14.达标测试卷(九) 计数原理、二项式定理、概率、随机变量及其分布-【精讲精练】2026年高考数学一轮达标测试卷

达标测试卷(九)　计数原理、二项式 定理、概率、随机变量及其分布 (本卷满分150分　考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在二项式10的展开式中，常数项为(　　) A.180 B.270 C.360 D.540 2.三位男同学和两位女同学随机站成一列，则两位女同学相邻的概率是(　　) A. B. C. D. 3.某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50 000名考生参加这次考试，数学成绩X近似服从正态分布，其正态密度函数为f(x)＝e－，x∈R且P(70≤X≤110)＝0.8，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为(　　) A.2000 B.3000 C.4000 D.5000 4.某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”(如2024是“幸运数”)，并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有(　　) A.32个 B.28个 C.27个 D.24个 5.如果随机变量ξ～B(n，p)，且E(3ξ)＝12，D(ξ)＝，则p＝(　　) A. B. C. D. 6.已知事件A，B满足P(A|B)＝0.7，P()＝0.3，则(　　) A.P(A∩B)＝0.3 B.P(B|A)＝0.3 C.事件A，B相互独立 D.事件A，B互斥 7.小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a，a，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为(　　) A. B. C. D. 8.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线.从1移动到数字n(n＝2,3，…，11)的不同路线条数记为rn，从1移动到11的事件中，跳过数字n(n＝2,3，…，10)的概率记为pn，则下列结论正确的是(　　) ①r9＝34，②rn＋1>rn，③p5＝，④p9>p10. A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某奥运会安排小明、小红、小兵3名志愿者到甲、乙、丙、丁四个场馆进行服务，每名志愿者只能选择一个场馆，且允许多人选择同一个场馆，下列说法中正确的有(　　) A.所有可能的方法有34种 B.若场馆甲必须有志愿者去，则不同的安排方法有37种 C.若志愿者小明必须去场馆甲，则不同的安排方法有16种 D.若三名志愿者所选场馆各不相同，则不同的安排方法有24种 10.在一个有限样本空间中，假设P(A)＝P(B)＝P(C)＝，且A与B相互独立，A与C互斥，则(　　) A.P(A∪B)＝ B.P(|A)＝2P(A|) C.P(|AB)＝1 D.若P(C|B)＋P(C|)＝，则B与C互斥 11.端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲、乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出β个粽子，其中含γ个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为α，其中α，β∈N*，则下列说法错误的是(　　) A.当β＝2时，随机变量γ服从两点分布 B.随着β的增大，E(α)减少，D(α)增加 C.当β＝2时，随机变量γ服从二项分布 D.随着β的增大，E(α)增加，D(α)减小 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(x－y)(x＋y)6的展开式中x3y4的系数为________(用数字作答). 13.某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对m道试题的概率为f(m)，则当m＝________时，f(m)取得最大值. 14.某班有A，B两个学习小组，其中A组有2位男生，1位女生，B组有2位男生，2位女生.为了促进小组之间的交流，需要从A，B两组中随机各选一位同学交换，则交换后A组中男生人数的数学期望为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)小明从4双鞋中，随机一次取出2只. (1)求取出的2只鞋都不来自同一双的概率； (2)若这4双鞋中，恰有一双是小明的，记取出的2只鞋中含有小明的鞋的个数为X，求X的分布列及数学期望E(X). 16.(15分)某次文化艺术展，以体现了中华文化的外圆内方经典的古钱币造型作为该活动的举办标志，举办方计划在入口处设立一个如下图所示的造型.现拟在图中五个不同的区域栽种花卉，要求相邻的两个区域的花卉品种不一样.现有木绣球、玫瑰、广玉兰、锦带花、石竹等5个不同的品种. (1)(ⅰ)共有多少种不同的栽种方法； (ⅱ)记“在③和⑤区域栽种不同的花卉”为事件A，“完成该标志花卉的栽种共用了4种不同的花卉”为事件B，求P(A|B)； (2)设完成该标志的栽种所用的花卉品种数为ξ，求ξ的概率分布列及期望. 17.(15分)小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次，击中区域甲的概率是，击中区域乙的概率是，击中区域丙的概率是，区域甲、乙、丙均没有重复的部分.这次射击比赛获奖规则是若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖.获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号. (1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率； (2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望. 18.(17分)某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%. (1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望； (2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率.设事件A＝“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件B＝“该大型企业把零件交给甲工厂生产”，已知0<P(B)<1，证明： P(A|B)>P(A|). 19.(17分)甲、乙两人进行知识问答比赛，共有n道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲、乙答题正确的概率分别为p和，各题答题相互独立.规则为初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得－1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜. (1)若n＝3，p＝，求甲获胜的概率； (2)若n＝20，设甲第i题的得分为随机变量Xi，一次比赛中得到Xi的一组观测值xi(i＝1,2，…，20)，如下表.现利用统计方法来估计p的值. 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 1 0 0 －1 1 1 －1 0 0 0 题目 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 得分 －1 0 1 1 －1 0 0 0 1 0 ①设随机变量＝，若以观测值xi(i＝1,2，…，20)的均值作为的数学期望，请以此求出p的估计值1； ②设随机变量Xi取到观测值xi(i＝1,2，…，20)的概率为L(p)，即L(p)＝P(X1＝x1，X2＝x2，…，X20＝x20).在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着p的变化，用使得L(p)达到最大时p的取值2作为参数p的一个估计值.求2. 附：若随机变量X，Y的期望E(X)，E(Y)都存在，则E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 达标测试卷(九)　计数原理、二项式定理、 概率、随机变量及其分布 1.A　二项式10的展开式的通项公式为C·10－r·(－2x－2)r＝(－2)rC·x5－r， 令5－r＝0，解得r＝2，所以常数项为(－2)2C＝180.故选A. 2.B　五位同学排成一列的排法有A＝120种，其中两位女同学相邻的排法有AA＝48种， 所以两位女同学相邻的概率是＝.故选B. 3.D　由题易知均值μ＝90， 由正态曲线的对称性可知P(X >110)＝0.5－P(70≤X≤110)＝0.5－0.4＝0.1， 则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为0.1×50 000＝5000.故选D. 4.B　依题意，首位数字为2的“幸运数”中其他三位数字的组合有以下七类： ①“006”组合，有C种，②“015”组合，有A种，③“024”组合，有A种，④“033”组合，有C种，⑤“114”组合，有C种，⑥“123”组合，有A种，⑦“222”组合，有1种. 由分类加法计数原理，首位数字为2的“幸运数”共有3C＋3A＋1＝9＋18＋1＝28个.故选B. 5.D　因为E(3ξ)＝3E(ξ)＝12，即E(ξ)＝4， 又因为随机变量ξ～B(n，p)，且D(ξ)＝， 则解得故选D. 6.C　由题设P(A)＝1－P()＝0.7＝P(A|B)， 所以P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(A)P(B)，即A，B相互独立，同一试验中不互斥， 而P(B)未知，无法确定P(A∩B)，P(B|A).故选C. 7.C　记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立， 且P(D)＝P(E)＝a，P(F)＝. 恰好能答对两道题为事件DE，DF，EF，且DE，DF，EF两两互斥， 所以P(DE＋DF＋EF) ＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF) ＝P(D)P(E)P()＋P(D)P()P(F)＋P()P(E)P(F) ＝a×a×＋a×(1－a)×＋(1－a)×a×＝， 整理得(1－a)2＝，他三道题都答错为事件， 故P()＝P()P()P()＝(1－a)2＝(1－a)2＝.故选C. 8.A　由题意可知r2＝1，r3＝2，rn＋1＝rn＋rn－1(n≥3)， 则r4＝3，r5＝5，r6＝8，r7＝13，r8＝21，r9＝34，r10＝55，r11＝89， 则①正确；显然rn＋1>rn，故②正确； 因为r11＝89，经过数字5的路线共有5×13＝65条. 理由：如树状图所示，分别计算1～5的路线共有5条， 5～11的路线共有13条， 利用分步乘法计数原理可得，过数字5的路线共有5×13＝65条. 则p5＝＝，故③正确； 同理可得p9＝＝，p10＝＝，即有p9<p10，故④错误.故选A. 9.BCD　对于A，所有可能的方法有43种，故A错误. 对于B，分三种情况：第一种，若有1名志愿者去场馆甲，则去场馆甲的志愿者情况为C， 另外两名同学的安排方法有3×3＝9种，此种情况共有C×9＝27种； 第二种，若有两名志愿者去场馆甲，则志愿者选派情况有C，另外一名志愿者的排法有3种， 此种情况共有C×3＝9种. 第三种，若三名志愿者都去场馆甲，此种情况唯一， 则共有27＋9＋1＝37种安排方法，B正确. 对于C，若小明必去甲场馆，则小红、小兵两名志愿者各有4种安排，共有4×4＝16种安排，C正确. 对于D，若三名志愿者所选场馆各不同，则共有A＝24种安排，D正确.故选BCD. 10.BCD　对于A，A与B相互独立， 则P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝， P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝，A错误； 对于B，因为A与C互斥，所以A⊆， 所以P(|A)＝＝3P(A)， P(A|)＝＝＝P(A)， 所以P(|A)＝2P(A|)，B正确； 对于C，P(|AB)＝，因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生， 所以P(A)＝P(A)，所以P(|AB)＝＝＝1，C正确； 对于D，显然P(C)＝P(BC)＋P(C)＝，即P(C)＝－P(BC)， 由P(C|B)＋P(C|)＝，得＋＝3P(BC)＋＝， 解得P(BC)＝0，所以B与C互斥，D正确.故选BCD. 11.ACD　由题意可知，从乙礼盒里随机取出β个粽子，含有肉粽个数γ服从超几何分布，即γ～H(6,3，β). 故A，C错误. 其中P(γ＝k)＝，其中k∈N，k≤3且k≤β，E(γ)＝＝. 故从甲礼盒取粽子，相当于从含有＋1个肉粽的β＋1个粽子中取1个粽子，取到肉粽个数为α. 故P(α＝1)＝＝＋， 随机变量α服从两点分布， 所以E(α)＝P(α＝1)＝＋， 随着β的增大，E(α)减小； D(α)＝[1－P(α＝1)]P(α＝1)＝－，随着β的增大，D(α)增大. 故B正确，D错误.故选ACD. 12.解析　(x＋y)6展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx6－ryr， 故(x＋y)6展开式中x2y4系数为C＝15，x3y3系数为C＝20， 故(x－y)(x＋y)6的展开式中x3y4的系数为15－20＝－5. 答案　－5 13.解析　由题意得f(m)＝C×m×20－m，0≤m≤20且m∈N， 则即 故 又m∈N，所以m＝13或m＝14， 故当m＝13或m＝14时，f(m)取得最大值. 答案　13或14 14.解析　设B组选男生为事件C1，B组选女生为事件C2， A组选男生为事件D1，A组选女生为事件D2， 根据已知条件有P(C1)＝＝，P(C2)＝＝， P(D1)＝＝，P(D2)＝＝. 两组各自出哪个人相互独立，设交换后A组中男生的人数为X， 则X的可能取值为1,2,3； P(X＝1)＝P(D1)P(C2)＝×＝， P(X＝2)＝P(D1)P(C1)＋P(D2)P(C2)＝×＋×＝， P(X＝3)＝P(D2)P(C1)＝×＝. 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 答案　 15.解析　(1)由题可得，取出2只都不来自同一双的概率为＝. (2)由题可知X的取值为0,1,2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 16.解析　(1)(ⅰ)规定栽种顺序为①→③→②→④→⑤， 若②和④栽种相同的花卉，方法数为CCC×3＝180； 若②和④栽种不同的花卉，方法数为CCC×2×2＝240； 所以共有180＋240＝420种不同的栽种方法. (ⅱ)由题意可知P(AB)＝＝， P(B)＝＝， 所以P(A|B)＝＝. (2)由题意可知ξ可能的取值为3,4,5，则有 P(ξ＝3)＝＝＝，P(ξ＝4)＝＝＝，P(ξ＝5)＝＝＝， 所以ξ的概率分布列为 ξ 3 4 5 P 期望为E(ξ)＝3×＋4×＋5×＝. 17.解析　(1)记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件A；射击一次获得一等奖为事件B； 射击一次获得二等奖为事件C，所以有A＝B∪C，所以P(B)＝，P(C)＝×＝， 所以P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝. (2)获得三等奖的次数为X，X的可能取值为0,1,2,3,4. 记“获得三等奖”为事件D，所以P(D)＝＋×＝， 所以P(X＝0)＝C04＝， P(X＝1)＝C13＝， P(X＝2)＝C22＝＝， P(X＝3)＝C31＝＝， P(X＝4)＝C40＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 显然X～B，则E(X)＝4×＝1. 18.(1)解析　设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件， 事件M＝“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件N＝“混合放在一起零件来自乙工厂”，事件C＝“混合放在一起的某一零件是合格品”， 则P(M)＝，P(N)＝， P(C)＝P(C|M)P(M)＋P(C|N)P(N)＝94%×＋98%×＝97%， 计算得3m＝n. 所以P(M)＝＝. X的可能取值为0,1,2,3，X～B， E(X)＝3×＝， P(X＝0)＝C03＝， P(X＝1)＝C12＝， P(X＝2)＝C21＝， P(X＝3)＝C30＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)证明　因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率， 所以P(B|A)>P(B|). 即>. 因为P(A)>0，P()>0， 所以P(AB)P()>P(B)P(A). 因为P()＝1－P(A)，P(B)＝P(B)－P(AB)， 所以P(AB)(1－P(A))>(P(B)－P(AB))P(A). 即得P(AB)>P(A)P(B)， 所以P(AB)－P(AB)P(B)>P(A)P(B)－P(AB)P(B). 即P(AB)(1－P(B))>P(B)(P(A)－P(AB)). 又因为1－P(B)＝P()，P(A)－P(AB)＝P(A)， 所以P(AB)P()>P(B)P(A). 因为0<P(B)<1,0<P()<1， 所以>. 即得证P(A|B)>P(A|). 19.解析　(1)记甲获胜为事件A，甲抢到3道题为事件A3，甲抢到2道题为事件A2，甲抢到1道题为事件A1，甲抢到0道题为事件A0， 则P(A3)＝3＝，P(A2)＝C3＝， P(A1)＝C3＝，P(A0)＝3＝， 而P(A|A3)＝3＋C2＝， P(A|A2)＝2＋C··＝， P(A|A1)＝＋··＝， P(A|A0)＝3＋C··2＝， 所以P(A)＝P(A3)P(A|A3)＋P(A2)P(A|A2)＋P(A1)P(A|A1)＋P(A0)P(A|A0) ＝·＋·＋·＋·＝. (2)①P(Xi＝1)＝，P(Xi＝0)＝，P(Xi＝－1)＝， 所以E(Xi)＝1×＋0×－1×＝； 因为E()＝E＝E()＝(Xi)＝·n·＝，由表中数据可知＝， 所以＝，1＝. ②因为Xi(i＝1,2，…，20)取值相互独立， 所以L(p)＝P(X1＝x1，X2＝x2，…，X20＝x20) ＝P(X1＝x1)P(X2＝x2)…P(X20＝x20) ＝[P(Xi＝1)]6×[P(Xi＝0)]10×[P(Xi＝－1)]4 ＝6104， 所以L′(p)＝10＝1053， 令L′(p)＝0得p＝， 又0<p<1， 所以当p∈时，L′(p)>0，L(p)单调递增； 当p∈时，L′(p)<0，L(p)单调递减； 即当p＝时，L(p)取到最大值，从而2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$