假期作业(六) 函数的基本性质-【成功方案】2025年大暑假小一轮高一全一册数学暑假作业

高一数学 假期作业(六) 函数的基本性质 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如 果对于定义域I内某个区间D 上的任 意两个自变量的值x1,x2 当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那 么就说函数f(x) 在区间 D 上是增 函数 当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那 么就说函数f(x) 在区间 D 上是减 函数 图 象 描 述 自左向右看图象是 上升的 自左向右看图象是 下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数 或减函数,那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫 做y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果 存在实数M 满足 条件 (1)对于任意的x ∈I,都 有 f(x) ≤M; (2)存在x0∈I,使 得f(x0)=M (3)对于任意的 x∈I,都有f(x) ≥M; (4)存在x0∈I, 使得f(x0)=M 结论 M 为最大值 M 为最小值 3.函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x) 的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)= f(x),那么函数f(x) 是偶函数 图象关于y 轴对称 奇函数 如果对于函数f(x) 的定义域内任意一个 x,都 有 f (x)= -f(x),那 么 函 数 f(x)是奇函数 图象关于原 点对称 判断f(-x)与f(x)的关系时,也可以使 用如下结论:如果f(-x)-f(x)=0或 f(-x) f(x)=1 (f(x)≠0),则函数f(x)为偶 函数;如果f(-x)+f(x)=0或f (-x) f(x) =-1(f(x)≠0),则函数f(x)为奇 函数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·11· 假期作业 一、选择题 1.下列函数在(0,+∞)上为增函数的是 ( ) A.f(x)=x2 B.f(x)=2x C.f(x)=lg(x-2) D.f(x)=-2x+4 2.下列判断正确的为 ( ) A.函数f(x)=x 2-2x x-2是奇函数 B.函数f(x)=(1-x)1+x1-x是偶函数 C.函数f(x)=1是既是奇函数又是偶 函数 D.函数f(x)= 1-x 2 |x+3|-3是奇函数 3.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)是偶 函数,f(4)=2,f(x)在(-∞,0)上是增 函数,则不等式f(4x-1)>2的解集为 ( ) A.(-34 ,5 4 ) B.(-∞,-34 )∪(54 ,+∞) C.(-∞,54 ) D.(-34 ,+∞) 4.已知函数f(x)=-x+log3(9x+1),则 使得f(x2-x+1)+1<log310成立的x 的取值范围是 ( ) A.(0,22 ) B.(-∞,0)∪(1,+∞) C.(0,1) D.(-∞,1) 5.(多选题)函数f(x)的定义域为 R,且 f(x-1)与f(x-2)都为偶函数,则 ( ) A.f(x)为偶函数 B.f(x+1)为偶函数 C.f(x+2)为奇函数 D.f(x)为周期函数 6.(多选题)已知f(x)是定义在R上的奇 函数,且满足f(4-x)=f(x),则下列说 法正确的是 ( ) A.f(x+8)=f(x) B.f(x)在区间(-2,2)上单调递增 C.f(2019)+f(2020)+f(2021)=0 D.f(x)=cos(π4x+ π 2 )是满足条件的一 个函数 二、填空题 7.设定义在[-2,2]上的偶函数,f(x)在区 间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m) 则实数m的取值范围是 . 8.已知函数f(x)= x+1,-1<x<0, 2x,x≥0 若 实数a满足f(a)=f(a-1),则f(1a ) . 三、解答题 9.已知函数f(x)=ax+bx2+1 是定义在(-1,1) 上的奇函数,且f(12 )=25. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·21· 高一数学 (1)求f(x)的解析式; (2)用定义证明:f(x)在区间(-1,1)上 是增函数; (3)解关于t的不等式f(t-1)+f(t) >0. 10.函数f(x)是定义在R上的奇函数,当 x>0时,f(x)=x2-4x. (1)设g(x)=f(x),x∈[-4,4],求函 数g(x)的值域; (2)当m>0时,若|f(m)|=3,求实数 m的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(七) 幂函数及函数的应用(一) 1.幂函数:一般地,y=xα 叫做幂函数,其中 x是自变量,α是常数. 2.几个幂函数的性质: y=x y=x2 y=x3 y=x 1 2 y=x-1 定义域 R R R [0,+∞) {x|x≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 增函数 先减再增 增函数 增函数 原点左 右都为减 公共点 (1,1) 图象 都不过第4象限 3.解决函数应用问题的步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题 时,一般按以下几个步骤进行: (1)审题;(2)建模;(3)求模;(4)还原. 实际问题 分析、联想 抽象、转化 →建立函数模型 数 学 解 答 ↓ 数学问题结论 转译 ←实际问题结论 问 题 解 决 ↑ 一、选择题 1.某公司市场营销人员的个人月收入与其 每月的销售量成一次函数关系,如图所 示,由图中给出的信息可知,营销人员没 有销售量时的收入是 ( ) A.310元 B.300元 C.390元 D.280元 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·31· 假期作业 9.解 (1)令x+1=t,则x=t-1, ∴f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3, ∴f(x)=x2-4x+3. (2)∵f(x)是奇函数 ∴f(-x)=-f(x)对任意的x都成立, f(0)=0, 当x<0时,f(x)=-x2+2x-2, ∴设x>0,则-x<0,f(-x)=-(-x)2+ 2(-x)-2=-x2-2x-2=-f(x), ∴x>0时,f(x)=x2+2x+2, ∴f(x)= x2+2x+2,x>0 0,x=0 -x2+2x-2,x<0 . 10.解 (1)当x∈(0,16]时,设f(x)=b(x-12)2 +84(b<0), ∵f(16)=b(16-12)2+84=80,b=-14 , ∴f(x)=-14 (x-12)2+84. 当x∈(16,40]时,f(x)=log0.8(x+a)+80, 由f(16)=log0.8(16+a)+80=80, 解得a=-15,∴f(x)=log0.8(x-15)+80. 综上,f(x)= -14 (x-12)2+84,x∈(0,16] log0.8(x-15)+80,x∈(16,40] . (2)当x∈(0,16]时,令f(x) =-14 (x-12)2+84<68,得 x∈[0,4], 当x∈(16,40]时,令f(x)= log0.8(x-15)+80<68, 得x≥15+0.8-12≈29.6, ∴x∈[30,40], 故学生处于“欠佳听课状态”的时间长为4-0 +40-30=14分钟. 假期作业(六) 函数的基本性质 学以致用 1.A f(x)=x2 在(0,+∞)上为增函数,A正确; f(x)=2x在 (0,+∞)上为减函数,B错误;f(x) =lg(x-2)在(2,+∞)上为增函数,C错误; f(x)=-2x+4在(0,+∞)上 为 减 函 数, D错误. 2.D 由x-2≠0得x≠2,即函数的定义域关于 原点不对称,则函数为非奇非偶函数,故A错 误;由1+x 1-x≥0得-1≤x<1 ,函数的定义域关 于原点不对称,则函数为非奇非偶函数,故B错 误;函数f(x)=1定义域为R,f(-x)=1,则 f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函数,不是奇 函数,故C错误;由 |x+3|-3≠0 1-x2≥0 得-1≤x ≤1且x≠0,所以函数f(x)= 1-x 2 |x+3|-3= 1-x2 x ,f(-x)= 1-x 2 -x =-f (x),则函数为 奇函数,故D正确. 3.A 因为f(x)是偶函数,在(-∞,0)上是增函 数,所以f(x)在(0,+∞)上是减函数,又f(4) =2,所以不等式f(4x-1)>2⇔f(4x-1)> f(4)⇔f(|4x-1|)>f(4)⇔|4x-1|<4,解得 -34<x< 5 4. 故选A. 4.C f(x)=-x+log3(9x+1)=log3(9x+1)- log3 x=log3(9 x+1 3x )=log3(3x+13x ), ∵f(-x)=log3(3-x+3x)=f(x), ∴f(x)是偶函数,令3x=t(t>0), ∴g(t)=log3(t+1t ), 当0<t<1时,g(t)为减函数; 当t≥1时,g(t)为增函数, 则当x<0时,f(x)为减函数; 当x≥0时,f(x)为增函数, ∵f(x2-x+1)+1<log310, ∴f(x2-x+1)<log310-1, ∴f(x2-x+1)<f(1),∴|x2-x+1|<1, ∴-1<x2-x+1<1,解得0<x<1.故选C. 5.ABD 根据题意,若f(x-1)为偶函数,即函数 f(x)的图象关于直线x=-1对称,则有f(x) =f(-2-x),若f(x-2)为偶函数,即函数 f(x)的图象关于直线x=-2对称,则有f(x)= f(-4-x),则有f(-2-x)=f(-4-x),变形 可得f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为2 的周期函数,则D正确;又由函数f(x)的图象 关于直线x=-2对称且f(x)的周期为2,则 f(x)的图象也关于y 轴对称,即f(x)为偶函 数,A正确;又由函数f(x)的图象关于直线x= -1对称且f(x)的周期为2,则f(x)的图象也关 于直线x=1对称,即f(x+1)为偶函数,B正确; 同理:f(x+2)为偶函数,C错误;故选ABD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·67· 高一数学 6.ACD 因为f(x)是定义在R上的奇函数,且满 足f(4-x)=f(x),所以f(-x)=-f(x), f(4+x)=f(-x),所以f(4+x)=-f(x),所 以f(x+8)=f(x),A正确;由已知无法判断函 数f(x)在区间(-2,2)上单调性,B错误; f(2019)+f(2020)+f(2021)=f(3)+f(4) +f(5)=f(1)+f(0)+f(-1)=0,C正确; f(x)=cos(π4x+ π 2 )=-sin(π4x )为奇函数, 周期T=2ππ 4 =8,D正确. 7.解析 ∵函数是偶函数,∴f(1-m)=f(|1-m|), f(m)=f(|m|),∵定义在[-2,2]上的偶函数, f(x)在区间[0,2]上单调递减,f(1-m)< f(m),∴0≤|m|<|1-m|≤2,得-1≤m<12. 答案 -1≤m<12 8.解析 根据题意,f(x)= x+1 ,-1<x<0, 2x,x≥0 其定义域为(-1,+∞),则函数f(x)在(-1,0)和 [0,+∞)上都是增函数, 当a≥1时,有2a=2(a-1),无解; 当-1<a<0时,无解; 若实数a满足f(a)=f(a-1),必有-1<a-1 <0且1>a>0,且有2a= a,解可得a=14 ,则 f(1a )=f(4)=8,故f(1a )=8. 答案 8 9.解 (1)函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇 函数. 所以:f(0)=0,得到:b=0, 由于f(12 )=25 所以: 1 2a 1+14 =25 , 解得:a=1,经检验,a=1,b=0符合题意,所以: f(x)= xx2+1. (2)证明:设任取x1,x2 满足-1<x1<x2<1, 则:f(x2)-f(x1)= x2 x22+1 - x1x21+1 = (x2-x1)(1-x1x2) (1+x21)(1+x22) , 由于:-1<x1<x2<1, 所以:-1<x1x2<1, 即:1-x1x2>0,所以 (x2-x1)(1-x1x2) (1+x21)(1+x22) >0, 则:f(x2)-f(x1)>0, f(x)在(-1,1)上的增函数. (3)由于函数是奇函数,所以:f(-x)=-f(x),所 以f(t-1)+f(t)>0,转化成f(t-1)>-f(t) =f(-t). 则:-1<t-1<1且-1<t<1且t-1>-t,解 得:1 2<t<1 ,所以不等式的解集为:{t|12<t<1 }. 10.解 (1)设x<0时,则-x>0,∵f(x)为奇函 数,且x>0时,f(x)=x2-4x, ∴f(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x=-f(x), 即f(x)=-x2-4x. ∵f(0)=0, ∴g(x)=f(x)= -x2-4x,-4≤x<0 0,x=0 x2-4x,0<x≤4 , ∴当-4≤x≤0时,得g(x)=-x2-4x= -(x+2)2+4关于x=-2对称,在[-4,-2] 上递增,在[-2,0)递减, ∴g(-2)=4,g(-4)=0,得0≤g(x)≤4; 当0<x≤4时,由奇函数关于原点对称,得-4 ≤g(x)≤0.g(x)的值域为[-4,4]. (2)由(1)知,f(x)= -x2-4x,x<0 0,x=0 x2-4x,x>0 , ∴m>0时,|f(m)|= -m2+4m,0<m≤4 m2-4m,m>4 , i)当0<m≤4时,令-m2+4m=3,解得m=1 或m=3; i)当m>4时,令m2-4m=3,解得m=2+ 7 或m=2-7(舍去) 综上:m=1或m=3或m=2+7. 假期作业(七) 幂函数及 函数的应用(一) 学以致用 1.B 由图象知,该一次函数过(1,800),(2,1300), 可求得解析式y=500x+300(x≥0),当x=0 时,y=300. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·77·