假期作业(三) 等式与不等式的性质及基本不等式-【成功方案】2025年大暑假小一轮高一全一册数学暑假作业

假期作业 “|θ-π12|< π 12 ”是“sinθ<12 ”的充分不必要 条件. 3.B 由p:x2+2x-3>0,知x<-3或x>1,则 􀱑p为-3≤x≤1,􀱑q为x≤a,又􀱑p是􀱑q的 充分不必要条件,所以a≥1.故选B. 4.D x2-3x+2>0,Δ=(-3)2-4×2>0,∴当 x>2或x<1时,x2-3x+2>0才成立,∴①为 假命题.∵当且仅当x=±2时,x2=2,∴不存 在x∈Q,使得x2=2,∴②为假命题.对∀x∈R, x2+1≠0,∴③为假命题.4x2-(2x-1+3x2) =x2-2x+1=(x-1)2≥0,即当x=1时,4x2 =2x-1+3x2成立,∴④为假命题.∴①②③④均 为假命题. 5.BC 函数f(x)=x3+2x,满足f(-x)=-x3 -2x=-(x3+2x)=-f(x),即为奇函数,对 x1<x2=f(x1)-f(x2)<0为增函数,故不等 式f(x2-3)+f(1-x)<0整理得不等式 f(x2-3)<-f(1-x),整理得f(x2-3)<f(x-1), 所以x2-3<x-1,整理得x2-x-2<0,故-1 <x<2,即不等式f(x2-3)+f(1-x)<0成立 的必要充分条件是(-1,2).故不等式f(x2-3)+ f(1-x)<0成立的必要不充分条件只要满足 (-1,2)是某一集合的子集即可,根据选项 BC符合.故选BC. 6.ABD 选项A:根据反比例函数的性质可知:由 a>1,能推出1a<1 ,但是由1a<1 ,不能推出a<1, 例如当a<0时,符合1a<1 ,但是不符合a>1,所 以本选项是正确的;选项B:根据命题的否定的 定义可知:命题“若x<1,则x2<1”的否定是 “存在x<1,则x2≥1”.所以本选项是正确的;选 项C:根据不等式的性质可知:由x≥2且y≥2 能推出x2+y2≥4,本选项是不正确的;选项D: 因为b 可以等于零,所以由a≠0不能推出 ab≠0,再判断由ab≠0能不能推出a≠0,最后 判断本选项是否正确.故选ABD. 7.解析 由|x-12|< 1 2 可得-12<x- 1 2< 1 2 , 解得0<x<1,由x3<1,解得x<1,故“|x-12| <12 ”是“x3<1”的充分不必要条件. 答案 充分不必要 8.解析 由x2-2x-3=(x-3)(x+1)<0, 解得-1<x<3.所以p:(-1,3). 由于p是q的必要不充分条件, 所以 m≥-1 m+1≤3 ,解得-1≤m≤2. 所以m 的取值范围是[-1,2]. 答案 [-1,2] 9.解 (1)由题意知m>x2-x在-1≤x≤1恒 成立, 所以m>(x2-x)max(-1≤x≤1), 因为x2-x=(x-12 )2-14 , 所以-14≤x 2-x≤2, 即(x2-x)max=2,则m>2, 所以实数m 的取值范围是(2,+∞). (2)由q得a-4<m<a+4, 因为q⇒p,所以a-4≥2,即a≥6, 所以实数a的取值范围是[6,+∞). 10.解 若选择条件①,即x∈A 是x∈B 成立的 充分不必要条件,集合A 是集合B 的真子集, 则有 1-m≤-2 1+m≥6 m>0 等号不同时成立,解得m≥5, 所以,实数m 的取值范围是[5,+∞). 若选择条件②,即x∈A 是x∈B 成立的必要 不充分条件,集合B 是集合A 的真子集,则有 1-m≥-2 1+m≤6 等号不同时成立,解得0<m≤3, 所以,实数m 的取值范围是(0,3]. 若选择条件③,即x∈A 是x∈B 成立的充要 条件,则集合A等于集合B 则有 1-m=-2 1+m=6 , 方程组无解,所以,不存在满足条件的实数m. 假期作业(三) 等式与不等式的 性质及基本不等式 学以致用 1.D 解法一:不妨令a=3,b=1,c=-3,d=-1, 则ac=-1 ,b d=-1 ,∴A、B不正确;ad=-3 , b c=- 1 3 ,C不正确,D正确. 解法二:∵c<d<0,∴-c>-d>0, ∵a>b>0,∴-ac>-bd, ∴-accd > -bd cd , ∴ad< b c.故选D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·27· 高一数学 2.C x>1,则x-1>0,由基本不等式得,y=x- 1+ 1x-1+1≥2 (x-1)· 1x-1+1=3 ,当且 仅当x=2时,等号成立,因此,y的最小值是3. 3.A 当x>2时,x-2>0,则f(x)=x+ 1x-2= (x-2)+ 1x-2+2≥2 (x-2)· 1x-2+2=4 , 当且仅当x-2= 1x-2 (x>2)时,即当x=3时, 等号成立,因此,a=3,故选A. 4.C 由于x2>0,因此y=x2+ 116x2 无最大值, A错;y= 1-x2∈[0,1],最小值为0,最大值 为1,B错;x>-2,x+2>0,y=x+ 4x+2无最 大值,D错,当x=0,y= x 2 x4+1=0. 当x=0时, y= x 2 x4+1= 1 x2+1x2 ≤12. 当且仅当x=±1时取 “=”,∴y最大值为12 ,故C正确. 5.AB 若ac2>bc2,则a>b,A对;由不等式同向 可加性,若a>b,c>d,则a+c>b+d,B对;当 令a=2,b=1,c=-1,d=-2,则ac=bd,C错; 令a=-1,b=-2,则1a< 1 d ,D错. 6.ACD 当a,b∈R时,a2+b2≥2ab成立,故A正 确;当a>0时,a+1a≥2 ,等号成立的条件是 a=1,当a<0时,a+1a≤-2 ,等号成立的条件 是a=-1,故B不正确;当b∈R时,b2+1-2b =(b-1)2≥0,所以b2+1≥2b,故C正确;|ba| >0,|ab|>0 ,所以|ba|+| a b|≥2 | b a|×| a b| =2,等号成立的条件是当且仅当|ba|=| a b| , 即a2=b2,故D正确. 7.解析 因为x>0,所以y=x+1x≥2 x ·1 x=2 , 当且仅当x=1x ,即x=1时,等号成立. 答案 2 1 8.解析 由②得a=c+d-b代入③得c+d-b+ d<b+c,∴c<d<b. 由②得b=c+d-a代入③得a+d<c+d-a+c, ∴a<c.∴a<c<d<b. 答案 a<c<d<b 9.解 设住宅窗户面积、地板面积分别为a,b,同 时增加的面积为m,根据问题的要求a<b,且 a b≥10%.由于 a+m b+m- a b= m(b-a) b(b+m)>0 ,于是 a+m b+m> a b.又 a b≥10% ,因此a+mb+m> a b≥10%. 所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后, 住宅的采光条件变好了. 10.解 (1)∵(x-1)(y-1)=1(x>1), ∴xy=x+y.即1x+ 1 y=1 , ∴3x+4y=(3x+4y)(1x+ 1 y ) =3+3xy + 4y x+4≥7+212=7+43. 当且仅当3x y = 4y x 时 ,取等号, ∴3x+4y的最小值7+43. (2)∵正实数x,y满足x+y+3=xy, ∴x+y+3=xy≤(x+y2 )2= (x+y)2 4 , ∴x+y≥6,当且仅当x=y=3时取等号, ∴x+y的最小值为6. 假期作业(四) 二次函数、 方程、不等式 学以致用 1.D 由题意得:x2+2x-3>0,即(x-1)(x+3) >0,解得x>1或x<-3,所以定义域为(-∞, -3)∪(1,+∞).故选D. 2.B 若a>0,则 f(-1)=a2-1>0 f(1)=a2+2a-11<0 f(2)=a2+6a-11>0 , 解得2<a<23-1; 若a<0,则 f(-1)=a2-1<0 f(1)=a2+2a-11>0 f(2)=a2+6a-16<0 ,不等式组无解. 故a的取值范围是(2,23-1).故选B. 3.B 易知方程x2-px-q=0的两个根是2,3. 由根与系数的关系得 2+3=p, 2×3=-q, 解得 p=5, q=-6, 不等式qx2-px-1>0为-6x2 -5x-1>0,解得-12<x<- 1 3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·37· 高一数学 假期作业(三) 等式与不等式的性质及基本不等式 1.不等式的性质 基本事实:比较两实数大小的方法——— 求差比较法 a>b⇔a-b>0;a=b⇔a-b=0;a<b⇔a -b<0. 性质1:若a>b,则b<a;若b<a,则 a>b.即a>b⇔b<a. 说明:把不等式的左边和右边交换,所得 不等式与原不等式异向,称为不等式的 对称性. 性质2:若a>b,b>c,则a>c.不等式的 传递性. 性质3:若a>b,则a+c>b+c. 性质4:如果a>b且c>0,那么ac>bc; 如果a>b且c<0,那么ac<bc. 性质5:若a>b,且c>d,则a+c>b+d. 性质6:如果a>b>0且c>d>0,那么ac >bd. 性质7:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N 且n>1). 2.重要不等式 当a、b是任意实数时,有a2+b2≥2ab,当 且仅当a=b时,等号成立. 3.基本不等式 当a>0,b>0时有 ab≤a+b2 ,当且仅当 a=b时,等号成立. 4.基本不等式与最值 已知x、y都是正数. (1)若x+y=s(和为定值),则当x=y 时,积xy取得最大值. (2)若xy=p(积为定值),则当x=y时, 和x+y取得最小值. 一、选择题 1若a>b>0,c<d<0,则一定有 ( ) A.ac> b d B. a c< b d C.ad> b c D. a d< b c 2.已知x>1,y=x+ 1x-1 ,则y 的最小 值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.若函数f(x)=x+ 1x-2 (x>2)在x=a 处取最小值,则a等于 ( ) A.3 B.1+3 C.1+2 D.4 4.下列函数中,最大值为12 的是 ( ) A.y=x2+ 116x2 B.y= 1-x2 C.y= x 2 x4+1 D.y=x+ 4x+2 (x>-2) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·5· 假期作业 5.(多选题)对于任意实数a,b,c,d,则下列 命题正确的是 ( ) A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b,c>d,则a+c>b+d C.若a>b,c>d,则ac>bd D.若a>b,则1a> 1 b 6.(多选题)设a,b∈R,则下列不等式一定 成立的是 ( ) A.a2+b2≥2ab B.a+1a≥2 C.b2+1≥2b D.|ba|+| a b|≥2 二、填空题 7.已知x>0,则y=x+1x的最小值为 ,此时x的取值为 . 8.实数a,b,c,d满足下列三个条件: ①d>c;②a+b=c+d;③a+d<b+c.则 将a,b,c,d按照从小到大的次序排列为 . 三、解答题 9.建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必 须小于地板面积.但按采光标准,窗户面 积与地板面积的比值应不小于10%,且 这个比值越大,住宅的采光条件就越好, 试问:同时增加相等的窗户面积和地板 面积,住宅的采光条件是变好了,还是变 坏了? 请说明理由. 10.已知正实数x,y. (1)若(x-1)(y-1)=1(x>1),求3x +4y的最小值; (2)若x+y+3=xy,求x+y 的最 小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(四) 二次函数、方程、不等式 1.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. ·6·