假期作业(十八) 平面向量的数量积-【成功方案】2025年大暑假小一轮高一全一册数学暑假作业

高一数学 三、解答题 12.已知E,F分别为四边形ABCD 的对角 线AC,BD 的中点,设BC → =a,DA → =b, 试用a,b表示EF → . 13.设e1,e2是两个不共线的向量,如果AB → =3e1-2e2,BC → =4e1+e2,CD → =8e1 -9e2. (1)求证:A,B,D三点共线; (2)试确定λ的值,使2λe1+e2 和e1+ λe2共线; (3)若e1+λe2与λe1+e2不共线,试求λ 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(十八) 平面向量的数量积 1.两向量的夹角 (1)定义:已知两个非零向 量a,b,O 是平面上的任 意一点,作OA → =a,OB → = b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与 b的夹角. (2)特例: ①当θ=0时,向量a,b . ②当θ=π时,向量a,b . ③当θ=π2时 ,向量a,b ,记作 a⊥b. 2.平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为 θ,把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的 数量积(或内积),记作a·b,即a·b= |a||b|cosθ.特别地,零向量与任何向量 的数量积等于 . 3.投影向量 设a,b 是两个非零向量, AB → =a,CD → =b,过AB → 的起 点A 和终点B,分别作CD → 所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得 到A1B1 →,这种变换为向量a向向量b投影, A1B1 → 叫做向量a在向量b上的 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·53· 假期作业 4.平面向量数量积的重要性质 设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为 a与b(或e)的夹角. (1)e·a=a·e= . (2)非零向量a,b,a⊥b⇔ . (3)非零向量a,b,a∥b⇔ .当a与b同向时,a·b= ; 当a与b反向时,a·b= ,a·a = ,|a|= . (4)cosθ=a ·b |a||b|. (5)|a·b| |a||b|. 5.平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b= (交换律). (2)(λa)·b=λ(a·b)= (λ为 实数). (3)(a+b)·c= . 一、选择题 1.已知a·b=-122,|a|=4,a和b的夹 角为135°,则|b|= ( ) A.12 B.3 C.6 D.33 2.若a·b>0,则a与b的夹角θ的取值范 围是 ( ) A.[0,π2 ) B.[π2 ,π) C.(π2 ,π] D.(π2 ,π) 3.已知向量a,b满足 │a│=1,a⊥b,则向 量a-2b在向量a方向上的投影向量为 ( ) A.a B.77a C.-a D.277a 4.已知a =b =2,a·b=2,则a-b = ( ) A.1 B.3 C.2 D.3或2 5.(多选题)关于平面向量a,b,c,下列命题 中错误的是 ( ) A.若a∥b,a≠0,则存在λ∈R,使得b =λa B.若a·b=0,则a,b的夹角为直角 C.若a·b=a·c,则b=c D.(a·b)·c=a·(b·c) 6.已知 a =3,b =2,<a,b>=60°,如果 3a+5b ⊥ma-b ,那么m的值为( ) A.3223 B. 23 42 C.2942 D. 42 23 二、填空题 7.如图所示,在Rt△ABC 中,∠A=90°, AB=1,则AB →·BC → 的值是 . 8.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且 a·b=2,则a与b的夹角为 . 9.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB → =2, 则 BC → +DC → = . 10.(双空题)在△ABC 中,AB → +AC → = AB → -AC → ,AB=3,AC=4,则∠BAC = ,CB → 在CA → 方向上的投影向 量是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·63· 高一数学 三、解答题 11.已知 a =6,e为单位向量,当向量a,e 的夹角θ分别等于45°,90°,135°时,求 向量a在向量e上的投影向量. 12.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b 方向上的投影为-1. (1)求a与b的夹角θ; (2)求(a-2b)·b; (3)当λ为何值时,向量λa+b与向量 a-3b互相垂直? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(十九) 平面向量的基本定理及坐标表示 1.平面向量的基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 如果e1,e2 是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任意 向量a, 一对实数λ1,λ2,使a= .其中,不共线的向量e1,e2 叫 做表示这一平面内所有向量的一组 . (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向 量,叫做把向量正交分解. (3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量i,j作为 基底,对于平面内的一个向量a,有且只 有一对实数x,y,使得a=xi+yj,把有 序数对 叫做向量a的坐标,记 作a= ,其中 叫做a在 x轴上的坐标, 叫做a在y轴上 的坐标; ②设OA → =xi+yj,则向量OA → 的坐标 (x,y)就是 ,即若OA → =(x,y), 则点A坐标为 ,反之亦成立(O 为坐标原点). 2.平面向量的坐标运算 向量的加 法、减法 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a +b= ,a-b= 向量的 数乘 设a=(x,y),λ∈R,则λa= 向量坐标 的求法 设O(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2),则 OA → = ,AB → = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·73· 高一数学 所以PF → =12AD → =-12DA → =-12b. 在△EFP 中,EF → =EP → +PF → =-PE → +PF → = -12a- 1 2b=- 1 2 (a+b). 13.解 (1)证明:因为BD → =BC → +CD → =4e1+e2+ 8e1-9e2=12e1-8e2=4(3e1-2e2)=4AB →,所 以AB → 与BD → 共线.因为AB → 与BD → 有公共点B,所 以A,B,D 三点共线. (2)因为2λe1+e2 与e1+λe2 共线, 所以存在实数μ,使2λe1+e2=μ(e1+λe2).因 为e1,e2 不共线,所以 2λ=μ, 1=λμ. 所以λ=± 22. (3)假设e1+λe2 与λe1+e2 共线,则存在实数 μ,使e1+λe2=μ(λe1+e2). 因为e1,e2 不共线,所以 1=λμ, λ=μ 所以λ=±1. ∵e1+λe2 与λe1+e2 不共线, ∴λ≠±1. 假期作业(十八) 平面向量的数量积 基础再现 1.(2)①同向 ②反向 ③垂直 2.0 3.投影向量 4.(1)|a|cosθ (2)a·b=0 (3)a·b=±|a||b| |a||b| -|a||b| |a|2 a·a (5)≤ 5.(1)b·a (2)a·(λb) (3)a·c+b·c 学以致用 1.C a·b=|a||b|cos135°=-122,又|a|=4,解 得|b|=6. 2.A 因为a·b>0,所以cosθ >0, 所以θ∈[0,π2 ). 3.A 向量a-2b在向量a 方向上的投影向量为 (a-2b)a |a| · a |a|= a2-2ab |a|2 ·a=a. 4.C |a-b|= |a-b|2= (a-b)2 = a2-2a·b+b2= 22-2×2+22=4=2. 5.BCD 由共线向量定理可知选项A正确;当 a=0或b=0时,a·b=0,所以,选项B错误;因 为a·b=a·c,所以|b|cosθ=|c|cosα,所以选 项C错误;对于非零向量a,b,c,当a与c不共 线,且a·b≠0,b·c≠0时,(a·b)·c≠a· (b·c),所以,选项D错误.故选BCD. 6.C 由题意知(3a+5b)·(ma-b)=0,即3ma2 +(5m-3)a·b-5b2=0,3m×32+(5m-3) ×3×2cos60°-5×22=0,解得m=2942.故选C. 7.解析 解法一:AB →·BC → =|AB → ||BC → |cos(180° -∠B) =-|AB → ||BC → |cos∠B =-|AB → ||BC → |· |AB → | |BC → | =-|AB → |2=-1. 解法二:|BA → |=1,即BA → 为单位向量, AB →·BC → =-BA →·BC → =-|BA → ||BC → |cos∠B, 而|BC → |·cos∠B=|BA → |, 所以AB →·BC → =-|BA → |2=-1. 答案 -1 8.解析 设a与b的夹角为θ,cosθ= a ·b |a|·|b|= 2 1×4= 1 2 ,又因为θ∈[0,π],所以θ=π3. 答案 π3 9.解析 在菱形ABCD 中,∠DAB=60°,|AB → | =2, ∵|AD → +AB → |2=|AD → |2+|AB → |2+2|AD → |· |AB| → cos∠DAB =4+4+2×2×2×12=12 , ∴|BC → +DC → |=|AD → +AB → |=23. 答案 23 10.解析 在△ABC中, ∵|AB → +AC → |=|AB → -AC → |, ∴AB →2+2AB →·AC → +AC →2=AB →2-2AB →·AC → +AC →2, ∴AB →·AC → =0, ∴AB → ⊥AC →;∠BAC=90°. 又AB=3,AC=4,在Rt△ABC 中,BC=5, cos∠BCA=45 , ∴CB → 在CA → 方向上的投影向量是 |CB → |cos∠BCA CA → |CA → | =5×45× CA → 4 =CA →,如 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·19· 假期作业 图所示. 答案 90° CA → 11.解 当θ=45°时,a在e上的投影向量为|a| cos45°·e=6× 22e=32e , 当θ=90°时,a在e上的投影向量为|a|cos90° ·e=6×0×e=0, 当θ=135°时,a在e上的投影向量为 |a|cos135°·e=6×(- 22 )e=-32e. 12.解 (1)由题意知|a|=2,|b|=1. 又a在b方向上的投影为|a|cosθ=-1, ∴cosθ=-12 ,∴θ=2π3. (2)易知a·b=-1,则(a-2b)·b=a·b- 2b2=-1-2=-3. (3)∵λa+b与a-3b互相垂直, ∴(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a- 3b2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0, ∴λ=47. 假期作业(十九) 平面向量的基本 定理及坐标表示 基础再现 1.(1)不共线 有且只有 λ1e1+λ2e2 基底 (2)互相垂直 (3)①(x,y) (x,y) x y ②终点A的坐标 (x,y) 2.(x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (λx,λy) (x1,y1) (x2-x1,y2-y1) 3.x1y2-x2y1 学以致用 1.D 因为OA → =(4,2),OB → =(3,4),所以2OA → + OB → =(8,4)+(3,4)=(11,8). 2.A b=(3,2)-2a=(3,2)-(2,4)=(1,-2). 3.B 如图,AD 是△ABC 的中线,则D 为线段 BC 的中点,从而AD → =12 (AB → +AC →),则AC → = 2AD → -AB → =2b-a. 4.C ∵CD → =4DB → =rAB → +sAC →,∴CD → =45CB → =45 (AB → -AC →)=rAB → +sAC →, ∴r=45 ,s=-45.∴3r+s= 12 5- 4 5= 8 5. 5.BCD 由平面向量基本定理,可知A中结论正 确;a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B中结论错 误;因为向量可以平移,所以向量a=(x,y)与 向量a的起点是不是原点无关,故C中结论错 误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以 a的起点是原点为前提的,故D中结论错误.故 选BCD. 6.AD 因为非零向量e1,e2,a,b满足a=2e1- e2,b=ke1+e2,若e1 与e2 不共线,a与b共线, 可得λa=b,即2λ=k,-λ=1,解得k=-2,所 以A正确,B错误.若e1与e2共线,可得e1=me2, a=2e1-e2=(2m-1)e2,b=ke1+e2=(km+1)e2, 可得a 与b 共 线,所 以 C错 误,D 正 确.故 选AD. 7.解析 由a=(2,1),b=(1,-2),可得ma+nb =(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n)= (9,-8),由已知可得 2m+n=9 m-2n=-8 , 解得 m=2 n=5 ,从而m-n=-3. 答案 -3 8.解析 因为a,b是一组基底,所以a与b 不共 线,因为(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,所以 3x-4y=6, 2x-3y=3, 解得 x=6 , y=3, 所以x-y=3. 答案 3 9.解析 如图,由题意知,D 为AB 的中点,BE → =23BC →, 所以DE → =DB → +BE → =12AB → +23BC → =12AB → +23 (AC → -AB →) =-16AB → +23AC →, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·29·