11.滚动测试卷(四)-【精讲精练】2026年高考数学一轮达标测试卷

滚动测试卷(四) 1.B　设等比数列{bn}的公比为q，由b1＝1且T3＝3， 当q＝1时，则T3＝3b1＝3，符合题意，则bn＝1，又a2＋b2＝4，所以a2＝3， 所以S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝9； 当q≠1时，则T3＝＝3，即1＋q＋q2＝3， 解得q＝1(舍去)或q＝－2， 所以bn＝(－2)n－1，则b2＝－2，又a2＋b2＝4， 所以a2＝6， 所以S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝18； 综上可得S3＝9或18.故选B. 2.B　设圆台的母线长为l，高为h，因为圆台上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，侧面积为3π，可得π(R＋r)×l＝π(2＋1)·l＝3π，解得l＝， 所以圆台的高为h＝＝＝1， 所以圆台的体积为V＝π(R2＋Rr＋r2)h＝π(4＋2＋1)×1＝.故选B. 3.D　由题意可得f(x)的图象关于点对称，即对任意x∈R，有f(x)＋f＝0， 取x＝0，可得f(0)＋f＝＋＝0，即a＝－. 故f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin， 令2x－＝＋kπ，k∈Z，可得f(x)的图象的对称轴为x＝＋，k∈Z.故选D. 4.A　如图，设BC的中点为D，则·＝2＝·，所以·－·＝·(－)＝·＝0，AD⊥BC，则AB＝AC. 设d＝＋，由于AB＝AC，则d2＝b2，则|b|＝|d|. 假如a，d，c的起点均为A，运用加法的平行四边形法作图求和，对角线对应的终点E，F，G如图所示，所以|b|>|c|>|a|.故选A. 5.D　c＝ln＝>＝ln＝a， 而a2＝(ln )2＝2＝>＝b2，且a>0，b>0. 所以a>b，故b<a<c.故选D. 6.D　设该正六棱柱的底面边长为a，高为h，其外接球的半径为R，易知πR3＝π，则R＝＝，① 且a2·6·h＝6，② 联立①②，因为h∈Z，解得a＝1，h＝4， 所以正六棱柱的表面积S＝a2·12＋6ah＝3＋24.故选D. 7. B　如图建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(，，0)， C1(0，，)，A1(，0, )， 所以＝(，，0)，＝(0，，)，＝(，0，)， 设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则 令x＝1，则n＝(1，－1,1)，所以点A1到平面BDC1的距离d＝＝＝2. 设点A1在平面BDC1的射影为O，即A1O＝2， 又A1P＝，所以OP＝＝， ∵△BDC1是边长为的等边三角形，其内切圆半径为＝＝BD＝×＝， 所以P在以O为圆心，半径r＝的圆上， 所以点P的轨迹长度为2πr＝2××π＝π.故选B. 8.A　设△ABC的外接圆的半径为r， 因为AB＝BC＝2，AC＝2， 由余弦定理得cos∠ACB＝＝， 所以sin∠ACB＝， 则2r＝＝，故r＝， 记△ABC的外心为O1，连接O1A，O1B，O1C，则O1A＝O1B＝O1C. 取AB，BC的中点E，F，连接O1E，O1F，则O1E⊥AB，O1F⊥BC， 又因为PA＝PB＝PC，可得PE⊥AB，PF⊥BC， 因为PE∩O1E＝E，PF∩O1F＝F，且PE，O1E⊂平面PEO1，PF，O1F⊂平面PFO1， 所以AB⊥平面PEO1，BC⊥平面PFO1， 又因为PO1⊂平面PEO1，PO1⊂平面PFO1， 所以PO1⊥AB，PO1⊥BC， 因为AB∩BC＝B且AB，BC⊂平面ABC， 所以PO1⊥平面ABC，可得PO1＝， 由题意可得外接球的球心在PO1上，设外接球的半径为R， 可得2＋2＝R2，解得2R＝，即R＝， 所以球O的表面积为S＝4πR2＝.故选A. 9.ABC　对于A，B，如图，连接EF，GH， 因为GH是△A1B1C1的中位线， 所以GH∥B1C1， 因为B1E∥C1F，且B1E=C1F，所以四边形B1EFC1是平行四边形， 所以EF∥B1C1，所以EF∥GH， 所以E，F，G，H四点共面，故A，B正确； 对于C，如图，延长EG，FH相交于点P， 因为P∈EG，EG⊂平面ABB1A1，所以P∈平面ABB1A1， 因为P∈FH，FH⊂平面ACC1A1， 所以P∈平面ACC1A1， 因为平面ABB1A1∩平面ACC1A1=AA1， 所以P∈AA1，所以EG，FH，AA1三线共点，故C正确； 对于D，因为EB1=FC1，当GB1≠HC1时，tan∠EGB1≠tan∠FHC1， 又0<∠EGB1<,0<∠FHC1<，则∠EGB1≠∠FHC1，故D错误.故选ABC. 10.ACD　要成为“AC1＝A1C”的必要条件，则该条件可由“AC1＝A1C”推出. 对于A，因为在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1， 所以四边形ACC1A1为平行四边形，又AC1＝A1C， 所以四边形ACC1A1为矩形，故A正确； 对于B，假设平面ABB1A1⊥平面ACC1A1， 由选项A，可知四边形ACC1A1为矩形，则AC⊥AA1， 又平面ABB1A1∩平面ACC1A1＝AA1，AC⊂平面ACC1A1， 所以AC⊥平面ABB1A1，因为AB⊂平面ABB1A1， 所以AC⊥AB，与四边形ABCD为正方形矛盾，故B错误； 对于C，因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD， 因为AC⊥AA1，AA1∥BB1，所以AC⊥BB1， 又BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BDD1B1， 所以AC⊥平面BDD1B1， 又AC⊂平面ABCD，所以平面BDD1B1⊥平面ABCD，故C正确； 对于D，因为四边形ACC1A1为矩形，O为A1C1的中点，易得OA＝OC， 又正方形ABCD中，AD＝CD，OD是公共边， 所以△OAD≌△OCD，则∠OAD＝∠OCD， 又BC∥AD，AB∥CD， 所以∠OAD，∠OCD分别为直线OA，BC所成的角与直线OC，AB所成的角(或其补角)， 则直线OA，BC所成的角与直线OC，AB所成的角相等，故D正确.故选ACD. 11.ACD　A选项，f(x)的定义域为R，其图象关于(1,2)中心对称， 故f(4－5x)＋f(5x－2)＝4，故＝1，A正确； B选项，由题意得f(4－x)＋f(x－2)＝4，又＝2－x， 故＝2－x， 令x＝4，得＝2－4，即f(4)＋f(2)＝－8＋4＝－4，B错误； C选项，由题意得f(1－x)＋f(x＋1)＝4，即f(1－x)－2＝－[f(x＋1)－2]， 令g(x)＝f(x＋1)－2，则g(－x)＝－g(x)， 所以y＝f(x＋1)－2为奇函数，C正确； D选项，因为＝2－x， 所以＝2－x－2＝－x， 即f(x＋2)－f(2－x)＝－4x， 故f(x＋2)＋2x＝f(2－x)－2x， 令h(x)＝f(2＋x)＋2x，则h(x)＝h(－x)， 故y＝f(2＋x)＋2x为偶函数，D正确.故选ACD. 12.解析　由A∪B＝A⇒B⊆A，且A＝{x|－2≤x≤5}， 当B＝∅时，B⊆A，则m－1≥2m＋1，即m≤－2； 当B≠∅时，若B⊆A，则解得－1≤m≤2. 综上，实数m的取值范围为(－∞，－2]∪[－1,2]. 答案　(－∞，－2]∪[－1,2] ·53·13.解析　由cos α＋cos β＝， 可得cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＝，① 由sin α＋sin β＝， 可得sin2α＋2sin αsin β＋sin2β＝，② ①＋②，可得1＋2cos αcos β＋2sin αsin β＋1＝1， 所以2cos(α－β)＝－1，所以cos(α－β)＝－. 答案　－ 14.解析　 如图，七面体为正方体ABCD­A1B1C1D1截去三棱锥B1­BA1C1的图形， 由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时， 该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线B1D上， 如图，以点D为原点建立空间直角坐标系， 因为球O与三个正方形面和等边三角形面相切， 所以＝a，解得a＝， 所以这个七面体内部能容纳的最大的球半径是. 答案　 15.解析　(1)∵f＝，∴sin＝， ∴sin＝， ∵0<A<π，∴－<A－<， ∴A－＝，∴A＝. (2)sin C(1＋cos B)＝sin B(2－cos C)， 方法一　sin C＋sin Ccos B＋sin Bcos C＝2sin B， ∴sin C＋sin(B＋C)＝2sin B， ∴sin C＋sin A＝2sin B， 根据正弦定理得c＋a＝2b， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋bc，① 将a＝2b－c代入①式，得3b2－5bc＝0， ∴3b＝5c，∴＝. 方法二　由正弦定理和余弦定理可得 c＝b， ∴c＋＝2b－，∴c＋a＝2b， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋bc，① 将a＝2b－c代入①式，得3b2－5bc＝0， ∴3b＝5c，∴＝. 16.(1)证明　取AC的中点O，连接DO，OO1，O1O2， ∵DA＝DC，O为AC中点，∴DO⊥AC， 又平面DAC⊥平面ABC，且平面DAC∩平面ABC＝AC，DO⊂平面DAC， ∴DO⊥平面ABC，∴DO∥O1O2，DO＝O1O2，故四边形DOO1O2为矩形， ∴DO2∥OO1，又O，O1分别是AC，AB的中点， ∴OO1∥BC，∴DO2∥BC. (2)解析　∵C是圆O1上异于A，B的点，且AB为圆O1的直径， ∴BC⊥AC，∴OO1⊥AC， 由＝2，得F， ∴＝， ∴＝(－1,4，－)，＝， 设平面AEF的法向量为n＝(x1，y1，z1)， 则取n＝， 设直线DB与平面AEF所成角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝， ∴直线DB与平面AEF所成角的正弦值为. 17.(1)证明　由四边形ABCD是正方形，得AB⊥BC，而平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD＝BC， AB⊂平面ABCD，则AB⊥平面FBC，又BF⊂平面FBC，于是AB⊥BF，又EF∥AB， 所以EF⊥BF. (2)解析　在平面FBC内过B作Bz⊥BC，由平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD=BC， 得Bz⊥平面ABCD，以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B­xyz， 设平面ADE的法向量为n＝(x，y，z)，则令z＝1，得n＝(0，，1)， 而平面ABCD的一个法向量为m＝(0,0,1)，设二面角E­AD­B的平面角为θ，显然θ为锐角， 于是cos θ＝|cos〈m，n〉|＝＝＝，则θ＝， 所以二面角E­AD­B为. ·54·18.(1)证明　由题意可知，＝＝＝＝＝6， 所以数列{bn}是首项b1＝a1＝1，公比为6的等比数列. 于是bn＝6n－1. (2)解析　由题意可知，a2n＝2a2n－1－1， 所以S2n＝a1＋a2＋a3＋…＋a2n ＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n) ＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(2a1－1＋2a3－1＋…＋2a2n－1－1) ＝3(a1＋a3＋…＋a2n－1)－n ＝3(b1＋b2＋b3＋…＋bn)－n ＝3×－n＝×6n－n－. 又bn＋1＝a2n＋1＝6n， 令cn＝2S2n－a2n＋1＋2＝×6n－2n－－6n＋2＝×6n－2n＋， cn＋1－cn＝×6n＋1－2(n＋1)＋－＝6n－2>0， 所以数列{cn}单调递增，故cn≥c1＝0， 即2S2n≥a2n＋1－2. 19.(1)证明　假设y＝ex具有性质P(m), 即 ex＋m＝－(ex)′对一切x恒成立， 化简ex＋m＝－ex得到em＝－1，显然不存在实数m使得em＝－1成立，所以假设错误， 因此函数y＝ex不具有性质P(m). (2)解析　假设y＝sin x具有性质P(m), 即 sin(x＋m)＝－(sin x)′对一切x恒成立， 即sin(x＋m)＝－cos x对一切x恒成立，则sin xcos m＋(sin m＋1)cos x＝0对一切x恒成立， 由所以当m＝2kπ－，k∈Z时， y＝sin x具有性质P(m)， 所以y＝sin x具有性质P(m)，m的取值集合为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 滚动测试卷(四) (本卷满分150分　考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列，其前n项和分别是Sn和Tn，且a1＝b1＝1，a2＋b2＝4，T3＝3，则S3＝(　　) A.9 B.9或18 C.13 D.13或37 2.某圆台上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，侧面积为3π，则该圆台的体积为(　　) A.3π B. C.π D.π 3.已知函数f(x)＝sin 2x＋acos 2x，将f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则f(x)的图象的对称轴可以为(　　) A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝ 4.在△ABC中，·＝2，若a＝＋，b＝＋，c＝＋，则(　　) A.|b|>|c|>|a| B.|b|>|a|>|c| C.|a|>|c|>|b| D.|c|>|a|>|b| 5.若a＝ln ，b＝，c＝ln，则a，b，c的大小关系是(　　) A.c<a<b B.a<b<c C.c<b<a D.b<a<c 6.已知某正六棱柱的体积为6，其外接球体积为，若该六棱柱的高为整数，则其表面积为(　　) A.6＋18 B.3＋18 C.6＋24 D.3＋24 7.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为，过顶点B，D，C1的平面为α，点P是平面α内的动点，A1P＝，则点P的轨迹长度为(　　) A.π B.π C.π D.2π 8.已知三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝2，AC＝2，则球O的表面积为(　　) A. B.20π C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法正确的是(　　) A.E，F，G，H四点共面 B.EF∥GH C.EG，FH，AA1三线共点 D.∠EGB1＝∠FHC1 10.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，O为A1C1与B1D1的交点，则下列条件中能成为“AC1＝A1C”的必要条件的是(　　) A.四边形ACC1A1是矩形 B.平面ABB1A1⊥平面ACC1A1 C.平面BDD1B1⊥平面ABCD D.直线OA，BC所成的角与直线OC，AB所成的角相等 11.已知函数f(x)的定义域为R，其图象关于(1,2)中心对称，若 ＝2－x，则(　　) A.＝1 B.f(2)＋f(4)＝4 C.y＝f(x＋1)－2为奇函数 D.y＝f(2＋x)＋2x为偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1，m∈R}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围为________. 13.已知cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝，则cos(α－β)＝________. 14.如图，经过边长为1的正方体的三个顶点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是　　　　. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)＝sin，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f＝. (1)求角A的大小； (2)若sin C(1＋cos B)＝sin B(2－cos C)，求的值. 16.(15分)如图，已知AB为圆台下底面圆O1的直径，C是圆O1上异于A，B的点，D是圆台上底面圆O2上的点，且平面DAC⊥平面ABC，DA＝DC＝AC＝2，BC＝4，E是CD的中点，＝2. (1)证明：DO2∥BC； (2)求直线DB与平面AEF所成角的正弦值. 17.(15分)如图，多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，△FBC是等边三角形，EF∥AB，EF＝AB，平面FBC⊥平面ABCD. (1)求证：EF⊥BF； (2)求二面角E­AD­B的大小. 18.(17分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n－1，证明数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式； (2)求{an}的前2n项和S2n，并证明2S2n≥a2n＋1－2. 19.(17分)设函数y＝f(x)的定义域是R，它的导数是f′(x).若存在常数m(m∈R)，使得f(x＋m)＝－f′(x)对一切x恒成立，那么称函数y＝f(x)具有性质P(m). (1)求证：函数y＝ex不具有性质P(m)； (2)判别函数y＝sin x是否具有性质P(m).若具有，求出m的取值集合；若不具有，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$