假期作业(十五) 函数y=Asin(ωx+φ)-【成功方案】2025年大暑假小一轮高一全一册数学暑假作业

假期作业 又α∈(0,π),所以sinα≠0,所以sinα=2cosα >0;由sin2α+cos2α=(2cosα)2+cos2α= 5cos2α=1,解得cosα= 55. 答案 55 8.解析 设θ∈(-π2 ,π 2 ),若函数f(x)=sin(x+θ) +3cos(x+θ)=2sin(x+θ+π3 )是奇函数,故 θ+π3=kπ ,k∈Z, ∵θ∈(-π2 ,π 2 ),∴k=0,θ=-π3. 答案 -π3 9.解 因为α为钝角,β为锐角,sinα= 4 5 ,sinβ= 12 13 , 所以cosα=-35 ,cosβ= 5 13. 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= (-35 )×513+ 4 5× 12 13= 33 65. 因为π 2<α<π ,且 0<β< π 2 ,所以0<α-β<π,即0< α-β 2 < π 2 , 所以cos(α-β2 )= 1+cos (α-β) 2 = 1+3365 2 = 7 65 65 . 由0<α-β2 < π 2 ,得 sin(α-β2 )= 1-cos2 (α-β) 2 = 4 65 65 , 所以tan(α-β2 )= sin(α-β2 ) cos(α-β2 ) =47. 10.解 (1)∵已知sinα=255 ,cosβ= 10 10 ,α、β∈ (0,π2 ) ∴cosα= 1-sin2α= 55 , sinβ= 1-cos2β= 3 10 10 , ∴sin2α=2sinαcosα=45 , cos2α=2cos2α-1=-35 , ∴cos(2α-π3 )=cos2αcosπ3+sin2αsin π 3 =-35× 1 2+ 4 5× 3 2= 43-3 10 . (2)∵α+β∈(0,π), cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ = 55× 10 10- 25 5 × 3 10 10 =- 2 2 , α+β= 3π 4. 假期作业(十五) 函数y=Asin(ωx+φ) 学以致用 1.A 易知A=2,T=2(2π3- π 6 )=π,故ω=2πT =2,故此时f(x)=2sin(2x+φ),将( π 6 ,2)代入 得sin(2×π6+φ )=1,故π3+φ= π 2 ,解得φ= π 6. 所以f(x)=2sin(2x+π6 ). 2.A 由函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象知:T= 4×(7π12- π 3 )=π,所以ω=2πT=2 ;由2×π3+φ =π,解得φ= π 3 ;所以f(x)=sin(2x+π3 )= sin[2(x+π6 )].为了得到g(x)=sin(ωx+5π6 ) =sin(2x+5π6 )=sin2[(x+π6 )+π4 ]的图象, 只需将f(x)的图象向左平移π4个单位. 3.D 将函数f(x)=sin(2x+π3 )图象上的每个 点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的一半,可 得y=sin(4x+π3 )的图象;再将所得图象向左 平移π 12 个单位,得到函数g(x)=sin(4x+π3 +π3 )=sin(4x+2π3 )的图象,令4x+2π3=kπ , 求得x=kπ4- π 6 ,k∈Z,令k=0,可得g(x)图象 的一个对称中心为(-π6 ,0). 4.BC 将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平 移π 4 个单位后,得到函数g(x)=sin(2x+π2+φ ) =cos(2x+φ)的图象,g(x)的图象在x= π 6 处 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·68· 高一数学 切线垂直于y轴,即g(x)的图象在x=π6处切 线斜率为零,即g'(π6 )=-2sin(2×π6+φ )=0, ∴φ的值可以为 2π 3 ,此时,f(x)=sin(2x+2π3 ), g(x)=cos(2x+2π3 ).此时,g(π)+g(π4 )= -12- 3 2<0 ,不满足条件. 若取φ=- π 3 ,g(x)=cos(2x-π3 ),g(π)+ g(π4 )=12+ 3 2>0 ,满足条件.则当φ取最小正 数5π 3 时,不等式g(x)=cos(2x+5π3 )≥12 ,即 cos(2x+5π3 )≥12 ,故5π 3+2kπ≤2x+ 5π 3≤ 7π 3+ 2kπ,求得kπ≤x≤kπ+π3 (k∈Z). 由于函数f(x)的周期为π,故kπ≤x≤kπ+π3 , 即kπ-π≤x≤kπ-2π3 (k∈Z).故不等式的解集 为{x|kπ-π≤x≤kπ-2π3 ,k∈Z}. 5.ACD 把函数f(x)的图象向右平移π6单位 ,得 到y=12sin [2(x-π6 )+π6 ]+34= 1 2sin (2x- π 6 )+34 ,再把横坐标缩小到原来的一半,得到 函数g(x),可得g(x)=12sin (4x-π6 )+34 ,最 小正周期为2π 4= π 2 ,故选项A错误;由x=π6可 得4x-π6=4× π 6- π 6= π 2 ,故选项B正确;由 正弦函 数 的 单 调 性 可 得[0,π6 ]单 调 递 增, [π 6 ,π 4 ]单调递减,故选项C错误;由4x-π6= kπ可得x=π24+ kπ 4 (k∈Z),则对称中心的坐标 为(kπ 4+ π 24 ,3 4 )(k∈Z),故选项D错误. 6.BD 由题意可知:g(x)=sin(ωx-π6 ),当x∈ [0,π]时,ωx-π6∈ [-π6 ,ωπ-π6 ],由于函数 g(x)在[0,π]上有且仅有3个零点,则2π≤ωπ -π6<3π ,令t=ωx-π6 ,则2π≤t<3π,作出函 数y=sint在区间[-π6 ,ωπ-π6 ]上的图象如 图所示: 直线y=12与函数y=sint在区间 [-π6 ,ωπ- π 6 ]上图象的交点个数为2或3或4,所以函数 y=g(x)-12在区间 [0,π]上的零点个数为2或 3或4,A选项错误,函数g(x)在[0,π]上有且 仅有1个极小值点,B正确,函数g(x)在[0,π] 上的极大值点的个数为1或2,C错误,直线y= -12 与函数y=sint在区间[-π6 ,ωπ-π6 ]上 的图象的交点个数为3个,则函数y=g(x)+12 在[0,π]上有且仅有3个零点,D正确. 7.解析 由图象可得:34T= 5π 12+ π 3 ,且A=2,则 T=π,所以T=2πω=π ,即ω=2, 所以f(x)=2sin(2x+φ), 又f(x)max=f(5π12 )=2sin(2×5π12+φ )=2, 所以φ+ 5π 6= π 2+2kπ ,k∈Z, 则φ=2kπ- π 3 ,k∈Z,又|φ|< π 2 , 所以φ=- π 3 ,所以函数f(x)是解析式为:f(x) =2sin(2x-π3 ). 答案 f(x)=2sin(2x-π3 ) 8.解析 先将函数y=cos(x+φ)(φ∈(0,π))的 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵 坐标不变),可得y=cos(12x+φ )的图象;再向 左平移π 3 个单位长度,可得函数y=cos(12x+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·78· 假期作业 π 6+φ )的图象,根据所得函数图象关于y轴对称, 可得π 6+φ=kπ ,k∈Z,因为φ∈(0,π)则φ= 5π 6. 答案 5π6 9.解 (1)由图可知A=2,34T= 5π 6- π 12= 3π 4 ,解得 T=π,所以ω=2πT=2 ,所以f(x)=2cos(2x+φ); 因为f(x)的图象过点(5π6 ,2), 所以2cos(2×5π6+φ )=2, 解得φ=2kπ- 5π 3 ,k∈Z; 因为0<φ<π,所以φ= π 3 , 所以f(x)=2cos(2x+π3 ). (2)由(1)可得 g(x)=2cos(2x+π3 )+23cos(π6-2x )+1 =2cos(2x+π3 )+23sin(2x+π3 )+1 =4sin(2x+π3+ π 6 )+1=4cos2x+1; 设t=g(x),因为-1≤cos2x≤1, 所以-3≤g(x)≤5; 又因为不等式g2(x)-(3m+2)g(x)-m-23 ≤0恒成立, 即h(t)=t2-(3m+2)t-m-23≤0在[-3,5] 上恒成立,则 h (-3)≤0 h(5)≤0 , 即 9+3(3m+2)-m-23≤0 25-5(3m+2)-m-23≤0 , 解得-12≤m≤1 ,所以m的取值范围是[-12 ,1]. 10.解 (1)根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0,|φ|< π 2 )的部分图象,可得A=3,12 · 2π ω= 5π 6- π 3= π 2 ,所以ω=2. 再根据五点法作图可得2·π3+φ=π , 所以φ= π 3 ,f(x)=3sin(2x+π3 ). (2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位后 , 可得y=3sin[2(x-π3 )+π3 ]=3sin(2x-π3 ) 的图象,再将得到的图象上各点的横坐标缩短 为原来的1 2 ,纵坐标不变,得到函数g(x)= 3sin(4x-π3 )的 图 象,由 x∈[0,π3 ]可 得 4x-π3∈ [-π3 ,π] 又∵函数g(x)在[0,5π24 ]上单调递增, 在[5π 24 ,π 3 ]单调递减 ∴g(0)=-32 ,g(5π24 )=3,g(π3 )=0 ∴g(x)=3sin(4x-π3 )∈[-32 ,3] ∴函数g(x)在[0,π3 ]上的值域为[-32 ,3]. 假期作业(十六) 三角函数的应用 学以致用 1.D 利用三角函数周期性的变化判断可知,选D. 2.C 当10≤t≤15时,有32π<5≤ t 2≤ 15 2< 5 2π , 此时F(t)=50+4sint2是增函数 ,即车流量在 增加.故应选C. 3.A 由题目可知最大值为5,∴5=A×1+2⇒ A=3.T=15(s),则ω=2π15.故选A. 4.A 由题意得A=9-52 =2 ,b=7.周期为2πω= 2×(7-3)=8,∴ω=π4.当x=3时 ,y=9.即 2sin(3π4+φ )+7=9,∴sin(3π4+φ )=1, ∴34π+φ= π 2+2kπ (k∈Z). ∵|φ|< π 2 ,∴φ=- π 4.∴f (x)=2sin(π4x- π 4 )+7(1≤x≤12,x∈N*). 5.BCD 由题图可知,振动周期为2×(0.7-0.3) =0.8s,故A错,D正确;该质点的振幅为5, B正确;由简谐运动的特点知,质点处于平衡位 置时的速度最大,即在0.3s和0.7s时运动速 度最大,在0.1s和0.5s时运动速度为零,故 C正确.综上,BCD正确. 6.AB 由题意以及函数的图象可知:A+B=30 且-A+B=10,∴A=10,B=20. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·88· 高一数学 二、填空题 7.已知α∈(0,π),且有1-2sin2α=cos2α, 则cosα= . 8.设θ∈(-π2 ,π 2 ),若函数f(x)=sin(x+θ) +3cos(x+θ)是奇函数,则θ= . 三、解答题 9.已知α为钝角,β为锐角,且sinα= 4 5 ,sinβ =1213 ,求cos(α-β2 )与tan(α-β2 )的值. 10.已知sinα=255 ,cosβ= 10 10 ,α、β∈ (0,π2 ).求: (1)cos(2α-π3 )的值; (2)α+β的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(十五) 函数y=Asin(ωx+φ) 1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示. x -φω - φ ω+ π 2ω π-φ ω 3π 2ω- φ ω 2π-φ ω ωx+φ 0 π 2 π 3π 2 2π y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 2.函数y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0),x∈[0,+∞)表示 一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T=2πω f= 1 T= ω 2π ωx+φ φ ·72· 假期作业 3.函数y=sinx的图象经变换得到y= Asin(ωx+φ)的图象的两种途径 4.常用结论 (1)由y=sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0, φ>0)的变换:向左平移φω个单位长度而 非φ个单位长度. (2)函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴由ωx +φ=kπ+ π 2 (k∈Z)确定;对称中心由ωx +φ=kπ(k∈Z)确定其横坐标. 一、选择题 1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ| <π2 )的部分图象如图所示,则f(x)的解 析式为 ( ) A.f(x)=2sin(2x+π6 ) B.f(x)=2sin(2x-π6 ) C.f(x)=2sin(2x+π3 ) D.f(x)=2sin(2x-π3 ) 2.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< π 2 的图象如图所示,为了得到g(x)= sin(ωx+5π6 )的图象,则只将f(x)的图象 ( ) A.向左平移π4 个单位 B.向右平移π4 个单位 C.向左平移π12 个单位 D.向右平移π12 个单位 3.将函数f(x)=sin(2x+π3 )图象上的每 个点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来 的一半,再将所得图象向左平移π 12 个单 位得到函数g(x)的图象,则g(x)图象的 一个对称中心可以为 ( ) A.(-π24 ,0) B.(-π3 ,0) C.(π4 ,0) D.(-π6 ,0) 4.(多选题)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象 向左平移π 4 个单位后得到函数g(x)的图 象,g(x)的图象在x=π6处切线垂直于y 轴,且g(π)+g(π4 )>0,则当φ取最小正 数时,不等式g(x)≥12的解集是 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·82· 高一数学 A.[kπ-π3 ,kπ+π6 ](k∈Z) B.[kπ,kπ+π3 ](k∈Z) C.[kπ-π,kπ-23π ](k∈Z) D.[kπ-π2 ,kπ](k∈Z) 5.(多选题)将函数f(x)=12sin (2x+π6 )+ 3 4 的图象向右平移π 6 个单位,再把横坐标 缩小到原来的一半,得到函数g(x)的图 象,则关于函数g(x)的结论错误的是 ( ) A.最小正周期为π B.关于x=π6对称 C.[0,π4 ]单调递增 D.关于(π24 ,0)对称 6.(多选题)保持函数f(x)=sin(x-π6 )图 象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短 为原来的1ω (ω>1),得到函数g(x)的图 象,若g(x)在[0,π]上有且仅有3个零 点,下列结论中正确的是 ( ) A.函数y=g(x)-12在 [0,π]上有且仅 有3个零点 B.函数g(x)在[0,π]上有且仅有1个极 小值点 C.函数g(x)在[0,π]上有且仅有1个极 大值点 D.函数y=g(x)+12在 [0,π]上有且仅 有3个零点 二、填空题 7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, |φ|< π 2 )的部分图象如图所示,则f(x) = . 8.先将函数y=cos(x+φ)(φ∈(0,π))的图 象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍 (纵坐标不变),再向左平移π 3 个单位长 度,所得函数图象关于y轴对称,则φ= . 三、解答题 9.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式; (2)设g(x)=f(x)+23cos(π6-2x )+1. 若关于x的不等式g2(x)-(3m+2)g(x)- m-23≤0恒成立,求m的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·92· 假期作业 10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0,|φ|< π 2 )的部分图象,如图所示. (1)求函数f(x)的解析式; (2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单 位长度,再将得到的图象上各点的横坐 标缩短为原来的1 2 ,纵坐标不变,得到函 数g(x)的图象,若函数g(x)在[0,m] 上单调递增,当实数m 取最大值时,求 函数f(x)在[0,m]的值域. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(十六) 三角函数的应用 1.函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中参 数的物理意义 2.三角函数模型的应用体现在两方面:一 是已知函数模型求解数学问题,二是把 实际问题抽象转化成数学问题,建立数 学模型,再利用三角函数的有关知识解 决问题. 3.三角函数应用类型主要体现在:(1)物理 中周期变化的数学模型;(2)圆周运动的 数学模型;(3)航天、天文、建筑等实际生 活中相关的数学模型. 一、选择题 1.如图是一向右传播的声波在某一时刻绳 子各点的位置,经过1 2 周期后,乙点的位 置将移至 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2.车流量被定义为单位时间内通过十字路 口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·03·