精品解析：福建省厦门市同安区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

福建省厦门市同安区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷，答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．全卷三大题，25小题，试卷共6页． 4．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得． 故选：A． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 3. 在平行四边形中，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，根据平行四边形对角相等求解，即可解题． 【详解】解：平行四边形中，， 则， 故选：B． 4. 下列二次根式的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类二次根式，二次根式的乘法运算，二次根式的乘法运算，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类二次根式不能合并，故该选项不符合题意； B、不是同类二次根式不能合并，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，在矩形中，与交于点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，由矩形的性质可得，则可证明是等边三角形，得到，则． 【详解】解：∵在矩形中，与交于点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 6. 的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理；根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴设 则 即 ∴，即为直角三角形，故该选项不符合题意； B、∵， ∴ 即为直角三角形，故该选项不符合题意； C、∵ ∴， ∴ 即为直角三角形，故该选项不符合题意； D、∵ ∴， ∴不是直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 7. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长． 【详解】解：根据勾股定理可得： x2=（x-4）2+（x-2）2， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般． 8. 如图，在四边形中，平分，点M，N分别为的中点，连接．在下列结论中：①；②；③平分；④；其中结论正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．根据直角三角形斜边的性质及中位线的判定和性质、勾股定理解三角形依次判断各项即可． 【详解】解：∵，平分，点M为的中点， ∴，， ∴，，， ∵点M，N分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∴， ∵，，， ∴，， ∴，故④正确，符合题意； ∴不平分，故③错误，不符合题意； 无法证明②，故不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 计算：=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解：=；故答案为． 点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键． 10. 定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是___________． 【答案】两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是能写出一个命题的逆命题． 内错角相等，两直线平行有逆定理，逆定理为两直线平行，内错角相等． 【详解】解：内错角相等，两直线平行有逆定理，逆定理为两直线平行，内错角相等． 故答案为：两直线平行，内错角相等． 11. 在中，，，，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，关键是掌握勾股定理． 在中，为斜边，已知，，由勾股定理即可求出． 【详解】解：∵在中，，，， ； 故答案为． 12. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是_____． 【答案】24 【解析】 【分析】连接BD，交AC于点O，由勾股定理可得BO=3，根据菱形的性质求出BD，再计算面积. 【详解】连接BD，交AC于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=CO=4， 由勾股定理可得BO=3， 所以BD=6， 即可得菱形的面积是×6×8=24． 故答案是：24． 13. 如图，某港口位于南北方向的海岸线上．甲，乙两舰艇同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲舰艇每小时航行16海里，乙舰艇每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点P，Q处，且相距30海里．已知甲舰艇沿北偏东方向航行，则乙舰艇的航行方向是_______________． 【答案】南偏东 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用．直接得出海里，海里，海里，利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案． 【详解】解：由题意可得：海里，海里，海里， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵甲舰艇沿北偏东方向航行， ∴， ∴乙舰艇的航行方向是南偏东． 故答案为：南偏东． 14. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，，连接交于点，点为的中点，连接，若，则的长为_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，，证明得的，即点M是的中点，再由三角形中位线定理可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点M是的中点， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：4． 15. 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时，得到线段．若为4，则线段的长为_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查矩形和折叠性质、线段垂直平分线的定义与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，证明是等边三角形是解答的关键．连接，证明为等边三角形，进而可得，再利用含30度角的直角三角形的性质得到求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠性质，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：2． 16. 如图，在四边形中，于点．在直线右侧的平面内找一点，使得的面积是60．当与之和的最小值为25时，的长为____________． 【答案】8 【解析】 【分析】设的上的高为，先证明点在平行于，且到边的距离等于的直线上，延长交于点，并在射线上取，连接交直线于点，连接，过点作于，求得点、关于直线对称时，，再证四边形是平行四边形，得，，最后利用勾股定理即可得解． 【详解】解：设的上的高为， ∵的面积是，， ∴， 解得， ∴点在平行于，且到边的距离等于6的直线上， 延长交于点，并在射线上取，连接交直线于点，连接，过点作延长线于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点、关于直线对称， ∵当的最小值是25， ∴点、关于直线对称时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查平行四边的判定及性质，勾股定理，轴对称的判定及性质，线段最短以及平行线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先计算二次根式乘除法， 再计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，在平行四边形中，，求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：在平行四边形中，， ， ， ， 平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质和矩形的判定即可得出结论． 【详解】略 19. 如图，在中，，点是边上的中点，连接，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，可证明，则，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， 是直角三角形，且， 是边的中点， ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、分母有理数，正确化简原式是解答的关键．先根据分式的混合运算法则化简原式，再代值，利用分母有理数方法求解即可． 【详解】解：法一：原式 ， 当时，原式． 法二：原式 ， 当时，原式． 21. 八年2班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比旗杆多1米，当他们把绳子拉直，绳子末端刚好接触地面时，此时绳子末端与旗杆的距离为5米，求旗杆的高度． 【答案】12米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 将旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米． 在中， 根据勾股定理得． 解得： 答：旗杆的高度为12米． 22. 如图，在四边形ABCD中，，，． （1）在线段上，求作点，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，．若，求证：． 【答案】（1） 点E就是所求作的点： （2） 证明：：∵， ∴， ∵， ∴ 由（1）得，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查尺规作线段，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握相关性质，并灵活运用． （1）以为圆心，的长为半径，画弧，交于点，点即为所求； （2）平行线的性质，角的和差关系推出，进而得到，证明，得到即可． 【小问1详解】 解：由作图可知：， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 略 23. 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… （1）请根据以上规律写出第个等式（为正整数），并证明； （2）请应用以上的运算规律计算：． 【答案】（1） 解：第个等式：，证明如下： 法一：左边右边； 法二：左边右边． （2）或 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化-规律型，观察数字的变化，找出变化规律是解题的关键． （1）观察式子，可得第个等式为，然后利用二次根式的性质进行化简证明即可； （2）根据题中运算规律直接计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：原式 或． 24. 等腰直角三角形中，，点在的延长线上．分别以和为边向外作正方形和正方形． （1）若，连接，当时，求的长度； （2）证明：． 【答案】（1） （2） 证明：过作于N． ． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解答的关键． （1）法一：延长到，使得，连接，证明得到，，再利用等腰直角三角形的判定与性质得到，进而可求解； 法2：过作的延长线于，证明，得到，，、结合正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质得到，进而可求解； （2）过作于N．先根据等腰三角形的性质得到．再利用勾股定理得到，，进而作差求解即可证得结论． 【小问1详解】 解：法一： 解：延长到，使得，连接， ， ， 又四边形为正方形，四边形为正方形， ， 即． 在和中， ，， ， ， ， ； 法二： 解：过作的延长线于， ， ， 四边形为正方形， ，， ， 在和中， ， ，， 四边形为正方形 ， ，， ， 又 ， ． 【小问2详解】 略 25. 如图，在正方形中，以为边作菱形，使得点在正方形内，射线与交于点，与射线交于点． （1）当时，求的度数； （2）当点为中点时，证明：； （3）试探究：与的度数之和是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：连接， ∵四边形是正方形， ， ∵四边形是菱形， ， ， 四边形为平行四边形， ， 点为中点， ， ， ， ，， 在和中，， ， ， ， ． （3）与的度数之和是定值 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，由菱形的性质可得，继而可得，由等边对等角可得，进而可得，，再根据角的和差可解； （2）连接，由正方形的性质和菱形的性质易得，进而可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，进一步可得，，，即可判定，进而可得，即，即可得证； （3）由题意得，由正方形的性质得，再由菱形的性质可得，进而可得，由等边对等角可得，进而求得． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ， ∵四边形是菱形， ， ， ∴， ∵， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得：， 在正方形中，， ， 在菱形中，， ， ， ， ， 即， ∴与的度数之和是定值． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练应用以上性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门市同安区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷，答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．全卷三大题，25小题，试卷共6页． 4．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，，则为（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，与交于点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，平分，点M，N分别为的中点，连接．在下列结论中：①；②；③平分；④；其中结论正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 计算：=______． 10. 定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是___________． 11. 在中，，，，则____． 12. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是_____． 13. 如图，某港口位于南北方向的海岸线上．甲，乙两舰艇同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲舰艇每小时航行16海里，乙舰艇每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点P，Q处，且相距30海里．已知甲舰艇沿北偏东方向航行，则乙舰艇的航行方向是_______________． 14. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，，连接交于点，点为的中点，连接，若，则的长为_____________． 15. 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时，得到线段．若为4，则线段的长为_____________． 16. 如图，在四边形中，于点．在直线右侧的平面内找一点，使得的面积是60．当与之和的最小值为25时，的长为____________． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在平行四边形中，，求证：四边形是矩形． 19. 如图，在中，，点是边上的中点，连接，求的长． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 八年2班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比旗杆多1米，当他们把绳子拉直，绳子末端刚好接触地面时，此时绳子末端与旗杆的距离为5米，求旗杆的高度． 22. 如图，在四边形ABCD中，，，． （1）在线段上，求作点，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，．若，求证：． 23. 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… （1）请根据以上规律写出第个等式（为正整数），并证明； （2）请应用以上的运算规律计算：． 24. 等腰直角三角形中，，点在的延长线上．分别以和为边向外作正方形和正方形． （1）若，连接，当时，求的长度； （2）证明：． 25. 如图，在正方形中，以为边作菱形，使得点在正方形内，射线与交于点，与射线交于点． （1）当时，求的度数； （2）当点为中点时，证明：； （3）试探究：与的度数之和是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $