假期作业(十七) 平面向量的概念与线性运算-【成功方案】2025年大暑假小一轮高一全一册数学暑假作业

高一数学 假期作业(十七) 平面向量的概念与线性运算 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有 又有 的量;向量的大小叫 做向量的 (或称 ) 平面向量是自由向量 零向量 长度为 的向量,其方向是任意的 记作 单位向量 长度等于 的向量 非零向量a的单位向量为±a|a| 平行向量 方向 或 的非零向量 共线向量 的非零向量,又叫做共线向量 0与任一向量 或共线 相等向量 长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等,不能比较大小 相反向量 长度 且方向 的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量的和的运算 法则 法则 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+ (b+c) 减法 求a 与b 的相反向量 -b的和的运算叫做a 与b的差 a-b=a+(-b) 数乘 求实数λ与向量a的积 的运算 |λa|=|λ||a|;当λ>0时,λa的 方向与a的方向 ;当λ<0 时,λa 的 方 向 与 a 的 方 向 ;当λ=0时,λa=0 λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a= ; λ(a+b)= ·33· 假期作业 3.平面向量共线定理:向量a(a≠0)与b共 线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使 得 . 一、选择题 1.下列命题中,正确命题的个数是 ( ) ①单位向量都共线;②长度相等的向量 都相等;③共线的单位向量必相等;④与 非零向量a共线的单位向量是a|a|. A.3 B.2 C.1 D.0 2.点O是平行四边形ABCD 的两条对角线 的交点,则AO → +OC → +CB → 等于 ( ) A.AB → B.BC → C.CD → D.DA → 3.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E, F,G,H,则OP → +OQ → = ( ) A.OH → B.OG → C.FO → D.EO → 4.(多选题)如图所示,在等 腰梯形 ABCD 中,AB∥ CD,对角线AC、BD 交于 点O,过O作MN∥AB,交AD 于M,交 BC于N,则在以A、B、C、D、M、O、N 为起 点和终点的向量中,相等向量有 ( ) A.OM → =NO → B.OC → =OD → C.MO → =ON → D.AB → =DC → 5.已知向量a,b是两个不共线的向量,且向 量ma-3b与a+(2-m)b共线,则实数 m的值为 ( ) A.-1或3 B.3 C.-1或4 D.3或4 6.(多选题)设点M 是△ABC所在平面内 一点,则下列说法正确的是 ( ) A.若AM → =12AB → +12AC →,则点 M 是边 BC 的中点 B.若AM → =2AB → -AC →,则点M 在边BC 的延长线上 C.若AM → = -BM → -CM →,则 点 M 是 △ABC的重心 D.若AM → =xAB → +yAC →,且x+y=12 , 则△MBC的面积是△ABC面积的12 二、填空题 7.△ABC是等腰三角形,则两腰上的向量 AB → 与AC → 的关系是 . 8.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,|AB → |=1, 则|BC → +CD → |= . 9.(双空题)若四边形ABCD 是菱形,边长 为2,则在向量AB →,BC →,CD →,DA →,DC →,AD → 中,相等的有 对,它们的模为 . 10.(双空题)点C在线段AB 上,且ACCB= 3 2 ,则 AC → = AB →,BC → = AB → . 11.设点M 是线段BC 的中点,点A在直线 BC外,且|BC → |=4,|AB → +AC → |=|AB → -AC → |,则|AM → |= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·43· 高一数学 三、解答题 12.已知E,F分别为四边形ABCD 的对角 线AC,BD 的中点,设BC → =a,DA → =b, 试用a,b表示EF → . 13.设e1,e2是两个不共线的向量,如果AB → =3e1-2e2,BC → =4e1+e2,CD → =8e1 -9e2. (1)求证:A,B,D三点共线; (2)试确定λ的值,使2λe1+e2 和e1+ λe2共线; (3)若e1+λe2与λe1+e2不共线,试求λ 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(十八) 平面向量的数量积 1.两向量的夹角 (1)定义:已知两个非零向 量a,b,O 是平面上的任 意一点,作OA → =a,OB → = b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与 b的夹角. (2)特例: ①当θ=0时,向量a,b . ②当θ=π时,向量a,b . ③当θ=π2时 ,向量a,b ,记作 a⊥b. 2.平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为 θ,把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的 数量积(或内积),记作a·b,即a·b= |a||b|cosθ.特别地,零向量与任何向量 的数量积等于 . 3.投影向量 设a,b 是两个非零向量, AB → =a,CD → =b,过AB → 的起 点A 和终点B,分别作CD → 所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得 到A1B1 →,这种变换为向量a向向量b投影, A1B1 → 叫做向量a在向量b上的 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·53· 高一数学 ∵T2=14-6 ,∴T=16,A正确; ∵T=2πω ,∴ω=π8 ,∴y=10sin(π8x+φ )+20. ∵图象经过点(14,30), ∴30=10sin(π8×14+φ )+20, ∴sin(π8×14+φ )=1,∴φ可以取 3π 4 , ∴y=10sin(π8x+ 3π 4 )+20(0≤x≤24),B正 确,C错;这一天的函数关系式只适用于当天, 第二天这个关系式不一定适用,∴D错.综上, AB正确. 7.解析 由题图可设y=Asin(ωt+φ),则A=2, 又T=2(0.5-0.1)=0.8,所以ω=2π0.8= 5 2π , 所以y=2sin(52πt+φ ),将点(0.1,2)代入 y=2sin(5π2t+φ )中,得sin(φ+ π 4 )=1, 所以φ+ π 4=2kπ+ π 2 ,k∈Z, 即φ=2kπ+ π 4 ,k∈Z,令k=0得φ= π 4 , 所以y=2sin(5π2t+ π 4 ). 答案 y=2sin(5π2t+ π 4 ) 8.解析 由图知,b=40,A=10, ω=2πT= 2π 2·14-8= π 6 , ∴y=10sin(π6x+φ )+40, 又x=8时,y=30, ∴sin(4π3+φ )=-1,∴φ= π 6. 答案 (1)50 30 (2)y=10sin(π6x+ π 6 )+40,x∈[8,14] 9.解 (1)依题意,A+K=12,-A+K=6, 2π ω=12 , ∴A=3,K=9,ω=π6 又f(13)=10.5, ∴3sin(13π6 +φ )+9=10.5, ∴sin(π6+φ )=12 , 又-π2<φ< π 2 ,∴φ=0, ∴y=f(t)=3sin(π6t )+9. (2)令3sin(π6t )+9≥7+3.5得sin(π6t )≥12 , ∴2kπ+π6≤ π 6t≤2kπ+ 5π 6 , ∴12k+1≤t≤12k+5,k∈Z ∵0≤t≤24,∴1≤t≤5或13≤t≤17, ∴该船当天安全进港的时间为1~5点和13~ 17点,最迟应在当天的17点以前离开港口. 10.解 建立如图所示的平面直角坐标系 (1)设φ(0≤φ≤2π)是以Ox为始边,OP0 为终 边的角,OP在tmin内转过的角为2π2t ,即πt. ∴以Ox为始边,OP为终边的角为(πt+φ),即 P点纵坐标为40sin(πt+φ),∴P 点距地面的 高度为z=50+40sin(πt+φ),(0≤φ≤2π), 由题可知,φ= π 2 , ∴z=50+40sin(πt+π2 )=50+40cosπt. (2)当50+40cos(πt)≥70时,解得,2k-13≤t ≤2k+13 (k∈Z),持续时间为23min.即在摩 天轮转动一圈内,有2 3minP点距离地面超过 70m. 假期作业(十七) 平面向量的概念 与线性运算 基础再现 1.大小 方向 长度 模 零 0 1个单位 相 同 相反 方向相同或相反 平行 相等 相 同 相等 相反 2.三角形 平行四边形 相同 相反 λa+μa λa+λb 3.b=λa 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·98· 假期作业 学以致用 1.D 根据单位向量的定义,可知①②③明显是错 误的,对于④,与非零向量a共线的单位向量是 a |a|或- a |a| ,故④也是错误的. 2.A 因为点O是平行四边形ABCD 的两条对角 线的交点,则AO → +OC → +CB → =AC → +CB → =AB → .故 选A. 3.C 设a=OP → +OQ →,以OP,OQ 为邻边作平行 四边形,则OP与OQ 之间的对角线对应的向量 即向量a=OP → +OQ →,由a和FO → 长度相等,方向 相同,得a=FO →,即OP → +OQ → =FO → . 4.AC 由相等向量的定义及梯形的性质可知,相 等向量有OM → =NO →,MO → =ON → . 5.A 因为向量ma-3b与a+(2-m)b共线,且 向量a,b是两个不共线的向量,所以m= -32-m , 解得m=-1或m=3. 6.ACD A中:AM → =12AB → +12AC → ⇒AM → =12AB → +12AC → ⇒12AM → -12AB → =12AC → -12AM →,即: BM → =MC →,则点M 是边BC 的中点; B中:AM → =2AB → -AC →,⇒AM → -AB → =AB → - AC →,∴BM → =CB →,则点M 在边CB 的延长线上, 所以B错误; C中:设BC 中点D,则 AM → =-BM → -CM →,AM → =-BM → -CM → =MB → + MC → =2MD →,由重心性质 可知C成立; D中:AM → =xAB → +yAC → 且x+y=12⇒2AM → =2xAB → +2yAC →,2x+2y=1,设AD → =2AM → 所 以AD → =2xAB → +2yAC →,2x+2y=1,可知B,C, D 三点共线,所以△MBC 的面积是△ABC 面 积的1 2. 7.解析 因为△ABC 是等腰三角形,所以AB= AC,即|AB → |=|AC → |,向量AB → 与AC → 的方向不 同,向量AB → 与AC → 的关系是模相等,故答案为模 相等. 答案 模相等 8.解析 在菱形ABCD 中,连接BD, ∵∠DAB=60°, ∴△BAD 为等边三角形, 又∵|AB → |=1, ∴|BD → |=1,|BC → +CD → |=|BD → |=1. 答案 1 9.解析 菱形ABCD 如图所示: 向量AB → 和DC → 大小相等方向相同,故AB → =DC →, 同理,BC → =AD →,故相等的向量有2对. 因为,菱形边长为2,所以向量的模为2. 答案 2 2 10.解析 因为C在线段AB 上,且ACCB= 3 2 ,所以 AC → 与AB → 方向相同,BC → 与AB → 方向相反,且ACAB =35 ,BC AB = 2 5 ,所 以AC → = 35AB →,BC → = -25AB → . 答案 35 - 2 5 11.解析 以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB, 由向量加减法几何意义可知,AD → =AB → +AC →, CB → =AB → -AC →, ∵|AB → +AC → |=|AB → -AC → |, 平行四边形ABCD 为矩形, ∴|AD → |=|CB → |, 又|BC → |=4,M 是线段BC 的中点, ∴|AM → |=12|AD → |=12|BC → |=2. 答案 2 12.解 如图所示,取AB的中点P,连接EP,FP. 在△ABC中,EP是中位线, 所以PE → =12BC → =12a. 在△ABD 中,FP是中位线, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·09· 高一数学 所以PF → =12AD → =-12DA → =-12b. 在△EFP 中,EF → =EP → +PF → =-PE → +PF → = -12a- 1 2b=- 1 2 (a+b). 13.解 (1)证明:因为BD → =BC → +CD → =4e1+e2+ 8e1-9e2=12e1-8e2=4(3e1-2e2)=4AB →,所 以AB → 与BD → 共线.因为AB → 与BD → 有公共点B,所 以A,B,D 三点共线. (2)因为2λe1+e2 与e1+λe2 共线, 所以存在实数μ,使2λe1+e2=μ(e1+λe2).因 为e1,e2 不共线,所以 2λ=μ, 1=λμ. 所以λ=± 22. (3)假设e1+λe2 与λe1+e2 共线,则存在实数 μ,使e1+λe2=μ(λe1+e2). 因为e1,e2 不共线,所以 1=λμ, λ=μ 所以λ=±1. ∵e1+λe2 与λe1+e2 不共线, ∴λ≠±1. 假期作业(十八) 平面向量的数量积 基础再现 1.(2)①同向 ②反向 ③垂直 2.0 3.投影向量 4.(1)|a|cosθ (2)a·b=0 (3)a·b=±|a||b| |a||b| -|a||b| |a|2 a·a (5)≤ 5.(1)b·a (2)a·(λb) (3)a·c+b·c 学以致用 1.C a·b=|a||b|cos135°=-122,又|a|=4,解 得|b|=6. 2.A 因为a·b>0,所以cosθ >0, 所以θ∈[0,π2 ). 3.A 向量a-2b在向量a 方向上的投影向量为 (a-2b)a |a| · a |a|= a2-2ab |a|2 ·a=a. 4.C |a-b|= |a-b|2= (a-b)2 = a2-2a·b+b2= 22-2×2+22=4=2. 5.BCD 由共线向量定理可知选项A正确;当 a=0或b=0时,a·b=0,所以,选项B错误;因 为a·b=a·c,所以|b|cosθ=|c|cosα,所以选 项C错误;对于非零向量a,b,c,当a与c不共 线,且a·b≠0,b·c≠0时,(a·b)·c≠a· (b·c),所以,选项D错误.故选BCD. 6.C 由题意知(3a+5b)·(ma-b)=0,即3ma2 +(5m-3)a·b-5b2=0,3m×32+(5m-3) ×3×2cos60°-5×22=0,解得m=2942.故选C. 7.解析 解法一:AB →·BC → =|AB → ||BC → |cos(180° -∠B) =-|AB → ||BC → |cos∠B =-|AB → ||BC → |· |AB → | |BC → | =-|AB → |2=-1. 解法二:|BA → |=1,即BA → 为单位向量, AB →·BC → =-BA →·BC → =-|BA → ||BC → |cos∠B, 而|BC → |·cos∠B=|BA → |, 所以AB →·BC → =-|BA → |2=-1. 答案 -1 8.解析 设a与b的夹角为θ,cosθ= a ·b |a|·|b|= 2 1×4= 1 2 ,又因为θ∈[0,π],所以θ=π3. 答案 π3 9.解析 在菱形ABCD 中,∠DAB=60°,|AB → | =2, ∵|AD → +AB → |2=|AD → |2+|AB → |2+2|AD → |· |AB| → cos∠DAB =4+4+2×2×2×12=12 , ∴|BC → +DC → |=|AD → +AB → |=23. 答案 23 10.解析 在△ABC中, ∵|AB → +AC → |=|AB → -AC → |, ∴AB →2+2AB →·AC → +AC →2=AB →2-2AB →·AC → +AC →2, ∴AB →·AC → =0, ∴AB → ⊥AC →;∠BAC=90°. 又AB=3,AC=4,在Rt△ABC 中,BC=5, cos∠BCA=45 , ∴CB → 在CA → 方向上的投影向量是 |CB → |cos∠BCA CA → |CA → | =5×45× CA → 4 =CA →,如 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·19·