8.达标测试卷(六) 平面向量与复数-【精讲精练】2026年高考数学一轮达标测试卷

达标测试卷(六)　平面向量与复数 1.B　z＝＝＝＝－i，故＝i，|＋1|＝|1＋i|＝＝.故选B. 2.C　因为向量b＝－2a，|a|＝3，所以|b|＝6，且〈a，b〉＝180°，则a·b＝3×6cos 180°＝－18，故选C. 3. A　在▱ABCD中，=2，=2，=a，=b， 所以＝－＝－＝－a＋b.故选A. 4.C　因为向量a，b均为单位向量，即|a|＝|b|＝1，且a＋b＋c＝0，|c|＝，则a＋b＝－c， 两边平方可得|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2， 即2a·b＝1， 所以a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝， 又0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为.故选C. 5.D　由|a－b|＝|a＋2b|，两边平方得，a2＋b2－2a·b＝a2＋4b2＋4a·b， 所以b2＋2a·b＝0， 所以|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝|a|2＝9， 所以|a＋b|＝3，故选D. 6.A　因为关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根为z1＝－1＋i， 所以另一个根z2＝－1－i， 所以＋＝＋ ＝＝－.故选A. 7.A　因为向量a＝(1,2)，b＝，且3a·b＝1， 则3＝1，所以＋＝1， 化简可得(x＋1)(y＋2)＝3(y＋2)＋6(x＋1)， 整理可得xy－10＝4x＋2y，因为 x，y都是正实数， 所以xy－10＝4x＋2y≥2， 即xy－4·－10≥0， 所以(－5)(＋)≥0， 解得≥5或≤－(舍)， 所以≥5，即xy≥50， 当且仅当即时等号成立， 所以xy的最小值是50.故选A. 8.B　设＝2，＝λ＋μ(λ≥0，μ≥0且λ＋2μ＝2)， 则＝＋μ， 9.CD　对于A，若a⊥b，b⊥c，则a与c可能平行，故A错误； 对于B，设b＝(x，y)，则2a＋b＝(2＋x,4＋y)＝(3,2)，解得x＝1，y＝－2，所以b＝(1，－2)，故B错误； 对于C，若a·b＝a·c，则|a|·|b|cos〈a，b〉＝|a|·|c|cos〈a，c〉，所以|b|cos〈a，b〉＝|c|cos〈a，c〉，所以b和c在a上的投影向量相等，故C正确； 对于D，因为＝a＋2b，＝＋＝2a＋4b，所以＝2，所以点A，B，D一定共线，故D正确.故选CD. 10.AC　设z＝a＋bi，则＝a－bi， 对于A，z－＝2bi＝0，则b＝0，z为实数 ，A正确； 对于B，z2－2＝(a＋bi)2－(a－bi)2＝4abi＝0，a，b中至少一个为0即可，B错误； 对于C，由|z－i|＝1，则＝1，即a2＋(b－1)2＝1(0≤b≤2) |z|＝＝＝≤＝2，C正确； 对于D，由|z－i|＝|z|＋1，可得＝＋1，两边平方可得－b＝， 当a＝b＝0，显然成立，D错误. 11.ACD　由题意可知，＝(－1,1)，＝(cos α，sin α)， 对于A，当α＝时，P(0,1)，所以＝(－1，－1)， 即·＝1－1＝0，故⊥，故A正确； 对于B，因为∥，所以存在实数λ，使得＝λ，即 解得tan α＝－1，故α＝或α＝，故B错误； 对于C，因为·＝－cos α＋sin α＝－，所以(－cos α＋sin α)2＝，解得sin 2α＝，故C正确； 对于D，因为＝(cos α－2，sin α－1)， 所以||＝ ＝＝， 其中sin φ＝，cos φ＝， 所以当sin(α＋φ)＝－1时，||max＝ ＝ ＝＋1，故D正确.故选ACD. 12.解析　ai＋＝ai＋＝ai＋＝＋i＝1， 所以解得a＝1. 答案　1 13.解析　因为在单位正方形ABCD中，点E是BC边上一点，又BE＝2CE，所以＝＋＝＋，＝－， 所以·＝· ＝－·－2＝－. 答案　－ 14.解析　由题意知，|a|＝|b|＝|c|＝1， 由|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1，得a·b＝－， 所以cos〈a，b〉＝＝－，又〈a，b〉∈[0，π]， 所以〈a，b〉＝，即a与b的夹角为； (a＋b)·(b－c)＝a·b＋b2－(a＋b)·c＝－|a＋b||c|·cos〈a＋b，c〉＝－cos〈a＋b，c〉， 又cos〈a＋b，c〉∈[－1,1]，所以－cos〈a＋b，c〉≥－， 当且仅当a＋b与c同向时，等号成立. 所以(a＋b)·(b－c)的最小值为－. 答案　　－ 15.解析　(1)∵(a－2b)⊥b，∴a·b－2b2＝0， ∴|a|·|b|cos〈a，b〉－2|b|2＝0， ∵|a|＝4|b|，∴4|b|2cos〈a，b〉－2|b|2＝0， ∴cos〈a，b〉＝. ∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为. (2)∵|a＋b|＝，∴|a＋b|2＝21， 即|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|·cos〈a，b〉＝21， ∵|a|＝4|b|，又由(1)知cos〈a，b〉＝，∴|b|2＝1， ∴|b|＝1. 16.解析　(1)|z1|＝|－i|＝ ＝2， |z2|＝＝＝1. (2)由(1)知1≤|z|≤2，设z＝x＋yi(x，y∈R). 因为不等式|z|≥1的解集是以O为圆心，1为半径的圆上和该圆外部所有点组成的集合， 不等式|z|≤2的解集是以O为圆心，2为半径的圆上和该圆内部所有点组成的集合， 所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示. 17.(1)解析　由题意可得zn＝1的解为 z＝cos＋isin(k＝0,1,2)， 则复数z的3次单位根为1，－＋i，－－i， 由于11＝1，－＋i，－－i的一次方以及2次方均不等于1， 故复数z的3次本原单位根为－＋i，－－i. (2)证明　①因为ωk是复数z的8次本原单位根， 所以ω≠1(m<8)，ω＝1. 因为ω＝(ω)2＝1，所以ω＝－1， 所以ωk＋ω＝ωk(1＋ω)＝0，ω＋ω＝ω(1＋ω)＝0，ω＋ω＝ω(1＋ω)＝0， 则1＋ωk＋ω＋…＋ω＝0. ②因为ωk是复数z的n次本原单位根，所以ω≠1(m<n)，ω＝1， 设S＝1＋ωk＋ω＋ω＋…＋ω，则ωkS＝ωk＋ω＋ω＋…＋ω＋ω. 因为ω＝1，所以S＝ω＋ωk＋ω＋ω＋…＋ω， 所以ωkS＝S， 所以(ωk－1)S＝0. 因为ω≠1(m<n)，所以ωk≠1，即ωk－1≠0， 则S＝0，即1＋ωk＋ω＋ω＋…＋ω＝0. 18.解析　(1)∵＝2，||＝2， ∴∥，||＝1， ∵·＝1，∴cos∠ABC＝＝， ∵∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝. (2)·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋· ＝－1－1＋＋2＝. (3)方法一　设＝t(0≤t≤1)， 则＝(1－t)， ∴＝－＝－t， ＝＋＝2＋(1－t)， ∴·＝(－t)·[2＋(1－t)] ＝22＋(1－3t)·－t(1－t)2 ＝2×12＋(1－3t)×1－t(1－t)×4＝4t2－7t＋3， 当t＝时，即＝7时，·最小. 方法二　建立如图所示平面直角坐标系，则B(0,0)，A， C(2,0)，D(3，)， 设O(x0,0)(0≤x0≤2)，则＝，＝(3－x0，)， ∴·＝×(3－x0)＋× ＝x－x0＋3， 当x0＝时，即＝7时，·最小. 19.解析　(1)因为＝(1,2)，所以a＝1，b＝2， 所以f(x)＝asin x＋bcos x＝sin x＋2cos x＝sin(x＋φ)，所以f(x)的最大值为. (2)因为f(x)＝sin＋sin x＝sin x－cos x＋sin x＝sin x－cos x， 所以“伴随向量”为＝，所以||＝＝. (3)设＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β)， ①因为λ＝μ＝1， 所以＝＋＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)， 所以h(x)＝(cos α＋cos β)sin x＋(sin α＋sin β)cos x ＝sin(x＋φ)， 所以p＝ ＝ ＝， 因为－1≤cos(α－β)≤1，所以p的取值范围是[0,2]. ②证明　因为＝λ＋μ＝(λcos α＋μcos β，λsin α＋μsin β)，所以h(x)＝(λcos α＋μcos β)sin x＋(λsin α＋μsin β)cos x ＝ sin(x＋φ) ＝ sin(x＋φ)， 所以p＝， 充分性：p＝≥＝|λ－μ|， 当且仅当α－β＝π＋2kπ，k∈Z，即＝－时，等号成立，所以＝－. 必要性：当＝－时，α－β＝π＋2kπ，k∈Z， 所以p＝＝＝|λ－μ|， 综上所述，向量＝－的充要条件是p＝|λ－μ|. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 达标测试卷(六)　平面向量与复数 (本卷满分150分　考试时间120分钟) 　　 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复数z满足(1＋i)z＝1－i，则|＋1|＝(　　) A.1 B. C. D.2 2.已知向量b＝－2a，|a|＝3，则a·b等于(　　) A.－6 B.6 C.－18 D.18 3.已知四边形ABCD是平行四边形，＝2，＝2，记＝a，＝b，则＝(　　) A.－a＋b B.－a－b C.a＋b D.a－b 4.已知向量a，b为单位向量，|c|＝且a＋b＋c＝0，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 5.已知向量|a|＝3，|a－b|＝|a＋2b|，则|a＋b|＝(　　) A. B.2 C. D.3 6.设z1，z2是关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根，其中p，q∈R.若z1＝－1＋i(i为虚数单位)，则＋＝(　　) A.－ B. C.－2 D.2 7.已知x，y都是正实数，若向量a＝(1,2)，b＝，且满足3a·b＝1，则xy的最小值是(　　) A.50 B.5 C.4 D.2 8.△ABC是等腰直角三角形，其中AB⊥AC，||＝1，P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋μ(λ≥0，μ≥0且λ＋2μ＝2)，则在上的投影向量的长度的取值范围是(　　) A. B. C.[1， ] D.[，2] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知向量a，b，c为非零向量，则下列说法正确的有(　　) A.若a⊥b，b⊥c，则a⊥c B.已知向量a＝(1,2),2a＋b＝(3,2)，则b＝(1,2) C.若a·b＝a·c，则b和c在a上的投影向量相等 D.已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则点A，B，D一定共线 10.已知复数z，下列说法正确的是(　　) A.若z－＝0，则z为实数 B.若z2－2＝0，则z＝＝0 C.若|z－i|＝1，则|z|的最大值为2 D.若|z－i|＝|z|＋1，则z为纯虚数 11.已知点O(0,0)，A(2,1)，B(1,2)，P(cos α，sin α)(0≤α<2π)，则下列结论正确的是(　　) A.若α＝，则⊥ B.若∥，则α＝ C.若·＝－，sin 2α＝ D.||的最大值为＋1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知a∈R，且ai＋＝1，则a＝________. 13.已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若BE＝2CE，则·＝________. 14.已知平面向量a，b，c均为单位向量，且|a＋b|＝1，则向量a与b的夹角为________，(a＋b)·(b－c)的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知非零向量a，b满足|a|＝4|b|，且(a－2b)⊥b. (1)求a与b的夹角； (2)若|a＋b|＝，求|b|的值. 16.(15分)已知复数z1＝－i与z2＝－＋i. (1)求|z1|及|z2|的值； (2)设z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？ 17.(15分)在复数域中，对于正整数n满足zn＝1的所有复数ωk＝cos＋isin(k∈Z)称为单位根，其中满足对任意小于n的正整数m，都有zm≠1，则称这种复数为n次的本原单位根，例如当n＝4时，存在四个4次单位根±1，±i，因为11＝1，(－1)2＝1，因此只有两个4次本原单位根±i. (1)直接写出复数z的3次单位根，并指出那些是复数z的3次本原单位根(无需证明). (2)①若ωk是复数z的8次本原单位根，证明：1＋ωk＋ω＋…＋ω＝0. ②若ωk是复数z的n次本原单位根，证明：1＋ωk＋ω＋ω＋…＋ω＝0. 18.(17分)如图，在平面四边形ABCD中，已知＝2，||＝||＝2，·＝1，O为线段BC上一点. (1)求∠ABC的值； (2)若O为线段BC的中点，求·的值； (3)试确定点O的位置，使得·最小. 19.(17分)定义向量＝(a，b)的“伴随函数”为f(x)＝asin x＋bcos x；函数f(x)＝asin x＋bcos x的“伴随向量”为＝(a，b). (1)写出＝(1,2)的“伴随函数”f(x)，并直接写出f(x)的最大值； (2)写出函数f(x)＝sin＋sin x的“伴随向量”，并求||； (3)已知||＝||＝1，的“伴随函数”为f(x)，的“伴随函数”为g(x)，设＝λ＋μ(λ>0，μ>0)，且的伴随函数为h(x)，其最大值为p. ①若λ＝μ＝1，求p的取值范围； ②求证：向量＝－的充要条件是p＝|λ－μ|. 学科网（北京）股份有限公司 $$