假期作业(十六) 三角函数的应用-【成功方案】2025年大暑假小一轮高一全一册数学暑假作业

假期作业 π 6+φ )的图象,根据所得函数图象关于y轴对称, 可得π 6+φ=kπ ,k∈Z,因为φ∈(0,π)则φ= 5π 6. 答案 5π6 9.解 (1)由图可知A=2,34T= 5π 6- π 12= 3π 4 ,解得 T=π,所以ω=2πT=2 ,所以f(x)=2cos(2x+φ); 因为f(x)的图象过点(5π6 ,2), 所以2cos(2×5π6+φ )=2, 解得φ=2kπ- 5π 3 ,k∈Z; 因为0<φ<π,所以φ= π 3 , 所以f(x)=2cos(2x+π3 ). (2)由(1)可得 g(x)=2cos(2x+π3 )+23cos(π6-2x )+1 =2cos(2x+π3 )+23sin(2x+π3 )+1 =4sin(2x+π3+ π 6 )+1=4cos2x+1; 设t=g(x),因为-1≤cos2x≤1, 所以-3≤g(x)≤5; 又因为不等式g2(x)-(3m+2)g(x)-m-23 ≤0恒成立, 即h(t)=t2-(3m+2)t-m-23≤0在[-3,5] 上恒成立,则 h (-3)≤0 h(5)≤0 , 即 9+3(3m+2)-m-23≤0 25-5(3m+2)-m-23≤0 , 解得-12≤m≤1 ,所以m的取值范围是[-12 ,1]. 10.解 (1)根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0,|φ|< π 2 )的部分图象,可得A=3,12 · 2π ω= 5π 6- π 3= π 2 ,所以ω=2. 再根据五点法作图可得2·π3+φ=π , 所以φ= π 3 ,f(x)=3sin(2x+π3 ). (2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位后 , 可得y=3sin[2(x-π3 )+π3 ]=3sin(2x-π3 ) 的图象,再将得到的图象上各点的横坐标缩短 为原来的1 2 ,纵坐标不变,得到函数g(x)= 3sin(4x-π3 )的 图 象,由 x∈[0,π3 ]可 得 4x-π3∈ [-π3 ,π] 又∵函数g(x)在[0,5π24 ]上单调递增, 在[5π 24 ,π 3 ]单调递减 ∴g(0)=-32 ,g(5π24 )=3,g(π3 )=0 ∴g(x)=3sin(4x-π3 )∈[-32 ,3] ∴函数g(x)在[0,π3 ]上的值域为[-32 ,3]. 假期作业(十六) 三角函数的应用 学以致用 1.D 利用三角函数周期性的变化判断可知,选D. 2.C 当10≤t≤15时,有32π<5≤ t 2≤ 15 2< 5 2π , 此时F(t)=50+4sint2是增函数 ,即车流量在 增加.故应选C. 3.A 由题目可知最大值为5,∴5=A×1+2⇒ A=3.T=15(s),则ω=2π15.故选A. 4.A 由题意得A=9-52 =2 ,b=7.周期为2πω= 2×(7-3)=8,∴ω=π4.当x=3时 ,y=9.即 2sin(3π4+φ )+7=9,∴sin(3π4+φ )=1, ∴34π+φ= π 2+2kπ (k∈Z). ∵|φ|< π 2 ,∴φ=- π 4.∴f (x)=2sin(π4x- π 4 )+7(1≤x≤12,x∈N*). 5.BCD 由题图可知,振动周期为2×(0.7-0.3) =0.8s,故A错,D正确;该质点的振幅为5, B正确;由简谐运动的特点知,质点处于平衡位 置时的速度最大,即在0.3s和0.7s时运动速 度最大,在0.1s和0.5s时运动速度为零,故 C正确.综上,BCD正确. 6.AB 由题意以及函数的图象可知:A+B=30 且-A+B=10,∴A=10,B=20. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·88· 高一数学 ∵T2=14-6 ,∴T=16,A正确; ∵T=2πω ,∴ω=π8 ,∴y=10sin(π8x+φ )+20. ∵图象经过点(14,30), ∴30=10sin(π8×14+φ )+20, ∴sin(π8×14+φ )=1,∴φ可以取 3π 4 , ∴y=10sin(π8x+ 3π 4 )+20(0≤x≤24),B正 确,C错;这一天的函数关系式只适用于当天, 第二天这个关系式不一定适用,∴D错.综上, AB正确. 7.解析 由题图可设y=Asin(ωt+φ),则A=2, 又T=2(0.5-0.1)=0.8,所以ω=2π0.8= 5 2π , 所以y=2sin(52πt+φ ),将点(0.1,2)代入 y=2sin(5π2t+φ )中,得sin(φ+ π 4 )=1, 所以φ+ π 4=2kπ+ π 2 ,k∈Z, 即φ=2kπ+ π 4 ,k∈Z,令k=0得φ= π 4 , 所以y=2sin(5π2t+ π 4 ). 答案 y=2sin(5π2t+ π 4 ) 8.解析 由图知,b=40,A=10, ω=2πT= 2π 2·14-8= π 6 , ∴y=10sin(π6x+φ )+40, 又x=8时,y=30, ∴sin(4π3+φ )=-1,∴φ= π 6. 答案 (1)50 30 (2)y=10sin(π6x+ π 6 )+40,x∈[8,14] 9.解 (1)依题意,A+K=12,-A+K=6, 2π ω=12 , ∴A=3,K=9,ω=π6 又f(13)=10.5, ∴3sin(13π6 +φ )+9=10.5, ∴sin(π6+φ )=12 , 又-π2<φ< π 2 ,∴φ=0, ∴y=f(t)=3sin(π6t )+9. (2)令3sin(π6t )+9≥7+3.5得sin(π6t )≥12 , ∴2kπ+π6≤ π 6t≤2kπ+ 5π 6 , ∴12k+1≤t≤12k+5,k∈Z ∵0≤t≤24,∴1≤t≤5或13≤t≤17, ∴该船当天安全进港的时间为1~5点和13~ 17点,最迟应在当天的17点以前离开港口. 10.解 建立如图所示的平面直角坐标系 (1)设φ(0≤φ≤2π)是以Ox为始边,OP0 为终 边的角,OP在tmin内转过的角为2π2t ,即πt. ∴以Ox为始边,OP为终边的角为(πt+φ),即 P点纵坐标为40sin(πt+φ),∴P 点距地面的 高度为z=50+40sin(πt+φ),(0≤φ≤2π), 由题可知,φ= π 2 , ∴z=50+40sin(πt+π2 )=50+40cosπt. (2)当50+40cos(πt)≥70时,解得,2k-13≤t ≤2k+13 (k∈Z),持续时间为23min.即在摩 天轮转动一圈内,有2 3minP点距离地面超过 70m. 假期作业(十七) 平面向量的概念 与线性运算 基础再现 1.大小 方向 长度 模 零 0 1个单位 相 同 相反 方向相同或相反 平行 相等 相 同 相等 相反 2.三角形 平行四边形 相同 相反 λa+μa λa+λb 3.b=λa 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·98· 假期作业 10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0,|φ|< π 2 )的部分图象,如图所示. (1)求函数f(x)的解析式; (2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单 位长度,再将得到的图象上各点的横坐 标缩短为原来的1 2 ,纵坐标不变,得到函 数g(x)的图象,若函数g(x)在[0,m] 上单调递增,当实数m 取最大值时,求 函数f(x)在[0,m]的值域. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(十六) 三角函数的应用 1.函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中参 数的物理意义 2.三角函数模型的应用体现在两方面:一 是已知函数模型求解数学问题,二是把 实际问题抽象转化成数学问题,建立数 学模型,再利用三角函数的有关知识解 决问题. 3.三角函数应用类型主要体现在:(1)物理 中周期变化的数学模型;(2)圆周运动的 数学模型;(3)航天、天文、建筑等实际生 活中相关的数学模型. 一、选择题 1.如图是一向右传播的声波在某一时刻绳 子各点的位置,经过1 2 周期后,乙点的位 置将移至 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2.车流量被定义为单位时间内通过十字路 口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·03· 高一数学 某十字路口的车流量由函数F(t)=50+ 4sint2 (0≤t≤20)给出,F(t)的单位是 辆/分,t的单位是分,则下列哪个时间段 内车流量是增加的 ( ) A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20] 3.如图,为一半径为3m 的水轮,水轮圆心O 距 离水面2m,已知水轮 自点A开始1min旋转4圈,水轮上的 点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函 数关系y=Asin(ωx+φ)+2,则有 ( ) A.ω=2π15 ,A=3 B.ω=152π ,A=3 C.ω=2π15 ,A=5 D.ω=152π ,A=5 4.据市场调查,某种商品一年内每月出厂 价在7千元的基础上,按月呈f(x)= Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|< π 2 ) 的模型波动(x为月份),已知3月份达到 最高价9千元,7月份价格最低为5千 元,根据以上条件可确定f(x)的解析 式为 ( ) A.f(x)=2sin(π4x- π 4 )+7(1≤x≤12, x∈N*) B.f(x)=9sin(π4x- π 4 )(1≤x≤12, x∈N*) C.f(x)=2 2sin(π4x+7 )(1≤x≤12, x∈N*) D.f(x)=2sin(π4x+ π 4 )+7(1≤x≤12, x∈N*) 5.(多选题)如图所示的是一质点做简谐运 动的图象,则下列结论正确的是 ( ) A.该质点的运动周期为0.7s B.该质点的振幅为5 C.该质点在0.1s和0.5s时运动速度 为零 D.该质点的运动周期为0.8s 6.(多选题)如图是某 市夏季某一天的温 度变化曲线,若该曲 线近似地满足函数 y=Asin(ωx+φ)+ B(0<φ<π),则下列说法正确的是 ( ) A.该函数的周期是16 B.该函数图象的一条对称轴时直线x =14 C.该函数的解析式是y=10sin(π8x+ 3π 4 )+20(6≤x≤14) D.这一天的函数关系式也适用于第二天 二、填空题 7.如图是弹簧振子做简谐振动的图象,横 轴表示振动的时间,纵轴表示振动的位 移,则这个振子振动的函数解析式是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·13· 假期作业 8.如图某地夏天从8~14 时用电量变化曲线近 似满足函数y=Asin (ωx+φ)+b. (1)这一天的最大用电量为 万度,最小用电量为 万度; (2)这段曲线的函数解析式为 . 三、解答题 9.受日月引力影响,海水会发生涨退潮现 象.通常情况下,船在涨潮时驶进港口, 退潮时离开港口.某港口在某季节每天 港口水位的深度y(米)是时间t(0≤t≤ 24,单位:小时,t=0表示0:00—零时)的 函数,其函数关系式为y=f(t),f(t)= Asin(ωt+φ)+K(A>0,ω>0,|φ|< π 2 ). 已知一天中该港口水位的深度变化有如 下规律:出现相邻两次最高水位的深度 的时间差为12小时,最高水位的深度为 12米,最低水位的深度为6米,每天 13:00时港口水位的深度恰为10.5米. (1)试求函数y=f(t)的表达式; (2)某货船的吃水深度(船底与水面的距 离)为7米,安全条例规定船舶航行时船 底与海底的距离不小于3.5米是安全 的,问该船在当天的什么时间段能够安 全进港? 若该船欲于当天安全离港,则 它最迟应在当天几点以前离开港口? 10.如图所示,摩天轮的半径为40m,O点 距地面的高度为50m,摩天轮作匀速转 动,每2min转一圈,摩天轮上点P 的 起始位置在最高点. (1)试确定在时刻tmin时P点距离地 面的高度; (2)在摩天轮转动一圈内,有多长时间P 点距离地面超过70m. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·23·