假期作业(八) 指数与指数函数-【成功方案】2025年大暑假小一轮高一全一册数学暑假作业

假期作业 2.A 由幂函数f(x)=xa 的图象过点(3,13 ),得 3a=13 ,解得a=-1,所以f(x)=x-1=1x ;所 以函数g(x)=(2x-1)f(x)=2x-1x =2- 1 x , 且在区间[1 3 ,2]上是单调增函数,最小值是 g(13 )=2-3=-1.故选A. 3.C 由题意知,“生活费收入指数”减去“生活价 格指数”的差是逐年增大的,故①正确;“生活费 收入指数”在2014~2015年最陡,故②正确; “生活价格指数”在2015~2016年最平缓,故 ③不正确;“生活价格指数”略呈下降,而“生活 费收入指数”呈上升趋势,故④正确. 4.B ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴3m-5<0 (m∈N),则m=0或m=1,当m=0时,f(x)= x-5是奇函数,不合题意.当m=1时,f(x)= x-2是偶函数,因此m=1,故选B. 5.AD 幂函数的图象经过点(18 ,2),则函数的解 析式为2=(18 )α,解得α=-13 ,整理得y= x- 1 3,故A正确;比如y=1x ,图象不过点(0,0), 故B错误;对于y= x,无奇偶性,故C错误;任 何幂函数的图象都不经过第四象限,故D正确. 6.BC 在函数g(x)=ax-2-12中 ,令x-2=0,解 得x=2,所以g(2)=1-12= 1 2 ,所以函数g(x) 的图象过定点P(2,12 );把点P 的坐标代入幂 函数f(x)的解析式中,得2a=12 ,解得a=-1; 所以f(x)=x-1;所以f(x)在定义域内的每个 区间上是单调减函数,所以选项A错误;函数 f(x)的图象经过定点(1,1),且为奇函数,所以 选项B、C正确;函数的定义域是{x|x≠0},所 以选项D错误. 7.解析 设彩电的原价为a元, ∴a(1+0.4)·80%-a=270, ∴0.12a=270,解得a=2250. ∴每台彩电的原价为2250元. 答案 2250 8.解析 (a+1)- 1 2<(3-2a)- 1 2⇔(1a+1 )12< ( 1 3-2a )12,函数y=x 1 2在[0,+∞)上是增函数, 所以 a+1>0, 3-2a>0, a+1>3-2a, 解得23<a<32. 答案 (23 ,3 2 ) 9.解 (1)由题意得:m2-m-1=1,解得:m=2 或m=-1,m=2时,f(x)=x2,在(0,+∞)上 单调递增,符合题意,m=-1时,f(x)=x-4,在 (0,+∞)上单调递减,不符合题意,故m=2. (2)若f(3-2t+1)>f(2t),由(1)得:|3-2t+1| >2t,解得:t<0或t>log23,故t的取值范围是 (-∞,0)∪(log23,+∞). 10.解 (1)设每月产量为x台,则总成本为t= 10000+100x.又f(x)=H(x)-t, ∴f(x)= -x2+300x-10000,0≤x≤200,x∈N 30000-100x,x>200,x∈N . (2)当0≤x≤200时,f(x)=-(x-150)2+12500, 所以当x=150时,有最大值12500; 当x>200时,f(x)=30000-100x 是减函 数,f(x)<30000-100×200<12500. 所以当x=150时,f(x)取最大值,最大值为 12500. 所以每月生产150台仪器时,利润最大,最大 利润为12500元. 假期作业(八) 指数与指数函数 学以致用 1.A ∵m 1 2+m- 1 2=4,∴m+m-1=(m 1 2+m- 1 2)2-2 =14,∴m 3 2-m- 3 2 m 1 2-m- 1 2 =m+m-1+1=15.故选A. 2.A 原式=a 3 2b·a 1 6b 1 3 ab2·a- 1 3b 1 3 =a 3 2+ 1 6-1+ 1 3b1+ 1 3-2- 1 3= ab-1.故选A. 3.A 由于函数y=2|x|-x2(x∈R)是偶函数,图 象关于y轴对称,故排除B、D.再由x=0时,函 数值y=1,可得图象过点(0,1),故排除C,从而 得到应选A 4.C 由题意:θ=15+(62-15)e-0.2t=15+ 47e-0.2t,令15+47e-0.2t1=45,可得e-0.2t1=3047 , 令15+47e-0.2t2=30,可得e-0.2t2=1547.两式作 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·87· 高一数学 比可得:e0.2(t2-t1)=2,即0.2(t2-t1)=ln2= 0.7,则t2-t1=0.70.2= 7 2. 故选C. 5.BC 由指数幂的运算性质知:aman=am+n,故 A错误;(am)n=amn,故B正确;(ab)n=anbn,故 C正确;(ab )m=amb-m,故D错误. 6.ABD 由2a+3a=3b+2b,设f(x)=2x+3x, g(x)=3x+2x,易知f(x),g(x)是递增函数,画 出f(x),g(x)的图象如下: 根据图象可知:当x=0,1时,f(x)=g(x),0< a<b<1,f(a)=g(b)可能成立,故A正确;当 b<a<0时,因为f(x)≤g(x),所以f(a)= g(b)可能成立,B正确;当a=b时,显然成立,当 1<a<b时,因为f(a)<g(b),所以不可能 成立. 7.解析 原式=[(x 1 2+1)2-(x 1 4)2](x-x 1 2+1) =(x+1+x 1 2)(x-x 1 2+1) =(x+1)2-(x 1 2)2=x2+x+1. 答案 x2+x+1 8.解析 对于函数y=ax+1+1(a>0且a≠1),令 x+1=0,求得x=-1,y=2, 可得它的图象经过定点(-1,2).∵函数的图象 恒过点P(m,n),则m=-1,n=2. 令(1 2 )x=t,则当x∈[-1,2]时,t∈[14 ,2], 故函数f(x)=(14 )x-(12 )x+1在[m,n]上,即 在区间[-1,2]上的最小值,即g(t)=t2-t+1 在[1 4 ,2]上的最小值,故当t=12时 ,函数g(t) 取得最小值为3 4. 答案 34 9.解 ∵a>0,b>0, ∴(a4b-4) 1 4×a0-(a 1 3b 1 2)6÷(ab4)+ (-a)2 =ab-1-(a2b3)÷(ab4)+|-a| =ab-1-ab-1+a=a. 10.解 (1)∵t=3x 在[-1,2]是单调增函数, ∴tmax=32=9,tmin=3-1=13. (2)令t=3x, ∵x∈[-1,2], ∴t∈[13 ,9], 原方程变为:f(t)=t2-2t+4, ∴f(t)=(t-1)2+3,t∈[13 ,9], ∴当t=1时,此时x=0,f(x)min=3, 当t=9时,此时x=2,f(x)max=67. 假期作业(九) 对数与对数函数 学以致用 1.C log512=lg12lg5= lg3+2lg2 1-lg2 = 2a+b 1-a.故 选C. 2.C 由底数大于1可排除A、B,y=lg(x+1)可 看作是y=lgx 的图象向左平移1个单位. (或令x=0得y=0,而且函数为增函数) 3.A 因为函数y=log0.3x是(0,+∞)上的减函数, 所以原不等式等价于 3x>0, x+1>0, 3x>x+1, 解得x>12. 4.A 由题意可知f(x)在(-∞,0]上是增函数, 在(0,+∞)上是减函数.因为-2=log0.31009 < log0.34<log0.3103=-1 ,-1=log80.125< log80.2<log81=0,21.1>2,所以|log80.2|< |log0.34|<|21.1|,故c<b<a,故选A. 5.ABD ∵2a=3,∴a=log23,∵b=log32, ∴ab=log23·log32=1,故B正确; ∴a+b>2 ab=2,故A正确; ∴3b+3-b=2+12= 5 2 ,故C错误; a(b+1)+1 2a = ab+a+1 2a = a+2 2a = 1 a+ 1 2 =log32+log3 3=log323= log9 12 log93 =2log9 12=log912,故D正确.故选ABD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·97· 高一数学 10.某车间生产一种仪器的固定成本为 10000元,每生产一台该仪器需要增加 投入100元,已知总收入满足函数: H(x)= 400x-x2,0≤x≤200,x∈N, 40000,x>200,x∈N, 其中x是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数(用 f(x)表示); (2)当月产量为何值时,车间所获利润 最大? 最大利润为多少元? (总收入=总成本+利润) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(八) 指数与指数函数 1.指数与指数运算 (1)(na)n=a; (2) n an=|a|= a,a≥0 -a,a<0 (3)正分数指数幂:规定a m n = n am(a>0, m,n∈N*,且n>1). (4)负分数指数幂:规定:a- m n =1 a m n = 1n am (a>0,m,n∈N*,且n>1). (5)幂的运算性质 ①aras=ar+s(a>0,r,s∈R). ②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R). ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R). 2.指数函数及其性质 (1)概念:函数y=ax(a>0且a≠1)叫做 指数函数,其中指数x是自变量,函数的 定义域是R,a是底数. (2)指数函数的图象与性质 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0,+∞) 性质 过定点(0,1),即x=0时,y=1 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 当x<0时,y>1; 当x>0时,0<y<1 在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数 ·51· 假期作业 一、选择题 1.已知m 1 2+m- 1 2=4,则m 3 2-m- 3 2 m 1 2-m- 1 2 的值是 ( ) A.15 B.12 C.16 D.25 2.化简 a 3b2· 3 ab2 (a 1 4b 1 2)4· 3b a (a>0,b>0)的结果为 ( ) A.ab B.ab C.ba D. a b2 3.函数y=2|x|-x2(x∈R)的图象为 ( ) 4.某种物体放在空气中冷却,如果原来的 温度是θ1℃,空气的温度是θ0℃,那么 tmin后物体的温度θ(单位:℃)满足: θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.2t.若将物体放在 15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃ 和30℃所用时间为t1,t2,则t2-t1的值 为(取ln2=0.7,e=2.718…) ( ) A.-72 B.- 2 7 C.72 D. 2 7 5.(多选题)设m,n∈R,a,b>0,则下列各 式中正确的个数有 ( ) A.am·an=amn B.(am)n=amn C.(ab)n=anbn D.(ab )m=am-bm 6.(多选题)若实数a,b满足2a+3a=3b+ 2b,则下列关系式中可能成立的是 ( ) A.0<a<b<1 B.b<a<0 C.1<a<b D.a=b 二、填空题 7.化简(x 1 2-x 1 4+1)(x 1 2+x 1 4+1)(x-x 1 2 +1)= . 8.若函数y=ax+1+1(a>0且a≠1)恒过 点P(m,n),则函数f(x)=(14 )x-(12 )x +1在[m,n]上的最小值是 . 三、解答题 9.化简:(a4b-4) 1 4×a0-(a 1 3b 1 2)6÷(ab4)+ (-a)2(a>0,b>0). 10.已知f(x)=9x-2·3x+4,x∈[-1,2]. (1)设t=3x,x∈[-1,2],求t的最大值 与最小值; (2)求f(x)的最大值与最小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·61·