7.达标测试卷(五) 数列-【精讲精练】2026年高考数学一轮达标测试卷

达标测试卷(五)　数列 1.C　因为a1＝1，a2＝2，an＋1＝an－an－1(n≥2)， 则a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝－1， a5＝a4－a3＝－2，a6＝a5－a4＝－1， a7＝a6－a5＝1，故选C. 2.A　因为S5＝＝5a3＝35，得到a3＝7， 又a4＋a5＝a3＋a6＝23，所以a6＝16，所以d＝＝3，故选A. 3.B　由等比数列前n项和公式Sn＝4n－1＋t，可得a1＝S1＝1＋t.当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝3·4n－2.由于数列为等比数列，所以＝4，即＝4，解得t＝－.故选B. 4.C　设数列{an}的公差为d， 由题意得a＝a2·a8 ⇒ (1＋3d)2＝(1＋d)(1＋7d). 又d≠0，所以d＝1.所以an＝n. 所以a2024＝2024，故A错误； 因为＝，＝，所以>，故B错误； 因为＝＝2，故C正确； 因为Sn＋1＝，所以＝，故D错误.故选C. 5.A　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d(d<0)， 由a2＝，得到a2a7＝a2＋a7＋13①，由S8＝＝44，得到a1＋a8＝11②， 又a1＋a8＝a2＋a7＝11， 由①②得到，a2a7＝24，由 解得a2＝8，a7＝3， 所以d＝＝＝－1，a1＝9，Sn＝9n－＝－n2＋n， 又因为n∈N*，所以当n＝9或n＝10时，Sn的值最大，最大值为45，故选A. 6.D　数列{an}中，an＝n·n＋2，则＝＝×， 令×>1，解得n<4，则当n<4时，an＋1>an， 即a4>a3>a2>a1， 同理当n>4时，an＋1<an，即a5>a6>a7>a8>…， 而a5＝a4， 所以数列{an}的偶数项中最大项为a4.故选D. ·47·7.C　由图分析可知a1＝1，a2＝8a1＋1＝8＋1， a3＝8a2＋1＝8(8＋1)＋1＝82＋8＋1， a4＝8a3＋1＝8(82＋8＋1)＋1＝83＋82＋8＋1， 依次类推，a100＝899＋898＋897＋…＋8＋1， 所以S＝＋＋…＋ ＝1＋＋＋…＋ <1＋＋＋…＋＝ ＝<.故选C. 8.A　由f(x)＝x2－x－2可得f′(x)＝2x－1， xn＋1＝xn－＝， ＝＝2，则两边取对数可得ln＝2ln. 即an＋1＝2an，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列. 所以S2024＝＝22024－1.故选A. 9.ABD　对于A，an＝1＋6(n－1)＝6n－5，故A正确； 对于B，当k＝2时，{bn}公差d＝＝2， 此时bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，故B正确； 对于C，当k＝2时，bn＝2n－1，此时b19＝2×19－1＝37，a7＝6×7－5＝37，即b19是数列{an}中的项，故C错误； 对于D，当k＝6时，b1＝a1，又a2＝b1＋6＋1＝b8，故D正确.故选ABD. 10.ABC　对于A，若A＋B＝1，则a1＝S1＝A＋B＝1，A正确； 对于B，若A＝2，则a2＝S2－S1＝(2A＋B)－(A＋B)＝A＝2，B正确； 对于C，由Sn＝An＋B得a1＝S1＝A＋B， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(An＋B)－[A(n－1)＋B]＝A， 所以，当B＝0，A≠0时，数列{an}是公比为1的等比数列，C正确； 对于D，由上知，当n≥2时an＝A，若B≠0，则a2－a1＝A－(A＋B)＝－B≠a3－a2＝0， 此时，数列{an}不是等差数列，D错误.故选ABC. 11.ACD　由题意可知Sn＝，Tn＝a1(a1q)…(a1qn－1)＝aq，且∀n∈N*，<0， 故有<0且q>0否则若q<0，则的符号会正负交替，这与∀n∈N*，<0，矛盾， 也就是有或 无论如何，数列{an}是递增数列，故A正确，B错误； 对于C，若数列{Sn}是递增数列，即Sn＋1－Sn＝an＋1>0，由以上分析可知只能故C正确； 对于D，若数列{Tn}是递增数列，显然不可能是(否则Tn＝aq的符号会正负交替，这与数列{Tn}是递增数列，矛盾)， 从而只能是且这时有＝an＋1>1，故D正确.故选ACD. 12.解析　设等比数列{an}的公比为q，因为a1a2a3＝1， 所以a＝1，解得a2＝1， 又＋＋＝，所以有 由{an}是递增的等比数列，解得a1＝，a3＝2， 所以q＝＝2, 即有an＝×2n－1＝2n－2. 答案　2n－2(n∈N*) 13.解析　因为an＝n3－n＝n(n－1)(n＋1)，所以当n的个位数字为1,4,5,6,9,0时， an的个位数为0，则在数列{an}中，每连续10项中就有6项的个位数字为0， 而2017＝336×6＋1，由此推断数列{bn}中的第2017项相当于数列{an}中的第3361项， 即b2017＝a3361＝33613－3361，而3361＝480×7＋1，所以3361除以7余数为1， 而(7k＋1)3＝(7k)3＋3×(7k)2＋3×7k＋1，k∈N*，所以33613除以7余数也为1， 而它们的差33613－3361一定能被7整除，所以b2017被7除所得余数为0. 答案　0 14.解析　由于当n为奇数时，an＝－，当n为偶数时，an＝， 要求＝a1·a2…an的最小值，只需要考虑出现奇数个奇数项时即可， 又＝＝<1⇒|an＋1|<|an|， 且当n＝4时，a4＝<1，因此n≥4时，|an|≤a4<1， 当n＝2时，＝a1a2＝－2×＝－， 当n＝5时，＝a1a2a3a4a5＝－2××××＝－>－， 综上，最小值为－. 答案　－ 15.解析　(1)因为{an}为等差数列，设公差为d， 由S7＝49，得＝7a4＝49⇒a4＝7， 即a1＋3d＝7， 由a2，a5，a14成等比数列得a＝a2·a14⇒(7＋d)2＝(7－2d)(7＋10d)， 化简(7＋d)2＝(7－2d)(7＋10d)，得d2－2d＝0，因为d≠0，所以d＝2. 所以an＝a4＋(n－4)d＝2n－1(n∈N*). 综上an＝2n－1(n∈N*). (2)由an＝2n－1知a1＝1，a3＝5， 又{an＋bn}是公比为3的等比数列，b3＝22， 所以a3＋b3＝(a1＋b1)×9＝5＋22＝27， 即a1＋b1＝1＋b1＝3， 所以an＋bn＝3×3n－1＝3n，bn＝3n－(2n－1)(n∈N*)， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝31＋32＋33＋…＋3n－[1＋3＋5＋…＋(2n－1)] ＝－＝－n2. 综上Tn＝－n2. 16.解析　(1)因为Sn＝， 当n＝1时，S1＝⇒a2＝2， 当n≥2时，Sn－1＝， 因为Sn＝， 两式相减得，an＝(an＋1－an－1)， 因为an>0，所以2＝an＋1－an－1， 所以{a2n－1}，{a2n}均为等差数列，a2n－1＝2n－1，a2n＝2n. 所以an＝n，n∈N*. (2)由题意得，＝＝＝， 所以Tn＝＝＝， 因为Tn>，所以>， 解得n>8.所以满足条件的最小整数n为9. 17.(1)解析　设数列{an}的首项为a1，公差d＝1，则 S8＝8a1＋×1＝36，解得a1＝1， 所以an＝n. 设等比数列{bn}的公比为q，b1＝3， 则b3－b2＝3q2－3q＝18， 解得q＝－2(舍)或q＝3， 所以bn＝3n. (2)解析　由(1)可知，cn＝ ＝－， 所以Sn＝＋＋＋…＋ ＝1－. (3)证明　－＝≤0，当n＝1时，等号成立，所以≤， 设数列的前n项和为Tn， 则Tn＝1＋＋＋…＋， Tn＝＋＋…＋＋， 两式相减得Tn＝1＋＋＋…＋－ ＝1＋－＝－， 得Tn＝2－<2，即<2，即<2， 所以<2<(n∈N*). 18.解析　(1)因为{an}为等差数列，且a1＋a5＝8， 所以a3＝4. 又a3是a1与a7的等比中项，所以a＝a1a7， 即16＝(4－2d)(4＋4d). 化简得d2－d＝0，解得d＝1或d＝0(舍)， 所以an＝a3＋(n－3)×1＝n＋1. (2)①由＝2an，得－＝2an， 所以－＝2an－1(n≥2)，又b1＝， 当n≥2时，＝＋＋…＋＋ ＝2an－1＋2an－2＋…＋2a1＋ ＝4(n－1)＋×2＋2＝n(n＋1)， 又b1＝也适合上式，所以＝n(n＋1)， 则bn＝＝－， 所以Sn＝＋＋…＋＝1－＝. ②假设存在正整数m，n，使得S4，S2m，S2n成等差数列， 则S4＋S2n＝2S2m，即1－＋1－＝2，整理得2m＝9－， 显然n＋3是25的正约数，又n＋3≥4，则n＋3＝5或n＋3＝25， 当n＋3＝5，即n＝2时，m＝2与m≠n矛盾； 当n＋3＝25，即n＝22时，m＝4，符合题意， 所以存在正整数m，n使得S4，S2m，S2n成等差数列，此时m＝4，n＝22. 19.解析　(1)因为数列{bn}是项数为7的“对称数列”， 所以b5＝b3＝5， 又因为b1，b2，b3，b4成等差数列， 其公差d＝b3－b2＝2， 所以数列{bn}的7项依次为1,3,5,7,5,3,1. (2)①由c1，c2，…，ck是单调递增数列，数列{cn}是项数为2k－1的“对称数列”，且满足|cn＋1－cn|＝2， 可知c1，c2，…，ck构成公差为2的等差数列，ck，ck＋1，…，c2k－1构成公差为－2的等差数列， 故S2k－1＝c1＋c2＋…＋c2k－1 ＝2(ck＋ck－1＋…＋c2k－1)－ck ＝2－2023 ＝－2k2＋4048k－2023， 所以当k＝－＝1012时，S2k－1取得最大值. ②因为|cn＋1－cn|＝2，即cn＋1－cn＝±2， 所以cn＋1－cn≥－2，即cn＋1≥cn－2， 于是ck≥ck－1－2≥ck－2－4≥…≥c1－2(k－1)， 因为数列{cn}是“对称数列”， 所以S2k－1＝c1＋c2＋…＋c2k－1 ＝2(c1＋c2＋…＋ck－1)＋ck ≥(2k－1)c1－2(k－2)(k－1)－2(k－1) ＝－2k2＋4052k－2026， 因为S2k－1＝2024，故－2k2＋4052k－2026≤2024， 解得k≤1或k≥2025，所以k≥2025， 当c1，c2，…，ck构成公差为－2的等差数列时，满足c1＝2024，且S2k－1＝2024，此时k＝2025，所以k的最小值为2025. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 达标测试卷(五)　数列 (本卷满分150分　考试时间120分钟) 　　 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，若a1＝1，a2＝2，则a7＝(　　) A.－1 B.－2 C.1 D.2 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4＋a5＝23，S5＝35，则{an}的公差为(　　) A.3 B.4 C.6 D.9 3.等比数列{an}的前n项和Sn＝4n－1＋t，则t＝(　　) A.－1 B.－ C. D. 4.已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝1且a2，a4，a8成等比数列，其前n项和为Sn，则(　　) A.a2024＝4045 B.< C.＝2 D.＝ 5.已知等差数列{an}的公差小于0，前n项和为Sn，若a2＝，S8＝44，则Sn的最大值为(　　) A.45 B.52 C.60 D.90 6.已知an＝n·n＋2，则数列{an}的偶数项中最大项为(　　) A.a10 B.a8 C.a6 D.a4 7.如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列{an}的前4项.记S＝＋＋…＋，则下列结论正确的为(　　) A.S> B.S＝ C.S< D.S与的大小关系不能确定 8.给定函数f(x)，若数列{xn}满足xn＋1＝xn－，则称数列{xn}为函数f(x)的牛顿数列.已知{xn}为f(x)＝x2－x－2的牛顿数列，an＝ln，且a1＝1，xn>2(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn.则S2024＝(　　) A.22024－1 B.22025－1 C.2023－1 D.2024－1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝6，在{an}中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，下列说法正确的有(　　) A.an＝6n－5 B.当k＝2时，bn＝2n－1 C.当k＝2时，b19不是数列{an}中的项 D.若b8是数列{an}中的项，则k的值可能为6 10.记数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝An＋B，A，B为常数.下列选项正确的是(　　) A.若A＋B＝1，则a1＝1 B.若A＝2，则a2＝2 C.存在常数A，B，使数列{an}是等比数列 D.对任意常数A，B，数列{an}都是等差数列 11.已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，前n项积为Tn，且∀n∈N*，<0，则(　　) A.数列{an}是递增数列 B.数列{an}是递减数列 C.若数列{Sn}是递增数列，则q>1 D.若数列{Tn}是递增数列，则q>1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知在递增的等比数列{an}中，a1a2a3＝1，＋＋＝，则数列{an}的通项公式为an＝________. 13.设数列{an}的通项公式为an＝n3－n，n∈N*，该数列中个位数字为0的项按从小到大的顺序排列构成数列{bn}，则b2017被7除所得的余数是________. 14.已知数列{an}的通项公式an＝(－1)n(n∈N*)，则＝a1·a2…an的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知数列{an}为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，S7＝49，且a2，a5，a14成等比数列. (1)求{an}的通项公式； (2)若数列{an＋bn}是公比为3的等比数列，且b3＝22，求{bn}的前n项和Tn. 16.(15分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，Sn＝. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记cn＝a2n，数列的前n项和为Tn，当Tn>时，求满足条件的最小整数n. 17.(15分)已知{an}是公差为1的等差数列，其前8项和为36.{bn}是公比大于0的等比数列，b1＝3，b3－b2＝18. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记cn＝，求{cn}的前n项和Sn； (3)证明：<(n∈N*). 18.(17分)已知{an}是等差数列，公差d≠0，a1＋a5＝8，且a3是a1与a7的等比中项. (1)求{an}的通项公式； (2)数列{bn}满足＝2an，且b1＝. ①求{bn}的前n项和Sn； ②是否存在正整数m，n(m≠n)，使得S4，S2m，S2n成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 19.(17分)如果n项有穷数列{an}满足a1＝an，a2＝an－1，…，an＝a1，即ai＝an－i＋1(i＝1,2，…，n)，则称有穷数列{an}为“对称数列”. (1)设数列{bn}是项数为7的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4成等差数列，且b2＝3，b5＝5，依次写出数列{bn}的每一项； (2)设数列{cn}是项数为2k－1(k∈N*且k≥2)的“对称数列”，且满足|cn＋1－cn|＝2，记Sn为数列{cn}的前n项和. ①若c1，c2，…，ck构成单调递增数列，且ck＝2023.当k为何值时，S2k－1取得最大值？ ②若c1＝2024，且S2k－1＝2024，求k的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$