16.滚动测试卷(六)-【精讲精练】2026年高考数学一轮达标测试卷

滚动测试卷(六) (本卷满分150分　考试时间120分钟) 　　 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知双曲线C：－＝1的一条渐近线方程为y＝2x，则m＝(　　) A.1 B.2 C.8 D.16 2.已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是(　　) A.0.92 B.0.93 C.0.94 D.0.95 3.设随机变量X～N(2，σ2)，P(0<X<4)＝0.3，P(X<－1)＝m，则下列结论正确的是(　　) A.m＝0.35 B.m＝0.7 C.0.35<m<0.7 D.0<m<0.35 4.记正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S20＝100，则a10·a11的最大值为(　　) A.9 B.16 C.25 D.50 5.已知某圆锥的侧面积为π，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为(　　) A.15° B.30° C.45° D.60° 6.2024年的五一劳动节，公司筹备优秀员工假期免费旅游.除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有(　　) A.1800 B.1080 C.720 D.360 7.已知P为抛物线x2＝4y上一点，过P作圆x2＋(y－3)2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则cos∠APB的最小值为(　　) A. B. C. D. 8.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为偶函数，f(x＋2)－1为奇函数.若f(1)＝0，则(k)＝(　　) A.23 B.24 C.25 D.26 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.给出下列说法，其中正确的是(　　) A.若数据x1，x2，…，xn的方差s2为0，则此组数据的众数唯一 B.已知一组数据2,3,5,7,8,9,9,11，则该组数据的第40百分位数为6 C.一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数应该大体上差不多 D.经验回归直线＝x＋恒过样本点的中心(，)，且在回归直线上的样本点越多，拟合效果越好 10.甲袋中有20个红球，10个白球，乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别.现在从两袋中各取出1个球，下列结论正确的是(　　) A.2个球都是红球的概率为 B.2个球中恰有1个红球的概率为 C.不都是红球的概率为 D.都不是红球的概率为 11.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物.关于曲线C：x2＋y2＝|x|＋|y|，则下列结论正确的是(　　) A.曲线C关于原点成中心对称图形 B.曲线C关于x轴、y轴成轴对称图形 C.曲线C上任意两点之间的距离都不超过2 D.曲线C所围成的“花瓣”形状区域的面积大于π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若(1＋x)5展开式中x2的系数为30，则a＝________. 13.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＋f(x－1)＝f(2024)，f(－2x＋1)＝f(2x＋5)，若f＝，则f(2024)＝________，f＝________. 14.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若过点F2的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|＝2.又以双曲线的顶点为圆心，半径为2的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则双曲线的离心率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)＝. (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)求证：当a>0时，f(x)≤e2a－2. 16.(15分)盒中有标记数字1,2的小球各2个. (1)若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为X(如1122，则X＝2)，求X的分布列及数学期望E(X). 17.(15分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆W：＋＝1(a>b>0)的离心率为e，已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且椭圆W过点(1，e). (1)求椭圆W的方程； (2)已知平行四边形ABCD的四个顶点均在W上，求平行四边形ABCD的面积S的最大值. 18.(17分)某公司计划在员工团建活动中设置一个抽奖环节.工作人员在仓库中随机抽取了20个规格相同的礼盒，各礼盒中均有1个质地相同的小球，礼盒和小球的颜色为红色或黑色，且颜色分布如下表所示. 小球颜色 礼盒颜色 合计 红色 黑色 红色 m n m＋n 黑色 2 6 8 合计 m＋2 n＋6 20 已知从上述礼盒中随机选取2个礼盒，红色与黑色礼盒恰好各1个的概率为. (1)求m，n的值； (2)为提高活动的趣味性，设抽奖过程及中奖规则如下： ①将20个礼盒放在1个箱子中，每人有放回地分两次抽取，每次抽取1个礼盒，并记录礼盒和该礼盒中的小球的颜色. ②两次抽取后的结果分四种情况：礼盒与礼盒中的小球的颜色两次均相同；2个礼盒的颜色相同，但2个小球的颜色不同；2个礼盒的颜色不同，但2个小球的颜色相同；礼盒与礼盒中的小球的颜色两次均不相同. ③按②抽取后的结果的可能性大小，设概率越小，对应奖项的奖金越高. ④活动奖励分四个等级，奖金额分别为一等奖800元，二等奖400元，三等奖200元，四等奖100元. 若预计有60名员工参与抽奖活动(每人抽奖1次)，求抽奖活动的奖金总额的数学期望. 19.(17分)在概率统计中，常常用频率估计概率.已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球n次，红球出现m次.假设每次摸出红球的概率为p，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率p的估计值为＝. (1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1∶3，不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为Y，则Y～B(3，p). (注：Pp(Y＝k)表示当每次摸出红球的概率为p时，摸出红球次数为k的概率) (ⅰ)完成下表； k 0 1 2 3 P(Y＝k) P(Y＝k) (ⅱ)在统计理论中，把使得Pp(Y＝k)的取值达到最大时的p，作为p的估计值，记为，请写出的值. (2)把(1)中“使得Pp(Y＝k)的取值达到最大时的p作为p的估计值”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计. 具体步骤：先对参数θ构建对数似然函数l(θ)，再对其关于参数θ求导，得到似然方程l′(θ)＝0，最后求解参数θ的估计值.已知Y～B(n，p)的参数p的对数似然函数为l(p)＝ln p＋(1－Xi)ln(1－p)，其中Xi＝求参数p的估计值，并且说明频率估计概率的合理性. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 滚动测试卷(六) 1.A　依题意，得m>0， 令－＝0⇒y＝± x， 即C的渐近线方程为y＝± x， 所以＝2⇒m＝1.故选A. 2.B　由甲、乙两厂所占比例及对应的合格率可得P＝60%×95%＋40%×90%＝0.93，故选B. 3.D　由P(0<X<4)＝0.3，根据正态分布曲线的对称性可得P(0<X≤2)＝0.15，P(X≤2)＝0.5，所以P(X≤0)＝P(X≤2)－P(0<X≤2)＝0.5－0.15＝0.35， P(X<－1)＝P(X≤0)－P(－1≤X≤0)＝0.35－P(－1≤X≤0)， 又P(－1≤X≤0)>0，所以P(X<－1)<0.35且P(X<－1)>0， 所以0<m<0.35，故选D. 4.C　∵S20＝×20＝100， ∴a1＋a20＝10，∴a10＋a11＝a1＋a20＝10. 又∵a10>0，a11>0， ∴a10·a11≤2＝＝25，当且仅当a10＝a11＝5时，“＝”成立. ∴a10·a11的最大值为25.故选C. 5. C　设圆锥的母线为l>0，底面半径为r>0，高为h>0， 由题意可得 解得 设该圆锥的母线与底面所成的角为θ，则0°<θ<90°， 可得tan θ==1，所以该圆锥的母线与底面所成的角为θ=45°.故选C. 6.B　①恰有2个部门所选的旅游地相同， 第一步，先将选相同的2个部门取出，有C＝6种； 第二步，从6个旅游地中选出3个排序，有A＝120种， 根据分步计数原理可得，方法有6×120＝720种； ②4个部门所选的旅游地都不相同的方法有A＝360种， 根据分类加法计数原理得，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有720＋360＝1080种.故选B. 则|PC|2＝t2＋2＝－＋9＝(t2－4)2＋8， 当t2＝4时，|PC|取得最小值2， 此时∠APB最大，cos∠APB最小， 且(cos∠APB)min＝1－2sin2∠APC＝1－22＝，故C正确.故选C. 8.C　f(x＋1)为偶函数，则f(x＋1)＝f(－x＋1)，则f(x)关于x＝1对称，f(x＋2)－1为奇函数， 则f(－x＋2)－1＝－f(x＋2)＋1， 即f(－x＋2)＋f(x＋2)＝2，则关于点(2,1)对称， 则由其关于x＝1对称有f(x)＝f(－x＋2)，则f(x)＋f(x＋2)＝2， 则f(x＋2)＋f(x＋4)＝2，作差有f(x)＝f(x＋4)， ∴f(x)为周期函数，且周期为4，∵f(1)＋f(3)＝2，f(1)＝0，则f(3)＝2， ∵f(0)＝f(2)，f(0)＋f(2)＝2，则f(0)＝f(2)＝1， f(4)＝f(0)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4， ∴(k)＝24，(k)＝24＋0＋1＝25，故选C. 9.AC　选项A：由方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝0，可得x1＝x2＝…＝xn＝，即此组数据众数唯一，判断正确； 选项B：数据2,3,5,7,8,9,9,11共有8个数，由8×40%＝3.2可知，该组数据的第40百分位数为第4个数为7，判断错误； 选项C：依据中位数定义和平均数定义，一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数应该大体上差不多，判断正确； 选项D：回归直线的拟合效果看残差平方和，残差平方和越小，拟合效果越好，不是看回归直线上的样本点越多，拟合效果越好，判断错误.故选AC. 10.ABC　记事件A1：从甲袋中任取1个球为红球，事件A2：从乙袋中任取1个球为红球， 则P(A1)＝，P(A2)＝， 对于A选项，即求事件A1A2的概率， P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝，所以A正确； 对于B选项，即求事件A1＋A2的概率， P(A1＋A2)＝P(A1)P()＋P()P(A2)＝×＋×＝，所以B正确； 对于C选项，由于“都是红球”与“不都是红球”互为对立事件， 所以概率为1－P(A1A2)＝1－＝，C正确； 对于D选项，即求事件 的概率，P( )＝×＝，所以D错误.故选ABC. 11.ABD　当x>0，y>0时，曲线方程可化为2＋2＝，表示以为圆心，为半径的圆在第一象限的部分； 当x<0，y>0时，曲线方程可化为2＋2＝，表示以为圆心，为半径的圆在第二象限的部分； 当x<0，y<0时，曲线方程可化为2＋2＝，表示以为圆心，为半径的圆在第三象限的部分； 当x>0，y<0时，曲线方程可化为2＋2＝，表示以为圆心，为半径的圆在第四象限的部分； 当x＝0时，y＝0或y＝±1；当y＝0时，x＝0或x＝±1；图象上还有(0,0)，(0,1)，(0，－1)，(1,0)，(－1,0)这5个点. 曲线图象如图所示. 对于A，将(－x，－y)代入曲线方程有(－x)2＋(－y)2＝|－x|＋|－y|，整理得x2＋y2＝|x|＋|y|，所以曲线C关于原点成中心对称图形，故A正确； 对于B，将(－x，y)代入曲线方程有(－x)2＋y2＝|－x|＋|y|，整理得x2＋y2＝|x|＋|y|，所以曲线C关于y轴成轴对称图形，将(x，－y)代入曲线方程有x2＋(－y)2＝|x|＋|－y|，整理得x2＋y2＝|x|＋|y|，所以曲线C关于x轴成轴对称图形，故B正确； 对于C，如图，每个小圆半径R=， 曲线上任意两点距离范围为(0,4R)，即两点距离范围为(0，2 )，故C错误； 对于D，曲线C所围成的“花瓣”形状区域可看成四个半圆和一个正方形组成，设它的面积为S，S=4×πR2+(2R)2=π+2>π，故D正确.故选ABD. 12.解析　由题意知， (1＋x)5＝a(1＋x)5＋(1＋x)5， (1＋x)5展开式的通项公式为C15－rxr＝Cxr， 所以含x2的项的系数为aC＋aC， 则aC＋aC＝30，即15a＝30，解得a＝2. 答案　2 13.解析　因为f(x＋1)＋f(x－1)＝f(2024)， 所以f(x＋2)＋f(x)＝f(2024)， 所以f(x＋4)＋f(x＋2)＝f(2024)， 则f(x＋4)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 所以f(2024)＝f(4). 又因为f(－2x＋1)＝f(2x＋5)， 所以f(2)＝f(4)＝f(0)， 又因为f(2)＋f(0)＝f(2024)＝f(4)， 所以f(2024)＝0， 则f(x＋1)＋f(x－1)＝0，在f(－2x＋1)＝f(2x＋5)中，用－x替换x得f(1＋x)＝f(5－x)＝f(1－x)，即f(x＋1)＝f(1－x)，因为f＝， 所以f＝，f＝－，f＝－， 所以f＝×(1＋2－3－4)＋×(5＋6－7－8)＋…＋×(97＋98－99－100)＝×(－4)×25＝－50. 答案　0　－50 14.解析　令|F1F2|＝2c，依题意，c2＝a2＋b2＝(2)2，解得c＝2， 显然|AF2|=|AF1|+2a=2+2a，|BF2|=|BF1|-2a=2-2a，|AB|=|AF2|-|BF2|=4a， 而∠F1AB=∠F1BA，于是cos∠F1AF2===， 在△AF1F2中，由余弦定理|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos∠F1AF2， 得(4)2＝20＋(2＋2a)2－2×2×(2＋2a)×，解得a2＝2，即a＝， 所以双曲线的离心率为＝2. 答案　2 15.(1)解析　当a＝1时，f(x)＝，f′(x)＝－， 由f′(x)<0，可得x>1，由f′(x)>0，可得0<x<1， 故当a＝1时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞). (2)证明　当a>0时，因为f(x)＝，则f′(x)＝， 由f′(x)<0，可得x>e1－a，由f′(x)>0，可得0<x<e1－a， 所以，函数f(x)的单调递增区间为(0，e1－a)，单调递减区间为(e1－a，＋∞)， 所以f(x)max＝f(e1－a)＝，下证：≤e2a－2， 即证：ea－1≥a. 记g(a)＝ea－1－a，g′(a)＝ea－1－1， 当a∈(0,1)时，g′(a)<0，当a∈(1，＋∞)时，g′(a)>0， 所以，函数g(a)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)， 所以，g(a)min＝g(1)＝0，所以g(a)≥0恒成立，即ea－1≥a. 所以当a>0时，f(x)≤e2a－2. 16.解析　(1)设事件A＝“取出的2个小球上的数字不同”， 则P(A)＝＝. (2)X的所有可能取值为0,1,2. ①当相邻小球上的数字都不同时，如1212， 有2×A×A种， 则P(X＝0)＝＝. ②当相邻小球上的数字只有1对相同时，如1221，有2×A×A种， 则P(X＝1)＝＝. ③当相邻小球上的数字有2对相同时，如1122，有2×A×A种， 则P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 17.解析　(1)由题意知＋＝＋＝＝＝1，解得b＝1， 由长轴长是短轴长的2倍，则a＝2， 所以椭圆W的方程为＋y2＝1. (2)当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y＝kx＋m1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为AB∥CD，故可设CD方程为y＝kx＋m2， 由得(1＋4k2)x2＋8km1x＋4m－4＝0， 则Δ>0，x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以|AB|＝ ＝ ·， 同理|CD|＝ ·， 因为|AB|＝|CD|，所以m＝m，因为m1≠m2， 所以m1＋m2＝0， 直线AB与CD之间的距离为d＝＝， 所以S＝|AB|·d＝ ··＝≤8×＝4， 当且仅当4k2＋1＝2m时，平行四边形ABCD的面积S取得最大值，为4. 当直线AB的斜率不存在时，此时平行四边形ABCD为矩形，设A(x1，y1)， 易得S=4|x1y1|， 又因为1=+≥2=|x1y1|，所以S≤4，当且仅当x1=y1时等号成立. 综上所述，平行四边形ABCD的面积S的最大值为4. 18.解析　(1)由表中数据可得，红色礼盒共有m＋2个，黑色礼盒有n＋6个， 所以从上述礼盒中随机选取2个礼盒，红色与黑色礼盒恰好各1个的概率为＝， 又m＋n＝12，解得m＝8，n＝4. (2)颜色分布如下表所示. 小球颜色 礼盒颜色 合计 红色 黑色 红色 8 4 12 黑色 2 6 8 合计 10 10 20 因此礼盒为红色，里面的球也为红色的概率为＝， 礼盒为红色，里面的球为黑色的概率为＝， 礼盒为黑色，里面的球为红色的概率为＝， 礼盒为黑色，里面的球也为黑色的概率为＝， 故礼盒与礼盒中的小球的颜色两次均相同的概率为2＋2＋2＋2＝； 2个礼盒的颜色相同，但2个小球的颜色不同的概率为2××＋2××＝； 2个礼盒的颜色不同，但2个小球的颜色相同2××＋2××＝； 礼盒与礼盒中的小球的颜色两次均不相同2××＋2××＝. 进而可得一个员工在抽奖活动中的所得奖金X的分布列为 X 800 400 200 100 P 一个员工抽奖的奖金期望为E(X)＝800×＋400×＋200×＋100×＝334， 则60个人抽奖活动的奖金总额的数学期望为60E(X)＝334×60＝20 040元. ·61·19.解析　(1)因为袋中这两种颜色球的个数之比为1∶3，且Y～B(3，p)，所以p的值为或. (ⅰ)当p＝时，P(Y＝1)＝Cp1(1－p)2＝， P(Y＝2)＝Cp2(1－p)＝， 当p＝时，P(Y＝0)＝Cp0(1－p)3＝， P(Y＝2)＝Cp2(1－p)＝， 表格如下： k 0 1 2 3 P(Y＝k) P(Y＝k) (ⅱ)由上表可知Pp(Y＝k)＝Cpk(1－p)3－k. 当Y＝0或1时，参数p＝的概率最大；当Y＝2或3时，参数p＝的概率最大. 所以＝ ， 因此，用最大似然估计的参数p与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的. 学科网（北京）股份有限公司 $$