假期作业(十九) 平面向量的基本定理及坐标表示-【成功方案】2025年大暑假小一轮高一全一册数学暑假作业

高一数学 三、解答题 11.已知 a =6,e为单位向量,当向量a,e 的夹角θ分别等于45°,90°,135°时,求 向量a在向量e上的投影向量. 12.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b 方向上的投影为-1. (1)求a与b的夹角θ; (2)求(a-2b)·b; (3)当λ为何值时,向量λa+b与向量 a-3b互相垂直? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(十九) 平面向量的基本定理及坐标表示 1.平面向量的基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 如果e1,e2 是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任意 向量a, 一对实数λ1,λ2,使a= .其中,不共线的向量e1,e2 叫 做表示这一平面内所有向量的一组 . (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向 量,叫做把向量正交分解. (3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量i,j作为 基底,对于平面内的一个向量a,有且只 有一对实数x,y,使得a=xi+yj,把有 序数对 叫做向量a的坐标,记 作a= ,其中 叫做a在 x轴上的坐标, 叫做a在y轴上 的坐标; ②设OA → =xi+yj,则向量OA → 的坐标 (x,y)就是 ,即若OA → =(x,y), 则点A坐标为 ,反之亦成立(O 为坐标原点). 2.平面向量的坐标运算 向量的加 法、减法 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a +b= ,a-b= 向量的 数乘 设a=(x,y),λ∈R,则λa= 向量坐标 的求法 设O(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2),则 OA → = ,AB → = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·73· 假期作业 3.向量共线的坐标表示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔ =0,特别地,若x2,y2≠0,则 a∥b⇔x1x2= y1 y2. 一、选择题 1.设i,j是平面直角坐标系内分别与x轴, y轴正方向相同的两个单位向量,O为坐 标原点,若OA → =4i+2j,OB → =3i+4j,则 2OA → +OB → 的坐标是 ( ) A.(1,-2) B.(7,6) C.(5,0) D.(11,8) 2.已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),则 b= ( ) A.(1,-2) B.(1,2) C.(5,6) D.(2,0) 3.已知AD 是△ABC的中线,AB → =a,AD → =b,以a,b为基底表示AC →,则AC → =( ) A.12 (a-b) B.2b-a C.12 (b-a) D.2b+a 4.若D点在三角形ABC 的边BC 上,且CD → =4DB → =rAB → +sAC →,则3r+s的值为 ( ) A.165 B. 12 5 C.85 D. 4 5 5.(多选题)已知向量i=(1,0),j=(0,1), 平面内的任意向量a,下列结论中错误 的是 ( ) A.存在唯一的一对实数x,y,使得a= (x,y) B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠ (x2,y2),则x1≠x2,y1≠y2 C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a 的起点是原点O D.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是 (x,y),则a=(x,y) 6.(多选题)已知非零向量e1,e2,a,b满足 a=2e1-e2,b=ke1+e2,给出以下结论, 其中正确结论是 ( ) A.若e1与e2不共线,a与b共线,则k= -2 B.若e1与e2不共线,a与b共线,则k=2 C.存在实数k,使得a与b不共线,e1 与 e2共线 D.不存在实数k,使得a与b不共线,e1 与e2共线 二、填空题 7.已知向量a=(2,1),b=(1,-2).若ma +nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值 为 . 8.已知向量a,b是一组基底,实数x,y满 足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则 x-y的值为 . 9.(双空题)设 D,E 分别是 △ABC的边AB,BC上的点, AD=12AB ,BE=23BC ,若 DE → =λ1AB → +λ2AC →(λ1,λ2 为实数),则 λ1= ,λ2= . 10.已知A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0), 给出下列结论: ①直线OC与直线BA 平行; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·83· 高一数学 ②AB → +BC → =CA →; ③OA → +OC → =OB →; ④AC → =OB → -2OA → . 其中,正确结论的序号为 . 三、解答题 11.已知a=(x,1),b=(4,x),a与b共线 且方向相同,求x. 12.已知a=(1,0),b=(2,1). (1)当k 为何值时,ka-b 与a+2b 共线? (2)若AB → =2a+3b,BC → =a+mb且A, B,C三点共线,求m的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(二十) 平面向量数量积的坐标表示及平面向量的应用 1.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b = . 由此得到: (1)若a=(x,y),则|a|2= 或 |a|= ; (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点 间的距离|AB|=|AB → |= ; (3)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b ⇔ . (4)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是 a与b 的 夹 角,那 么cosθ= a ·b |a||b| = x1x2+y1y2 x21+y21· x22+y22 . 2.用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)几何法:选取适当的基底(基底中的 向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的 向量用基底表示,利用向量的运算法则、 运算律或性质计算. (2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现 向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂 直、平行等问题转化为代数运算. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·93· 假期作业 图所示. 答案 90° CA → 11.解 当θ=45°时,a在e上的投影向量为|a| cos45°·e=6× 22e=32e , 当θ=90°时,a在e上的投影向量为|a|cos90° ·e=6×0×e=0, 当θ=135°时,a在e上的投影向量为 |a|cos135°·e=6×(- 22 )e=-32e. 12.解 (1)由题意知|a|=2,|b|=1. 又a在b方向上的投影为|a|cosθ=-1, ∴cosθ=-12 ,∴θ=2π3. (2)易知a·b=-1,则(a-2b)·b=a·b- 2b2=-1-2=-3. (3)∵λa+b与a-3b互相垂直, ∴(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a- 3b2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0, ∴λ=47. 假期作业(十九) 平面向量的基本 定理及坐标表示 基础再现 1.(1)不共线 有且只有 λ1e1+λ2e2 基底 (2)互相垂直 (3)①(x,y) (x,y) x y ②终点A的坐标 (x,y) 2.(x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (λx,λy) (x1,y1) (x2-x1,y2-y1) 3.x1y2-x2y1 学以致用 1.D 因为OA → =(4,2),OB → =(3,4),所以2OA → + OB → =(8,4)+(3,4)=(11,8). 2.A b=(3,2)-2a=(3,2)-(2,4)=(1,-2). 3.B 如图,AD 是△ABC 的中线,则D 为线段 BC 的中点,从而AD → =12 (AB → +AC →),则AC → = 2AD → -AB → =2b-a. 4.C ∵CD → =4DB → =rAB → +sAC →,∴CD → =45CB → =45 (AB → -AC →)=rAB → +sAC →, ∴r=45 ,s=-45.∴3r+s= 12 5- 4 5= 8 5. 5.BCD 由平面向量基本定理,可知A中结论正 确;a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B中结论错 误;因为向量可以平移,所以向量a=(x,y)与 向量a的起点是不是原点无关,故C中结论错 误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以 a的起点是原点为前提的,故D中结论错误.故 选BCD. 6.AD 因为非零向量e1,e2,a,b满足a=2e1- e2,b=ke1+e2,若e1 与e2 不共线,a与b共线, 可得λa=b,即2λ=k,-λ=1,解得k=-2,所 以A正确,B错误.若e1与e2共线,可得e1=me2, a=2e1-e2=(2m-1)e2,b=ke1+e2=(km+1)e2, 可得a 与b 共 线,所 以 C错 误,D 正 确.故 选AD. 7.解析 由a=(2,1),b=(1,-2),可得ma+nb =(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n)= (9,-8),由已知可得 2m+n=9 m-2n=-8 , 解得 m=2 n=5 ,从而m-n=-3. 答案 -3 8.解析 因为a,b是一组基底,所以a与b 不共 线,因为(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,所以 3x-4y=6, 2x-3y=3, 解得 x=6 , y=3, 所以x-y=3. 答案 3 9.解析 如图,由题意知,D 为AB 的中点,BE → =23BC →, 所以DE → =DB → +BE → =12AB → +23BC → =12AB → +23 (AC → -AB →) =-16AB → +23AC →, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·29· 高一数学 所以λ1=-16 ,λ2=23. 答案 -16 ,2 3 10.解析 ①因为OC → =(-2,1),BA → =(2,-1),所 以OC → =-BA →,又直线OC,BA 不重合,所以直 线OC∥BA,所以①正确;②因为AB → +BC → = AC → ≠CA →,所以②错误;③因为OA → +OC → = (0,2)=OB →,所以③正确;④因为AC → =(-4,0), OB → -2OA → =(0,2)-2(2,1)=(-4,0),所以 ④正确. 答案 ①③④ 11.解 ∵a=(x,1),b=(4,x),a∥b. ∴x2-4=0,解得x1=2,x2=-2. 当x=2时,a=(2,1),b=(4,2),a与b共线且 方向相同; 当x=-2时,a=(-2,1),b=(4,-2), a与b共线且方向相反. ∴x=2. 12.解 (1)ka-b=k(1,0)-(2,1) =(k-2,-1), a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2). 因为ka-b与a+2b共线, 所以2(k-2)-(-1)×5=0,得k=-12. (2)因为A,B,C三点共线, 所以AB → =λBC →,λ∈R, 即2a+3b=λ(a+mb), 所以 2=λ, 3=mλ, 解得m=32. 假期作业(二十) 平面向量数量积 的坐标表示及平面向量的应用 基础再现 1.x1x2+y1y2 (1)x2+y2 x2+y2 (2)(x1-x2)2+(y1-y2)2 (3)x1x2+y1y2=0 学以致用 1.D 依题意得6-m=0,m=6,选D. 2.C ∵a=(4,3),∴2a=(8,6). 又2a+b=(3,18),∴b=(-5,12), ∴a·b=-20+36=16.又|a|=5,|b|=13, ∴cos<a,b>= 165×13= 16 65. 3.C ∵a=(-1,2),b=(3,1), ∴a-b=(-4,1), ∵(a-b)⊥c, ∴-4k+4=0,解得k=1. 4.AC 设b,c的夹角为α,a与b 的夹角为θ,则 |b·c|=|b||c||cosα|=|b||a||cos(90°±θ)| =|b||a|sinθ,故选AC. 5.AC 作▱OACB,使∠AOC= 30°,∠BOC=60°.在 ▱OACB 中,∠ACO = ∠BOC = 60°, ∠OAC=90°,|OA → |=|OC → |cos30° =3003N,|AC → |=|OC → |sin30° =300N,|OB → |=|AC → |=300N.选C. 6.B 如图,以BC为x 轴,BC的垂直平分线DA 为y轴,D 为坐标原点建立平面直角坐标系, 则A(0,3),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y), 所以PA → =(-x,3-y),PB → =(-1-x,-y), PC → =(1-x,-y), 所以PB → +PC → =(-2x,-2y), PA →·(PB → +PC →)=2x2-2y(3-y) =2x2+2(y- 32 )2-32≥- 3 2 , 当P(0,32 )时,所求的最小值为-32. 故选B. 7.解析 W 可以看成向量F 与向量s的数量积, 则W=F·s=|F||s|cos60°=6×100×12= 300(J). 答案 300 8.解析 根据题意,设D(x,y), 则CD → =(x-3,y),AB → =(1,3), CB → =(-1,2),AD → =(x-1,y+1); 若CD⊥AB,则CD →·AB → =(x-3)×1+3y=0,① 若CB∥AD,则CB → ∥AD →, 则有2(x-1)=(-1)(y+1),② 由①②得x=0,y=1;所以D 的坐标为(0,1). 答案 (0,1) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·39·