假期作业(五) 函数的概念及其表示-【成功方案】2025年大暑假小一轮高一全一册数学暑假作业

高一数学 假期作业(五) 函数的概念及其表示 1.函数与映射的概念 函数 两个集 合A、B 设A、B是两个非空数集 对应关系 按照某种确定的对应关系f,使 对于集合A 中的任意一个数x, 在集合B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应 名称 称f:A→B 为从集合A 到集合 B 的一个函数 记法 y=f(x),x∈A 注意:判断一个对应关系是否是函数关 系,就看这个对应关系是否满足函数定 义中“定义域内的任意一个自变量的值 都有唯一确定的函数值”这个核心点. 2.函数的定义域、值域 在函数y=f(x),x∈A 中,x叫做自变 量,x的取值范围A 叫做函数的定义域, 与x的值相对应的y 值叫做函数值,函 数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域. 3.构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. 4.函数的表示方法 函数的表示方法有三种:解析法、列表 法、图象法. 解析法:一般情况下,必须注明函数的定 义域; 列表法:选取的自变量要有代表性,应能 反映定义域的特征; 图象法:注意定义域对图象的影响. 一、选择题 1.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y ≤2},那么下面的4个图形中,能表示集 合M 到集合N 的函数关系的有 ( ) A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.② 2.函数y= 2 1- 1-x 的定义域为 ( ) A.(-∞,1) B.(-∞,0)∪(0,1] C.(-∞,0)∪(0,1) D.[1,+∞) 3.下列四组函数中,表示同一函数的是 ( ) A.y= x2,v=(t)2 B.y=x 2-1 x-1 ,y=x+1 C.y=|x|,y= t2 D.y=x,y=x 2 x 4.己知f(x)是一次函数,且f(f(x))=4x -1,则f(x)的解析式为 ( ) A.f(x)=2x-13或f (x)=-2x+1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·9· 假期作业 B.f(x)=2x+1或f(x)=-2x-1 C.f(x)=2x-1或f(x)=-2x+13 D.f(x)=2x+1或f(x)=2x-1 5.(多选题)已知函数f(x)=22x-2x+1+2, 定义域为M,值域为[1,2],则下列说法 中一定正确的是 ( ) A.M=[0,2] B.M⊆(-∞,1] C.0∈M D.1∈M 6.(多选题)已知函数f(x)满足f(1x )= 2x+1 x+1 ,则关于函数f(x)正确的说法是 ( ) A.f(x)的定义域为{x|x≠-1} B.f(x)的值域为{y|y≠1且y≠2} C.f(x)在(0,+∞)单调递减 D.不等式f(x)>2的解集为(-1,0) 二、填空题 7.设函数f(x)对x≠0的一切实数都有 f(x)+2f(2020x )=3x,则f(x) . 8.高斯,德国著名数学家、物理学家、天文 学家,是近代数学奠基者之一,享有“数 学王子”之称.函数y=[x]称为高斯函 数,其中[x]表示不超过实数x的最大整 数,当x∈(-2.5,4]时,函数y=[x-12 ] 的值域为 . 三、解答题 9.根据所给条件,分别求下列函数的解 析式: (1)已知函数f(x+1)=x2-2x,求f(x) 的解析式; (2)若f(x)是定义在R上的奇函数,当 x<0时,f(x)=-x2+2x-2,求函数 f(x)的解析式. 10.研究表明:在一节40分 钟的网课中,学生的注意 力指数y与听课时间x (单位:分钟)之间的变化 曲线如图所示,当x∈ [0,16]时,曲线是二次函 数图象的一部分;当x∈[16,40]时,曲 线是函数y=80+log0.8(x+a)图象的 一部分,当学生的注意力指数不高于68 时,称学生处于“欠佳听课状态”. (1)求函数y=f(x)的解析式; (2)在一节40分钟的网课中,学生处于 “欠佳听课状态”的时间有多长? (精确 到1分钟) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·01· 高一数学 <1+ 1-1a },综上:当a=1时,不等式的解集 是{x|x≠1},当0<a<1时,不等式的解集是 R,当a=0时,不等式的解集是R,当a<0时,不 等式的解集是{x|1- 1-1a<x<1+ 1- 1 a }. 10.解 (1)设下调后的电价为x元/kW·h,依题 意知,用电量增至 kx-0.4+a , 电力部门的收益为y=( kx-0.4+a )(x-0.3) (0.55≤x≤0.75). (2)依题意,有 (0.2a x-0.4+a )(x-0.3)≥ [a×(0.8-0.3)](1+20%), 0.55≤x≤0.75. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 整理,得 x 2-1.1x+0.3≥0, 0.55≤x≤0.75. 解此不等式,得 0.60≤x≤0.75. ∴当电价最低定为0.60元/kW·h时,仍可保 证电力部门的收益比上年度至少增长20%. 假期作业(五) 函数的概念及其表示 学以致用 1.C ①图象不满足函数的定义域,不正确;②③满 足函数的定义域以及函数的值域,正确;④不满 足函数的定义,故选C. 2.B 要使函数有意义,需 1-x≥0, 1- 1-x≠0, 解得 x≤1且x≠0.∴定义域为(-∞,0)∪(0,1]. 3.C 对于A,y= x2=|x|(x∈R),与v=(t)2 =t(t>0)的定义域不同,不是同一函数;对于B, y=x 2-1 x-1=x+1 (x≠1),与y=x+1(x∈R)的 定义域不同,不是同一函数;对于C,y=|x|(x ∈R),与y= t2=|t|(t∈R)的定义域相同,对应 关系也相同,是同一函数;对于D,y=x(x∈R),与 y=x 2 x=x (x≠0)的定义域不同,不是同一函数. 4.A 设f(x)=ax+b,a≠0 因为f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b =a2x+ab+b 又f[f(x)]=4x-1,所以a2x+ab+b=4x-1 比较系数得 a2=4 ab+b=-1 , 解得 a=2 b=-13 或 a=-2b=1 . 故f(x)=2x-13或f (x)=-2x+1,故选A. 5.BCD 令t=2x>0,则y=t2-2t+2=(t-1)2 +1,∵函数f(x)的值域为[1,2],即y∈[1,2], ∴t∈(0,2],即2x∈(0,2],解得x∈(-∞,1], ∴M=(-∞,1],即选项A错误,选项C和D均 正确;由于任何集合都是自身的子集,∴M⊆ (-∞,1],即B选项正确. 6.BCD 令t=1x ,则 x=1t ,所 以 f(t)= 2×1t+1 1 t+1 =2+t1+t ,所以f(x)的解析式为f(x) =2+x1+x=1+ 1 1+x. 定义域为{x|x≠0且x≠-1},即A错误;当 x≠0时,y≠2,当x≠-1时,y≠1,所以值域为 {y|y≠1且y≠2},即B正确;f(x)=1+ 11+x 在(0,+∞)上单调递减,即C正确;f(x)= 2+x 1+x>2 ,即2+x-2(1+x) 1+x >0 ,等价于x(x+1) <0,解得-1<x<0,即D正确. 7.解析 函数f(x)对x≠0的一切实数都有 f(x)+2f(2020x )=3x, ∴ f(x)+2f(2020x )=3x, f(2020x )+2f(x)=3·2020x , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 消去f(2020x ),可得f(x)=4040x -x. 答案 4040x -x 8.解析 ∵[x]表示不超过实数x的最大整数, ∴x∈(-2.5,-1)时,x-12 ∈ (-1.75,-1), [x-1 2 ]=-2; x∈[-1,1)时,x-12 ∈ [-1,0),[x-12 ]=-1; x∈[1,3)时,x-12 ∈ [0,1),[x-12 ]=0; x∈[3,4]时,x-12 ∈ [1,1.5],[x-12 ]=1; ∴原函数的值域为:{-2,-1,0,1}. 答案 {-2,-1,0,1} 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·57· 假期作业 9.解 (1)令x+1=t,则x=t-1, ∴f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3, ∴f(x)=x2-4x+3. (2)∵f(x)是奇函数 ∴f(-x)=-f(x)对任意的x都成立, f(0)=0, 当x<0时,f(x)=-x2+2x-2, ∴设x>0,则-x<0,f(-x)=-(-x)2+ 2(-x)-2=-x2-2x-2=-f(x), ∴x>0时,f(x)=x2+2x+2, ∴f(x)= x2+2x+2,x>0 0,x=0 -x2+2x-2,x<0 . 10.解 (1)当x∈(0,16]时,设f(x)=b(x-12)2 +84(b<0), ∵f(16)=b(16-12)2+84=80,b=-14 , ∴f(x)=-14 (x-12)2+84. 当x∈(16,40]时,f(x)=log0.8(x+a)+80, 由f(16)=log0.8(16+a)+80=80, 解得a=-15,∴f(x)=log0.8(x-15)+80. 综上,f(x)= -14 (x-12)2+84,x∈(0,16] log0.8(x-15)+80,x∈(16,40] . (2)当x∈(0,16]时,令f(x) =-14 (x-12)2+84<68,得 x∈[0,4], 当x∈(16,40]时,令f(x)= log0.8(x-15)+80<68, 得x≥15+0.8-12≈29.6, ∴x∈[30,40], 故学生处于“欠佳听课状态”的时间长为4-0 +40-30=14分钟. 假期作业(六) 函数的基本性质 学以致用 1.A f(x)=x2 在(0,+∞)上为增函数,A正确; f(x)=2x在 (0,+∞)上为减函数,B错误;f(x) =lg(x-2)在(2,+∞)上为增函数,C错误; f(x)=-2x+4在(0,+∞)上 为 减 函 数, D错误. 2.D 由x-2≠0得x≠2,即函数的定义域关于 原点不对称,则函数为非奇非偶函数,故A错 误;由1+x 1-x≥0得-1≤x<1 ,函数的定义域关 于原点不对称,则函数为非奇非偶函数,故B错 误;函数f(x)=1定义域为R,f(-x)=1,则 f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函数,不是奇 函数,故C错误;由 |x+3|-3≠0 1-x2≥0 得-1≤x ≤1且x≠0,所以函数f(x)= 1-x 2 |x+3|-3= 1-x2 x ,f(-x)= 1-x 2 -x =-f (x),则函数为 奇函数,故D正确. 3.A 因为f(x)是偶函数,在(-∞,0)上是增函 数,所以f(x)在(0,+∞)上是减函数,又f(4) =2,所以不等式f(4x-1)>2⇔f(4x-1)> f(4)⇔f(|4x-1|)>f(4)⇔|4x-1|<4,解得 -34<x< 5 4. 故选A. 4.C f(x)=-x+log3(9x+1)=log3(9x+1)- log3 x=log3(9 x+1 3x )=log3(3x+13x ), ∵f(-x)=log3(3-x+3x)=f(x), ∴f(x)是偶函数,令3x=t(t>0), ∴g(t)=log3(t+1t ), 当0<t<1时,g(t)为减函数; 当t≥1时,g(t)为增函数, 则当x<0时,f(x)为减函数; 当x≥0时,f(x)为增函数, ∵f(x2-x+1)+1<log310, ∴f(x2-x+1)<log310-1, ∴f(x2-x+1)<f(1),∴|x2-x+1|<1, ∴-1<x2-x+1<1,解得0<x<1.故选C. 5.ABD 根据题意,若f(x-1)为偶函数,即函数 f(x)的图象关于直线x=-1对称,则有f(x) =f(-2-x),若f(x-2)为偶函数,即函数 f(x)的图象关于直线x=-2对称,则有f(x)= f(-4-x),则有f(-2-x)=f(-4-x),变形 可得f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为2 的周期函数,则D正确;又由函数f(x)的图象 关于直线x=-2对称且f(x)的周期为2,则 f(x)的图象也关于y 轴对称,即f(x)为偶函 数,A正确;又由函数f(x)的图象关于直线x= -1对称且f(x)的周期为2,则f(x)的图象也关 于直线x=1对称,即f(x+1)为偶函数,B正确; 同理:f(x+2)为偶函数,C错误;故选ABD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·67·