假期作业(四) 二次函数、方程、不等式-【成功方案】2025年大暑假小一轮高一全一册数学暑假作业

假期作业 5.(多选题)对于任意实数a,b,c,d,则下列 命题正确的是 ( ) A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b,c>d,则a+c>b+d C.若a>b,c>d,则ac>bd D.若a>b,则1a> 1 b 6.(多选题)设a,b∈R,则下列不等式一定 成立的是 ( ) A.a2+b2≥2ab B.a+1a≥2 C.b2+1≥2b D.|ba|+| a b|≥2 二、填空题 7.已知x>0,则y=x+1x的最小值为 ,此时x的取值为 . 8.实数a,b,c,d满足下列三个条件: ①d>c;②a+b=c+d;③a+d<b+c.则 将a,b,c,d按照从小到大的次序排列为 . 三、解答题 9.建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必 须小于地板面积.但按采光标准,窗户面 积与地板面积的比值应不小于10%,且 这个比值越大,住宅的采光条件就越好, 试问:同时增加相等的窗户面积和地板 面积,住宅的采光条件是变好了,还是变 坏了? 请说明理由. 10.已知正实数x,y. (1)若(x-1)(y-1)=1(x>1),求3x +4y的最小值; (2)若x+y+3=xy,求x+y 的最 小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(四) 二次函数、方程、不等式 1.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. ·6· 高一数学 2.三个“二次”的关系 设y=ax2+bx+c(a>0),方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac 判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0 解不等式 y>0 或y<0 的步骤 求方程 y=0的解 有两个不相等的实数 根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根 x1=x2=-b2a 没有 实数根 函数y=ax2+bx +c(a>0)的图象 不等式 解集 y>0 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠-b2a } R y<0 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 3.(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2+bx+c>0 ax2+bx+c<0 a=0 b=0,c>0 b=0,c<0 a≠0 a>0 Δ<0 a<0Δ<0 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范 围的方法 设二次函数 y=ax2+bx+c 若ax2+bx+c≤k恒成立⇔ ymax≤k 一、选择题 1.函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义 域是 ( ) A.[-3,1] B.(-3,1) C.(-∞,-3]∪[1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 2.已知二次函数f(x)=ax2+(a-5)x+a2 -6(a≠0)的图象与x轴交于M(x1,0), N(x2,0)两点,且-1<x1<1<x2<2,则 a的取值范围是 ( ) A.(2,1+23) B.(2,23-1) C.(1+23,+∞) D.(-∞,2-23) 3.不等式x2-px-q<0的解集是{x|2<x <3},则不等式qx2-px-1>0的解是 ( ) A.{x|x<-12或x>- 1 3 } B.{x|-12<x<- 1 3 } C.{x|13<x< 1 2 } D.{x|x<2或x>3} 4.若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x的解 集为R,则实数m的取值范围是 ( ) A.(-2,2) B.(-2,2] C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,2) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·7· 假期作业 5.(多选题)已知不等式ax2+bx+c>0的 解集为(-12 ,2),则下列结论正确的是 ( ) A.a>0 B.b>0 C.c>0 D.a+b+c>0 6.(多选题)已知函数f(x)=2x2-mx- m2,则下列命题正确的有 ( ) A.当m≠0时,f(x)<0的解集为{x|-m2 <x<m} B.当m=1时,∀x1,x2∈[1,+∞)时, (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 C.∀x1,x2∈(-∞,14m ]且x1≠x2 时, f(x1)+f(x2) 2 >f (x1+x2 2 ) D.当m<0时,若0<x1<x2,则x2f(x1) >x1f(x2) 二、填空题 7.已知2≤x≤3时,不等式2x2-9x+a<0 恒成立,则a的取值范围为 . 8.已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任 意x∈[m,m+1]都有f(x)<0,则实数 m的取值范围为 . 三、解答题 9.已知函数f(x)=ax2-2ax+1. (1)f(x)<3在x∈[0,3]上恒成立,求a 的取值范围; (2)a≤1时,解不等式f(x)>0. 10.某地区上年度电价为0.8元/kW·h,年用 电量为akW·h,本年度计划将电价降低 到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之 间,而用户期望电价为0.4元/kW·h. 经测算,下调电价后新增的用电量与实 际电价和用户期望电价的差成反比(比 例系数为k).该地区电力的成本价为 0.3元/kW·h. (1)写出本年度电价下调后,电力部门 的收益y与实际电价x的函数关系式; (2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时 仍可保证电力部门的收益比上年度至 少增长20%? 注:收益=实际用电量×(实际电价- 成本价). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·8· 高一数学 2.C x>1,则x-1>0,由基本不等式得,y=x- 1+ 1x-1+1≥2 (x-1)· 1x-1+1=3 ,当且 仅当x=2时,等号成立,因此,y的最小值是3. 3.A 当x>2时,x-2>0,则f(x)=x+ 1x-2= (x-2)+ 1x-2+2≥2 (x-2)· 1x-2+2=4 , 当且仅当x-2= 1x-2 (x>2)时,即当x=3时, 等号成立,因此,a=3,故选A. 4.C 由于x2>0,因此y=x2+ 116x2 无最大值, A错;y= 1-x2∈[0,1],最小值为0,最大值 为1,B错;x>-2,x+2>0,y=x+ 4x+2无最 大值,D错,当x=0,y= x 2 x4+1=0. 当x=0时, y= x 2 x4+1= 1 x2+1x2 ≤12. 当且仅当x=±1时取 “=”,∴y最大值为12 ,故C正确. 5.AB 若ac2>bc2,则a>b,A对;由不等式同向 可加性,若a>b,c>d,则a+c>b+d,B对;当 令a=2,b=1,c=-1,d=-2,则ac=bd,C错; 令a=-1,b=-2,则1a< 1 d ,D错. 6.ACD 当a,b∈R时,a2+b2≥2ab成立,故A正 确;当a>0时,a+1a≥2 ,等号成立的条件是 a=1,当a<0时,a+1a≤-2 ,等号成立的条件 是a=-1,故B不正确;当b∈R时,b2+1-2b =(b-1)2≥0,所以b2+1≥2b,故C正确;|ba| >0,|ab|>0 ,所以|ba|+| a b|≥2 | b a|×| a b| =2,等号成立的条件是当且仅当|ba|=| a b| , 即a2=b2,故D正确. 7.解析 因为x>0,所以y=x+1x≥2 x ·1 x=2 , 当且仅当x=1x ,即x=1时,等号成立. 答案 2 1 8.解析 由②得a=c+d-b代入③得c+d-b+ d<b+c,∴c<d<b. 由②得b=c+d-a代入③得a+d<c+d-a+c, ∴a<c.∴a<c<d<b. 答案 a<c<d<b 9.解 设住宅窗户面积、地板面积分别为a,b,同 时增加的面积为m,根据问题的要求a<b,且 a b≥10%.由于 a+m b+m- a b= m(b-a) b(b+m)>0 ,于是 a+m b+m> a b.又 a b≥10% ,因此a+mb+m> a b≥10%. 所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后, 住宅的采光条件变好了. 10.解 (1)∵(x-1)(y-1)=1(x>1), ∴xy=x+y.即1x+ 1 y=1 , ∴3x+4y=(3x+4y)(1x+ 1 y ) =3+3xy + 4y x+4≥7+212=7+43. 当且仅当3x y = 4y x 时 ,取等号, ∴3x+4y的最小值7+43. (2)∵正实数x,y满足x+y+3=xy, ∴x+y+3=xy≤(x+y2 )2= (x+y)2 4 , ∴x+y≥6,当且仅当x=y=3时取等号, ∴x+y的最小值为6. 假期作业(四) 二次函数、 方程、不等式 学以致用 1.D 由题意得:x2+2x-3>0,即(x-1)(x+3) >0,解得x>1或x<-3,所以定义域为(-∞, -3)∪(1,+∞).故选D. 2.B 若a>0,则 f(-1)=a2-1>0 f(1)=a2+2a-11<0 f(2)=a2+6a-11>0 , 解得2<a<23-1; 若a<0,则 f(-1)=a2-1<0 f(1)=a2+2a-11>0 f(2)=a2+6a-16<0 ,不等式组无解. 故a的取值范围是(2,23-1).故选B. 3.B 易知方程x2-px-q=0的两个根是2,3. 由根与系数的关系得 2+3=p, 2×3=-q, 解得 p=5, q=-6, 不等式qx2-px-1>0为-6x2 -5x-1>0,解得-12<x<- 1 3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·37· 假期作业 4.B ∵mx2+2mx-4<2x2+4x,∴(2-m)x2+ (4-2m)x+4>0.当m=2时,4>0,x∈R;当 m<2时,Δ=(4-2m)2-16(2-m)<0,解得 -2<m<2.此时,x∈R.综上所述,-2<m≤2. 5.BCD 因为不等式ax2+bx+c>0的解集为 (-12 ,2),故相应的二次函数f(x)=ax2+bx +c的图象开口向下,所以a<0,故A错误;易 知2和-12 是方程ax2+bx+c=0的两个根, 则有ca =-1<0 ,-ba = 3 2>0 ,又a<0,故 b>0,c>0,故B、C正确;由二次函数的图象可 知f(1)=a+b+c>0,故D正确.故选B、C、D. 6.BC 由2x2-mx-m2<0,当m>0时,原不等 式的解集为{x|-m2<x<m },当m<0时,原不 等式的解集为{x|m<x<m2 },故A错误;m=1 时,f(x)=2x2-x-1=2(x-14 )2-98 在[1,+∞) 递增,则(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,故B正 确;f(x)在(-∞,14m ]递减,当x1,x2∈(-∞, 1 4m )时,设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)), 则AB的中点C(x1+x22 ,f(x1)+f(x2) 2 ), 设D(x1+x22 ,f( x1+x2 2 )),数形结合得: 点D 位 于 点C 的 下 方,即f (x1)+f(x2) 2 > f( x1+x2 2 ),故C正确;设g(x)=f (x) x (x>0), 则g(x)表示y=f(x)在y轴右侧图象上的点 与原点所连的直线的斜率,数形结合可知: g(x)是增函数,当0<x1<x2 时,g(x1)<g(x2), 则f(x1)x1 < f(x2) x2 ,即x2f(x1)<x1f(x2),故 D错误. 7.解析 ∵当2≤x≤3时,2x2-9x+a<0恒成 立,∴当2≤x≤3时,a<-2x2+9x恒成立.令 y=-2x2+9x.∵2≤x≤3,且对称轴方程为 x=94 ,∴ymin=9,∴a<9.∴a的取值范围为a<9. 答案 a<9 8.解析 ∵二次函数f(x)=x2+mx-1的图象 开口向上,对于任意x∈[m,m+1],都 有 f(x)<0成立, ∴ f(m)=2m2-1<0 f(m+1)=(m+1)2+m(m+1)-1<0 , 即 - 2 2<m< 2 2 m(2m+3)<0 ,解得- 22<m<0. 答案 (- 22 ,0) 9.解 (1)由题意得f(x)=ax2-2ax+1, f(x)<3在x∈[0,3]上恒成立, ①当a=0时,f(x)=1<3,符合题意, ②当a>0时,f(x)<3即2a> (x-1)2-1, 令g(x)=(x-1)2-1,x∈[0,3], 则g(x)=[-1,3], 故2a>g (x)max=3,解得:0<a<23 , ③当a<0时,2a< (x-1)2-1, 故只需2a<g (x)min=-1,解得:-2<a<0, 综上:a的取值范围是(-2,23 ). (2)解不等式f(x)>0即ax2-2ax+1>0, ∵a≤1,当a=0时,f(x)=1>0,恒成立,此时 x∈R,不等式的解集是R,当0<a<1时,ax2- 2ax+1>0,即x2-2x+1a>0 ,Δ=4-4a<0 , 不等式的解集是R,当a=1时,f(x)=x2-2x+ 1>0,解得:x≠1,故不等式的解集是{x|x≠1},当 a<0时,ax2-2ax+1>0,即x2-2x+1a<0 , Δ=4-4a>0 ,令x2-2x+1a=0 ,解得:x=1± 1-1a ,故不等式的解集是{x|1- 1-1a<x 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·47· 高一数学 <1+ 1-1a },综上:当a=1时,不等式的解集 是{x|x≠1},当0<a<1时,不等式的解集是 R,当a=0时,不等式的解集是R,当a<0时,不 等式的解集是{x|1- 1-1a<x<1+ 1- 1 a }. 10.解 (1)设下调后的电价为x元/kW·h,依题 意知,用电量增至 kx-0.4+a , 电力部门的收益为y=( kx-0.4+a )(x-0.3) (0.55≤x≤0.75). (2)依题意,有 (0.2a x-0.4+a )(x-0.3)≥ [a×(0.8-0.3)](1+20%), 0.55≤x≤0.75. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 整理,得 x 2-1.1x+0.3≥0, 0.55≤x≤0.75. 解此不等式,得 0.60≤x≤0.75. ∴当电价最低定为0.60元/kW·h时,仍可保 证电力部门的收益比上年度至少增长20%. 假期作业(五) 函数的概念及其表示 学以致用 1.C ①图象不满足函数的定义域,不正确;②③满 足函数的定义域以及函数的值域,正确;④不满 足函数的定义,故选C. 2.B 要使函数有意义,需 1-x≥0, 1- 1-x≠0, 解得 x≤1且x≠0.∴定义域为(-∞,0)∪(0,1]. 3.C 对于A,y= x2=|x|(x∈R),与v=(t)2 =t(t>0)的定义域不同,不是同一函数;对于B, y=x 2-1 x-1=x+1 (x≠1),与y=x+1(x∈R)的 定义域不同,不是同一函数;对于C,y=|x|(x ∈R),与y= t2=|t|(t∈R)的定义域相同,对应 关系也相同,是同一函数;对于D,y=x(x∈R),与 y=x 2 x=x (x≠0)的定义域不同,不是同一函数. 4.A 设f(x)=ax+b,a≠0 因为f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b =a2x+ab+b 又f[f(x)]=4x-1,所以a2x+ab+b=4x-1 比较系数得 a2=4 ab+b=-1 , 解得 a=2 b=-13 或 a=-2b=1 . 故f(x)=2x-13或f (x)=-2x+1,故选A. 5.BCD 令t=2x>0,则y=t2-2t+2=(t-1)2 +1,∵函数f(x)的值域为[1,2],即y∈[1,2], ∴t∈(0,2],即2x∈(0,2],解得x∈(-∞,1], ∴M=(-∞,1],即选项A错误,选项C和D均 正确;由于任何集合都是自身的子集,∴M⊆ (-∞,1],即B选项正确. 6.BCD 令t=1x ,则 x=1t ,所 以 f(t)= 2×1t+1 1 t+1 =2+t1+t ,所以f(x)的解析式为f(x) =2+x1+x=1+ 1 1+x. 定义域为{x|x≠0且x≠-1},即A错误;当 x≠0时,y≠2,当x≠-1时,y≠1,所以值域为 {y|y≠1且y≠2},即B正确;f(x)=1+ 11+x 在(0,+∞)上单调递减,即C正确;f(x)= 2+x 1+x>2 ,即2+x-2(1+x) 1+x >0 ,等价于x(x+1) <0,解得-1<x<0,即D正确. 7.解析 函数f(x)对x≠0的一切实数都有 f(x)+2f(2020x )=3x, ∴ f(x)+2f(2020x )=3x, f(2020x )+2f(x)=3·2020x , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 消去f(2020x ),可得f(x)=4040x -x. 答案 4040x -x 8.解析 ∵[x]表示不超过实数x的最大整数, ∴x∈(-2.5,-1)时,x-12 ∈ (-1.75,-1), [x-1 2 ]=-2; x∈[-1,1)时,x-12 ∈ [-1,0),[x-12 ]=-1; x∈[1,3)时,x-12 ∈ [0,1),[x-12 ]=0; x∈[3,4]时,x-12 ∈ [1,1.5],[x-12 ]=1; ∴原函数的值域为:{-2,-1,0,1}. 答案 {-2,-1,0,1} 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·57·