假期作业(十三) 三角函数的图象与性质-【成功方案】2025年大暑假小一轮高一全一册数学暑假作业

假期作业 cosβ=cos(α- 3π 2 )=sinα=-513 , tanβ= sinβ cosβ =-125 , ∴5sinβ-5cosβ+3tanβ=5× 12 13+5× 5 13+3 ×(-125 )=-4365. 假期作业(十三) 三角函数的 图象与性质 学以致用 1.A 由2x∈[2kπ,2kπ+π],可得x∈[kπ,kπ+ π 2 ],(k∈Z),∴函数y=cos2x的单调递减区 间是[kπ,kπ+π2 ],(k∈Z). 2.D ∵sin2=cos(π2-2 )=cos(2-π2 ),且0<2 -π2<1<π ,∴cos(2-π2 )>cos1,即sin2> cos1.故选D. 3.B 根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象,可 得它的一个对称中心的横坐标为x= -5π6+ 2π 3 2 = -π12 ,故它的一条对称轴为x= -5π6- π 12 2 = -11π24 ,另一条为x= -π12+ 2π 3 2 = 7π 24. 4.C 函数的定义域为:{x|x≠kπ,k∈Z}关于原 点对称,f(-x)=sin(-x)+ 1sin(-x)=-sinx- 1 sinx=-f (x),所以函数关于原点对称,A错 误;因为f(π2+x )=sin(π2+x )+ 1 sin(π2+x ) =cosx+ 1cosx≠f (-x),所以B错误;因为 f(π+x)=sin(π+x)+ 1sin(π+x)=-sinx- 1 sinx=f (-x),所以C正确;因为f(2π+x)= sin(2π+x)+ 1sin(2π+x)=sinx+ 1 sinx≠ f(-x),所以D错误. 5.AC 因为y=|sinx|的最小正周期为2π2=π , 且在区间(π 2 ,3π 4 )上单调递减,故A满足条件; 因为y=cos2x的最小正周期为2π2=π ,且在区 间(π 2 ,3π 4 )上单调递增,故B不满足条件;因为 y=-tanx的最小正周期为π,且在区间(π2 , 3π 4 )上单调递减,故C满足条件;因为y=sin|2x| 没有周期性,故D不满足条件. 6.ACD 因为f(x-2π)=cos(x+π3-2π )= cos(x+π3 )=f(x),A正确;当x∈(π2 ,π),则 x+π3∈ (5π 6 ,4π 3 ),根据余弦函数的单调性可得 函数f(x)在已知区间上不单调,B错误;因为 f(8π3 )=cos(8π3+ π 3 )=cos3π=-1,所以C正 确;因为f(x+π)=cos(x+π+π3 ),所以f(π6+π ) =cos(π6+π+ π 3 )=cos3π2=0 ,所以D正确. 7.解析 因为T=2ππ 3 =6.所以在[0,+∞)第一次 出现最大值x=64= 3 2 ,第二次出现最大值x= 15 2 ,所以t≥152.又因为t∈Z ,所以t的最小值 为8. 答案 8 8.解析 由题意x∈(0,9π8 )上,那么2x+π4∈ (π 4 ,5π 2 )上,直线y=a在与y=sin(2x+π4 )的 图象在(0,9π8 )上有三个交点,则 2 2<a<1 , 不妨设x1<x2<x3,根据三角函数的图象及性 质,可得π<x3<9π8 , 而x1,x2 关于直线x=π8对称 , 那么x1+x2+x3=π4+x3 , ∴x1+x2+x3 的取值范围(5π4 ,11π 8 ). 答案 (5π4 ,11π 8 ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·48· 高一数学 9.解 (1)令2kπ-π≤3x+π4≤2kπ (k∈Z), 解得2kπ 3 - 5π 12≤x≤ 2kπ 3 - π 12 (k∈Z). ∴f(x)的单调递增区间为[2kπ3 - 5π 12 ,2kπ 3 - π 12 ] (k∈Z). (2)当3x+π4=2kπ-π (k∈Z)时,f(x)取最小 值-2.即x=2kπ3 - 5π 12 (k∈Z)时,f(x)取最小 值-2. 10.解 (1)根据题意cos(π3-2x )=12 , 因为π 3-2x=2kπ± π 3 (k∈Z),而x∈[-π6 , π 4 ],故x=0. (2)f(x)=2cos(2x-π3 ),令-π+2kπ≤2x- π 3≤2kπ ,k∈Z,解得-π3+kπ≤x≤kπ+ π 6 , k∈Z,从而f(x)的单调递增区间为[kπ-π3 , kπ+π6 ](k∈Z). 假期作业(十四) 三角恒等变换 学以致用 1.A ∵cos(32π+α )=sinα=15 , ∴cos2α=1-2sin2α=1-2×125= 23 25. 2.A 因为cos2α+sin(5π4-α )=0, 所以cos2α-sin2α-sin(π4-α )=0, 所以(cosα-sinα)(cosα+sinα)- 22 (cosα- sinα)=0, 所以(cosα-sinα)(cosα+sinα- 22 )=0, 因为α∈(π2 ,π),所以cosα-sinα≠0,故cosα +sinα= 22>0 ,所以α∈(π2 ,3π 4 ),2α∈(π,3π2 ), 又(cosα+sinα)2=1+sin2α, 所以1 2=1+sin2α ,解得sin2α=-12 , 因为2α∈(π,3π2 ),所以cos2α=- 32 , 所以sin(2α+π6 )= 32sin2α+ 1 2cos2α= 3 2× (-12 )+12×- 3 2 )=- 32. 3.B ∵a= 32cos29°- 1 2sin29°=sin (60°-29°) =sin31°,b= 1-cos66°2 = sin 233°=sin33°, c= 2tan16°1+tan216°= 2sin16°cos16° cos216°+sin216°=sin32° , 由于31°<32°<33°,则sin31°<sin32°<sin33°,故 有a<c<b. 4.A 由sinα=267 ,0<α<3π4 ,可得0<α<π2 , cosα= 1-sin2α= 1-2449= 5 7 , 由0<α<π2 ,0<β< 3π 4 ,可得-3π4<α-β< π 2 , 可得sin(α-β)=± 1-cos2(α-β)=± 1- 10 25 =± 155 ,则sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α -β)-cosαsin(α-β)= 26 7 × 10 5 - 5 7× 15 5 =- 1535 或=267 × 10 5 - 5 7× (- 155 )= 9 15 35 ,由于0<β< 3π 4 ,可得sinβ>0,则sinβ =9 1535 . 5.BC 对于A,cos2π12-sin 2 π 12=cos π 6= 3 2 ;对 于B,tan22.5°1-tan222.5°= 1 2tan45°= 1 2 ;对于C, 2sin195°cos195°=sin390°=sin30°=12 ;对于D, 1+cosπ6 2 = 1+ 32 2 = 2+3 2 . 6.ABCD 因为cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ, cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,所以两式相 加,可得cosαcosβ= 1 2 [cos(α+β)+cos(α- β)],故B,D错误;两式相减,可得sinαsinβ= -12 [cos(α+β)-cos(α-β)],故A,C错误. 7.解析 由1-2sin2α=cos2α,得1-cos2α= 2sin2α,即2sin2α=4sinαcosα;因此cosα>0; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·58· 假期作业 假期作业(十三) 三角函数的图象与性质 三角函数的图象与性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义域 R R {x|x∈R 且x≠kπ+π2 ,k∈Z} 值域 [-1,1] [-1,1] R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在[-π2+2kπ ,π 2+2kπ ](k ∈Z)上是递增函数,在[π2 +2kπ,3π2+2kπ ](k∈Z)上 是递减函数 在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上 是递增函数,在[2kπ,2kπ+ π](k∈Z)上是递减函数 在(-π2+kπ ,π 2+kπ )(k∈Z) 上是递增函数 周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0), 最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0), 最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0),最 小正周期是π 对称性 对称轴是x=π2+kπ (k∈Z), 对称中心是(kπ,0)(k∈Z) 对称轴是x=kπ(k∈Z),对称 中心是(kπ+π2 ,0)(k∈Z) 对称中心是(kπ 2 ,0)(k∈Z) 一、选择题 1.函数y=cos2x的单调减区间是 ( ) A.[kπ,kπ+π2 ],k∈Z B.[π2+2kπ ,3π 2+2kπ ],k∈Z C.[2kπ,π+2kπ],k∈Z D.[kπ-π4 ,kπ+π4 ],k∈Z 2.下列不等式中成立的是 ( ) A.sin(-π8 )>sin(-π10 ) B.sin3>sin2 C.sin75π>sin (-25 )π D.sin2>cos1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·42· 高一数学 3.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象 如图所示,则函数f(x)图象的一条对称 轴是 ( ) A.x=5π6 B.x=- 11π 24 C.x=11π12 D.x= 11π 6 4.关于函数f(x)=sinx+ 1sinx ,下列观点 正确的是 ( ) A.f(x)的图象关于直线x=0对称 B.f(x)的图象关于直线x=π4对称 C.f(x)的图象关于直线x=π2对称 D.f(x)的图象关于直线x=π对称 5.(多选题)下列四个函数中,以π为周期, 且在区间(π 2 ,3π 4 )上单调递减的是 ( ) A.y=|sinx| B.y=cos2x C.y=-tanx D.y=sin|2x| 6.(多选题)对于函数f(x)=cos(x+π3 ), 下列结论正确的是 ( ) A.f(x)的一个周期为-2π B.f(x)在(π2 ,π)上单调递减 C.f(x)的图象关于直线x=8π3对称 D.x=π6为f (x+π)的一个零点 二、填空题 7.已知函数y=sin(πx3 )在区间[0,t]上至 少取得2次最大值,则正整数t的最小值 是 . 8.函数y=sin(2x+π4 )的图象与直线y=a 在(0,9π8 )上有三个交点,其横坐标分别 为x1,x2,x3,则x1+x2+x3 的取值范围 为 . 三、解答题 9.已知函数f(x)=2cos(3x+π4 ).求: (1)f(x)的单调递增区间; (2)f(x)的最小值及取得最小值时相应 的x值. 10.已知函数f(x)=2cos(π3-2x ). (1)若f(x)=1,x∈[-π6 ,π 4 ],求x 的值; (2)求f(x)的单调递增区间. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·52·