假期作业(二) 常用逻辑用语-【成功方案】2025年大暑假小一轮高一全一册数学暑假作业

高一数学 假期作业(二) 常用逻辑用语 1.充分条件、必要条件:一般地,“若p,则 q”为真命题,是指由p通过推理可以得 出q.由p可推出q,记作:p⇒q.定义:如 果命题“若p,则q”为真命题,即p⇒q,那 么我们就说p是q的充分条件;q是p 必 要条件. ①若p⇒q,但q⇒/p,则p是q的充分但 不必要条件,q是p 的必要但不充分 条件; ②数学中的每一条判定定理给出了相应 数学结论成立的一个充分条件;数学中 的每一条性质定理给出了相应数学结论 成立的一个必要条件. 2.充要条件:一般地,如果既有p⇒q,又有 q⇒p就记作p⇔q.那么p是q的充分必 要条件,简称充要条件.显然,如果p是q 的充要条件,那么q也是p 的充要条件. 即p与q互为充要条件. ①若p⇒/q,且q⇒/p,则p是q的既不充 分也不必要条件. ②集合与充要条件的关系:1)A 是B 的 真子集,则A是B 的充分但不必要条件, B是A 的必要但不充分条件;2)A 是B 的子集,则A是B 的充分条件,B是A 的 必要条件;3)A=B,则A 是B 的充要条 件;4)除上述三种情况是既不充分又不 必要条件. 3.全称量词、存在量词 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中 通常叫做全称量词,这些词语一般在指 定的范围内都表示整体或全部,用符号 “∀”表示,含有全称量词的命题,叫做全 称命题.那么全称命题“对M 中任意一个 x,有p(x)成立”可用符号简记为:∀x∈ M,p(x). (2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻 辑中通常叫做存在量词,这些词语都是 表示整体的一部分.并用符号“∃”表示. 含有存在量词的命题叫做特称命题.特 称命题:“存在M中一个x0,使p(x0)成立” 可以用符号简记为:∃x0∈M,p(x0). 4.全称量词命题与存在量词命题的否定: 全称量词命题P:∀x∈M,p(x) 的否 定􀱑P:∃x0∈M,􀱑P(x0) 存在量词命题P:∃x0∈M,p(x0) 的否 定􀱑P:∀x∈M,􀱑P(x) 一、选择题 1.命题“存在实数x,使x>1”的否定是 ( ) A.对任意实数x,都有x>1 B.不存在实数x,使x≤1 C.对任意实数x,都有x≤1 D.存在实数x,使x≤1 2.设θ∈R,则“|θ-π12|< π 12 ”是“sinθ<12 ” 的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·3· 假期作业 3.已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:x>a, 且􀱑q的一个充分不必要条件是􀱑p,则 a的取值范围是 ( ) A.(-∞,1] B.[1,+∞) C.[-1,+∞) D.(-∞,-3] 4.下面四个命题: ①∀x∈R,x2-3x+2>0恒成立;②∃x ∈Q,x2=2;③∃x∈R,x2+1=0;④∀x ∈R,4x2>2x-1+3x2. 其中真命题的个数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 5.(多选题)若函数f(x)=x3+2x,则不等 式f(x2-3)+f(1-x)<0成立的必要 不充分条件是 ( ) A.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-2,2) C.(-∞,3)∪(4,+∞) D.(-1,2) 6.(多选题)下面命题正确的是 ( ) A.“a>1”是“1a<1 ”的充分不必要条件 B.命题“若x<1,则x2<1”的否定是“存 在x<1,则x2≥1”. C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+ y2≥4”的必要而不充分条件 D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必 要不充分条件 二、填空题 7.设x∈R,则“|x-12|< 1 2 ”是“x3<1”的 条件(从“充分不必要”,“必 要不充分”,“充要”,“既不充分也不必 要”中选一个) 8.已知p:x2-2x-3<0,q:m<x<m+1, 若p是q的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是 . 三、解答题 9.已知命题p:“对任意的-1≤x≤1,不等 式x2-x-m<0成立”是真命题. (1)求实数m的取值范围; (2)若q:-4<m-a<4是p的充分不必 要条件,求实数a的取值范围. 10.请在①充分不必要条件,②必要不充分 条件,③充要条件这三个条件中任选一 个,补充在下面问题中,若问题中的实 数m存在,求出m 的取值范围;若不存 在,说明理由. 已知集合A={x|-2≤x≤6},B={x|1 -m≤x≤1+m,m>0},若x∈A 是 x∈B成立的 条件,判断实数 是否存在? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·4· 高一数学 参考答案 假期作业(一) 集合 学以致用 1.A 由集合P={x|2<x<5},Q={x|1<x<3}, 可得:P∩Q={x|2<x<3}. 2.B ∵A⊇B,∴ a-1≤3, a+2≥5, 解得3≤a≤4.经检 验知当a=3或a=4时符合题意.故3≤a≤4. 3.C 依题意,由题干图知,阴影部分对应的元素 a具有性质a∈M,a∈P,a∈∁IS,所以阴影部分 所表示的集合是(M∩P)∩(∁IS),故选C. 4.B ∵A∪B=A,∴B⊆A.又A={1,3,m}, B={1,m},∴m=3或m= m. 由m=3,满足A∪B=A,m=3成立.m= m, 得m=0或m=1.但m=1不符合集合中元素 的互异性,故舍去,故m=0或m=3. 5.ACD 如图阴影表示集合 C,矩形表示集合U, ∵A⊆B⊆∁UC,∴A∩B= A,B∪C=∁UA,C⊆∁UA, (∁UA)∪(∁UC)=U. 6.BC ∵集合M={x|(x-a)(x-3)=0}={a,3}, N={x|(x-4)(x-1)=0}={1,4},若M∪N 有4个元素,则a∉{1,3,4},∴M∩N=⌀,故 A正确;若M∩N≠⌀,则a∈{1,4},∴M∪N 有3个元素,故B错误;若M∪N={1,3,4},则 当a=3时,M∩N=⌀,故C错误;若M∩N≠⌀, 则a∈{1,4},∴M∪N={1,3,4},故D正确. 7.解析 M={x|x2+2x-8=0}={2,-4}. 当a≠2时,N={x|(x-2)(x-a)=0}={2,a}. ∵N⊆M,∴a=-4. 当a=2时,N={x|(x-2)(x-a)=0}={2}, 此时N⊆M,符合题意. 答案 -4或2 8.解:由已知中数域的定义可得:则有理数集Q满 足定义,是一个数域,故①正确;若A 为一个数 域,则A 中包含任意整数和分数,故Q⊆A,故 ②正确;若A,B 都是数域,那么Q⊆A∩B,故 A∩B中的元素均满足定义,故A∩B 也是一个 数域,故③正确;若 A={x|x=m 2+nm, n∈Q},B={x|x=s 3+ts,t∈Q},则A∪B= {x|x=m 2+n或s 3+ts,t,m,n∈Q},此时 (2+1)+(3+2)∉A∪B,故④不正确;故真 命题的序号为①②③. 9.解 由A∩B=⌀, (1)若A=⌀,有2a>a+3,∴a>3. (2)若A≠⌀,如图: ∴ 2a≥-1 a+3≤5 2a≤a+3 解得-12≤a≤2. 综上所述,a的取值范围是{a|-12≤a≤2或a>3 }. 10.解:(1)①当m-1>2m+1,即m<-2时,B=⌀ 符合题意. ②当m-1≤2m+1,即m≥-2时,B≠⌀. 由B⊆A,借助数轴(如图所示), 得 m-1≥-1, 2m+1≤6, m≥-2, 解得0≤m≤52. 所以0≤m≤52. 经验证知m=0和m=52符合题意. 综合①②可知,实数m 的取值集合为 {m|m<-2或0≤m≤52 }. (2)∵当x∈N时,A={0,1,2,3,4,5,6}, ∴集合A的子集的个数为27=128. 假期作业(二) 常用逻辑用语 学以致用 1.C 特称命题的否定是全称命题,否定结论的同 时需要改变量词.命题“存在实数x,使x>1”的 否定是“对任意实数x,都有x≤1”故选C. 2.A |θ-π12|< π 12⇔- π 12<θ- π 12< π 12⇔0<θ< π 6 ,sinθ<12⇔- 7π 6+2kπ<θ< π 6+2kπ ,k∈Z, 则(0,π6 )⫋(-7π6+2kπ ,π 6+2kπ ),k∈Z,可得 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·17· 假期作业 “|θ-π12|< π 12 ”是“sinθ<12 ”的充分不必要 条件. 3.B 由p:x2+2x-3>0,知x<-3或x>1,则 􀱑p为-3≤x≤1,􀱑q为x≤a,又􀱑p是􀱑q的 充分不必要条件,所以a≥1.故选B. 4.D x2-3x+2>0,Δ=(-3)2-4×2>0,∴当 x>2或x<1时,x2-3x+2>0才成立,∴①为 假命题.∵当且仅当x=±2时,x2=2,∴不存 在x∈Q,使得x2=2,∴②为假命题.对∀x∈R, x2+1≠0,∴③为假命题.4x2-(2x-1+3x2) =x2-2x+1=(x-1)2≥0,即当x=1时,4x2 =2x-1+3x2成立,∴④为假命题.∴①②③④均 为假命题. 5.BC 函数f(x)=x3+2x,满足f(-x)=-x3 -2x=-(x3+2x)=-f(x),即为奇函数,对 x1<x2=f(x1)-f(x2)<0为增函数,故不等 式f(x2-3)+f(1-x)<0整理得不等式 f(x2-3)<-f(1-x),整理得f(x2-3)<f(x-1), 所以x2-3<x-1,整理得x2-x-2<0,故-1 <x<2,即不等式f(x2-3)+f(1-x)<0成立 的必要充分条件是(-1,2).故不等式f(x2-3)+ f(1-x)<0成立的必要不充分条件只要满足 (-1,2)是某一集合的子集即可,根据选项 BC符合.故选BC. 6.ABD 选项A:根据反比例函数的性质可知:由 a>1,能推出1a<1 ,但是由1a<1 ,不能推出a<1, 例如当a<0时,符合1a<1 ,但是不符合a>1,所 以本选项是正确的;选项B:根据命题的否定的 定义可知:命题“若x<1,则x2<1”的否定是 “存在x<1,则x2≥1”.所以本选项是正确的;选 项C:根据不等式的性质可知:由x≥2且y≥2 能推出x2+y2≥4,本选项是不正确的;选项D: 因为b 可以等于零,所以由a≠0不能推出 ab≠0,再判断由ab≠0能不能推出a≠0,最后 判断本选项是否正确.故选ABD. 7.解析 由|x-12|< 1 2 可得-12<x- 1 2< 1 2 , 解得0<x<1,由x3<1,解得x<1,故“|x-12| <12 ”是“x3<1”的充分不必要条件. 答案 充分不必要 8.解析 由x2-2x-3=(x-3)(x+1)<0, 解得-1<x<3.所以p:(-1,3). 由于p是q的必要不充分条件, 所以 m≥-1 m+1≤3 ,解得-1≤m≤2. 所以m 的取值范围是[-1,2]. 答案 [-1,2] 9.解 (1)由题意知m>x2-x在-1≤x≤1恒 成立, 所以m>(x2-x)max(-1≤x≤1), 因为x2-x=(x-12 )2-14 , 所以-14≤x 2-x≤2, 即(x2-x)max=2,则m>2, 所以实数m 的取值范围是(2,+∞). (2)由q得a-4<m<a+4, 因为q⇒p,所以a-4≥2,即a≥6, 所以实数a的取值范围是[6,+∞). 10.解 若选择条件①,即x∈A 是x∈B 成立的 充分不必要条件,集合A 是集合B 的真子集, 则有 1-m≤-2 1+m≥6 m>0 等号不同时成立,解得m≥5, 所以,实数m 的取值范围是[5,+∞). 若选择条件②,即x∈A 是x∈B 成立的必要 不充分条件,集合B 是集合A 的真子集,则有 1-m≥-2 1+m≤6 等号不同时成立,解得0<m≤3, 所以,实数m 的取值范围是(0,3]. 若选择条件③,即x∈A 是x∈B 成立的充要 条件,则集合A等于集合B 则有 1-m=-2 1+m=6 , 方程组无解,所以,不存在满足条件的实数m. 假期作业(三) 等式与不等式的 性质及基本不等式 学以致用 1.D 解法一:不妨令a=3,b=1,c=-3,d=-1, 则ac=-1 ,b d=-1 ,∴A、B不正确;ad=-3 , b c=- 1 3 ,C不正确,D正确. 解法二:∵c<d<0,∴-c>-d>0, ∵a>b>0,∴-ac>-bd, ∴-accd > -bd cd , ∴ad< b c.故选D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·27·