假期作业(十一) 任意角和角与弧度制、三角函数的概念-【成功方案】2025年大暑假小一轮高一全一册数学暑假作业

假期作业 10.解 设对甲种商品投资x万元,则对乙种商品 投资(3-x)万元,总利润为y万元, 则Q1=15x ,Q2=35 3-x , 所以y=15x+ 3 5 3-x (0≤x≤3). 令t= 3-x(0≤t≤3),则x=3-t2, 所以y=15 (3-t2)+35t=- 1 5 (t-32 )2+2120. 当t=32时 ,ymax=2120=1.05 , 这时x=34=0.75 , 所以3-x=2.25. 由此可知,为获得最大利润,对甲、乙两种商品 的资金投入分别为0.75万元和2.25万元,总 共获得利润为1.05万元. 假期作业(十一) 任意角和角与 弧度制、三角函数的概念 学以致用 1.C 因为2019°=5×360°+219°,所以219°与 2019°终边相同. 2.A 设扇形的半径为Rcm,则弧长l=Rcm,又 因为扇形的面积为2cm2,所以12R 2=2,解得R =2cm,故扇形的周长为6cm.故选A. 3.D ∵A={α|α小于90°},B={α|α为第一象限 角},∴A∩B={小于90°且在第一象限的角}, 对于A:小于90°的角且在第一象限的角不一定 是0°~90°的角,不正确,例如-300°;对于B:小 于90°的角不一定是第一象限的,不正确,比如 -30°;对于C:第一象限的角不一定是小于90° 的角且在第一象限的角,不正确,例如380°. 4.B 设从动轮N 逆时针旋转θrad,由题意知主 动轮M 与从动轮N 转动的弧长相等,所以1502 ×π2= 300 2 ·θ.解得θ=π4 ,选B. 5.CD 在角α的终边在直线y=-2x上取一点 (a,-2a),a≠0. 则sinα= -2a a2+(-2a)2 = -2a 5·|a| , 当a>0时,sinα=-255 ; 当a<0时,sinα=255 ,故选CD. 6.BD 假设α、β为[0°,180°] 内的角,如图所示,因为α、β 的终边关于y 轴对称,所以 α+β=180°,所以B 满足条 件;结合终边相同的角的概 念,可得α+β=k·360°+ 180°=(2k+1)·180°(k∈Z), 所以D满足条件,AC都不满足条件.故选BD. 7.解析 已知θ的终边经过点(3a-9,a+2),且 sinθ>0,cosθ<0,则θ为第二象限角, 3a-9<0 a+2>0 所以解得-2<a<3. 答案 (-2,3) 8.解析 设圆半径为r,这段弧所对圆心角的弧度 数为θ,则圆外切正三角形的边长为23r, ∴|θ|=23rr =23 ;又圆内接正方形的边长为 2r,周长为42r,即圆弧长为42r, ∴|θ|=42rr =42. 答案 23 42 9.解 (1)所有与α终边相同的角可表示为{θ|θ= 2kπ+π3 ,k∈Z}. (2)由(1)令-4π<2kπ+π3<2π (k∈Z), 则有-2-16<k<1- 1 6. 又∵k∈Z,∴取k=-2,-1,0.故在(-4π,2π) 内与α终边相同的角是-11π3 、-5π3 、π 3. (3)由(1)有β=2kπ+ π 3 (k∈Z),则β2=kπ+ π 6 (k∈Z).∴β2是第一 、三象限的角. 10.解 (1)设弧长为l,弓形面积为S弓,则:α= 90°=π2 ,R=10,l=π2×10=5π (cm), S弓=S扇-SΔ=12×5π×10- 1 2×10 2 =25π-50(cm2). (2)扇形周长C=2R+l=2R+αR, ∴R= C2+α ,S扇=12α ·R2=12α (C 2+α )2 =C 2 2 · 1 4+α+4α ≤C 2 16. 当且仅当α2=4,即α=2时,扇形面积有最大 值C 2 16. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·28· 假期作业 三、解答题 9.已知函数f(x)=a-2+a ·2x 1+2x . (1)当a=1时,判断函数f(x)的奇偶性 并证明; (2)讨论f(x)的零点个数. 10.有甲、乙两种商品,经营销售这两种商 品所能获得的利润依次为Q1万元和Q2 万元,它们与投入的资金x万元的关系 是Q1=15x ,Q2=35x.今年有3万元资 金投入使用,则对甲、乙两种商品如何 投资才能获得最大利润? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(十一) 任意角和角与弧度制、三角函数的概念 1.任意角的概念:一条射线绕其端点按逆 时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺 时针方向旋转所形成的角叫负角.如果 一条射线没有做任何旋转,我们称它形 成了一个零角. 2.终边相同的角 所有与角α具有同终边的所有角,连同角 α在内,可以构成一个集合{β|β=2kπ+ α,k∈Z},即任一与角α终边相同的角, 都可以表示成角α与正数个周角的和. 3.弧度制 (1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心 角叫做1弧度角;一般地,正角的弧度数 是一个正数,负角的弧度数是一个负数, 零角的弧度数是0,角的正负主要由角的 旋转方向来决定. (2)角的弧度数的绝对值是:|α|=lr ,其 中,l是圆心角所对的弧长,r是半径. (3)弧度与角度互换公式:1rad=180°π ≈ 57.30°=57°18';1°=π180≈0.01745 (rad). 弧长公式:l=|α|r(α是圆心角的弧度 数),扇形面积公式:S=12lr= 1 2|α|r 2. 4.三角函数定义 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交 于点P(x,y),那么: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·02· 高一数学 (1)y叫做α的正弦,记做sinα,即sinα =y; (2)x叫做α的余弦,记做cosα,即cosα =x; (3)yx叫做α的正切 ,记做tanα,即tanα =yx (x≠0). 一、选择题 1.下列各角中,与2019°终边相同的角为 ( ) A.41° B.129° C.219° D.-231° 2.已知一个扇形的半径与弧长相等,且 扇形的面积为2cm2,则该扇形的周 长为 ( ) A.6cm B.3cm C.12cm D.8cm 3.已知集合A={α|α小于90°},B={α|α 为第一象限角},则A∩B= ( ) A.{α|α为锐角} B.{α|α小于90°} C.{α|α为第一象限角} D.以上都不对 4.已知某机械采用齿轮传动,由主动轮M 带着从动轮N 转动(如图所示),设主动 轮M 的直径为150mm,从动轮N 的直 径为300mm,若主动轮 M 顺时针旋转 π 2 ,则从动轮N 逆时针旋转 ( ) A.π8 B. π 4 C.π2 D.π 5.(多选题)若角α的终边在直线y=-2x 上,则sinα的可能取值为 ( ) A.55 B.- 5 5 C.255 D.- 25 5 6.(多选题)下列条件中,能使α和β的终边 关于y轴对称的是 ( ) A.α+β=90° B.α+β=180° C.α+β=k·360°+90°(k∈Z) D.α+β=(2k+1)·180°(k∈Z) 三、填空题 7.已知角θ的终边经过点(3a-9,a+2), 且sinθ>0,cosθ<0,则a的取值范围 是 . 8.已知圆的一段弧长等于该圆外切正三 角形的边长,则这段弧所对圆心角的 弧度数的绝对值为 ;若圆弧 长等于其所在圆的内接正方形的周 长,那么这段弧所对圆心角的弧度数 的绝对 . 三、解答题 9.已知α=π3. (1)写出所有与α终边相同的角; (2)写出在(-4π,2π)内与α终边相同 的角; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·12· 假期作业 (3)若角β与α终边相同,则是β2第几象 限的角? 10.已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在 圆的半径为R. (1)若α=90°,R=10cm,求扇形的弧长 及该弧所在的弓形的面积; (2)若扇形的周长是一定值C(C>0), 当α为多少弧度时,该扇形有最大面积? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(十二) 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1; (2)商数关系:tanα=sinαcosα.平方关系对 任意角都成立,而商数关系中α≠kπ+π2 (k∈Z). 2.诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+ α(k∈Z) π+α -α π-α π2-α π 2+α 正弦 sinα -sinα -sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα -cosα cosα -cosα sinα -sinα 正切 tanα tanα -tanα -tanα 一、选择题 1.若sin1000°=a,则cos10°= ( ) A.-a B.- 1-a2 C.a D.1-a2 2.已知sin(α+π2 )=13 ,α∈(-π2 ,0),则 tanα等于 ( ) A.-22 B.22 C.- 24 D. 2 4 3.若sinα=3 1313 ,α∈(π2 ,π),则tan(3π- 2α)= ( ) A.-73 B.- 12 5 C.73 D. 12 5 4.在△ABC中,若sinA-2cosA= 102 ,则 tanA的值为 ( ) A.-3 B.3 C.-3或13 D.3 或-13 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·22·