18.综合质量评估卷(二)-【精讲精练】2026年高考数学一轮达标测试卷

综合质量评估卷(二) 1.A　由于A∩B＝∅，所以0<a≤2，故选A. 2.A　(x－1)5展开式的通项为Tr＋1＝Cx5－r(－1)r，则T3＝10x3，T4＝－10x2，故(2x－3)(x－1)5展开式中x3的系数为2×(－10)＋(－3)×10＝－50.故选A. 3.C　在五个数中，上四分位数为第二大的数，故1,2,3,4，x中第二大的数是x，所以3≤x≤4.故选C. 4.C　由C：y＝4x2得x2＝y，F， 由题意可知直线AB的斜率存在，故设其方程为y=kx+， 联立y=kx+与x2=y，可得x2-kx-=0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=k，故y1+y2=k(x1+x2)+=k2+， 因此|AB|=y1+y2+=k2+≥，当且仅当k=0时等号成立.故选C. 5.D　因为b＝0.3－0.2＝0.2，幂函数y＝x0.2在(0，＋∞)上单调递增， 又>3，所以0.2>30.2>30＝1，所以b>a>1， 又对数函数y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减， 所以c＝log0.20.3<log0.20.2＝1， 故b>a>1>c.故选D. 6.D　当n＝2时，AB表示一正一反，故P(AB)＝2××＝，故A正确； 此时P(A)＝2××＝，P(B)＝1－P()＝1－×＝， P(AB)＝≠＝P(A)P(B)，故B正确； 当n＝3时，A＋B表示并非每次都是正面朝上， 故P(A＋B)＝1－P(＋)＝1－··＝，故C正确； 此时P(AB)＝3···＝，P(A)＝1－P()＝1－··－··＝， P(B)＝··＋3···＝， 所以P(AB)＝＝·＝P(A)P(B)，故D错误.故选D. 7.C　分别取AB，DE的中点Q，R，连接PQ，QR， 则由题QA＝，BD2＝DC2＋BC2－2DC×BC×cos∠BCD＝1＋1－2×1×1×cos 120°＝3，即BD＝， 所以QD＝＝＝＝， 8. B　由题可得A(－a,0)，B(a,0)，F(c,0)，M，N，P， 所以kBP＝＝，直线BP的方程为y＝(x－a)， 令x＝0，解得y＝－，所以直线BP与y轴交点为. 由于kAN＝＝－， 则直线AN的方程为y＝－(x＋a)， 令x＝0，解得y＝a－c， 所以直线AN与y轴交点为(0，a－c)， 因为直线BP与直线AN的交点在y轴上， 所以a－c＝－，解得c＝3a， 所以双曲线E的离心率e＝＝3，故选B. 9.ABD　对于A，B，根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象知，A＝2， T＝4×＝π，∴ω＝＝2，故A，B正确； 对于C，由五点法画图知，×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z， ∵0<φ<，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin. 令2x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋kπ，k∈Z， 当k＝－2时，x＝－，当k＝－1时，x＝－， 当k＝0时，x＝，当k＝1时，x＝，当k＝2时，x＝， 故f(x)在内有2个极值点，分别为x＝，x＝，故C错误； 对于D，∵x∈，可得2x＋∈， 故当2x＋＝，此时f(x)取最大值2sin＝2sin＝，故D正确.故选ABD. ·63·10. AC　对于A，根据题意，a=2，b=1，则c=，故e==，故A正确； 对于B，C，设Q(x，y)，－2≤x≤2，则＋y2＝1， 而圆O：x2＋y2＝5的圆心为 O(0,0)，半径为r＝， 则|OQ|＝＝＝， 因为－2≤x≤2，所以0≤x2≤4，则1≤x2＋1≤4， 所以1≤ ≤2，即1≤|OQ|≤2， 所以|PQ|的最小值为r－2＝－2，最大值为r＋2＝＋2，故B错误，C正确； 对于D，设P(x0，y0)，x＋y＝5，过点P的直线方程为y－y0＝k(x－x0)， 联立得(1＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－4＝0， 根据直线与椭圆相切，则Δ＝[8k(y0－kx0)]2－4(1＋4k2)[4(y0－kx0)2－4]＝0， 化简可得(x－4)k2－(2x0y0)k＋y－1＝0， 可知k1，k2是方程的两个根，所以k1k2＝＝＝－1，所以k＋k≥2|k1k2|＝2， 当且仅当|k1|＝|k2|时等号成立，故D错误.故选AC. 11.ACD　函数f(x)＝的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝， 对于A，由f′(x)<0可得0<x<1或1<x<e，由f′(x)>0可得x>e， 即函数f(x)的单调递减区间为(0,1)和(1，e)，故A正确； 对于B，由A得，函数f(x)在(e，＋∞)上单调递增， 因f(2)＝＝＝＝f(4)，e < π<4， 故f(π)<f(4)＝f(2)，即B错误； 对于C，易知f(|x|)＝为偶函数，当x>0时，f(|x|)＝f(x)＝， 由A项知，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)和(1，e)，单调递增区间为(e，＋∞). 又当x>1时，f(|x|)＝f(x)>0，当x＝e时，f(|e|)＝e， 当x→1＋时，f(|x|)→＋∞，x→＋∞时，f(|x|)→＋∞. 当0<x<1时，f(|x|)<0，当x→0时，f(|x|)→0，x→1－时，f(|x|)→－∞， 故函数y=|f(|x|)|的图象如图所示. 由图可得，直线y=k与函数y=|f(|x|)|有6个不同交点，等价于k>e，故C正确； 对于D，由图，不妨设0<x1<e<x2，由f(x1)=f(x2)可得， 即，不妨取g(x)=， 设h(x)＝g(x)－g＝－＝－， 则h′(x)＝′－′＝－＝， 则当0<x<e时，1－ln x>0，e2－x2>0，故h′(x)>0，h(x)在(0，e)上单调递增， 又h(e)＝0,0<x1<e，所以h(x1)＝g(x1)－g<0，即g(x1)＝g(x2)<g. 因为g(x)＝，则g′(x)＝，当x>e时，g′(x)<0，g(x)＝在(e，＋∞)上单调递减， 因为x2>e，>e，故得x2>，即x1x2>e2，故D正确.故选ACD. 12.解析　设z＝x＋yi，x，y∈R，由|z－i|＝，两边平方整理得x2＋(y－1)2＝2， 即x2＋y2＝2y＋1，而||＝|x－yi|＝＝， 作出复数z对应的点Z(x，y)的轨迹x2+(y-1)2=2的图形如图. 易得1-≤y≤1+，因为在定义域内为增函数， 故||＝≥ ＝－1， 即当且仅当y＝1－时，||取最小值－1. 答案　－1 13.解析　圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，设圆台的高为h， 则该圆台的体积为V＝π×(12＋42＋1×4)h＝7πh＝14π，则h＝2， 作出圆台的轴截面如图所示， 上底面圆心为M，下底面圆心为N，MD=1，NC=4， 过D作DE⊥NC，则EC=4-1=3，又DE=h=2， 所以圆台的母线长为 答案　 14.解析　cos A(3sin B＋4sin C)＝cos A[3sin B＋4sin(π－A－B)]＝cos A(3sin B＋4sin Acos B＋4cos Asin B) ＝cos A[(3＋4cos A)sin B＋4sin Acos B]， 令3＋4cos A＝a，b＝4sin A， 所以cos A(3sin B＋4sin C)＝cos A(asin B＋bcos B)＝cos Asin(θ＋B)， 要想cos A(3sin B＋4sin C)有最小值，显然A为钝角，即cos A<0， 于是有cos Asin(θ＋B)≥ cos A， 设f(A)＝cos A·＝cos A·， 因为cos A<0， 所以f(A)＝－. 令cos A＝t(－1<t<0)，即g(t)＝25t2＋24t3，－1<t<0⇒g′(t)＝50t＋72t2＝2t(25＋36t)， 当－1<t<－时，g′(t)>0，函数g(t)单调递增， 当－<t<0时，g′(t)<0，函数g(t)单调递减， 因此当t＝－时，函数g(t)有最大值g＝， 所以f(A)的最小值为－＝－， 此时cos A＝－⇒<A<，a＝3＋4cos A＝，b＝， 即存在tan θ＝>1，θ∈，显然存在B，使得B＋θ＝， 即cos A(3sin B＋4sin C)的最小值为－. 答案　－ 15.(1)证明　因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC， 因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB， 因为PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB， 又因为BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC. (2)解析　取CD中点E，连接AE， 因为∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝BC＝1，CD＝2， 所以四边形ABCE是矩形，所以AB⊥AE， 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AE， 所以AB，AE，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，E(0,1,0)，D(-1,1,0)， 设P(0,0，t)(t>0)，则G， =， =，=， 因为点A在平面PCD内的投影恰好是△PCD的重心G，所以AG⊥CG， 设直线DG与平面PBC所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈m，〉|＝＝＝. 故直线DG与平面PBC所成角的正弦值为. 16.(1)解析　当直线MN经过坐标原点时，M，N两点关于原点对称. 设M(x1，y1)，N(－x1，－y1)，P(x0，y0)， 于是kPM＝，kPN＝. 因为M，N，P三点都在双曲线x2－y2＝1， 所以两式作差得x－x＝y－y， 所以kPMkPN＝·＝＝1. (2)证明　已知T(1,2)，由题意可知MN，PQ均有斜率， 可设直线MN：y－2＝k1(x－1)，直线PQ：y－2＝k2(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4). ＝(x1－1，y1－2)，＝(x2－1，y2－2). 联立直线MN的方程与双曲线E的方程 整理得(1－k)x2＋2k1(k1－2)x－(k1－2)2－1＝0， 当1－k≠0时，Δ＝4(5－4k1)>0. x1＋x2＝－，x1x2＝. 于是， ·＝(x1－1)(x2－1)＋(y1－2)(y2－2) ＝(1＋k)[x1x2－(x1＋x2)＋1] ＝(1＋k) ＝(1＋k)·. 同理可得，·＝(1＋k)·. 因为·＝·，所以＝， 整理得，k＝k，而k1≠k2，所以k1＋k2＝0. 17.(1)证明　当a＝e时，f(x)＝ex－xe， 则f′(x)＝ex－exe－1＝e(ex－1－xe－1)， 令f′(x)>0，则ex－1>xe－1， 两边取对数得x－1>(e－1)ln x. 设g(x)＝x－1－(e－1)ln x(x>e)， 则g′(x)＝1－>1－＝>0， 所以g(x)在(e，＋∞)上单调递增， 所以x∈(e，＋∞)时，g(x)>g(e)＝0，即x∈(e，＋∞)时，x－1>(e－1)ln x， 所以x∈(e，＋∞)时，ex－1>xe－1恒成立，即f′(x)>0， 所以f(x)在(e，＋∞)上单调递增. (2)解析　f(x)≥0，即ax≥xa，两边取对数得xln a≥aln x，即≤. 设h(x)＝，则问题即为当x≥ln a时，h(x)≤h(a)恒成立. 只需x≥ln a时，h(x)max≤h(a). h′(x)＝，令h′(x)＝0得x＝e， 当0<x<e时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x>e时，h′(x)<0，h(x)单调递减. 又因为a>e，则ln a>>e，所以x≥ln a时，h(x)单调递减， 所以x≥ln a时，h(x)max＝h≤h(a)， 所以ln a≥a，即ln a≥·a. 设φ(x)＝ln x－·x(x>e)，则φ′(x)＝－， 当e<x<时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增；当x>时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减， 所以φ(x)max＝φ＝ln－·>ln e－1＝0， 当x＝e时，φ(e)＝ln e－·e＝1－>0，x→＋∞时，φ(x)<0， 所以φ(x)的图象与x轴有1个交点， 设这个交点为x1， 因为φ(e2)＝0，所以x1＝e2； 所以当x>e时，φ(x)≥0⇔e<x≤e2， 即当a>e时，不等式ln a≥·a⇔e<a≤e2， 所以当不等式f(x)≥0在x≥ln a(a>e)上恒成立时，e<a≤e2. 即实数a的取值范围为(e，e2]. 18.解析　(1)技术改造前，易知μ1＝50，σ1＝0.4，则其优品率为P(49.6<X<50.4)＝P(μ1－σ1<X<μ1＋σ1)＝P(|X－μ1|<σ1)＝0.682 7； 技术改造后，μ2＝50，σ2＝0.2，则其优品率为P(49.6<X<50.4)＝P(μ2－2σ2<X<μ2＋2σ2)＝P(|X－μ2|<2σ2)＝0.954 5. 所以优品率之差为0.954 5－0.682 7＝0.271 8. (2)①记X为原系统中正常工作元件个数，Y为增加一个元件后正常工作元件个数. 由条件知，X～B(4，p)，Y～B(5，p). P(X≥3)＝Cp3(1－p)＋Cp4＝p3(4－3p)，P(Y≥3)＝Cp3(1－p)2＋Cp4(1－p)＋Cp5. 因为P(Y≥3)－P(X≥3)＝6p3(1－p)2>0，所以可靠性提高. ②根据上一问的假设， 易知X～B(n，p)，Y～B(n＋1，p). 当n为奇数时，设n＝2k－1(k≥2，k∈N*)，原系统的可靠性为P(X≥k)，新系统的可靠性为P(Y≥k＋1)，由题意可知， P(Y≥k＋1)＝P(X≥k＋1)＋p·P(X＝k). 所以，P(Y≥k＋1)－P(X≥k)＝[P(X≥k＋1)＋p·P(X＝k)]－[P(X≥k＋1)＋P(X＝k)]＝(p－1)P(X＝k)＝Cpk(1－p)k－1(p－1)<0，这说明可靠性降低. 当n为偶数时，设n＝2k(k≥2，k∈N*)，原系统的可靠性为P(X≥k＋1)，新系统的可靠性为P(Y≥k＋1)，由题意可知， P(Y≥k＋1)＝P(X≥k＋1)＋p·P(X＝k). 所以，P(Y≥k＋1)－P(X≥k＋1)＝p·P(X＝k)＝Cpk＋1(1－p)k>0，这说明可靠性提高. 综上，当n为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当n为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高. 19.(1)解析　当a＝3时，f(x)＝－3x2＋3x，依题意，x1＝－3x＋3x2①，x2＝－3x＋3x1②， 两式作差，(x2－x1)[4－3(x1＋x2)]＝0，则x1＝x2或x1＋x2＝， 若x1＝x2，代入①式解得，x1＝0或x1＝，而0<x1<1，于是x1＝； 若x1＋x2＝，将x2＝－x1代入②式解得，x1＝. 因此必有x1＝. 注意到f＝，xn＋1＝f(xn)，从而由x1＝归纳即知{xn}是常数列，xn＝. 所以{xn}的通项公式为xn＝. (2)证明　假设xn，xn＋1，xn＋2构成等比数列，则xn≠0. 那么由＝＝－xn＋1，＝＝－xn＋1＋1，可知xn＋1＝xn. 又xn＋1＝－x＋xn，则－x＋xn＝xn，解得xn＝0，与xn≠0矛盾. 所以{xn}中不存在连续的三项构成等比数列. (3)证明　由于当0<x<1时，有f(x)＝－x2＋x＝x(1－x)>0，f(x)＝－x2＋x<x<1，即0<f(x)<1. 而0<x1<1，xn＋1＝f(xn)，故归纳即知对任意正整数n都有0<xn<1. 又由xn>0及xn＋1＝f(xn)可知xn＋1＝－x＋xn<xn，故数列{xn}单调递减. 又由于x＝xi－(－x＋xi)＝xi－xi＋1，故 ＝x<x＝x＝x(xi－xi＋1)＝x(x1－xn＋1)<x＝. 即S1＋S2＋…＋Sn<. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 综合质量评估卷(二) (本卷满分150分　考试时间120分钟) 　　 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A＝[0，a]，B＝(2,3)，若A∩B＝∅，则(　　) A.0<a≤2 B.0<a<2 C.0<a<3 D.0<a≤3 2.(2x－3)(x－1)5的展开式中x3的系数为(　　) A.－50 B.－10 C.10 D.50 3.已知一组数据1,2,3,4，x的上四分位数是x，则x的取值范围为(　　) A.{3} B.[2,3] C.[3,4] D.{4} 4.设抛物线C：y＝4x2的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A.1 B. C. D. 5.记a＝30.2，b＝0.3－0.2，c＝log0.20.3，则(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 6.抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A＝“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，B＝“n次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是(　　) A.当n＝2时，P(AB)＝ B.当n＝2时，事件A与事件B不独立 C.当n＝3时，P(A＋B)＝ D.当n＝3时，事件A与事件B不独立 7.点P是边长为1的正六边形ABCDEF边上的动点，则·的最大值为(　　) A.2 B. C.3 D. 8.已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，其左、右顶点分别为A，B，过F且与x轴垂直的直线交双曲线E于M，N两点，设线段MF的中点为P，若直线BP与直线AN的交点在y轴上，则双曲线E的离心率为(　　) A.2 B.3 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0,0<φ<的部分图象如图所示，则(　　) A.A＝2 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)在内有3个极值点 D.f(x)在区间上的最大值为 10.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋y2＝1，圆O：x2＋y2＝5，P为圆O上任意一点，Q为椭圆C上任意一点.过P作椭圆C的两条切线l1，l2，当l1，l2与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为k1，k2，则(　　) A.椭圆C的离心率为 B.|PQ|的最小值为1 C.|PQ|的最大值为＋2 D.k＋k≥3 11.对于函数f(x)＝，下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，(1，e) B.f(π)>f(2) C.若方程|f(|x|)|＝k有6个不等实数根，则k>e D.对任意正实数x1，x2，且x1≠x2，若f(x1)＝f(x2)，则x1x2>e2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知复数z满足|z－i|＝，则||的最小值为________. 13.已知圆台O1O2的体积为14π，其上底面圆O1半径为1，下底面圆O2半径为4，则该圆台的母线长为________. 14.设A，B，C是一个三角形的三个内角，则cos A(3sin B＋4sin C)的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图，已知四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝1，BC＝1，CD＝2，点A在平面PCD内的投影恰好是△PCD的重心G. (1)求证：平面PAB⊥平面PBC； (2)求直线DG与平面PBC所成角的正弦值. 16.(15分)已知双曲线E：x2－y2＝1，直线PQ与双曲线E交于P，Q两点，直线MN与双曲线E交于M，N两点. (1)若直线MN经过坐标原点，且直线PM，PN的斜率kPM，kPN均存在，求kPMkPN； (2)设直线PQ与直线MN的交点为T(1,2)，且·＝·，证明：直线PQ与直线MN的斜率之和为0. 17.(15分)已知f(x)＝ax－xa(x>0，a>0且a≠1). (1)当a＝e时，求证：f(x)在(e，＋∞)上单调递增； (2)设a>e，已知∀x∈，有不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 18.(17分)某企业生产一种零部件，其质量指标介于(49.6,50.4)的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布N(50,0.16)；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布N(50,0.04). 附：若X～N(μ，σ2)，取P(|X－μ|<σ)＝0.682 7，P(|X－μ|<2σ)＝0.954 5. (1)求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差； (2)若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是p(0<p<1)，各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作.系统正常工作的概率称为系统的可靠性. ①若控制系统原有4个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？ ②假设该系统配置有n(n≥3，n∈N)个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明. 19.(17分)混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等，其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础、应用最广泛的模型之一，假设在一个混沌系统中，用xn来表示系统在第n(n∈N*)个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态xn＋1满足xn＋1＝f(xn),0<x1<1，其中f(x)＝－ax2＋ax. (1)当a＝3时，若满足对∀n∈N*，有xn＝f(xn＋1)，求{xn}的通项公式； (2)证明：当a＝1时，{xn}中不存在连续的三项构成等比数列； (3)若x1＝，a＝1，记Sn＝xx，证明：S1＋S2＋…＋Sn<. 学科网（北京）股份有限公司 $$