假期作业(二十三) 复数-【成功方案】2025年大暑假小一轮高一全一册数学暑假作业

高一数学 即302=x2+402-2x·40cos45°,化简得x2- 402x+700=0, |x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=400, |x1-x2|=20, 即图中的CD=20(千米), 故t=CDv = 20 20=1 (小时). 答案 1 11.解 根据图示,AC=1002m. 在△MAC中,∠CMA=180°-75°-60°=45°. 由正弦定理得 AC sin45°= AM sin60°⇒AM=1003m. 在△AMN 中,MNAM=sin60° , 所以MN=1003× 32=150 (m). 12.解 (1)设点B(x0,y0),依题意x0=2cos45° =1,y0=2sin45°=1, 从而B(1,1),又A(-3,1),所以AB∥x轴,则 |AB|=|1-(-3)|=4. (2)设质点Q与P 经过t秒会合于点C,则AC =2t,BC=t. 由AB∥x轴及BC 的倾斜角为60°,得∠ABC =120°. 在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2 -2AB·BC·cos120°, 所以2t2=16+t2+8t·12 , 化简得t2-4t-16=0,解得t=2-25(舍去) 或t=2+25. 即若要使得质点Q与P 会合于点C,则需要经 过(2+25)秒. 假期作业(二十三) 复数 基础再现 1.(1)实部 虚部 b=0 a=0且b≠0 (2)a=c 且b=d (3)a=c且b=-d (4)|z| |a+bi| a2+b2 (5)x轴 y轴除去原点 实数 纯 虚数 非纯虚数 2.(2)平面向量OZ → 3.(1)(a+c)+(b+d)i (a-c)+(b-d)i (ac-bd)+(ad+bc)i (ac+bd)+(bc-ad)i c2+d2 (2)z2+z1 z1+(z2+z3) 学以致用 1.B 2i1-i= 2i(1+i) (1-i)(1+i)=-1+i ,其在复平面 内所对应的点位于第二象限. 2.C 1+2ii =2-i ,其共轭复数为2+i,即a+bi= 2+i,所以a=2,b=1.故选C. 3.C 原式= (-1+3i)3 [(1+i)2]3 + (-2+i)(1-2i) (1+2i)(1-2i) = (-1+3i)3 (2i)3 + -2+4i+i+2 5 = (-12+ 3 2i )3 -i +i= 1 -i+i = i(-i)i+i=2i. 4.AD A.根据共轭复数的定义,显然是真命题; B.若z1-z2=0,则z1=z2,当z1,z2 均为实数 时,则有z1=􀭵z2,当z1,z2 是虚数时,z1≠􀭵z2,所 以B是假命题;C.若z1+z2∈R,则z1,z2 可能 均为实数,但不一定相等,或z1 与z2 的虚部互 为相反数,但实部不一定相等,所以C是假命 题;D.若z1-z2=0,则z1=z2,所以z1 与􀭵z2 互 为共轭复数,故D是真命题. 5.A ∵z1z2= 3-bi 1-2i= (3-bi)(1+2i) (1-2i)(1+2i) =3+2b+ (6-b)i 5 是实数, ∴6-b=0, ∴实数b的值为6,故选A. 6.BC 根据题意,M={m|m=in,n∈N}中,n=4k (k∈N)时,in=1; n=4k+1(k∈N)时,in=i;n=4k+2(k∈N)时, in=-1; n=4k+3(k∈N)时,in=-i, ∴M={-1,1,i,-i}. 选项A中,(1-i)(1+i)=2∉M; 选项B中,1-i1+i= (1-i)2 (1+i)(1-i)=-i∈M ; 选项C中,1+i1-i= (1+i)2 (1-i)(1+i)=i∈M ; 选项D中,(1-i)2=-2i∉M. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·79· 假期作业 7.解析 复数z=3-ii -2i=-1-5i ,则|z|= 26. 答案 26 8.解析 由复数相等的充要条件有 n2-3m-1=-3, n2-m-6=-4 ⇒ m=2,n=±2. 答案 2 ±2 9.解析 设复数z=a+bi,a,b∈R,则z2=a2-b2 +2abi=3+4i,a,b∈R,则 a2-b2=3, 2ab=4, a,b∈R, 解得 a=2 b=1 或 a=-2b=-1 , 则z=±(2+i),故|z|=5. 答案 5 10.解析 方程有实根,不妨设其一根为x0, 设m=ai代入方程得 x20+(1+2i)x0-(3ai-1)i=0, 化简得,(2x0+1)i+x20+x0+3a=0, ∴ 2x0+1=0, x20+x0+3a=0, 解得a=112, ∴m=112i. 答案 112i 11.解 (1)因为天干和地支各自周期为10和12, 所以每60年轮回一次,至少60年后又是己 亥年. (2)由(1)可得,周期为60. (3)i,i2=-1,i3=-i,i4=1,i5=i4·i,i6= i4·i2,i7=i4·i3,……,可得,in=i4·in-4,具 备周期性,周期为4. 12.解 (1)设z=a+bi(a,b∈R), 由已知条件得:a2+b2=2,z2=a2-b2+2abi, 所以2ab=2. 所以a=b=1或a=b=-1,即z=1+i或z= -1-i. (2)当z=1+i时,z2=(1+i)2=2i,z-z2=1 -i,所以点A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以 S△ABC=12|AC|×1= 1 2×2×1=1 ; 当z=-1-i时,z2=(-1-i)2=2i,z-z2= -1-3i. 所以点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3), 所以S△ABC=12|AC|×1= 1 2×2×1=1. 即 △ABC的面积为1. 假期作业(二十四) 基本立体 图形及立体图的直观图 基础再现 1.(1)互相平行 公共顶点 平行于 2.(2)①45°(或135°) ②变为原来的一半 学以致用 1.C 棱柱有三个特征:(1)有两个面相互平行; (2)其余各面是四边形;(3)侧棱相互平行.本题 所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征,而 ①②③④⑤符合,故选C. 2.D 该几何体用平面ABCD 可分割成两个四棱 锥,因此它是这两个四棱锥的组合体,因而四边 形ABCD 是它的一个截面而不是一个面.故 D说法不正确. 3.D 由题意知,三角形绕轴旋转一周后形成的几 何体是圆锥,圆绕直径所在直线旋转一周后形 成的几何体是球,故阴影部分旋转一周后形成 的几何体是一个圆锥内部挖去一个球后组成的 简单几何体,故选D. 4.B 由条件知,原平面图形中AB⊥BC,从而 AB<AD<AC. 5.AB 水平放置的n边形的直观图还是n 边形, 故①正确;因为斜二测画法是一种特殊的平行 投影画法,所以②正确;因为斜二测画法中平行 于纵轴的线段长度减半,所以③错误;由于x'O'y' 两轴夹角为45°或135°,∴不再是菱形,所以 ④错误. 6.B 若4为底面周长,则圆柱的高为2,此时圆柱 的底面直径为4 π ,其轴截面的面积为8 π ;若底面 周长为2,则圆柱高为4,此时圆柱的底面直径 为2 π ,其轴截面面积为8 π. 7.解析 由斜二测画法画出的直 观图如图所示,作B'E⊥x'轴 于点E,在Rt△B'EC'中,B'C' =2,∠B'C'E=45°,所以B'E =B'C'sin45°=2× 22=2. 答案 2 8.解析 由线段的长度知△ABC是以AB 为斜边 的直角三角形,所以其外接圆的半径r=AB2=5 , 所以d= R2-r2=12. 答案 12 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·89· 高一数学 75°,从C点测得∠MCA=60°.已知山 高BC=100m,求山高MN. 12.如图,在平面直角坐标 系 xOy 中,已 知 点 A(-3,1),直线OB的 倾斜角为45°,且|OB| =2. (1)求点B的坐标及线段AB 的长度; (2)在平面直角坐标系xOy中,取1厘米 为单位长度.现有一质点P以1厘米/秒 的速度从点B 出发,沿倾斜角为60°的 射线BC运动,另一质点Q同时以 2厘 米/秒的速度从点A 出发作直线运动, 如果要使得质点Q与P 会合于点C,那 么需要经过多少时间? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(二十三) 复数 1.复数的有关概念 (1)复数的概念:形如a+bi(a,b∈R)的 数叫做复数,其中a,b分别是它的 和 . 若 ,则a+bi为实数;若b≠0,则 a+bi为虚数;若 ,则a+bi为 纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di⇔ (a,b,c,d∈R). (3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔ (a,b,c,d∈R). (4)复数的模:向量OZ → 的模r叫做复数z =a+bi的模,记作 或 , 即|z|=|a+bi|= . (5)复平面:建立直角坐标系来表示复数 的平面,叫做复平面. 叫做实轴, 叫做虚轴.实轴上的点都表示 ;除原点外,虚轴上的点都表示 ;各象限内的点都表示 . 复数集用C表示. 2.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi 一一对应 →复平面内的 点Z(a,b)(a,b∈R). (2)复数z=a+bi 一一对应 → (a,b∈R). 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则: ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·54· 假期作业 ③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= ; ④除法:z1z2= a+bi c+di= (c+di≠0). (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任 意z1,z2,z3∈C,有z1+z2= , (z1+z2)+z3= . 一、选择题 1.设i是虚数单位,则复数 2i1-i 在复平面内 所对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.复数1+2ii 的共轭复数是a+bi(a,b∈R), i是虚数单位,则点(a,b)为 ( ) A.(1,2) B.(2,-1) C.(2,1) D.(1,-2) 3.计算 (-1+3i)3 (1+i)6 + -2+i 1+2i 的值是 ( ) A.0 B.1 C.2i D.i 4.(多选题)给出下列命题,其中是真命题 的是 ( ) A.纯虚数z的共轭复数是-z B.若z1-z2=0,则z1=􀭵z2 C.若z1+z2∈R,则z1 与z2 互为共轭 复数 D.若z1-z2=0,则z1 与􀭵z2 互为共轭 复数 5.已知复数z1=3-bi,z2=1-2i,若 z1 z2 是实 数,则实数b等于 ( ) A.6 B.-6 C.0 D.16 6.(多选题)已知集合M={m|m=in,n∈N}, 其中i为虚数单位,则下列元素属于集合 M 的是 ( ) A.1-i 1+i B.1-i1+i C.1+i1-i D.1-i 2 二、填空题 7.复数z满足z+2i i=3-i,则 z = . 8.(双空题)已知z1=-3-4i,z2=(n2-3m -1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,则实数 m= ,n= . 9.设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位), 则z的模为 . 10.已知关于x的方程x2+(1+2i)x-(3m -1)i=0有实根,则纯虚数m 的值是 . 三、解答题 11.古代以六十年为一个甲子用十天干和 十二地支相配六十年轮一遍,周而复 始.甲子为干支之一,顺序为第一个前 一位是癸亥,后一位是乙丑论阴阳五 行,天干之甲属阳之木,地支之子属阳 之水,是水生木相生,十干与十二支按 顺序两两相配,从甲子到癸亥,共六十 个组合,称六十甲子. 问题(1)2020年是己亥年,至少多少年 后又是己亥年? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·64· 高一数学 (2)从一个已亥年到下一个己亥年,周 期是多少? (3)计算i,i2,i3,i4,…,一直计算下去, 你会得到什么结论? 12.已知复数z满足|z|= 2,z2 的虚部 为2. (1)求复数z; (2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点 分别为A,B,C,求△ABC的面积. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(二十四) 基本立体图形及立体图的直观图 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 多面体 结构特征 棱柱 有两个面 ,其余各面都是四 边形且每相邻两个四边形的公共边 都互相平行 棱锥 有一个面是多边形,而其余各面都是 有一个 的三角形 棱台 棱锥被 底面的平面所截,截 面和底面之间的部分叫做棱台 (2)旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 矩形一边所在的直 线或对边中点连线 所在直线 圆锥 直角三角形或 等腰三角形 一直角边所在的直 线或等腰三角形底 边上的高所在直线 圆台 直角梯形或等 腰梯形 直角腰所在的直线 或等腰梯形上下底 中点连线所在直线 球 半圆或圆 直径所在的直线 2.直观图 (1)画法:常用斜二测画法. (2)规则:①原图形中x轴、y轴、z轴两 两垂直,直观图中,x'轴,y'轴的夹角为 ,z'轴与x'轴和y'轴所在平面 垂直. ②原图形中平行于坐标轴的线段,直观 图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变, 平行于y 轴的线段长度在直观图中 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·74·