假期作业(十二) 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【成功方案】2025年大暑假小一轮高一全一册数学暑假作业

假期作业 (3)若角β与α终边相同,则是β2第几象 限的角? 10.已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在 圆的半径为R. (1)若α=90°,R=10cm,求扇形的弧长 及该弧所在的弓形的面积; (2)若扇形的周长是一定值C(C>0), 当α为多少弧度时,该扇形有最大面积? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(十二) 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1; (2)商数关系:tanα=sinαcosα.平方关系对 任意角都成立,而商数关系中α≠kπ+π2 (k∈Z). 2.诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+ α(k∈Z) π+α -α π-α π2-α π 2+α 正弦 sinα -sinα -sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα -cosα cosα -cosα sinα -sinα 正切 tanα tanα -tanα -tanα 一、选择题 1.若sin1000°=a,则cos10°= ( ) A.-a B.- 1-a2 C.a D.1-a2 2.已知sin(α+π2 )=13 ,α∈(-π2 ,0),则 tanα等于 ( ) A.-22 B.22 C.- 24 D. 2 4 3.若sinα=3 1313 ,α∈(π2 ,π),则tan(3π- 2α)= ( ) A.-73 B.- 12 5 C.73 D. 12 5 4.在△ABC中,若sinA-2cosA= 102 ,则 tanA的值为 ( ) A.-3 B.3 C.-3或13 D.3 或-13 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·22· 高一数学 5.(多选题)定义:角θ与φ都是任意角,若 满足θ+φ= π 2 ,则称θ与φ“广义互余”. 已知sin(π+α)=-14 ,下列角β中,可能 与角α“广义互余”的是 ( ) A.sinβ= 15 4 B.cos (π+β)= 1 4 C.tanβ= 15 D.tanβ= 15 5 6.下列化简正确的是 ( ) A.tan(π+1)=tan1 B.sin (-α) tan(360°-α)=cosα C.sin (π-α) cos(π+α)=tanα D.cos (π-α)tan(-π-α) sin(2π-α) =1 二、填空题 7.已知tan(π-α)=-23 ,则 cos(-α)+3sin(π+α) cos(π-α)+9sinα 的值为 . 8.已知tanα=2,则cos4α-cos2α+sin2α . 三、解答题 9.已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax +a=0(a∈R)的两个根.求sinθ+cosθ 的值. 10.已知角α的顶点与原点O 重合,始边与 x轴的非负半轴重合,它的终边过点 P(1213 ,5 13 ). (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β就是将角α的终边顺时针旋 转3π 2 得到,求5sinβ-5cosβ+3tanβ 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·32· 高一数学 假期作业(十二) 同角三角函数 的基本关系与诱导公式 学以致用 1.A 因为sin1000°=sin(360°×3-80°) =sin(-80°)=-sin80°=-cos10°=a, 所以cos10°=-a.故选A. 2.A 由sin(α+π2 )=13 得cosα=13 , 又α∈(-π2 ,0),故sinα=- 1-cos2α=-223 , ∴tanα=sinαcosα=-22. 3.B 因为sinα=3 1313 ,α∈(π2 ,π),所以cosα= - 1-sin2α=-2 1313 ,tanα=sinαcosα=- 3 2 ,所 以tan(3π-2α)=-tan2α=- 2tanα1-tan2α= -125. 故选B. 4.A 由题意得,在△ABC 中,sinA=2cosA+ 10 2 ,所以sin2A+cos2A=(2cosA+ 102 )2+ cos2A=1,整理可得5cos2A+2 10cosA+32=0 , 解得 sinA=3 1010 cosA=- 1010 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 或 sinA=- 1010 cosA=-3 1010 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 (舍去), 所以tanA=sinAcosA=-3.故选A. 5.AC ∵sin(π+α)=-sinα=-14 , ∴sinα=14 ,若α+β= π 2 ,则β= π 2-α. A中,sinβ= 15 4 =cosα ,故A符合条件; B中,cos(π+β)=-cos( π 2-α )=-sinα= -14 ,故B不符合条件; C中,tanβ= 15,即sinβ= 15cosβ,又sin2β+ cos2β=1,故sinβ=± 15 4 ,故C符合条件; D中,tanβ= 15 5 ,即sinβ= 15 5cosβ ,又sin2β +cos2β=1,故sinβ=± 6 4 ,故D不符合条件. 6.AB 由诱导公式可得tan(π+1)=tan1,故 A正确;sin (-α) tan(360°-α)= -sinα -tanα=cosα ,故B正 确;sin(π-α) cos(π+α)= sinα -cosα=-tanα ,故C不正确; cos(π-α)tan(-π-α) sin(2π-α) = -cosα·(-tanα) -sinα =-1 , 故D不正确. 7.解析 因为tan(π-α)=-23 ,所以tanα=23 , 所以cos(-α)+3sin(π+α) cos(π-α)+9sinα = cosα-3sinα-cosα+9sinα= 1-3tanα -1+9tanα = 1-3×23 -1+9×23 =-15. 答案 -15 8.解析 ∵tanα=2, ∴cos4α-cos2α+sin2α=cos2α(cos2α-1)+ sin2α=-cos2αsin2α+sin2α, =sin2α(1-cos2α)=sin4α = sin 4α (sin2α+cos2α)2= tan4α tan4α+2tan2α+1 = 44+4+1= 4 9. 答案 49 9.解 由已知原方程判别式Δ=(-a)2-4a>0, 解得a>4或a<0. 又 sinθ+cosθ=a sinθcosθ=a , ∴(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ, 即a2-2a-1=0. ∴a=1-2或a=1+2(舍去). ∴sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-2. 10.解 (1)∵角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P(1213 ,5 13 ), ∴|OP|=1,∴sinα=513 ,cosα=1213 , ∴sin(α+π)=-sinα=-513. (2)若角β就是将角α 的终边顺时针旋转 3π 2 得到, ∴sinβ=sin(α- 3π 2 )=-cosα=1213 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·38· 假期作业 cosβ=cos(α- 3π 2 )=sinα=-513 , tanβ= sinβ cosβ =-125 , ∴5sinβ-5cosβ+3tanβ=5× 12 13+5× 5 13+3 ×(-125 )=-4365. 假期作业(十三) 三角函数的 图象与性质 学以致用 1.A 由2x∈[2kπ,2kπ+π],可得x∈[kπ,kπ+ π 2 ],(k∈Z),∴函数y=cos2x的单调递减区 间是[kπ,kπ+π2 ],(k∈Z). 2.D ∵sin2=cos(π2-2 )=cos(2-π2 ),且0<2 -π2<1<π ,∴cos(2-π2 )>cos1,即sin2> cos1.故选D. 3.B 根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象,可 得它的一个对称中心的横坐标为x= -5π6+ 2π 3 2 = -π12 ,故它的一条对称轴为x= -5π6- π 12 2 = -11π24 ,另一条为x= -π12+ 2π 3 2 = 7π 24. 4.C 函数的定义域为:{x|x≠kπ,k∈Z}关于原 点对称,f(-x)=sin(-x)+ 1sin(-x)=-sinx- 1 sinx=-f (x),所以函数关于原点对称,A错 误;因为f(π2+x )=sin(π2+x )+ 1 sin(π2+x ) =cosx+ 1cosx≠f (-x),所以B错误;因为 f(π+x)=sin(π+x)+ 1sin(π+x)=-sinx- 1 sinx=f (-x),所以C正确;因为f(2π+x)= sin(2π+x)+ 1sin(2π+x)=sinx+ 1 sinx≠ f(-x),所以D错误. 5.AC 因为y=|sinx|的最小正周期为2π2=π , 且在区间(π 2 ,3π 4 )上单调递减,故A满足条件; 因为y=cos2x的最小正周期为2π2=π ,且在区 间(π 2 ,3π 4 )上单调递增,故B不满足条件;因为 y=-tanx的最小正周期为π,且在区间(π2 , 3π 4 )上单调递减,故C满足条件;因为y=sin|2x| 没有周期性,故D不满足条件. 6.ACD 因为f(x-2π)=cos(x+π3-2π )= cos(x+π3 )=f(x),A正确;当x∈(π2 ,π),则 x+π3∈ (5π 6 ,4π 3 ),根据余弦函数的单调性可得 函数f(x)在已知区间上不单调,B错误;因为 f(8π3 )=cos(8π3+ π 3 )=cos3π=-1,所以C正 确;因为f(x+π)=cos(x+π+π3 ),所以f(π6+π ) =cos(π6+π+ π 3 )=cos3π2=0 ,所以D正确. 7.解析 因为T=2ππ 3 =6.所以在[0,+∞)第一次 出现最大值x=64= 3 2 ,第二次出现最大值x= 15 2 ,所以t≥152.又因为t∈Z ,所以t的最小值 为8. 答案 8 8.解析 由题意x∈(0,9π8 )上,那么2x+π4∈ (π 4 ,5π 2 )上,直线y=a在与y=sin(2x+π4 )的 图象在(0,9π8 )上有三个交点,则 2 2<a<1 , 不妨设x1<x2<x3,根据三角函数的图象及性 质,可得π<x3<9π8 , 而x1,x2 关于直线x=π8对称 , 那么x1+x2+x3=π4+x3 , ∴x1+x2+x3 的取值范围(5π4 ,11π 8 ). 答案 (5π4 ,11π 8 ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·48·