假期作业(十) 函数的应用(二)-【成功方案】2025年大暑假小一轮高一全一册数学暑假作业

假期作业 6.AD 令t=logab,则t+1t= 5 2 , ∴2t2-5t+2=0(2t-1)(t-2)=0, ∴t=12或t=2 ,∴logab=12或logab=2 ∴a=b2 或a2=b ∵ab=ba,代入得∴2b=a=b2 或b=2a=a2, ∴b=2,a=4或a=2.b=4 ∴ab=2或 a b= 1 2 ,故选AD. 7.解析 令t=x2,易知t=x2 在(0,+∞)上单调 递增,而y=log2t在(0,+∞)上单调递增,故 f(x)的单调递增区间是(0,+∞). 答案 (0,+∞) 8.解析 根据题意,假设在一次地震中,测震仪记 录的最大振幅是1000,此次地震的里氏震级恰 好为6级,则M=lgA-lgA0=lg1000-lgA0 =3-lgA0=6,解得:lgA0=-3,设9级地震 的最大的振幅是x,5级地震最大振幅是y, 9=lgx+3,5=lgy+3,解得x=106,y=102, ∴xy= 106 102=10000. 答案 10000 9.解 (1)∵2log525=2log5 2=4log5 =4, 3log264=3log2 6=18log2 =18, ∴2log525+3log264=4+18=22. (2)原式=12lg (3+5+ 3-5)2 =12lg (3+5+3-5+2 9-5) =12lg10= 1 2. (3)(lg5)2+2lg2-(lg2)2 =(lg5)2-(lg2)2+2lg2 =(lg5+lg2)(lg5-lg2)+2lg2 =lg10(lg5-lg2)+2lg2 =lg5+lg2=lg10=1. 10.解 (1)由题意得 x+1>0 1-x>0 , ∴-1<x<1. ∴函数f(x)的定义域为(-1,1). (2)由(1)知函数f(x)的定义域为(-1,1)关 于原点对称. ∴f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x) =-[loga(1+x)-loga(1-x)] =-f(x), ∴函数f(x)为奇函数. 假期作业(十) 函数的应用(二) 学以致用 1.C 函数f(x)=(12 )x+x-2是连续函数, f(2)=14+2-2= 1 4>0 ,f(32 )= 24+ 3 2-2 = 2-24 <0 ,可得f(2)f(32 )<0,由零点判断 定理可知函数的零点在(3 2 ,2).故选C. 2.B 由题意, 11+e-0.22(t-50)=0.1 ,即1+e-0.22(t-50)= 10,得e-0.22(t-50)=9,而e-0.22(t-50)=e1.1×(-0.2)(t-50) =(e1.1)-0.2(t-50),又e1.1≈3,∴3-0.2(t-50)=9,即 -0.2(t-50)=2,得t-50=-10,即t=40.故 选B. 3.B ∵m>0,函数f(x)=x2+x-m,故函数在 (0,+∞)上单调递增,∵实数x1,x2 满足x1>0, x2>0,且f(x1)=0,f(x2)=0,∴x21+x1-m =0,∴x1= x2⇒x21=x2,∴x1+x2=x21+x1, ∴x1+x2=m 成立,故选B. 4.C 由f(x+2)=f(x),可得f(x)为周期为2 的偶函数,且当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,画出 函数y=f(x)的图象; 函数g(x)是定义在R上的奇函数, 当x>0时,g(x)=lgx,可得x=0时,g(0)=0, x<0时,g(x)=-lg(-x), 作出y=g(x)的图象,由lg10=1,f(x)的最大 值1,可得x>0时,y=f(x)和y=g(x)的图象 有9个交点; x=0时,f(0)=g(0)=0;x<0时,y=f(x)和 y=g(x)的图象有1个交点; 综上可得y=f(x)和y=g(x)的图象共有11 个交点,即有h(x)=f(x)-g(x)的零点的个数 是11.故选C. 5.ABD 函数f(x)的图象在R上连续不断,且满 足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,所以f(0)f(1) <0,所以函数在(0,1)内一定存在零点;f(1)f(2) >0,在(1,2)内也可能有零点,也可能没有零 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·08· 高一数学 点,所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区 间(1,2)上可能有零点,C正确;其它选项都不 正确. 6.ABC 因为f(x)是定义域为R的奇函数,x>0 时,f(x)=x(1-x)=-(x-12 )2+14≤ 1 4 ,则 f(12 )=14 ,画出函数f(x)的图象如下: 令f(x)=t,f(14 )=316 当a>14时 ,由图象可得y=a与y=f(t)有一 个交点,且t<-1,由图象可得f(x)=t只有一 个根,不满足题意,当a=14时 ,由图象可得y= a与y=f(t)有两个不同交点,交点的横坐标分 别记作t1,t2,则t1<-1,t2=12 ,则f(x)=t1 与 f(x)=t2 共有两个根,不满足题意,当316≤a< 1 4 时,由图象可得y=a与y=f(t)有三个不同 的交点,记作t1,t2,t3,不妨令t1<t2<t3,由图象 可得,t1<-1<14≤t2< 1 2<t3<1 ,则f(x)=t1 与f(x)=t3 各有一个根或两个根,共三个或四 个根,不满足题意,当0≤a<316时 ,由图象可得 y=a与y=f(t)有三个不同的交点,记作t1,t2, t3,不妨令t1<t2<t3,由图象可得,t1≤-1<0 ≤t2<14< 1 2<t3≤1 ,则f(x)=t1 与f(x)=t3 以及f(x)=t2 共有5个根,满足题意,根据函数 图象的对称性,当a<0时,为使关于x的方程 f[f(x)]=a有5个不相等的实数根,只需要- 3 16<a<0 ,综上,满足条件的a的取值范围是 (-316 ,3 16 ). 7.解析 函数f(x)=x2-(2k+1)x+k2 的图象 是开口向上的抛物线, 若函数f(x)=x2-(2k+1)x+k2 有两个零点 且一个大于1,一个小于1, 则f(1)=1-(2k+1)+k2, 即k2-2k<0,得0<k<2. ∴实数k的取值范围是(0,2). 答案 (0,2) 8.解析 因为函数为奇函数,根据解析式作出函 数在R上的图象如图: 由图可知x1+x2=-8,x5+x6=8,且-log2x3 =log2x4,即log2(x3x4)=0,所以是x3x4=1,因 为0<a<1,故0<-log2x3<1,即x3∈(12 ,1) 故x1+x2+x3+x4+x5+x6=x3+x4=x3+ 1 x3 ,根据对勾函数y=x+1x在 (0,1)上单调减, 在(1,+∞)上单调增,故而x1+x2+x3+x4+ x5+x6=x3+1x3 在x3∈(12 ,1)上单调减,则x1 +x2+x3+x4+x5+x6=x3+1x3∈ (2,52 ). 答案 (2,52 ) 9.解 (1)当a=1时,函数f(x)=-1+2 x 1+2x ,该函 数为奇函数. 证明如下: 依题意得函数f(x)的定义域为R, 又f(-x)=-1+2 -x 1+2-x = -2x+1 2x+1 =- -1+2x 1+2x =-f(x),所以函数f(x)为奇函数. (2)因为f(x)=a- 21+2x , 所以f(x)=0⇔a= 21+2x. 因为函数y=2x 在 R上单调递增且值域为 (0,+∞),所以y= 21+2x 在R上单调递减且 值域为(0,2),所以,当a≤0或a≥2时,函数 f(x)无零点;当0<a<2时,函数f(x)有唯一 零点. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·18· 假期作业 10.解 设对甲种商品投资x万元,则对乙种商品 投资(3-x)万元,总利润为y万元, 则Q1=15x ,Q2=35 3-x , 所以y=15x+ 3 5 3-x (0≤x≤3). 令t= 3-x(0≤t≤3),则x=3-t2, 所以y=15 (3-t2)+35t=- 1 5 (t-32 )2+2120. 当t=32时 ,ymax=2120=1.05 , 这时x=34=0.75 , 所以3-x=2.25. 由此可知,为获得最大利润,对甲、乙两种商品 的资金投入分别为0.75万元和2.25万元,总 共获得利润为1.05万元. 假期作业(十一) 任意角和角与 弧度制、三角函数的概念 学以致用 1.C 因为2019°=5×360°+219°,所以219°与 2019°终边相同. 2.A 设扇形的半径为Rcm,则弧长l=Rcm,又 因为扇形的面积为2cm2,所以12R 2=2,解得R =2cm,故扇形的周长为6cm.故选A. 3.D ∵A={α|α小于90°},B={α|α为第一象限 角},∴A∩B={小于90°且在第一象限的角}, 对于A:小于90°的角且在第一象限的角不一定 是0°~90°的角,不正确,例如-300°;对于B:小 于90°的角不一定是第一象限的,不正确,比如 -30°;对于C:第一象限的角不一定是小于90° 的角且在第一象限的角,不正确,例如380°. 4.B 设从动轮N 逆时针旋转θrad,由题意知主 动轮M 与从动轮N 转动的弧长相等,所以1502 ×π2= 300 2 ·θ.解得θ=π4 ,选B. 5.CD 在角α的终边在直线y=-2x上取一点 (a,-2a),a≠0. 则sinα= -2a a2+(-2a)2 = -2a 5·|a| , 当a>0时,sinα=-255 ; 当a<0时,sinα=255 ,故选CD. 6.BD 假设α、β为[0°,180°] 内的角,如图所示,因为α、β 的终边关于y 轴对称,所以 α+β=180°,所以B 满足条 件;结合终边相同的角的概 念,可得α+β=k·360°+ 180°=(2k+1)·180°(k∈Z), 所以D满足条件,AC都不满足条件.故选BD. 7.解析 已知θ的终边经过点(3a-9,a+2),且 sinθ>0,cosθ<0,则θ为第二象限角, 3a-9<0 a+2>0 所以解得-2<a<3. 答案 (-2,3) 8.解析 设圆半径为r,这段弧所对圆心角的弧度 数为θ,则圆外切正三角形的边长为23r, ∴|θ|=23rr =23 ;又圆内接正方形的边长为 2r,周长为42r,即圆弧长为42r, ∴|θ|=42rr =42. 答案 23 42 9.解 (1)所有与α终边相同的角可表示为{θ|θ= 2kπ+π3 ,k∈Z}. (2)由(1)令-4π<2kπ+π3<2π (k∈Z), 则有-2-16<k<1- 1 6. 又∵k∈Z,∴取k=-2,-1,0.故在(-4π,2π) 内与α终边相同的角是-11π3 、-5π3 、π 3. (3)由(1)有β=2kπ+ π 3 (k∈Z),则β2=kπ+ π 6 (k∈Z).∴β2是第一 、三象限的角. 10.解 (1)设弧长为l,弓形面积为S弓,则:α= 90°=π2 ,R=10,l=π2×10=5π (cm), S弓=S扇-SΔ=12×5π×10- 1 2×10 2 =25π-50(cm2). (2)扇形周长C=2R+l=2R+αR, ∴R= C2+α ,S扇=12α ·R2=12α (C 2+α )2 =C 2 2 · 1 4+α+4α ≤C 2 16. 当且仅当α2=4,即α=2时,扇形面积有最大 值C 2 16. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·28· 假期作业 6.(多选题)已知a,b均为正实数,若logab +logba=52 ,ab=ba,则ab= ( ) A.12 B. 2 2 C.2 D.2 二、填空题 7.函数f(x)=log2x2 的单调递增区间是 . 8.测量地震级别的里氏震级M 的计算公式 为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记 录的地震曲线的最大振幅,常数A0 是相 应的标准地震的振幅. 假设在一次地震中,测震仪记录的最 大振幅是1000,而此次地震的里氏震 级恰好为6级,那么里氏9级地震的最 大的振幅是里氏5级地震最大振幅的 倍. 三、解答题 9.求下列各式的值: (1)2log525+3log264; (2)lg(3+5+ 3-5); (3)(lg5)2+2lg2-(lg2)2. 10.已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1- x)(a>0且a≠1). (1)求f(x)的定义域; (2)判断函数f(x)的奇偶性并加以 证明. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(十) 函数的应用(二) 1.方程的根与函数的零点 (1)函数零点:对于函数y=f(x)(x∈D), 把使f(x)=0成立的实数x叫做函数 y=f(x)(x∈D)的零点. (2)函数y=f(x)的零点⇔方程f(x)=0 实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴交 点的横坐标. (3)方程f(x)=0有实数根⇔函数y= f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y= f(x)有零点. 2.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在 区间[a,b]上的图象是连续不断的一条 曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在 c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是函 数f(x)的零点. 3.二分法及步骤: 对于在区间[a,b]上连续不断,且满足 f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不 断地把函数f(x)的零点所在的区间一分 为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进 而得到零点近似值的方法叫做二分法. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·81· 高一数学 一、选择题 1.函数f(x)=(12 )x+x-2的零点一定位 于下列哪个区间 ( ) A.(12 ,1) B.(1,32 ) C.(32 ,2) D.(2,52 ) 2.专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研 究发现,从确诊第一名患者开始累计时 间t(单位:天)与病情爆发系数f(t)之 间,满足函数模型:f(t)= 11+e-0.22(t-50) , 当f(t)=0.1时,标志着疫情将要大面积 爆发,则此时t约为(参考数据:e1.1≈3) ( ) A.38 B.40 C.45 D.47 3.已知m>0,函数f(x)=x2+x-m,实数 x1,x2满足x1>0,x2>0,若f(x1)=0, f(x2)=0,则 ( ) A.x1+x2<m B.x1+x2=m C.x1+x2>m D.x1+x2与m的大小关系不能确定 4.定义在R上的偶函数满足f(x)=f(x+2), 且当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,函数 g(x)是定义在 R上的奇函数,当x>0 时,g(x)=lgx,则函数h(x)=f(x)- g(x)的零点的个数是 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 5.(多选题)若函数f(x)的图象在R上连 续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2) >0,则下列说法错误的是 ( ) A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在 区间(1,2)上一定没有零点 B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在 区间(1,2)上一定有零点 C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区 间(1,2)上可能有零点 D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区 间(1,2)上一定有零点 6.(多选题)已知f(x)是定义域为R的奇 函数,x>0时,f(x)=x(1-x),若关于 x的方程f[f(x)]=a有5个不相等的 实数根,则实数a的可能取值是 ( ) A.132 B. 1 16 C.18 D. 1 4 二、填空题 7.已知x1,x2是函数f(x)=x2-(2k+1)x +k2的两个零点且一个大于1,一个小 于1,则实数k的取值范围是 . 8.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且 当x>0时,f(x)= |log2x|,0<x≤2 1 2x 2-4x+7,x>2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,若 函数y=f(x)-a(0<a<1)有六个零 点,分别记为x1,x2,x3,x4,x5,x6,则x1 +x2+x3+x4+x5+x6 的取值范围是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·91· 假期作业 三、解答题 9.已知函数f(x)=a-2+a ·2x 1+2x . (1)当a=1时,判断函数f(x)的奇偶性 并证明; (2)讨论f(x)的零点个数. 10.有甲、乙两种商品,经营销售这两种商 品所能获得的利润依次为Q1万元和Q2 万元,它们与投入的资金x万元的关系 是Q1=15x ,Q2=35x.今年有3万元资 金投入使用,则对甲、乙两种商品如何 投资才能获得最大利润? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(十一) 任意角和角与弧度制、三角函数的概念 1.任意角的概念:一条射线绕其端点按逆 时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺 时针方向旋转所形成的角叫负角.如果 一条射线没有做任何旋转,我们称它形 成了一个零角. 2.终边相同的角 所有与角α具有同终边的所有角,连同角 α在内,可以构成一个集合{β|β=2kπ+ α,k∈Z},即任一与角α终边相同的角, 都可以表示成角α与正数个周角的和. 3.弧度制 (1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心 角叫做1弧度角;一般地,正角的弧度数 是一个正数,负角的弧度数是一个负数, 零角的弧度数是0,角的正负主要由角的 旋转方向来决定. (2)角的弧度数的绝对值是:|α|=lr ,其 中,l是圆心角所对的弧长,r是半径. (3)弧度与角度互换公式:1rad=180°π ≈ 57.30°=57°18';1°=π180≈0.01745 (rad). 弧长公式:l=|α|r(α是圆心角的弧度 数),扇形面积公式:S=12lr= 1 2|α|r 2. 4.三角函数定义 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交 于点P(x,y),那么: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·02·