5.达标测试卷(四) 三角函数与解三角形-【精讲精练】2026年高考数学一轮达标测试卷

达标测试卷(四)　三角函数与解三角形 (本卷满分150分　考试时间120分钟) 　　 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边经过点(－，1)，则tan＝(　　) A.－ B.－ C. D. 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos B＋bcos A＝a，则△ABC一定是(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等边三角形 3.如图，曲线段AB是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为(　　) A.R B.R C.R D.2R 4.已知sin αsin＝cos αsin，则tan＝(　　) A. B. C.2－ D.2＋ 5.在△ABC中，2sin A＝3sin B，AB＝2AC，则cos C＝(　　) A. B.－ C. D.－ 6.冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊笔画都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD，如图，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，则sin∠ACD的值为(　　) A. B. C. D. 7.已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若将f(x)的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象与曲线y＝f(x)关于x＝对称，则ω的最小值为(　　) A. B. C.1 D. 8.在△ABC中，B＝，D是AB的中点，CD＝，则AB＋2BC的取值范围为(　　) A.(，2 ] B.(2，2 ] C.(2，4 ] D.(0,4 ] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列选项中，值为的是(　　) A.2cos215° B.sin 27°cos 3°＋cos 27°sin 3° C.2sin 15°sin 75° D. 10.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A.φ＝ B.x0＝ C.f(x)的图象的一个对称中心为 D.设函数g(x)＝f(x)＋f，则g(x)在上的最小值为－ 11.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A=sin B，且(acos B+bcos A)＝2csin C，D是△ABC外一点，DC＝2，DA＝6，则下列说法正确的是(　　) A.△ABC是等边三角形 B.若AC＝2，则A，B，C，D四点共圆 C.四边形ABCD面积的最小值为10－12 D.四边形ABCD面积的最大值为10＋12 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝________. 13.已知函数y＝sin在区间[0，a]，上的值域均为[－1，b]，则实数a的取值范围是________. 14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b(sin C＋cos C)，则角B＝________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cos A－3cos 2A＝3. (1)求cos A的值； (2)若△ABC为锐角三角形，2b＝3c，求sin C的值. 16.(15分)已知函数f(x)＝－sin2ωx＋sin 2ωx(ω>0)的最小正周期为4π. (1)求f(x)在[0，π]上的单调递增区间； (2)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2a－c)cos B＝b·cos C，求f(A)的取值范围. 17.(15分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，＝. (1)求sin C的值； (2)若△ABC的面积为，且a＋b＝c，求△ABC的周长. 18.(17分)在△ABC中，D为BC边上一点，DC＝CA＝1，且△ACD面积是△ABD面积的2倍. (1)若AB＝AD，求AB的长； (2)求的取值范围. 19.(17分)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若cos(A－C)＋cos B＝. (ⅰ)求角B的大小； (ⅱ)若△ABC的面积为，设点P为△ABC的费马点，求·的取值范围； (2)若△ABC内一点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ，且PB平分∠ABC，试问是否存在常实数t，使得b2＝tac，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 达标测试卷(四)　三角函数与解三角形 1.A　方法一　由角α终边经过点(－，1)，可得tan α＝－，所以tan＝＝－.故选A. 方法二　角α终边经过点(－，1)，故α为第二象限角，tan α＝－，则α＝＋2kπ，k∈Z， 则tan＝tan＝－.故选A. 2.A　由acos B＋bcos A＝a，利用正弦定理，sin Acos B＋cos Asin B＝sin A， 即sin(A＋B)＝sin C＝sin A，因为0<A<π，0<C<π，则A＝C或C＝π－A(不合题意舍去)， 故△ABC一定是等腰三角形.故选A. 3.C　设所对的圆心角为α.则由题意，得αR＝R. 所以α＝， 所以AB＝2Rsin＝2Rsin＝2R×＝R，故选C. 4.C　由sin αsin＝cos αsin， 得sin2α＋sin αcos α＝cos2α－sin αcos α， 即(cos2α－sin2α)＝sin αcos α， 所以cos 2α＝sin 2α，所以tan 2α＝， 所以tan＝＝2－.故选C. 5.D　由正弦定理可得，2BC＝3AC， 又AB＝2AC，所以AC∶BC∶AB＝2∶3∶4， 不妨设AC＝2k，BC＝3k，AB＝4k， 所以由余弦定理得cos C＝＝－. 故选D. 6.C　由题意，在△ABD中，由余弦定理，得cos∠ADB＝＝＝； 因为∠ADB∈(0，π)， 所以sin∠ADB＝＝＝， 在△ACD中，由正弦定理得＝， 所以＝，解得sin∠ACD＝， 故选C. 7.A　函数f(x)＝sin，f(x)的图象向左平移个单位长度后所得函数 g(x)＝sin＝sin， 函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(x)＝g， 于是sin＝sin对任意实数x恒成立， 即sin＝sin ＝sin＝sin对任意实数x恒成立， 因此－πω＋＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝－2k＋，k∈Z，而ω>0，则k∈Z，k≤0， 所以当k＝0时，ω取得最小值为.故选A. 8. 又∠BDC∈，则∠BDC＋∈， 所以sin∈， 则4sin∈(2，4 ]， 即AB＋2BC的取值范围为(2，4 ].故选C. 9.BCD　选项A,2cos215°＝1＋cos 30°＝1＋，故选项A不符合题意； 选项B，sin 27°cos 3°＋cos 27°sin 3°＝sin 30°＝，故选项B符合题意； 选项C,2sin 15sin 75°＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故选项C符合题意； 选项D，＝·＝·tan 45°＝，故选项D符合题意.故选BCD. 10.ABD　由图象可知，f(0)＝f(x0)＝，所以f(0)＝cos(π×0＋φ)＝，即cos φ＝， 又因为0<φ<，所以φ＝，故A正确； 所以f(x)的解析式为f(x)＝cos， f(x0)＝cos＝，x0>0， 所以πx0＋＝2π－，解得x0＝，故B正确； 所以f＝cos＝cos 3π＝－1，故点不是f(x)的图象的一个对称中心，故C错误； g(x)＝f(x)＋f ＝cos＋cos ＝cos πxcos－sin πxsin＋cos ＝cos πx－sin πx－sin πx ＝cos πx－sin πx＝cos， 因为－≤x≤，所以－≤πx＋≤， 当πx＋＝，即x＝时，g(x)取得最小值为g＝cos＝cos＝－，故D正确.故选ABD. 11.ABD　∵(acos B＋bcos A)＝2csin C， ∴根据正弦定理得 (sin Acos B＋sin Bcos A)＝2sin2C，即sin(A＋B)＝2sin2C， ∴sin C＝2sin2C，显然sin C≠0，则sin C＝， 根据题意，有C＝， 又sin A＝sin B，可得a＝b，∴A＝B＝C＝， ∴△ABC为等边三角形，故A正确； ∵DC＝2，DA＝6，在△ADC中，AC2＝62＋22－2×2×6cos D＝40－24cos D， 当AC＝2时，cos D＝－， ∴D＝，即B＋D＝π，∴A，B，C，D共圆，故B正确； 又S△ADC＝AD·CDsin D＝6sin D， ∴四边形ABCD的面积S＝S△ABC＋S△ADC ＝AC2＋6sin D＝(40－24cos D)＋6sin D ＝10＋12sin，0<D<π， ∴D－∈，则sin∈， 所以四边形ABCD的面积没有最小值，故C错误； 当D－＝，即D＝时，四边形ABCD的面积取最大值10＋12，故D正确.故选ABD. 12.解析　因为tan 60°＝tan(20°＋40°) ＝＝， 所以－tan 20°tan 40°＝tan 20°＋tan 40°， 所以tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝. 答案　 13.解析　当x∈[0，a]时，x－∈， 当x∈时，x－∈. 因为函数y＝sin在区间[0，a]，上的值域均为[－1，b]， 而sin＝－1，sin＝－1，所以b＝. 所以解得≤a≤， 即实数a的取值范围是. 答案　 14.解析　因为a＝b(sin C＋cos C)， 由正弦定理得sin A＝sin B(sin C＋cos C)， 即sin A＝sin Bsin C＋sin Bcos C， 又因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 可得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Bsin C＋sin Bcos C， 所以cos Bsin C＝sin Bsin C， 因为C∈(0，π)，可得sin C>0，所以cos B＝sin B，即tan B＝，又因为B∈(0，π)，所以B＝. 答案　 15.解析　(1)由题可得2cos A－3(2cos2A－1)＝3， 即3cos2A－cos A＝0， 解得cos A＝或cos A＝0. (2)方法一　因为2b＝3c，由正弦定理得2sin B＝3sin C，即2sin(A＋C)＝3sin C， 即2sin Acos C＋2sin Ccos A＝3sin C， 因为△ABC为锐角三角形， 所以cos A＝，所以sin A＝. 所以cos C＋sin C＝3sin C，又sin2C＋cos2C＝1， 且△ABC为锐角三角形，解得sin C＝. 方法二　由余弦定理得cos A＝＝， 因为2b＝3c，所以＝，即c2＝a2， 所以c＝a，所以sin C＝sin A， 又cos A＝，所以sin A＝， 所以sin C＝sin A＝. 16.解析　(1)f(x)＝－sin2ωx＋sin 2ωx ＝－＋sin 2ωx ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin. 因为T＝＝4π，所以ω＝， 故f(x)＝sin. 令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z， 当k＝0时，－≤x≤，又x∈[0，π]， 所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间为. (2)由(2a－c)cos B＝b·cos C， 得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， 所以2sin Acos B＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin(B＋C)＝sin A. 因为sin A≠0，所以cos B＝， 又B∈(0，π)，所以B＝， 又三角形为锐角三角形，则 则<A<，所以<＋<， 又f(A)＝sin， sin＝sin ＝sincos＋cossin＝， 则<sin<， 所以f(A)的取值范围为. 17.解析　(1)因为＝， 由正弦定理得＝， 可得4sin Bcos C－sin Acos C＝cos Asin C， 即4sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin(A＋C)＝sin B， 因为B∈(0，π)，可得sin B>0，所以4cos C＝1，即cos C＝， 所以sin C＝＝. (2)由(1)知sin C＝， 因为若△ABC的面积为，可得absin C＝，即ab×＝，解得ab＝4， 又因为a＋b＝c， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－2ab－2ab×＝(a＋b)2－ab＝2－10， 整理得c2＝6，解得c＝， 所以a＋b＝×＝4， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋. 18.解析　(1)设BC边上的高为AE，垂足为E， 因为△ACD面积是△ABD面积的2倍， 19.解析　(1)(ⅰ)因为cos(A－C)＋cos B＝，且A＋B＋C＝π， 所以cos(A－C)－cos(A＋C)＝， 所以cos Acos C＋sin Asin C－(cos Acos C－sin Asin C)＝， 即2sin Asin C＝， 因为A∈(0，π)，C∈(0，π)，所以sin A≠0，sin C≠0， 所以cos B＝， 因为B∈(0，π)，所以B＝. (ⅱ)因为∠ABC＝，所以△ABC的内角均小于， 所以点P在△ABC的内部，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝， 由S△ABC＝acsin B＝，得ac＝4， 设∠ABP＝θ，θ∈，则∠CBP＝－θ， 在△PAB中，由正弦定理得＝， 即PA＝csin θ， 在△PBC中，由正弦定理得＝，即PC＝asin， 所以·＝PA·PCcos ＝csin θ·asin× ＝－acsin θsin ＝－sin θsin ＝－sin θ ＝－ ＝－ ＝－sin＋， 因为θ∈，所以2θ＋∈， 所以sin∈， 所以·的取值范围为. (2)因为S△ABC＝S△PAB＋S△PBC＋S△PAC＝c·APsin θ＋a·BPsin θ＋b·CPsin θ， 即S△ABC＝sin θ(c·AP＋a·BP＋b·CP)， 所以c·AP＋a·BP＋b·CP＝， 在△PAB，△PBC，△PAC中， 分别由余弦定理得BP2＝c2＋AP2－2c·APcos θ， CP2＝a2＋BP2－2a·BPcos θ，AP2＝b2＋CP2－2b·CPcos θ， 三式相加整理得2cos θ(c·AP＋a·BP＋b·CP)＝a2＋b2＋c2， 将c·AP＋a·BP＋b·CP＝代入得 a2＋b2＋c2＝2cos θ·， 因为PB平分∠ABC，所以∠ABC＝2θ， S△ABC＝acsin 2θ， 所以a2＋b2＋c2＝2cos θ·＝2cos θ·＝4accos2θ，① 又由余弦定理可得a2＋c2＝b2＋2accos 2θ＝b2＋2ac(cos2θ－sin2θ)，② 由①－②得b2＝－b2＋2ac(sin2θ＋cos2θ)， 所以b2＝ac(sin2θ＋cos2θ)，即b2＝ac， 所以常数t＝1，使得b2＝ac. 学科网（北京）股份有限公司 $$