假期作业(二十) 平面向量数量积的坐标表示及平面向量的应用-【成功方案】2025年大暑假小一轮高一全一册数学暑假作业

高一数学 所以λ1=-16 ,λ2=23. 答案 -16 ,2 3 10.解析 ①因为OC → =(-2,1),BA → =(2,-1),所 以OC → =-BA →,又直线OC,BA 不重合,所以直 线OC∥BA,所以①正确;②因为AB → +BC → = AC → ≠CA →,所以②错误;③因为OA → +OC → = (0,2)=OB →,所以③正确;④因为AC → =(-4,0), OB → -2OA → =(0,2)-2(2,1)=(-4,0),所以 ④正确. 答案 ①③④ 11.解 ∵a=(x,1),b=(4,x),a∥b. ∴x2-4=0,解得x1=2,x2=-2. 当x=2时,a=(2,1),b=(4,2),a与b共线且 方向相同; 当x=-2时,a=(-2,1),b=(4,-2), a与b共线且方向相反. ∴x=2. 12.解 (1)ka-b=k(1,0)-(2,1) =(k-2,-1), a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2). 因为ka-b与a+2b共线, 所以2(k-2)-(-1)×5=0,得k=-12. (2)因为A,B,C三点共线, 所以AB → =λBC →,λ∈R, 即2a+3b=λ(a+mb), 所以 2=λ, 3=mλ, 解得m=32. 假期作业(二十) 平面向量数量积 的坐标表示及平面向量的应用 基础再现 1.x1x2+y1y2 (1)x2+y2 x2+y2 (2)(x1-x2)2+(y1-y2)2 (3)x1x2+y1y2=0 学以致用 1.D 依题意得6-m=0,m=6,选D. 2.C ∵a=(4,3),∴2a=(8,6). 又2a+b=(3,18),∴b=(-5,12), ∴a·b=-20+36=16.又|a|=5,|b|=13, ∴cos<a,b>= 165×13= 16 65. 3.C ∵a=(-1,2),b=(3,1), ∴a-b=(-4,1), ∵(a-b)⊥c, ∴-4k+4=0,解得k=1. 4.AC 设b,c的夹角为α,a与b 的夹角为θ,则 |b·c|=|b||c||cosα|=|b||a||cos(90°±θ)| =|b||a|sinθ,故选AC. 5.AC 作▱OACB,使∠AOC= 30°,∠BOC=60°.在 ▱OACB 中,∠ACO = ∠BOC = 60°, ∠OAC=90°,|OA → |=|OC → |cos30° =3003N,|AC → |=|OC → |sin30° =300N,|OB → |=|AC → |=300N.选C. 6.B 如图,以BC为x 轴,BC的垂直平分线DA 为y轴,D 为坐标原点建立平面直角坐标系, 则A(0,3),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y), 所以PA → =(-x,3-y),PB → =(-1-x,-y), PC → =(1-x,-y), 所以PB → +PC → =(-2x,-2y), PA →·(PB → +PC →)=2x2-2y(3-y) =2x2+2(y- 32 )2-32≥- 3 2 , 当P(0,32 )时,所求的最小值为-32. 故选B. 7.解析 W 可以看成向量F 与向量s的数量积, 则W=F·s=|F||s|cos60°=6×100×12= 300(J). 答案 300 8.解析 根据题意,设D(x,y), 则CD → =(x-3,y),AB → =(1,3), CB → =(-1,2),AD → =(x-1,y+1); 若CD⊥AB,则CD →·AB → =(x-3)×1+3y=0,① 若CB∥AD,则CB → ∥AD →, 则有2(x-1)=(-1)(y+1),② 由①②得x=0,y=1;所以D 的坐标为(0,1). 答案 (0,1) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·39· 假期作业 9.解析 假设对角线的交点为O,AC →,BD → 的夹角 为α,则四边形面积为S=12 (AO·OD+AO· OB+BO·CO+CO·DO)sinα=12AC · BDsinα,AC=|AC → |= 5,BD=|BD → |=25, cosα= AC →·BD → AC·BD =0⇒sinα=1,所以,两向量夹 角为90°,四边形面积S=5. 答案 90° 5 10.解析 c=(m+4,2m+2),|a|=5,|b|=25,设 c,a的夹角为α,c,b的夹角为θ, 又因为cosα=c ·a |c||a| ,cosθ=c ·b |c||b| , 由题意知c·a |a|= c·b |b| ,即5m+8 5 =8m+20 25 . 解得m=2. 答案 2 11.解 如图所示,建立直角 坐标系,显然EF 是AM 的中垂线,设AM 与EF 交于点N,则N 是AM 的 中点,又正方形边长为8, 所以M(8,4),N(4,2). 设点E(e,0),则AM → =(8,4),AN → =(4,2),AE → =(e,0),EN → =(4-e,2), 由AM → ⊥EN → 得AM →·EN → =0, 即(8,4)·(4-e,2)=0, 解得e=5,即|AE → |=5. 所以S△AEM=12|AE → ||BM → |=12×5×4=10. 12.解 (1)因为A(1,0),B(0,1),C(2,5), 所以AB → =(0,1)-(1,0)=(-1,1), AC → =(2,5)-(1,0)=(1,5), 所以2AB → +AC → =2(-1,1)+(1,5)=(-1,7), 所以|2AB → +AC → |= (-1)2+72=52. (2)由(1)知AB → =(-1,1),AC → =(1,5), 所以cosθ= (-1,1)·(1,5) (-1)2+12× 12+52 =2 1313 . (3)由(2)知向量AB → 与AC → 的夹角的余弦为 cosθ=2 1313 ,且|AB → |=2. 所以向量AB → 在AC → 上的投影向量为 |AB → |cosθ· AC → |AC → | =2×2 1313 ·(1,5) 26 =(213, ,10 13 ). 假期作业(二十一) 余弦定理、正弦定理 基础再现 1.b2+c2-2bccosA a2+c2-2accosB a2+b2-2abcosC 2RsinA 2RsinB 2RsinC a2R b 2R c 2R 学以致用 1.B 由三角形边角关系可知,角C为△ABC的最小 角,则cosC=a 2+b2-c2 2ab = 72+(43)2-(13)2 2×7×43 = 32 ,所以C=π6 ,故选B. 2.ACD 由正弦定理易知A,C,D正确.对于B, 由sin2A=sin2B,可得A=B,或2A+2B=π, 即A=B,或A+B=π2 ,∴a=b,或a2+b2=c2, 故B错误. 3.B ∵sin2A2= 1-cosA 2 = c-b 2c , ∴cosA=bc= b2+c2-a2 2bc , ∴a2+b2=c2,符合勾股定理. ∴△ABC为直角三角形. 4.C 由正弦定理可得sinB=bsinAa = 18sin30° 15 =35 ,因为b>a,所以B>A=30°,所以角B可 能是锐角,也可能是钝角,所以此三角形有两 解,故选C. 5.AD 由余弦定理得4=b2+12-6b⇒b2-6b+8 =0,由b<c得b=2,由a=2,cosA= 32 ,所以 B=A=30°,故选AD. 6.D 由正弦定理和已知条件可得 sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA, 所以sin(A+B)-sinAcosB=2sinAcosA- sinBcosA, 即cosA(sinB-sinA)=0, 所以cosA=0或sinB-sinA=0,即A=90°或 A=B.故△ABC是等腰三角形或直角三角形. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·49· 高一数学 ②AB → +BC → =CA →; ③OA → +OC → =OB →; ④AC → =OB → -2OA → . 其中,正确结论的序号为 . 三、解答题 11.已知a=(x,1),b=(4,x),a与b共线 且方向相同,求x. 12.已知a=(1,0),b=(2,1). (1)当k 为何值时,ka-b 与a+2b 共线? (2)若AB → =2a+3b,BC → =a+mb且A, B,C三点共线,求m的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(二十) 平面向量数量积的坐标表示及平面向量的应用 1.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b = . 由此得到: (1)若a=(x,y),则|a|2= 或 |a|= ; (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点 间的距离|AB|=|AB → |= ; (3)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b ⇔ . (4)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是 a与b 的 夹 角,那 么cosθ= a ·b |a||b| = x1x2+y1y2 x21+y21· x22+y22 . 2.用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)几何法:选取适当的基底(基底中的 向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的 向量用基底表示,利用向量的运算法则、 运算律或性质计算. (2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现 向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂 直、平行等问题转化为代数运算. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·93· 假期作业 3.向量在物理中的应用 (1)求力向量、速度向量常用的方法:一 般是向量几何化,借助于向量求和的平 行四边形法则求解. (2)用向量方法解决物理问题的步骤: ①把物理问题中的相关量用向量表示; ②转化为向量问题的模型,通过向量运 算使问题解决; ③结果还原为物理问题. 一、选择题 1.若向量a=(3,m),b=(2,-1),a·b=0, 则实数m的值为 ( ) A.-32 B. 3 2 C.2 D.6 2.已知a,b为平面向量,且a=(4,3),2a+ b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于( ) A.865 B.- 8 65 C.1665 D.- 16 65 3.已知向量a=(-1,2),b=(3,1),c= (k,4),且(a-b)⊥c,则k= ( ) A.-6 B.-1 C.1 D.6 4.(多选题)设a,b,c为同一平面内具有相 同起点的三个任意的非零向量.且满足a 与b不共线,a⊥c,|a|=|c|,则 b·c 的 值一定等于 ( ) A.以a与b为邻边的平行四边形的面积 B.以b,c为邻边的平行四边形的面积 C.以a与b为两边的三角形的面积的 2倍 D.以b,c为两边的三角形面积 5.(多选题)如图,在重600N的 物体上有两根绳子,绳子与铅 垂线的夹角分别为30°,60°,物体平衡时, 两根绳子拉力的大小分别为 ( ) A.3003N B.150N C.300N D.200N 6.已知△ABC是长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则PA →·(PB → +PC →) 的最小值是 ( ) A.-2 B.-32 C.-43 D.-1 二、填空题 7.已知一个物体在大小为6N的力F的作 用下产生的位移s的大小为100m,且F 与s的夹角为60°,则力F所做的功W= J. 8.已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,直 线CD⊥AB,且CB∥AD,则点D的坐标 是 . 9.(双空题)在四边形ABCD中,AC → =(1,2), BD → =(-4,2),则AC → 与BD → 的夹角为 ,该四边形的面积为 . 10.已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c= ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c 与b的夹角,则m= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·04· 高一数学 三、解答题 11.如图所示,ABCD 是正方形,M 是BC 的中点,将正方形折起使点A 与M 重 合,设折痕为EF,若正方形面积为64, 求△AEM 的面积. 12.设平面三点A(1,0),B(0,1),C(2,5), (1)试求向量2AB → +AC → 的模; (2)若向量AB → 与AC → 的夹角为θ,求 cosθ; (3)求向量AB → 在AC → 上的投影向量. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(二十一) 余弦定理、正弦定理 1.余弦定理和正弦定理 定理 余弦定理 正弦定理 内容 a2= , b2= , c2= a sinA= b sinB= c sinC=2R (R为△ABC外接圆半径) 变形 形式 cosA=b 2+c2-a2 2bc , cosB=a 2+c2-b2 2ac , cosC=a 2+b2-c2 2ab a= ,b= ,c= , sinA= ,sinB= , sinC= , a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC, asinB=bsinA,bsinC=csinB, asinC=csinA, a+b+csinA+sinB+sinC=2R 􀪋 ·14·