月销量持续走高，十二月售出400件． （1）求十一、十二这两个月的月平均增长率． （2）为了让利于爱好者，商店决定在每月售出400件的基础上降价销售，若模型单价每降低1元，可多售出5件，要使商店仍能获利9000元，每件模型应降价多少元？ 【答案】（1）十一、十二这两个月的月平均增长率为 （2）每件模型应降价10元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设十一、十二这两个月的月平均增长率为x，则十一月售出件，十二月售出件，再根据十二月售出400件列出方程求解即可； （2）设每件模型应降价m元，则每件模型的利润为元，销售量为件，再根据利润为9000元列出方程求解即可． 小问1详解】 解：设十一、十二这两个月的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：十一、十二这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解；设每件模型应降价m元， 由题意得，， 整理得：， 解得或（舍去）， 答：每件模型应降价10元． 22. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】（1）见解析 （2）菱形，理由见解析 （3）当或时，四边形是正方形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，进而得到四边形是平行四边形，即可得证； （2）中点得到，证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，得到四边形是菱形； （3）根据有一个角是直角的菱形时正方形，得到当或时，四边形是正方形，即可． 【小问1详解】 证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， 理由如下：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当或时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 或：当时，∵， ∴， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 23. 【背景】法国数学家弗朗索瓦·韦达于年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理．根据韦达定理，不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积，还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程． （）【探究】写出符合条件的一元二次方程，使得其两根、满足 ，：___________； ，：______________________． （）【应用】，，若，求的值． （）【推广】若实数、、满足，，求正数的最小值． 【答案】 ，：；，：；应用：；推广：最小值为． 【解析】 【分析】（）【探究】根据一元二次方程的两个根构造方程； 根据一元二次方程的两个根构造方程； （）【应用】由方程的解代入方程，然后整体代入即可求解； （）【推广】由，，转化为，是关于方程的两根，，然后用根的判别式即可求解． 根据一元二次方程中根与系数之间关系即可求解； 【详解】（）【探究】 ∵，， ∴构造一元二次方程为：，即， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴构造一元二次方程为：，即， 故答案为：，； （）【应用】 ∵， ∴，为方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得：， （）【推广】：， ∴，为方程的两根， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：正数的最小值为． 【点睛】此题考查了一元二次方程中根与系数和根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程中根与系数之间关系，和根的判别式． 24. 已知，如图，在正方形中，点分别是边上的动点． （1）如图1，若，垂足为，求证：； （2）如图2，点是边上一点，且，垂足为． ①判断与是否相等？并说明理由； ②如图3，若垂直平分，交对角线交于点，写出线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见详解 （2）①，理由见详解；②，理由见详解 【解析】 【分析】（1）由证明，即可得出结论； （2）①作于，则，，由证明，即可得出结论； ②连接、，过作于，交于，则，，，则，证明是等腰直角三角形，得出，证出，由线段垂直平分线的性质得出，，由证明得出，证出，得出是等腰直角三角形，得出，证出是等腰直角三角形，得出，由①得：，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ； 【小问2详解】 解：①；理由如下： 作于，如图2所示： 则，， ， ， ， ， 在和中，， ， ； ②；理由如下： 连接、，过作于，交于，如图3所示： 则，，， 则， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 垂直平分， ，， 在和中，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由①得：， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$