15.达标测试卷(十) 统计与成对数据的统计分析-【精讲精练】2026年高考数学一轮达标测试卷

达标测试卷(十)　统计与成对数据的统计分析 (本卷满分150分　考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知一组数据为50,40,39,45,32,34,42,37，则这组数据第40百分位数为(　　) A.39 B.40 C.45 D.32 2.某校高三共有200人参加体育测试，根据规则，82分以上的考生成绩等级为A，则估计获得A的考生人数约为(　　) A.100 B.75 C.50 D.25 3.为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为(　　) A.1.4 B.1.45 C.1.5 D.1.55 4.根据一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)，求得经验回归方程为＝1.2x＋0.4，且＝3.现发现这组样本数据中有两个样本点(1.2,0.5)和(4.8,7.5)误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为＝1.1x＋a，则a＝(　　) A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 5.已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是8,8,8,10,11,16，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为(　　) A.12 B.20 C.25 D.27 6.已知数据x1，x2，…，x5(xi∈Z，i＝1,2，…，5)的平均数、中位数、方差均为4，则这组数据的极差为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 7.已知实数x0，x1，…，x2024，则使xi－k|和(xi－k)2最小的实数k分别为x0，x1，…，x2024的(　　) A.平均数；平均数 B.平均数；中位数 C.中位数；平均数 D.标准差；平均数 8.某校积极开展“戏曲进校园”活动，为了解该校各班参加戏曲兴趣小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本标准差为2，且样本数据互不相等，则该样本数据的极差为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是(　　) A.该地农户家庭年收入的极差为12 B.估计该地农户家庭年收入的75%分位数约为9 C.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 D.估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元 10.已知一组数据1,3,5,7,9，其中位数为a，平均数为，极差为b，方差为s2.现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为a′，平均数为′，极差为b′，方差为s′2，则下列说法中正确的是(　　) A.若删去3，则a<a′ B.若删去9，则<′ C.无论删去哪个数，均有b≥b′ D.若＝′，则s2<s′2 11.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩x∈[0,15]，且x∈N*，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为(　　) A.13 B.12 C.11 D.10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43,45,45,45,49,50,50,51,51,53,57(单位：mm)，现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为________. 13.某公司对来应聘的人进行笔试，统计出200名应聘者的笔试成绩，整理得到下表： 组号 1 2 3 4 5 6 成绩分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 累积频率 0.05 0.15 a a＋0.30 2a＋0.10 2a＋0.30 注：第n组的累积频率指的是前n组的频率之和. 若公司计划150人进入面试，则估计参加面试的最低分数线为________. 14.已知一组统计数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则函数f(x)＝(x－xi)2的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)某公司为了了解顾客对其旗下产品的满意程度，随机抽取n名顾客进行满意度问卷调查，按所得评分(满分100分)从低到高将满意度分为四个等级： 调查评分 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 满意度等级 不满意 一般 良好 满意 并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在[70,80)的顾客为80人. (1)求n的值及频率分布直方图中t的值； (2)若某段时间有10 000名顾客购买该公司的产品，请估计这10 000名顾客中对该公司产品满意度达到“满意”的人数； (3)该公司设定的预案是以抽取的样本作为参考，若顾客满意度评分的均值低于80分，则需要对该公司旗下产品进行调整，否则不需要调整.根据你所学的统计知识，判断该公司是否需要对旗下产品进行调整，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替) 16.(15分)某兴趣小组，对高三刚结束的测试的物理成绩进行随机调查，在所有选择物理科的考生中随机抽取100名各类考生的物理成绩，整理数据如下表(单位：人). 物理成绩 学生分类　　　　　 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90] A班男生 2 8 15 8 B班男生 3 10 20 4 A班女生 3 4 2 1 B班女生 10 6 4 0 (1)估计该校高三学习物理男生人数与女生人数的比值； (2)求A班物理平均成绩的估计值(同一组中的数据用该组区间中点值为代表，结果四舍五入到整数)； (3)把成绩在[60,90]称为及格，成绩在[50,60)为不及格，根据所有数据完成下面2×2列联表，试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析该校考生的物理成绩与性别是否有关？ 性别 成绩 合计 及格 不及格 男生 女生 合计 附：χ2＝ α 0.05 0.01 0.001 χα 3.841 6.635 10.828 17.(15分)为进一步推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识大宣传活动.举办了“网络防骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中a的值，根据频率分布直方图计算样本成绩的平均数和下四分位数； (2)已知若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为m，，s；n，，s，记总的样本平均数为，样本方差为s2. 证明：s2＝{m[s＋(－)2]＋n[s＋(－)2]}； (3)已知落在[50,60)的平均成绩是59，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为65，方差是4，求两组样本成绩的总平均数和总方差s2. 18.(17分)台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入，该公司近5年的年广告费xi(单位：百万元)和年销售量yi(单位：百万辆)关系如图所示，令vi＝ln xi(i＝1,2，…，5)，数据经过初步处理得到下表. (xi－)2 (yi－)2 (vi－)2 (xi－)(yi－) (yi－)(vi－) 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①y＝bx＋a和②y＝nln x＋m两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)根据(1)的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6(百万元)时，产品的年销售量是多少？ (3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元(不含广告费、研发经费).该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量ξ影响，设随机变量ξ服从正态分布N(600，σ2)，且满足P(ξ>800)＝0.3.在(2)的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000(百万元)的概率.(年净利润＝毛利润×年销售量－年广告费－年研发经费－随机变量). 附：①相关系数r＝， 回归直线＝＋x中公式分别为＝，＝－； ②参考数据：＝8.06, ≈20.1，ln 5≈1.6，ln 6≈1.8. 19.(17分)将2024表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和，得到方程x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝2024①，称五元有序数组(x1，x2，x3，x4，x5)为方程①的解，对于上述的五元有序数组(x1，x2，x3，x4，x5)，当1≤i，j≤5时，若max(xi－xj)＝t(t∈N)，则称(x1，x2，x3，x4，x5)是t－密集的一组解. (1)方程①是否存在一组解(x1，x2，x3，x4，x5)，使得xi＋1－xi(i＝1,2,3,4)等于同一常数？若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由； (2)方程①的解中共有多少组是1－密集的？ (3)记S＝，问S是否存在最小值？若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 达标测试卷(十)　统计与成对数据的统计分析 1.A　将这组数据从小到大排列为32,34,37,39,40,42,45,50，共8个， 因为8×40%＝3.2，所以这组数据第40百分位数为第4个数据，即为39，故选A. 2.C　由频率分布直方图可得82分以上的考生的频率约为0.025×10×＋0.005×10＝0.25， 所以获得A的考生人数约为200×0.25＝50(人)，故选C. 3.B　由题意可得，该校学生每天学习时间的均值为 ＝×8＋×9＋×10＝9.3， 该校学生每天学习时间的方差为 s2＝×[0.5＋(8－9.3)2]＋×[0.8＋(9－9.3)2]＋×[1＋(10－9.3)2]＝1.45.故选B. 4.C　因为原来的经验回归方程为＝1.2x＋0.4，且＝3， 所以＝1.2×3＋0.4＝4， 因为去除的两个样本点为(1.2,0.5)和(4.8,7.5)，并且＝3，＝4， 所以去除两个样本点后，样本点的中心仍为(3,4)， 代入重新求得的经验回归方程＝1.1x＋a， 可得4＝1.1×3＋a，解得a＝0.7.故选C. 5.D　这7个数据的众数是8，设丢失的数据是x， 则平均数为＝， 若x<8，则中位数是8，则＋8＝8×2，解得x＝－5. 若x＝8，则中位数是8，平均数＝， 此时，8,8不成等差数列，不符合题意. 若8<x<10，则中位数是x，则＋8＝2x，解得x＝9. 若x＝10，则中位数是10，则＝， ，10,8不成等差数列，不符合题意. 若x>10，则中位数是10，则＋8＝10×2，解得x＝23. 所以丢失数据的所有可能值的和为－5＋9＋23＝27.故选D. 6.D　根据题意，不妨设x1<x2<x3<x4<x5，且xi∈Z，可得x3＝4， 由平均数为4，得(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝4， 即x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝20； 由方差为4，得[(x1－4)2＋(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2]＝4， 即x＋x＋x＋x＋x＝100； 联立 由xi∈Z可解得x1＝1，x2＝3，x4＝5，x5＝7. 根据极差定义可得这组数据的极差为x5－x1＝6.故选D. 7.C　|xi－k|＝|x0－k|＋|x1－k|＋…＋|x2024－k|，表示2025个绝对值之和， 根据绝对值的几何意义知，绝对值的和的最小值表示距离和的最小值， 因为2025为奇数，所以k取x0，x1，…，x2024的中位数时，|xi－k|有最小值； (xi－k)2＝ (x－2kxi＋k2)＝(x＋x＋x＋…＋x)－(2x0＋2x1＋2x2＋…＋2x2024)k＋2025k2为关于k的一元二次函数， 故当k＝时，(xi－k)2有最小值， 即k为x0，x1，…，x2024的平均数时，(xi－k)2有最小值.故选C. 8.D　不妨设该五个班级的样本数据分别为a，b，c，d，e(a<b<c<d<e)，且a，b，c，d，e∈N*，则依题意有 化简得a＋b＋c＋d＋e＝35，(a－7)2＋(b－7)2＋(c－7)2＋(d－7)2＋(e－7)2＝20， 易知e≥d＋1≥c＋2≥b＋3≥a＋4⇒a＋b＋c＋d＋e≤5e－10⇒e≥9， 又易知五个数据减7的平方数为整数，a－7，b－7，c－7，d－7，e－7五个数的绝对值不超过4. 当e＝11时，(a－7)2＋(b－7)2＋(c－7)2＋(d－7)2＝4，由数据为整数且均不相同得等式不成立； 当e＝10时，(a－7)2＋(b－7)2＋(c－7)2＋(d－7)2＝11，由数据为整数且均不相同得该四个平方数只能为0,1,1,9，则a＝4，b＝6，c＝7，d＝8，符合题意，此时极差为6； 当e＝9时，(a－7)2＋(b－7)2＋(c－7)2＋(d－7)2＝16，由数据为整数且均不相同得等式不成立； 综上，五组数据的极差为6.故选D. 9.BCD　观察频率分布直方图， 对于A，该地农户家庭年收入的极差约为14－3＝11，A错误； 对于B，数据在[2.5,8.5)的频率为0.02＋0.04＋0.1＋0.14＋0.2＋0.2＝0.7， 数据在[2.5,9.5)的频率为0.8，因此75%分位数m∈(8.5,9.5)，(m－8.5)×0.1＝0.05，解得m＝9，B正确； 对于C，数据在[4.5,8.5)内的频率为0.1＋0.14＋0.2＋0.2＝0.64>0.5，C正确； 对于D，家庭年收入的平均值＝3×0.02＋4×0.04＋5×0.1＋6×0.14＋7×0.2＋8×0.2＋9×0.1＋10×0.1＋11×0.04＋(12＋13＋14)×0.02＝7.68(万元)，D正确.故选BCD. 10.ACD　A选项，若去掉3，根据中位数的定义，a＝5，a′＝＝6，满足a<a′，A选项正确； B选项，若删去9，根据平均数的定义， ＝＝5，′＝＝4，>′，B选项错误； C选项，根据极差的定义， 若去掉的数是3,5,7中的一个， 显然去掉前后极差都是9－1＝8，满足b＝b′， 若去掉1，b′＝9－3＝6<b＝8， 若去掉9，b′＝7－1＝6<b＝8， 综上，b≥b′，C选项正确； D选项，原数据平均数＝5，去掉一个数后平均数保持不变，即′＝5， 则剩下的四个数之和为5×4＝20，显然去掉的数只能是5，由方差的定义， s2＝[(1－5)2＋(3－5)2＋(5－5)2＋(7－5)2＋(9－5)2]＝8， s′2＝[(1－5)2＋(3－5)2＋(7－5)2＋(9－5)2]＝10， 满足s2<s′2，D选项正确.故选ACD. 11.BC　设该5名同学在此次比赛中所得成绩分别为x1，x2，x3，x4，x5， 由题得＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝8， 则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝40， 且s2＝[(x1－8)2＋(x2－8)2＋(x3－8)2＋(x4－8)2＋(x5－8)2]＝4， 则(x1－8)2＋(x2－8)2＋(x3－8)2＋(x4－8)2＋(x5－8)2＝20， 不妨设x5最大， 对于A选项，若x5＝13，则(x1－8)2＋(x2－8)2＋(x3－8)2＋(x4－8)2＝－5不成立，故A错误； 对于B选项，若x5＝12，则(x1－8)2＋(x2－8)2＋(x3－8)2＋(x4－8)2＝4, 则满足题意，例如5位同学的成绩可为7,7,7,7,12，故B正确； 对于C选项，若x5＝11，则(x1－8)2＋(x2－8)2＋(x3－8)2＋(x4－8)2＝11， 则满足题意，例如5位同学的成绩可为5,7,8,9,11，故C正确； 对于D选项，若x5＝10，则x1＋x2＋x3＋x4＝30且(x1－8)2＋(x2－8)2＋(x3－8)2＋(x4－8)2＝16， 则x＋x＋x＋x－16(x1＋x2＋x3＋x4)＋4×82＝16， 则x＋x＋x＋x＝16(x1＋x2＋x3＋x4)－4×82＋16＝16×30－4×82＋16＝240， 则可得该方程组无正整数解，故D错误.故选BC. 12.解析　由题意知11个零件的平均数为＝49， 第六十百分位数的位置为11×60%＝6.6，即取第7位数50，故第六十百分位数为50， 由题可知众数为45，所以当从11个零件中任取3个零件共有C＝165种情况， 则3个数分别为平均数49、第六十百分位数50，众数45共有CCC＝6种情况， 所以其概率为＝. 答案　 13.解析　由各组累积频率为1得，2a＋0.3＝1，则a＝0.35. 又由＝0.75知，面试的最低分数线为笔试成绩从低到高排列的第25百分位数m， 由题表知，笔试成绩分别在[40,60)与[40,70)的累积频率分别为0.15,0.35， 故＝，解得m＝65， 从而可估计参加面试的最低分数线为65. 答案　65 14.解析　由＝i，得s2＝(xi－)2＝(－2i＋n2)＝(－n2)， 则＝n(s2＋2)， 故f(x)＝(x－xi)2＝nx2－2xi＋＝nx2－2n·x＋＝n(x－)2＋ns2≥ns2，当且仅当x＝时等号成立.所以函数f(x)＝(x－xi)2的最小值为ns2. 答案　ns2 15.解析　(1)0.02×10n＝80,10t＋0.06＋0.1＋0.2＋60t＋90t＝1， 所以n＝400，t＝0.004. (2)6t＝6×0.004＝0.024， 所以估计这10 000名顾客中对该公司产品满意度达到“满意”的人数为10 000×0.024×10＝10 000×0.24＝2400(人). (3)由频率分布直方图得，顾客满意度评分的均值为 45×0.04＋55×0.06＋65×0.1＋75×0.2＋85×9×0.04＋95×0.24＝80， 由题意知不需要对该公司旗下产品进行调整. 16.解析　(1)由表中数据可知，男生共有2＋8＋15＋8＋3＋10＋20＋4＝70， 女生共有3＋4＋2＋1＋10＋6＋4＋0＝30， 由此估计该校高三学习物理男生人数与女生人数的比值约为＝. (2)A班共有：2＋3＋8＋4＋15＋2＋8＋1＝43人， A班物理平均成绩的估计值为 55×＋65×＋75×＋85× ＝≈72. (3)由表中数据可知，2×2列联表如下： 性别 成绩 合计 及格 不及格 男生 65 5 70 女生 17 13 30 合计 82 18 100 零假设为H0：该校考生的物理成绩与考生性别无关， 根据表格中数据计算得到 χ2＝≈18.635>6.635＝x0.01， 根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，推断H0不成立，即认为该校考生的物理成绩与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. 17.(1)解析　由题意可知，(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)×10＝1， 解得a＝0.030. 平均数为(45×0.005＋55×0.01＋65×0.02＋75×0.030＋85×0.025＋95×0.010)×10＝74， 前2组的频率和为(0.005＋0.010)×10＝0.15， 前3组的频率和为0.15＋0.020×10＝0.35， 所以下四分位数在第3组，设为x， 则0.15＋(x－60)×0.02＝0.25，得x＝65， 所以下四分位数为65. (2)证明　＝＝＋， s＝ (xi－)2，s＝(yi－)2， 总体方差s2＝， 又(xi－)2＝[(xi－)＋(－)]2 ＝[(xi－)2＋2(－)(xi－)＋(－)2] ＝(xi－)2＋2(－) (xi－)＋(－)2， 因为 (xi－)＝xi－ ＝m－m＝0， (xi－)2＝(xi－)2＋2(－) (xi－)＋(－)2＝ms＋m(－)2＝m[s＋(－)2]. 同理(yi－)2＝n[s＋(－)2]， 故s2＝ ＝{m[s＋(－)2]＋n[s＋(－)2]}. (3)解析　[50,60)的频率是0.010×10＝0.1，频数是0.1×100＝10，[60,70)的频率是0.020×10＝0.2，频数是0.2×100＝20，所以总体平均数＝×59＋×65＝63， 总体方差s2＝{10[7＋(59－63)2]＋20[4＋(65－63)2]}＝13. 18.解析　(1)设模型①和②的相关系数分别为r1，r2. 由题意可得r1＝＝≈≈0.97， r2＝＝＝＝1. 所以|r1|<|r2|，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好. (2)因为＝＝＝5， 又由＝i＝0.96，＝i＝8.8， 得m＝－5＝8.8－0.96×5＝4， 所以y＝5v＋4，即回归方程为y＝5ln x＋4. 当x＝6时，y＝5ln 6＋4≈13， 因此当年广告费为6(百万元)时，产品的销售量大约是13(百万辆). (3)净利润为200×(5ln x＋4)－200x－ξ(x>0)， 令g(x)＝200×(5ln x＋4)－200x－ξ， 所以g′(x)＝－200. 可得y＝g(x)在(0,5)上为增函数，在(5，＋∞)上为减函数. 所以g(x)max ＝g(5)＝200×(5ln 5＋4－5)－ξ≈1400－ξ， 由题意得1400－ξ>1000，即ξ<400， P(ξ<400)＝P(ξ>800)＝0.3， 即该公司年净利润的最大值大于1000(百万元)的概率为0.3. ·60·19.解析　(1)若xi＋1－xi(i＝1,2,3,4)等于同一常数， 根据等差数列的定义可得{xi}构成等差数列， 所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝5x3＝2024， 解得x3＝，与x3∈N*矛盾， 所以不存在一组解(x1，x2，x3，x4，x5)， 使得xi＋1－xi(i＝1,2,3,4)等于同一常数. (2)因为＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝＝404.8， 依题意t＝1时，即当1≤i，j≤5时，max(xi－xj)＝1， 所以max{xi}＝405，min{xj}＝404， 设有y个405，则有5－y个404，由405y＋404(5－y)＝2024，解得y＝4， 所以x1，x2，x3，x4，x5中有4个405,1个404， 所以方程①的解共有5组. (3)因为平均数＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝＝404.8， 又方差σ2＝(xi－)2， 即5σ2＝(xi－)2＝－52， 所以S＝5σ2＋52，因为为常数，所以当方差σ2取最小值时，S取最小值， 又当t＝0时x1＝x2＝x3＝x4＝x5，即5x1＝2024，方程无正整数解，故舍去； 当t＝1时，即(x1，x2，x3，x4，x5)是1－密集时，S取得最小值， 且Smin＝4×4052＋4042＝819 316. 学科网（北京）股份有限公司 $$