假期作业(十四) 三角恒等变换-【成功方案】2025年大暑假小一轮高一全一册数学暑假作业

高一数学 9.解 (1)令2kπ-π≤3x+π4≤2kπ (k∈Z), 解得2kπ 3 - 5π 12≤x≤ 2kπ 3 - π 12 (k∈Z). ∴f(x)的单调递增区间为[2kπ3 - 5π 12 ,2kπ 3 - π 12 ] (k∈Z). (2)当3x+π4=2kπ-π (k∈Z)时,f(x)取最小 值-2.即x=2kπ3 - 5π 12 (k∈Z)时,f(x)取最小 值-2. 10.解 (1)根据题意cos(π3-2x )=12 , 因为π 3-2x=2kπ± π 3 (k∈Z),而x∈[-π6 , π 4 ],故x=0. (2)f(x)=2cos(2x-π3 ),令-π+2kπ≤2x- π 3≤2kπ ,k∈Z,解得-π3+kπ≤x≤kπ+ π 6 , k∈Z,从而f(x)的单调递增区间为[kπ-π3 , kπ+π6 ](k∈Z). 假期作业(十四) 三角恒等变换 学以致用 1.A ∵cos(32π+α )=sinα=15 , ∴cos2α=1-2sin2α=1-2×125= 23 25. 2.A 因为cos2α+sin(5π4-α )=0, 所以cos2α-sin2α-sin(π4-α )=0, 所以(cosα-sinα)(cosα+sinα)- 22 (cosα- sinα)=0, 所以(cosα-sinα)(cosα+sinα- 22 )=0, 因为α∈(π2 ,π),所以cosα-sinα≠0,故cosα +sinα= 22>0 ,所以α∈(π2 ,3π 4 ),2α∈(π,3π2 ), 又(cosα+sinα)2=1+sin2α, 所以1 2=1+sin2α ,解得sin2α=-12 , 因为2α∈(π,3π2 ),所以cos2α=- 32 , 所以sin(2α+π6 )= 32sin2α+ 1 2cos2α= 3 2× (-12 )+12×- 3 2 )=- 32. 3.B ∵a= 32cos29°- 1 2sin29°=sin (60°-29°) =sin31°,b= 1-cos66°2 = sin 233°=sin33°, c= 2tan16°1+tan216°= 2sin16°cos16° cos216°+sin216°=sin32° , 由于31°<32°<33°,则sin31°<sin32°<sin33°,故 有a<c<b. 4.A 由sinα=267 ,0<α<3π4 ,可得0<α<π2 , cosα= 1-sin2α= 1-2449= 5 7 , 由0<α<π2 ,0<β< 3π 4 ,可得-3π4<α-β< π 2 , 可得sin(α-β)=± 1-cos2(α-β)=± 1- 10 25 =± 155 ,则sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α -β)-cosαsin(α-β)= 26 7 × 10 5 - 5 7× 15 5 =- 1535 或=267 × 10 5 - 5 7× (- 155 )= 9 15 35 ,由于0<β< 3π 4 ,可得sinβ>0,则sinβ =9 1535 . 5.BC 对于A,cos2π12-sin 2 π 12=cos π 6= 3 2 ;对 于B,tan22.5°1-tan222.5°= 1 2tan45°= 1 2 ;对于C, 2sin195°cos195°=sin390°=sin30°=12 ;对于D, 1+cosπ6 2 = 1+ 32 2 = 2+3 2 . 6.ABCD 因为cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ, cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,所以两式相 加,可得cosαcosβ= 1 2 [cos(α+β)+cos(α- β)],故B,D错误;两式相减,可得sinαsinβ= -12 [cos(α+β)-cos(α-β)],故A,C错误. 7.解析 由1-2sin2α=cos2α,得1-cos2α= 2sin2α,即2sin2α=4sinαcosα;因此cosα>0; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·58· 假期作业 又α∈(0,π),所以sinα≠0,所以sinα=2cosα >0;由sin2α+cos2α=(2cosα)2+cos2α= 5cos2α=1,解得cosα= 55. 答案 55 8.解析 设θ∈(-π2 ,π 2 ),若函数f(x)=sin(x+θ) +3cos(x+θ)=2sin(x+θ+π3 )是奇函数,故 θ+π3=kπ ,k∈Z, ∵θ∈(-π2 ,π 2 ),∴k=0,θ=-π3. 答案 -π3 9.解 因为α为钝角,β为锐角,sinα= 4 5 ,sinβ= 12 13 , 所以cosα=-35 ,cosβ= 5 13. 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= (-35 )×513+ 4 5× 12 13= 33 65. 因为π 2<α<π ,且 0<β< π 2 ,所以0<α-β<π,即0< α-β 2 < π 2 , 所以cos(α-β2 )= 1+cos (α-β) 2 = 1+3365 2 = 7 65 65 . 由0<α-β2 < π 2 ,得 sin(α-β2 )= 1-cos2 (α-β) 2 = 4 65 65 , 所以tan(α-β2 )= sin(α-β2 ) cos(α-β2 ) =47. 10.解 (1)∵已知sinα=255 ,cosβ= 10 10 ,α、β∈ (0,π2 ) ∴cosα= 1-sin2α= 55 , sinβ= 1-cos2β= 3 10 10 , ∴sin2α=2sinαcosα=45 , cos2α=2cos2α-1=-35 , ∴cos(2α-π3 )=cos2αcosπ3+sin2αsin π 3 =-35× 1 2+ 4 5× 3 2= 43-3 10 . (2)∵α+β∈(0,π), cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ = 55× 10 10- 25 5 × 3 10 10 =- 2 2 , α+β= 3π 4. 假期作业(十五) 函数y=Asin(ωx+φ) 学以致用 1.A 易知A=2,T=2(2π3- π 6 )=π,故ω=2πT =2,故此时f(x)=2sin(2x+φ),将( π 6 ,2)代入 得sin(2×π6+φ )=1,故π3+φ= π 2 ,解得φ= π 6. 所以f(x)=2sin(2x+π6 ). 2.A 由函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象知:T= 4×(7π12- π 3 )=π,所以ω=2πT=2 ;由2×π3+φ =π,解得φ= π 3 ;所以f(x)=sin(2x+π3 )= sin[2(x+π6 )].为了得到g(x)=sin(ωx+5π6 ) =sin(2x+5π6 )=sin2[(x+π6 )+π4 ]的图象, 只需将f(x)的图象向左平移π4个单位. 3.D 将函数f(x)=sin(2x+π3 )图象上的每个 点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的一半,可 得y=sin(4x+π3 )的图象;再将所得图象向左 平移π 12 个单位,得到函数g(x)=sin(4x+π3 +π3 )=sin(4x+2π3 )的图象,令4x+2π3=kπ , 求得x=kπ4- π 6 ,k∈Z,令k=0,可得g(x)图象 的一个对称中心为(-π6 ,0). 4.BC 将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平 移π 4 个单位后,得到函数g(x)=sin(2x+π2+φ ) =cos(2x+φ)的图象,g(x)的图象在x= π 6 处 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·68· 假期作业 假期作业(十四) 三角恒等变换 1.两角和与差公式 sin(α±β)=sinα·cosβ±cosαsinβ cos(α±β)=cosα·cosβ∓sinαsinβ tan(α±β)= tanα±tanβ 1∓tanαtanβ (sinα±cosα)2=1±2sinαcosα asinα+bcosα= a2+b2sin(α+φ)(φ由 点(a,b)的象限决定,tanφ= b a ). 2.二倍角与半角公式 sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1 -2sin2α tan2α= 2tanα1-tan2α. sin2α=1-cos2α2 ,cos2α=1+cos2α2 . 一、选择题 1.已知cos(32π+α )=15 ,则cos2α= ( ) A.2325 B.- 23 25 C.2425 D.- 24 25 2.若α∈(π2 ,π),cos2α+sin(5π4-α )=0,则 sin(2α+π6 )= ( ) A.- 32 B.0 C.32 D.- 3 2 或0 3.设a=32cos29°- 1 2sin29° ,b=1-cos66°2 , c= 2tan16°1+tan216° ,则有 ( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 4.已知sinα=267 ,cos(α-β)= 10 5 ,且 0<α<3π4 ,0<β< 3π 4 ,则sinβ= ( ) A.9 1535 B. 11 10 35 C.1535 D. 10 35 5.(多选题)下列各式中,值为12 的是( ) A.cos2π12-sin 2π 12 B.tan22.5°1-tan222.5° C.2sin195°cos195° D. 1+cosπ6 2 6.(多选题)给出下列四个关系式,其中不 正确的是 ( ) A.sinαsinβ= 1 2 [cos(α+β)-cos(α-β)] B.sinαsinβ= 1 2 [sin(α+β)-sin(α-β)] C.cosαcosβ=- 1 2 [cos(α+β)-cos(α-β)] D.cosαcosβ= 1 2 [sin(α+β)-sin(α-β)] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·62· 高一数学 二、填空题 7.已知α∈(0,π),且有1-2sin2α=cos2α, 则cosα= . 8.设θ∈(-π2 ,π 2 ),若函数f(x)=sin(x+θ) +3cos(x+θ)是奇函数,则θ= . 三、解答题 9.已知α为钝角,β为锐角,且sinα= 4 5 ,sinβ =1213 ,求cos(α-β2 )与tan(α-β2 )的值. 10.已知sinα=255 ,cosβ= 10 10 ,α、β∈ (0,π2 ).求: (1)cos(2α-π3 )的值; (2)α+β的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(十五) 函数y=Asin(ωx+φ) 1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示. x -φω - φ ω+ π 2ω π-φ ω 3π 2ω- φ ω 2π-φ ω ωx+φ 0 π 2 π 3π 2 2π y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 2.函数y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0),x∈[0,+∞)表示 一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T=2πω f= 1 T= ω 2π ωx+φ φ ·72·