6.滚动测试卷(二)-【精讲精练】2026年高考数学一轮达标测试卷

滚动测试卷(二) (本卷满分150分　考试时间120分钟) 　　 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A＝{2,3,5,7,8,9}，B＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则A∩B＝(　　) A.{5,8} B.{7} C.{2,5,8} D.{3,5,7,9} 2.若函数f(x)＝ln(ex＋1)＋ax为偶函数，则实数a的值为(　　) A.－ B.0 C. D.1 3.已知x>0，y>0，xln 4＋yln 8＝2ln 2，则＋的最小值是(　　) A. B. C.2 D.3 4.若实数m满足log2(－m)<m＋1，则m的取值范围为(　　) A.(－∞，0) B.(0，＋∞) C.(－∞，－1) D.(－1,0) 5.如图为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象，则(　　) A.函数f(x)的周期为4π B.对任意的x∈R，都有f(x)≤f C.函数f(x)在区间[0,5π]上恰好有三个零点 D.函数f是偶函数 6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos C＝a(2－c)，且B＝，则a＝(　　) A.1 B. C. D.2 7.如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠B＝2∠D＝120°，记△ABC与△ACD的面积分别为S1，S2，则S2－S1的值为(　　) A.2 B. C.1 D. 8.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导数，记f ″(x)＝(f′(x))′.若f ″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是(　　) A.f(x)＝sin x＋cos x B.f(x)＝ln x－2x C.f(x)＝－x3＋2x－1 D.f(x)＝－xe－x 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则下列结论中正确的是(　　) A.(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5∶6∶7 B.△ABC为钝角三角形 C.若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R＝16r D.若a＋b＋c＝18，则△ABC的面积是6 10.已知函数g(x)＝sin(ωx＋φ)(0<ω<π，0<φ<π)，对于任意x∈R，有g＝g＝－g，则(　　) A.函数g(x)的最小正周期为 B.函数g(x)的图象关于点对称 C.函数g(x)在上单调递减 D.函数g(x)在(－π，π)上共有6个极值点 11.我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数.已知函数f(x)＝，则下列结论正确的有(　　) A.函数f(x)的值域为(0,2] B.函数f(x)的图象关于点(1,1)成中心对称图形 C.函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x＝1对称 D.若函数g(x)满足y＝g(x＋1)－1为奇函数，且其图象与函数f(x)的图象有2024个交点，记为Ai(xi，yi)(i＝1,2，…，2024)，则(xi＋yi)＝4048 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知f(x)＝则f＝________. 13.tan 5°＋tan 10°＋(2－)tan 5°tan 10°＝________. 14.已知f′(x)是定义域为的函数f(x)的导函数，且f′(x)sin x＋f(x)cos x<0，则不等式f(x)sin x>f的解集为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)＝sin. (1)若f(x0)＝，x0∈[0,2π]，求x0的值； (2)设g(x)＝f(x)·cos x，求g(x)在区间上的最大值和最小值. 16.(15分)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)＝. (1)求a，b的值； (2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，求实数k的取值范围. 17.(15分)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝. (1)求角A的值； (2)若∠BAC的角平分线与BC交于点D，AD＝2，AC＝2，求a＋c的值. 18.(17分)己知函数f(x)＝ln x－ax，其中a∈R. (1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a的值； (2)是否存在实数a，使得f(x)在x∈(0，e]上的最大值是－3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 19.(17分)英国数学家泰勒发现了如下公式：sin x＝x－＋－＋…，其中n！＝1×2×3×…×n.利用该公式可以得到：当x∈时，sin x＜x，sin x＞x－，sin x＜x－＋，…. (1)证明：当x∈时，＞； (2)设f(x)＝msin x，当f(x)的定义域为[a，b]时，值域也为[a，b]，则称[a，b]为f(x)的“和谐区间”，当m＝－2时，f(x)是否存在“和谐区间”？若存在，求出f(x)的所有“和谐区间”；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 滚动测试卷(二) 1.C　由B＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，集合B中的元素是被3整除余2的整数. 则集合A＝{2,3,5,7,8,9}中的元素2,5,8在集合B中，所以A∩B＝{2,5,8}.故选C. 2.A　f(x)＝ln(ex＋1)＋ax的定义域为R， f(－x)＝ln(e－x＋1)－ax＝ln－ax＝ln(ex＋1)－x－ax， 由于f(x)＝ln(ex＋1)＋ax为偶函数， 故f(－x)＝f(x)，即ln(ex＋1)－(1＋a)x＝ln(ex＋1)＋ax⇒(1＋2a)x＝0，故1＋2a＝0，解得a＝－， 故选A. 3.C　由xln 4＋yln 8＝2ln 2可得ln 4x＋ln 8y＝ln 4， 即4x·8y＝4， 所以22x＋3y＝22，所以2x＋3y＝2， 所以＋＝(2x＋3y) ＝≥＝2， 当且仅当即时，等号成立.故选C. 4.D　log2(－m)<m＋1⇔log2(－m)－m－1<0，因函数y＝log2(－x)，y＝－x－1在(－∞，0)上单调递减，则函数f(x)＝log2(－x)－x－1在(－∞，0)上单调递减，又f(－1)＝0，则f(m)<0⇔f(m)<f(－1)⇔－1<m<0.故选D. 5.C　从图象可看出f(x)的最小正周期为T＝×2＝3π，故A错误； 因为ω>0，所以＝3π，解得ω＝， f(x)＝2sin，代入(0,1)得2sin φ＝1， 因为0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝2sin， f＝2sin＝2sin≠2，故不满足对任意的x∈R，都有f(x)≤f，故B错误； x∈[0,5π]，则x＋∈， 由f(x)＝0可得x＋＝{π，2π，3π}， 可得x＝， 故函数f(x)在区间[0,5π]上恰好有三个零点，故C正确； f＝2sin＝2sinx，为奇函数，故D错误.故选C. 6.A　因为2bcos C＝a(2－c)，两边同时乘以a得2abcos C＝a2(2－c)，由余弦定理可得a2＋b2－c2＝2abcos C， 则a2＋b2－c2＝a2(2－c)，所以有a2＋c2－b2＝a2c， 又a2＋c2－b2＝2accos B，所以a2c＝2accos B，又因为B＝，所以a＝1.故选A. 7.B　在△ABC中，由余弦定理得 cos B＝， 即－＝，得BC2－AC2＝－2BC－4，① 在△ACD中，由余弦定理得cos D＝，即＝，得CD2－AC2＝2CD－4，② 又S1＝AB·BCsin 120°＝BC， S2＝AD·CDsin 60°＝CD， 所以S2－S1＝CD－BC＝(CD－BC)，③ 由②－①，得CD2－BC2＝2(CD＋BC)，由CD＋BC>0， 得CD－BC＝2，代入③得S2－S1＝.故选B. 8.D　对于A，f(x)＝sin x＋cos x，f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x， 则f(x)在上恒有f″(x)<0，故A错误； 对于B，f(x)＝ln x－2x，f′(x)＝－2，f″(x)＝－， 则f(x)在上恒有f″(x)<0，故B错误； 对于C，f(x)＝－x3＋2x－1，f′(x)＝－3x2＋2， f″(x)＝－6x， 则f(x)在上恒有f″(x)<0，故C错误； 对于D，f(x)＝－xe－x，f′(x)＝－e－x＋xe－x， f″(x)＝(2－x)e－x， 则f(x)在上恒有f″(x)>0，故D正确.故选D. 9.BC　因为sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，由正弦定理知a∶b∶c＝2∶3∶4， 令a＝2t，b＝3t，c＝4t(t>0)， 对于选项A，(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5t∶7t∶6t＝5∶7∶6，所以选项A错误； 对于选项B，因为cos C＝＝＝－<0，所以角C为钝角，故选项B正确； 对于选项C，由选项B知sin C＝＝， 由正弦定理得＝2R， 所以2R＝＝，得到R＝， 又absin C＝(a＋b＋c)r，得到r＝，所以5R＝16r，故选项C正确； 对于选项D，a＋b＋c＝9t＝18，得到t＝2，所以a＝4，b＝6，又sin C＝， 所以△ABC的面积为S＝absin C＝×4×6×＝3，故选项D错误，故选BC. 10.ACD　因为g＝－g， 所以g＝－g(x)， 因此g＝g(x)，从而＝×n(n∈N*)，注意到0<ω<π，故n＝1，ω＝3， 所以g(x)＝sin(3x＋φ)，又g＝g， 所以g(x)的图象关于直线x＝对称， 从而sin＝±1， 即＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z， 又0<φ<π，所以φ＝， 所以g(x)＝sin，所以g(x)的最小正周期为，故A正确； 因为g＝－1，所以函数g(x)的图象不关于点对称，故B错误； 当x∈时，3x＋∈，故函数g(x)在上单调递减，故C正确； 令3x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝－，k∈Z， 令－π<－<π，得－<k<，故k＝－2，－1,0,1,2,3， 易知函数g(x)在，，，上单调递增， 在，，上单调递减， 故函数g(x)在(－π，π)上共有6个极值点，故D正确.故选ACD. 11.BCD　对于A，显然f(x)的定义域为R,2x>0，则0<<2，即函数f(x)的值域为(0,2)，A错误； 对于B，令h(x)＝f(x＋1)－1 ＝－1＝－1＝， h(－x)＝＝＝－h(x)， 即函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，因此函数f(x)的图象关于点(1，1)成中心对称图形，B正确； 对于C，由选项B知，f(－x＋1)－1＝－[f(x＋1)－1]，即f(1－x)＋f(1＋x)＝2， 两边求导得－f′(1－x)＋f′(1＋x)＝0， 即f′(1－x)＝f′(1＋x)， 因此函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确； 对于D，由函数g(x)满足y＝g(x＋1)－1为奇函数，得函数g(x)的图象关于点(1,1)成中心对称， 由选项B知，函数g(x)的图象与函数f(x)的图象有2024个交点关于点(1,1)对称， 因此(xi＋yi)＝i＋i＝1012×2＋1012×2＝4048，D正确.故选BCD. 12.解析　f＝－＋1＝－＋1＝， 则f＝f＝－2＋1＝1－＝. 答案　 13.解析　tan 15°＝tan(60°－45°)＝ ＝＝2－， 又tan 15°＝tan(10°＋5°)＝＝2－， 所以2－－(2－)tan 10°tan 5°＝tan 10°＋tan 5°， 所以tan 5°＋tan 10°＋(2－)tan 5°tan 10° ＝2－－(2－)tan 10°tan 5°＋(2－)tan 5°tan 10°＝2－. 答案　2－ 14.解析　设g(x)＝f(x)sin x，x∈， g′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x<0， 所以函数g(x)在上单调递减， f(x)sin x>f⇔f(x)sin x>fsin， 即g(x)>g，得 所以0<x<，所以不等式的解集为. 答案　 15.解析　(1)因为f(x)＝sin，由f(x0)＝， 得到sin＝，解得x0－＝＋2kπ，k∈Z或x0－＝＋2kπ，k∈Z， 即x0＝＋2kπ，k∈Z或x0＝＋2kπ，k∈Z， 又x0∈[0,2π]， 所以x0＝或. (2)因为g(x)＝f(x)·cos x＝sin·cos x ＝(sin xcos x－cos2x)＝ ＝sin－， 令t＝2x－，因为x∈，得到t∈， 由y＝sin x的图象与性质知，sin t∈， 所以g(x)∈， 所以g(x)在区间上的最大值为－，最小值为－. 16.解析　(1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a， 因为a＞0，所以g(x)在区间[2,3]上是增函数， 故解得 (2)由(1)可得g(x)＝x2－2x＋1， 所以f(x)＝x＋－2， 所以f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋－2≥k·2x， 即1＋2－2·≥k. 令t＝，则k≤t2－2t＋1. 因为x∈[－1,1]，所以t∈. 记h(t)＝t2－2t＋1，因为t∈， 所以h(t)max＝1， 所以实数k的取值范围是(－∞，1]. 17.解析　(1)依题意，由正弦定理可得＝， 所以sin C－sin B＝sin(A－B)， 又sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)， 所以sin B＝sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos Asin B， 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以cos A＝， 又A∈(0，π)，所以A＝. 18.解析　(1)f′(x)＝－a，则f′(1)＝1－a，f(1)＝－a， 故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线为y＋a＝(1－a)(x－1)，即y＝(1－a)x－1， 当a＝1时，此时切线为y＝－1，不符合要求. 当a≠1时，令x＝0，有y＝－1， 令y＝0，有x＝，故＝－1，即a＝2，故a＝2. (2)∵f(x)＝ln x－ax，∴f′(x)＝－a＝， ①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递增， ∴f(x)的最大值是f(e)＝1－ea＝－3，解得a＝>0，舍去； ②当a>0时，由f′(x)＝－a＝＝0，得x＝， 当0<<e，即a>时，当x∈时， f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0， ∴f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是， 又f(x)在(0，e]上的最大值为－3， ∴f(x)max ＝f＝－1－ln a＝－3，∴a＝e2； 当≥e，即0<a≤时，f(x)在(0，e]上单调递增， ∴f(x)max ＝f(e)＝1－ea＝－3， 解得a＝，舍去.综上，存在a符合题意，此时a＝e2. 19.(1)证明　由题意，得sin x＞x－， 所以＞1－＞1－＝1－＞， 所以当x∈时，＞. (2)解析　当m＝－2时，假设存在“和谐区间”，则由－2≤f(x)≤2，知－2≤a＜b≤2， ①若a，b≥0，则由[a，b]⊆[0，π)，知f(x)≤0，矛盾，故不存在“和谐区间”. ②同理a，b≤0时，也不存在“和谐区间”， 下面讨论a≤0≤b， ③若b≥，则⊆[a，b]，故f(x)最小值为－2，于是a＝－2，所以⊆[a，b]， 所以f(x)最大值为2，故b＝2，此时f(x)的定义域为[－2,2]，值域为[－2,2]，符合题意. ④若b＜，当a≤－时，同理可得a＝－2，b＝2，舍去； 当a＞－时，f(x)在[a，b]上单调递减， 所以于是a＋b＝－2(sin a＋sin b). 若b＞－a，即a＋b＞0，则sin b＞sin(－a)， 故sin b＋sin a＞0，－(sin a＋sin b)＜0， 与a＋b＝－2(sin a＋sin b)矛盾； 若b＜－a，同理，矛盾， 所以b＝－a，即＝sin b. 由(1)知当x∈时，sin x＞， 因为b∈，所以b＝0，从而，a＝0，从而a＝b，矛盾， 综上所述，f(x)有唯一的“和谐区间”[－2,2]. 学科网（北京）股份有限公司 $$