12.达标测试卷(八) 平面解析几何-【精讲精练】2026年高考数学一轮达标测试卷

达标测试卷(八)　平面解析几何 (本卷满分150分　考试时间120分钟) 　　 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知双曲线－＝1的一条渐近线与抛物线y2＝12x准线的交点纵坐标为4，则双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 2.“1<b<2”是“点B(0，b)在圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2内”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知直线ax＋by＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1相切，则b2＋2a的值(　　) A.与a有关，与b有关 B.与a有关，与b无关 C.与a无关，与b有关 D.与a无关，与b无关 4.设双曲线C1：－y2＝1(a>0)，椭圆C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e1＝2e2，则a＝(　　) A. B. C. D. 5.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝81和C2：(x－3)2＋y2＝1，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 6.若抛物线x2＝8y上一点A(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍.则y0＝(　　) A. B.1 C. D.2 7.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，直线y＝a与双曲线C交于M，N两点，直线y＝－b与双曲线C交于P，Q两点，若|MN|＝|PQ|，则双曲线C的离心率等于(　　) A. B. C. D. 8.已知F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，O是坐标原点，P是椭圆E上一点，PF1与y轴交于点M.若|OP|＝|OF1|，|MF1|＝，则椭圆E的离心率为(　　) A.或 B.或 C.或 D.或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则(　　) A.|PQ|的最小值为2 B.|PQ|的最大值为7 C.两个圆心所在的直线斜率为－ D.两个圆相交弦所在直线的方程为6x－8y－25＝0 10.已知抛物线C：y＝x2的焦点为F，P为C上一点，则下列说法正确的是(　　) A.抛物线C的准线方程为y＝－1 B.直线y＝x－1与抛物线C相切 C.若M(0,4)，则|PM|的最小值为4 D.若M(3,5)，则△PMF的周长的最小值为11 11. 如图，造型为“∞”的曲线C 称为双纽线，其对称中心在坐标原点O，且C 上的点满足到点 F1(－1,0)和F2(1,0)的距离之积为定值a，则(　　) A.点(，0)在曲线 C 上 B.曲线C的方程为(x2＋y2)2＝2x2－y2 C.曲线C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 D.若点(x0，y0)在C 上，则 y0>|x0| 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知直线l：x＋ay－5a－3＝0与⊙C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，若直线l与⊙C相交于A，B两点，且|AB|＝，则a＝________. 13.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线左支上存在点P，使得|PF2|＝2|PF1|，则该双曲线离心率的最大值为________. 14.如图，在矩形ABCD中，|AB|＝8，|BC|＝6，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，点Q在直线HF上，点N在直线BC上，＝k，＝k，k∈R，直线EQ与直线GN相交于点R，则点R的轨迹方程为________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知平面内两定点M(－1,0)，N(1,0)，动点P满足|PM|＋|PN|＝2. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)若直线y＝x＋1与曲线C交于不同的两点A，B，求|AB|. 16.(15分)如图，抛物线Γ：y2＝2px(p>0)，M(2,1)是抛物线内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线l1，l2，设l1与抛物线Γ相交于点A，B，l2与抛物线Γ相交于点C，D，当M恰好为线段AB的中点时，|AB|＝2. (1)求抛物线Γ的方程； (2)求·的最小值. 17.(15分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过F2的直线与椭圆C交于M，N两点，且△MNF1的周长为8，△MF1F2的最大面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)设b>1，是否存在x轴上的定点P，使得△PMN的内心在x轴上？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由. 18.(17分)已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A(－2,0)，B(－4,3)两点. (1)求C的方程； (2)设P，M，N三点在C的右支上，BM∥AP，AN∥BP，证明： ①存在常数λ，满足＋＝λ； ②△MNP的面积为定值. 19.(17分)已知抛物线Γ：x2＝4y，P(x0，y0)为抛物线Γ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”.设x1，x2为方程x2－ax＋b＝0(a，b∈R)的两个实根，记τ(a，b)＝ (1)求点A(2,1)的“特征直线”l的方程； (2)已知点G在抛物线Γ上，点G的“特征直线”与双曲线－y2＝1经过二、四象限的渐近线垂直，且与y轴交于点H，点Q(a，b)为线段GH上的点.求证：τ(a，b)＝2； (3)已知C，D是抛物线Γ上异于原点的两个不同的点，点C，D的“特征直线”分别为l1，l2，直线l1，l2相交于点M(a，b)，且与y轴分别交于点E，F.求证：点M在线段CE上的充要条件为τ(a，b)＝(其中xC为点C的横坐标). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 达标测试卷(八)　平面解析几何 1.A　抛物线y2＝12x的准线方程为x＝－3， 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x， 根据题意，点(－3,4)在y＝－x上， 所以4＝－×(－3)，解得＝， 所以双曲线的离心率为e＝＝＝.故选A. 2.A　点B(0，b)在圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2内⇔(0－1)2＋(b－2)2<2⇔1<b<3， 所以“1<b<2”是“点B(0，b)在圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2内”的充分不必要条件.故选A. 3.D　圆(x＋1)2＋y2＝1的圆心坐标为(－1,0)，半径为1， 因为直线ax＋by＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1相切， 则圆心到直线的距离等于半径，即＝1， 化简得a2－2a＋1＝a2＋b2，可知b2＋2a＝1，故选D. 4.B　由椭圆C2：＋y2＝1，可得a2＝2，b2＝1， 所以c2＝＝，所以椭圆的离心率e2＝， 又e1＝2e2，所以双曲线的离心率为e1＝3， 又双曲线C1：－y2＝1(a>0)，所以c＝， 所以＝3，解得a＝.故选B. 5.C　圆C1：(x＋3)2＋y2＝81和C2：(x－3)2＋y2＝1的圆心、半径分别为C1(－3,0)，r1＝9，C2(3,0)，r2＝1， 由|C1C2|＝6<9－1＝8可知圆C2内含于圆C1内， 设动圆半径为R， 由题意，|C2P|＝r2＋R，|C1P|＝r1－R， 两式相加可得|PC1|＋|PC2|＝r1＋r2＝10>|C1C2|＝6， 故P点的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆，其中2a＝10,2c＝6， 所以a2＝25，b2＝a2－c2＝16， 所以椭圆方程为＋＝1.故选C. 6.D　已知拋物线的方程为x2＝8y，可得p＝4. 所以焦点为F(0,2)，准线为l：y＝－2. 抛物线上一点A(x0，y0)到焦点F的距离等于到准线l的距离， 即|AF|＝y0＋2， 又点A到x轴的距离为y0， 由已知得y0＋2＝2y0，解得y0＝2.故选D. 7. 8. 9.BC　对于A，B选项，由题意得C1(0,0)，半径r1＝1， C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝1，C2(3，－4)，半径r2＝1， 圆心距为|C1C2|＝＝5，又点P在圆C1上，点Q在圆C2上， |PQ|min＝|C1C2|－r1－r2＝3，|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝7，故A错误，B正确； 对于C选项，两个圆心所在的直线斜率为kC1C2＝＝－，C正确； 对于D选项，圆心距|C1C2|＝5>r1＋r2＝2，所以无公共弦，D错误；故选BC. 10.ABD　抛物线C：y＝x2，即x2＝4y，p＝2，F(0,1)，设P(x0，y0). 对于选项A，抛物线C的准线方程为y＝－＝－1，正确； 对于选项B，整理得到(x－2)2＝0，方程有唯一解，故相切，正确； 对于选项C，|PM|==≥2，当y0=2时，等号成立，错误； 对于选项D，过点P作PH垂直准线于H，|PF|+|FM|+|MP|=|FM|+|MP|+|PH|≥+5+1=11，当M，P，H共线时等号成立，正确.故选ABD. 11.AC　由原点(0,0)在曲线上得a＝|OF1|·|OF2|＝1. 选项A，设曲线与x轴正半轴相交于(t,0)，t>0， 则(t＋1)(t－1)＝1，解得 t＝，故A正确. 选项B，设曲线C上任一点坐标为(x，y)，则 ·＝1， 得(x2＋y2＋1)2－4x2＝1，则(x2＋y2)(x2＋y2＋2)－4x2＝0， 所以(x2＋y2)2＋2(x2＋y2)－4x2＝0， 即(x2＋y2)2＝2x2－2y2，故 B错误. 选项C，由(x2＋y2)2＝2x2－2y2，得 x4＋(2y2－2)x2＋y4＋2y2＝0， 由x∈R，得Δ＝(2y2－2)2－4(y4＋2y2)＝－16y2＋4≥0， 所以y2≤，则|y|≤，故C正确. 选项D，由(x2＋y2)2＝2x2－2y2≥0，得|x|≥|y|， 故点(x0，y0)在C 上时，有y0≤|x0|成立，故D错误.故选AC. 12.解析　若直线l与⊙C相交于A，B两点，且|AB|＝， 则圆心C到直线l的距离d＝＝， 所以＝， 解得a＝－或a＝－1. 答案　－或－1 13.解析　由双曲线左支上一点P，可得|PF2|－|PF1|＝2a， 又|PF2|＝2|PF1|，所以|PF1|＝2a， 又|PF1|≥c－a，所以2a≥c－a，所以e＝≤3， 所以该双曲线离心率的最大值为3. 答案　3 14.解析　以HF所在直线为x轴，GE所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 因为|AB|＝8，|BC|＝6，所以 O(0,0)，H(－4,0)，F(4,0)，E(0，－3)，G(0,3)，C(4,3)， 所以＝(－4,0)，＝(0，－3)，＝(4,3)，又因为 ＝k，＝k， 结合图象易知点R可到达 G(0,3)，但不可到达 E(0，－3)， 所以点R的轨迹方程为 －＝1(y≠－3). 答案　－＝1(y≠－3) 15.解析　(1)由椭圆的定义知，P点的轨迹为椭圆， 其中c＝1，a＝，∴b＝， 所以所求动点P的轨迹C的方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立直线与椭圆的方程 消y整理得5x2＋6x－3＝0， 所以Δ>0，x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴|AB|＝· ＝ ·＝. 16.解析　(1)设直线AB：x－2＝m(y－1)，A(x1，y1)， B(x2，y2)， 联立得y2－2pmy＋2pm－4p＝0， 所以y1＋y2＝2pm，y1y2＝2pm－4p. 又因为M(2,1)是AB的中点，所以＝pm＝1， 又|AB|＝|y1－y2|＝· ＝·＝2， 代入化简得(p－1)(4p2－3p＋1)＝0，解得p＝1. 故抛物线Γ的方程为y2＝2x. (2)·＝(－)·(－) ＝·－·－·＋· ＝－·－· ＝||·||＋||·||， 由(1)可得y1＋y2＝2m，y1y2＝2m－4， 因为||·|| ＝|y1－1|·|y2－1| ＝(1＋m2)|(y1－1)(y2－1)| ＝(1＋m2)|y1y2－(y1＋y2)＋1| ＝(1＋m2)|2m－4－2m＋1|＝3(1＋m2)， 同理||·||＝3， 所以·＝3(1＋m2)＋3 ＝3≥12， 当且仅当m＝±1时，等号成立，即所求最小值为12. 17.解析　(1)∵△MNF1的周长为8，△MF1F2的最大面积为， ∴解得a＝2，b＝或a＝2，b＝1. ∴椭圆C的方程为＋＝1或＋y2＝1. (2) 由(1)及b>1易知F2(1,0)， 不妨设直线MN的方程为x=my+1(m≠0)，P(t,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 当直线MN垂直于x轴，即m=0时，显然点P(4,0)也是符合题意的点. 故在x轴上存在定点P(4,0)，使得△PMN的内心在x轴上. 18.(1)解析　设C的方程为mx2－ny2＝1，其中mn>0. 由C过A，B两点，故4m＝1,16m－9n＝1，解得m＝，n＝. 因此C的方程为－＝1. (2)证明　①设P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中xi>0,3x－4y＝12，i＝0,1,2. 因为BM∥AP，所以直线BM的斜率为k1＝，方程为y－3＝k1(x＋4). 由得(3－4k)x2－8k1(4k1＋3)x－4[(4k1＋3)2＋3]＝0， 所以－4x1＝， x1＝＝ ＝＝2x0＋2y0. 因此y1＝k1(x1＋4)＋3＝＋3＝2y0＋(x0－2)＋3＝x0＋2y0. 同理可得直线AN的斜率为k2＝，直线AN的方程为y＝k2(x＋2). 由得(3－4k)x2－16kx－(16k＋12)＝0， 所以－2x2＝， x2＝＝ ＝ ＝ ＝2x0－2y0， 因此y2＝k2(x2＋2)＝ ＝2(y0－3)－ ＝2y0－6－(x0－4)＝－x0＋2y0. 则＋＝(4x0,4y0)＝4，即存在λ＝4，满足＋＝λ. ②由①知直线MN的方程为y－2y0＝(x－2x0)， 所以点P到直线MN的距离d1＝. 而|MN|＝4y0＝， 所以△MNP的面积S＝d1|MN|＝6，为定值. 19.(1)解析　由题意l的斜率为1，所以点A(2,1)的“特征直线”l的方程为y＝x－1. (2)证明　设点G(m，n)，由于双曲线－y2＝1，得经过第二、四象限的渐近线的斜率为－， 所以＝2，进而得G(4,4)， 线段GH的方程为y＝2x－4(0≤x≤4)， 所以(a，b)满足b＝2a－4(0≤a≤4)， (a，b)所对应方程为x2－ax＋2(a－2)＝0，解得x1＝2，x2＝a－2， 因为－2≤a－2≤2，所以|x1|≥|x2|，进而τ(a，b)＝2. (3)证明　设C(xC，yC)，D(xD，yD)， 则l1，l2的方程分别为l1：y＝x－， l2：y＝x－， 联立l1，l2方程可得a＝，b＝， (a，b)所对应的方程为x2－x＋＝0，解得x1＝，x2＝. ①必要性：因为点M在线段CE上， 当xC>0时，0≤≤xC，得－xC≤xD≤xC， 当xC<0时，xC≤≤0，得xC≤xD≤－xC， 所以|xC|≥|xD|，进而τ(a，b)＝； ②充分性：由τ(a，b)＝，得|xC|≥|xD|， 当xC>0时，－xC≤xD≤xC，得0≤≤xC， 当xC<0时，得xC≤xD≤－xC，得xC≤≤0， 所以点M在线段CE上. 综上所述，点M在线段CE上的充要条件为τ(a，b)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$