17.综合质量评估卷(一)-【精讲精练】2026年高考数学一轮达标测试卷

综合质量评估卷(一) 1.B　因为＝＝＝i(1－i)＝1＋i，所以虚部为1.故选B. 2.A　当|a＋b|＝|a|＋|b|时，|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2＋2|a|·|b|＋|b|2，化简得a·b＝|a||b|，即cos θ＝＝1，θ＝0，即a与b共线； 当a与b共线时，则存在唯一实数λ，使得a＝λb， |a＋b|＝|1＋λ||b|，|a|＋|b|＝(|λ|＋1)|b|，|λ|＋1与|1＋λ|不一定相等，即|a＋b|与|a|＋|b|不一定相等，故“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“a与b共线”的充分不必要条件，故选A. 3.C　对于A，若m∥α，n∥α，则m，n的位置关系不确定，故A错误； 对于B，若m∥α，m∥β，则α，β的位置关系不确定，故B错误； 对于C，若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α，故C正确； 对于D，若α⊥β，m⊂α，则m，β的位置关系不确定，故D错误.故选C. 4.B　由图象可知f(0)＝0，故排除D选项； 又图象不关于原点对称，故排除A选项； 对于B，当x∈(0,1)时，f(x)＝(x－1)sin πx<0；当x∈(1,2)时，f(x)＝(x－1)sin πx<0；当x＝1时，f(x)＝(x－1)sin πx＝0；符合要求. 对于C，f(x)＝xcos[π(x＋1)]＝－xcos πx. 所以f(－x)＝－(－x)cos π(－x)＝xcos πx＝－f(x)，为奇函数，图象应该关于原点对称，不符合要求.故选B. 5.A　因为sin(β－α)cos β－cos(α－β)sin β＝， 所以sin(β－α－β)＝，即sin α＝－， 由α为第三象限角知，cos α＝－， 所以cos＝cos αcos－sin αsin＝(cos α－sin α)＝＝－，故选A. 6.C　由Sn＝(2n＋1)Tn得，a1＝3b1，设{an}的公比为q1，{bn}的公比为q2， 当n＝2时，3(1＋q1)＝5(1＋q2)，即3q1＝2＋5q2， 当n＝3时，3(1＋q1＋q)＝9(1＋q2＋q)， 即q1＋q＝2＋3q2＋3q， 联立两式解得q1＝4，q2＝2，此时，Sn＝＝(2n＋1)b1(2n－1)＝(2n＋1)Tn， 则a1＝3b1，q1＝4，q2＝2，所以＝＝＝＝.故选C. 7.B　由题意f(x0)＝ln x0，f(－x0)＝－ax0＋1， 即ln x0＝ax0－1有解， 先求y＝ax－1与y＝ln x相切时， y＝ax－1过定点(0，－1)，y＝ln x的导数y′＝， 设切点为(x1，ln x1)，则由导数可知k=，所以k=a==，解得x1=1， 即切点为(1,0)，此时切线斜率a=1， 作出函数图象，如图，由图象可知，当a≤1时， 存在x0>0，使得f(-x0)=-f(x0)成立.故选B. 8.B　由题意，F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 设直线AB的方程为x＝my＋1， 联立即y2－4my－4＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， 所以x1＋x2＝4m2＋2，x1x2＝＝1， ＋＝＝＝＝1， 所以4|AF|＋9|BF|＝(4|AF|＋9|BF|)·＝4＋＋＋9≥13＋2＝13＋12＝25， 当且仅当2|AF|＝3|BF|，即x1＝，x2＝时等号成立. 所以4|AF|＋9|BF|的最小值为25.故选B. 9.AC　对于A选项，该正态分布对应的正态密度曲线关于直线x＝100对称，A正确； 对于B选项，σ越大，曲线越平，B错误； 对于C选项，σ越小，曲线越陡，所以，σ越小，在一次测量中，X的取值落在(99,101)内的概率越大，C正确； 对于D选项，因为X～N(100，σ2)，由正态密度曲线的对称性可得P(99<X<102)－P(101<X<104)＝P(99<X<101)－P(102<X<104)>0，D错误.故选AC. 10.AD　由题意知S△ABC＝S△ABD＋S△BDC， 由角平分线的性质以及面积公式可得ac·sin 60°＝·a·sin 30°＋·c·sin 30°， 化简得ac＝a＋c， ∴ac＝a＋c≥2，当且仅当a＝c时等号成立，解得ac≥4，故A正确，B错误； ∵ac＝a＋c，∴1＝＋， ∴a＋3c＝(a＋3c)＝4＋＋≥4＋2＝4＋2， 当且仅当＝，即a＝c时等号成立，故C错误，D正确.故选AD. 11. BC　如图所示，连接BC，过点C作CK⊥x轴于点K，过点B作BL⊥x轴于点L，则曲线w与x轴围成的图形的面积等于矩形BCKL的面积加上一个半径为1的圆的面积，其中BC=2，CK=1，故S=π+2，故A错误； 曲线w上有(2,0)，(1,1)，(-1,1)，(-2,0)，(0,2)，5个整点，故B正确； 弧CB所在圆的圆心为(0,1)，半径为1，故圆的方程为x2+(y-1)2=1，故C正确； 设弧CB与弧BA的公切线方程为y=kx+b，根据图象知k<0，则=1，=1，解得k=-1，b=+1，即公切线方程为x+y=+1，故D错误.故选BC. ·62·12.解析　2x＝3⇔x＝log23，y＝log4＝log2. ∴x＋2y＝log23＋log2＝log2＝log28＝3. 答案　3 13.解析　因为D，E分别是AB，AC的中点， 所以S△ADE∶S△ABC＝1∶4， 又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍. 即三棱柱A1B1C1­ABC的高是三棱锥F­ADE高的2倍. 所以V1∶V2＝＝＝1∶24. 答案　1∶24 14.解析　当l⊥x轴时，P， Q， 所以＝－＝－，从而a＝1， 所以c＝，e＝. 由题意知，A(－1,0)，B(1,0).设直线l的方程为x＝ny＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立整理得(4n2－1)y2＋16ny＋12＝0，Δ>0，n≠±， ∴y1＋y2＝，y1y2＝， ny1y2＝－(y1＋y2)，又k1＝，k2＝， 当k1≠0时， ＝＝＝＝＝－3. 所以k2＝－3k1，当k1＝0时，k2＝0，则k2＝－3k1仍成立. 当点P在右支运动时，由渐近线方程为y＝±2x可知－2<k1<2，故－6<k2<6. 答案　　(－6,6) 15.解析　(1)由题知f(x)＝sin xcos x－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x＝sin， ∴f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)由于在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝1， ∴f(A)＝sin＝1， ∵0<A<π，∴－<2A－<， ∴2A－＝， ∴A＝， ∵c＝2a·cos B， 在△ABC中由正弦定理得， sin C＝2sin Acos B， 又有sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Acos B， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0， ∴sin(A－B)＝0， ∴A－B＝kπ，k∈Z， ∵A，B是△ABC的内角，且A＝， ∴A＝B＝C＝， ∴a＝b＝c＝6， ∴△ABC的面积S△ABC＝×6×6×＝9. 16.(1)证明　在△ABC中，由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝42＋22－2×4×2×＝12， 所以BC2＋AC2＝AB2，所以BC⊥AC， 又BC⊥AP，AP∩AC＝A，AP⊂平面APC，AC⊂平面APC， 所以BC⊥平面ACP， 又BC⊂平面ABC，所以平面ACP⊥平面ABC. (2)解析　过点P作PH⊥AC交AC于点H， 因为平面ACP⊥平面ABC，平面ACP∩平面ABC＝AC，PH⊂平面ACP， 所以PH⊥平面ABC，因为AB⊂平面ABC， 所以PH⊥AB， 过点H作HG⊥AB交AB于点G，连接PG， 因为PH∩HG＝H，PH⊂平面PHG，HG⊂平面PHG， 所以AB⊥平面PHG，因为PG⊂平面PHG， 则PG⊥AB， 所以∠PGH是二面角P­AB­C的平面角. 由(1)知，BC⊥平面ACP，因为CP⊂平面ACP， 所以BC⊥CP， 17.解析　(1)由题意可得a＝30－6－4－2－2＝16； 故甲类题材中“一”出现的概率为＝. (2)由题意在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，搭配“一个”出现的概率为P＝＝， 则X～B，则P(X＝0)＝C02＝，P(X＝1)＝C11＝， P(X＝2)＝C20＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 则E(X)＝2×＝. (3)由题意知样本语料库B中“一格”出现的概率为＝， 甲类题材中“一个”出现的概率为＝， 由于>，故输入拼音“yige”时，“一个”在前面更合适. 18.解析　(1)根据条件可设A(t，t)，B(－n，n)， ∵|AB|＝2，∴2(t＋n)2＋(t－n)2＝8(*)， 设M(x，y)，由题意知∴ 代入(*)式得＋y2＝1，故曲线Γ的方程为＋y2＝1. (2)设＝＝λ，则＝λ，＝λ，设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 由＝λ，可知(x1＋2，y1－1)＝λ(x2＋2，y2－1)， ∴∴① ∵＝λ，设Q(x，y)∴② 19.(1)解析　当A＝{1,3,5}时，A＋A＝{2,4,6,8,10}，A－A＝{－4，－2,0,2,4}， |A＋A|＝|A－A|，所以n(A)＝0. (2)证明　设A＝{a，b，c}，其中0<a<b<c， 则A′＝A∪{0}＝{0，a，b，c}，n(A′)－n(A)＝|A′＋A′|－|A′－A′|－(|A＋A|－|A－A|)＝(|A′＋A′|－|A＋A|)－(|A′－A′|－|A－A|)， 因为0<a<2a<a＋b<2b<b＋c<2c， A＋A＝{2a,2b,2c，a＋b，b＋c}∪{a＋c}， 又(A＋A)∩A＝∅， 所以b≠2a，c≠2b，c≠2a，c≠a＋b， 又A′＋A′＝{b，c}∪{0，a,2a,2b,2c，a＋b，b＋c}∪{a＋c}， a＋c≠0，a＋c≠a， 所以|A′＋A′|－|A＋A|＝4， 因为－c<－b<－a<0<a<b<c，a－c<a－b<0<b－a<c－a，b－c<0<c－b， 所以A－A＝{0，a－b，a－c，b－a，c－a}∪{b－c，c－b}， A′－A′＝{a，b，－a，－b}∪{0，c，－c，a－b，a－c，b－a，c－a}∪{b－c，c－b}， 因为b≠2a，c≠2b，c≠2a，c≠a＋b， 所以a≠b－a，a≠c－a，b≠c－b，a≠c－b， b－c≠0，b－c≠c，b－c≠－c， 所以|A′－A′|－|A－A|＝6， 即n(A′)－n(A)＝－2， 所以n(A′)－n(A)为定值. (3)解析　A3＝{1,2，a3}(a3∈N*)， 若a3≥4，a3∈N*， 则4<1＋a3<2＋a3<2a3， 1－a3<2－a3<－1<1<a3－2<a3－1， 故A3＋A3＝{2,3,4,1＋a3,2＋a3,2a3}， A3－A3＝{1－a3,2－a3，－1,0,1，a3－2，a3－1}， 此时b3＝n(A3)＝|A3＋A3|－|A3－A3|＝－1，不符合题意， 故a3＝3， 猜想an＝n，证明如下： 当n≤3时，显然成立. 假设当n≤k，k∈N*时，都有ak＝k成立，即Ak＝{1,2,3，…，k}， 此时Ak＋Ak＝{2,3,4，…，2k}，Ak－Ak＝{1－k,2－k,3－k，…，0,1,2，…，k－1}， 故|Ak＋Ak|＝2k－2＋1＝2k－1，|Ak－Ak|＝k－1－(1－k)＋1＝2k－1， bk＝n(Ak)＝0，符合题意， Ak＋1＝{1,2，…，k，ak＋1}，ak＋1∈N*， 则Ak＋1＋Ak＋1＝{2,3,4，…，2k}∪{2＋ak＋1,3＋ak＋1，…，k＋ak＋1}， Ak＋1－Ak＋1＝{1－k,2－k,3－k，…，0,1,2，…，k－1}∪{1－ak＋1,2－ak＋1，…，0,1，…，ak＋1－1}， 若ak＋1≥k＋2， {2,3,4，…，2k}∪{2＋ak＋1,3＋ak＋1，…，k＋ak＋1}的元素个数小于{1－k,2－k,3－k，…，0,1,2，…，k－1}∪{1－ak＋1,2－ak＋1，…，0,1，…，ak＋1－1}的元素个数， 则有bk＋1＝n(Ak＋1)＝|Ak＋1＋Ak＋1|－|Ak＋1－Ak＋1|<|Ak＋Ak|－|Ak－Ak|＝n(Ak)＝0， 不符合题意，故ak＋1＝k＋1， 综上，对于任意的n∈N*，都有an＝n， 故数列{an}的通项公式为an＝n. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 综合质量评估卷(一) (本卷满分150分　考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数的虚部为(　　) A. B.1 C.i D.i 2.设a，b为非零向量，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“a与b共线”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(　　) A.若m∥α，n∥α，则m∥n B.若m∥α，m∥β，则α∥β C.若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α D.若α⊥β，m⊂α，则m⊥β 4.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)＝xcos πx B.f(x)＝(x－1)sin πx C.f(x)＝xcos[π(x＋1)] D.f(x)＝(x－1)cos πx 5.已知sin(β－α)cos β－cos(α－β)sin β＝，α为第三象限角，则cos＝(　　) A.－ B.－ C. D. 6.设数列{an}，{bn}均为公比不等于1的等比数列，前n项和分别为Sn，Tn，若Sn＝(2n＋1)Tn，则＝(　　) A. B.1 C. D.2 7.已知函数f(x)＝若存在x0>0，使得f(－x0)＝－f(x0)成立，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，－1] B.(－∞，1] C.[1，＋∞) D.[－1,1] 8.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线与C相交于A，B两点，则4|AF|＋9|BF|的最小值为(　　) A.26 B.25 C.20 D.18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某物理量的测量结果X服从正态分布N(100，σ2)，则(　　) A.该正态分布对应的正态密度曲线关于直线x＝100对称 B.σ越大，该正态分布对应的正态密度曲线越尖陡 C.σ越小，在一次测量中，X的取值落在(99,101)内的概率越大 D.在一次测量中，X的取值落在(99,102)与落在(101,104)的概率相等 10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝，则下列说法正确的是(　　) A.ac的最小值是4 B.ac的最大值是4 C.a＋3c的最小值是3＋2 D.a＋3c的最小值是4＋2 11.如图，A(2,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(－2,0)，弧CD是以OD为直径的圆上的一段圆弧，弧CB是以BC为直径的圆上的一段圆弧，弧BA是以OA为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线w，则下列叙述正确的是(　　) A.曲线w与x轴围成的图形的面积等于2π B.曲线w上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点) C.弧CB所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1 D.弧CB与弧BA的公切线方程为x＋y＝ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为________. 13.如图，在三棱柱A1B1C1­ABC中，D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F­ADE体积为V1，三棱柱A1B1C1­ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________. 14.双曲线C：－＝1(a>0)的左、右顶点分别为A，B，过点M(2,0)的直线l交该双曲线C于点P，Q，设直线PA的斜率为k1，直线QB的斜率为k2，已知l⊥x轴时，＝－，则双曲线C的离心率e＝________；若点P在双曲线右支上，则k2的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)＝sin xcos x－cos 2x， (1)求f(x)的最小正周期； (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)＝1，c＝2a·cos B，b＝6，求△ABC的面积. 16.(15分)如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝4，AC＝2，∠CAB＝60°，BC⊥AP. (1)证明：平面ACP⊥平面ABC； (2)若PA＝2，PB＝4，求二面角P­AB­C的平面角的正切值. 17.(15分)人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况，数据如下： “一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况 频数 “一个” 6 “一些” 4 “一穷” 2 “一条” 2 其他 a 假设用频率估计概率. (1)求a的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率； (2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为X，求X的分布列和期望； (3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？(结论不要求证明) 18.(17分)已知直线l1：y＝x，l2：y＝－x，动点A，B分别在直线l1，l2上，|AB|＝2，M是线段AB的中点，记点M的轨迹为曲线Γ. (1)求曲线Γ的方程； (2)已知点P(－2,1)，过点P作直线l与曲线Γ交于不同的两点C，D，线段CD上一点Q满足＝，求|OQ|的最小值. 19.(17分)已知A为有限个实数构成的非空集合，设A＋A＝{ai＋aj|ai，aj∈A}，A－A＝{ai－aj|ai，aj∈A}，记集合A＋A和A－A其元素个数分别为|A＋A|，|A－A|.设n(A)＝|A＋A|－|A－A|.例如当A＝{1,2}时，A＋A＝{2,3,4}，A－A＝{－1,0,1}，|A＋A|＝|A－A|，所以n(A)＝0. (1)若A＝{1,3,5}，求n(A)的值； (2)设A是由3个正实数组成的集合，且(A＋A)∩A＝∅，A′＝A∪{0}，证明：n(A′)－n(A)为定值； (3)若{an}是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意n∈N*，设An＝{a1，a2，…，an}，bn＝n(An).已知a1＝1，a2＝2，且对任意n∈N*，bn≥0，求数列{an}的通项公式. 学科网（北京）股份有限公司 $$