2.达标测试卷(二) 函数-【精讲精练】2026年高考数学一轮达标测试卷

达标测试卷(二)　函数 (本卷满分150分　考试时间120分钟) 　　 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数f(x)＝的定义域为(　　) A.(0,1) B.(0,1] C.(1，＋∞) D.(0,1)∪(1，＋∞) 2.著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt.若常数k＝0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从120 ℃下降到40 ℃以下，至少大约需要的时间为(参考数据：ln 3≈1.1)(　　) A.36分钟 B.40分钟 C.44分钟 D.48分钟 3.已知函数f(x)＝存在最小值，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，1] B.(－∞，1) C.[1，＋∞) D.(1，＋∞) 4.对函数f(x)＝x＋作x＝h(t)的代换，则不改变函数f(x)值域的代换是(　　) A.h(t)＝sin t，t∈ B.h(t)＝sin t，t∈[0，π] C.h(t)＝sin t，t∈ D.h(t)＝sin t，t∈[0,2π] 5.已知函数f(x)＝(ex＋e－x)sin x－2在[－2,2]上的最大值和最小值分别为M，N，则M＋N＝(　　) A.－4 B.0 C.2 D.4 6.直线x＝4与函数f(x)＝logax(a>1)，g(x)＝logx分别交于A，B两点，且|AB|＝3，则函数h(x)＝f(x)＋g(x)的解析式为(　　) A.h(x)＝－log2x B.h(x)＝－log4x C.h(x)＝log2x D.h(x)＝log4x 7.已知函数f(x)＝的图象关于直线x＝对称，则m1＋m2＋m3＝(　　) A.8 B.10 C.12 D.14 8.已知函数f(x)＝g(x)＝x－3，方程f(g(x))＝－3－g(x)有两个不同的根，分别是x1，x2，则 x1＋x2＝(　　) A.0 B.3 C.6 D.9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.函数f(x)＝(α∈R)的大致图象可能是(　　) 10.设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，已知函数f(x)＝－，则下列叙述正确的是(　　) A.[f(x)]是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在R上是增函数 D.[f(x)]的值域是{－1,0,1} 11.已知函数f(x)＝其中f(a)＝f(b)＝f(c)＝λ，且a<b<c，则(　　) A.f[f(－2)]＝－32 B.函数g(x)＝f(x)－f(λ)有2个零点 C.a＋b＋c∈ D.abc∈(－4log35,0) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若函数f(x)＝ln(e2x－a)－x(x∈R)为偶函数，则a＝________. 13.已知函数f(x)＝|lg x|，若f(a)＝f(b)(a≠b)，则当2a·3b取得最小值时，＝________. 14.已知奇函数f(x)的定义域为R，f(x＋3)＝－f(－x)，且f(2)＝0，则f(x)在[0,6]上的零点个数的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－3≤x≤1，x∈R}. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若函数g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，且当x>0时，g(x)的图象恒在直线y＝kx－4的上方，求实数k的取值范围. 16.(15分)已知函数f(x)＝ax－x(a>0且a≠1). (1)讨论f(x)的单调性(不需证明)； (2)若a＝2， (ⅰ)解不等式f(x)≤； (ⅱ)若g(x)＝22x＋1－f(2x)＋2tf(x)在区间[－1,1]上的最小值为－，求t的值. 17.(15分)在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100 ℃的水泡制，待茶水温度降至60 ℃时，饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1 min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从100 ℃经过x min后温度变为y ℃，现给出以下三种函数模型. ①y＝cx＋b(c<0，x≥0)； ②y＝cax＋b(c>0,0<a<1，x≥0)； ③y＝loga(x＋c)(a>1，c>0，x≥0). (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据(1)中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间(精确到0.01)； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.(参考数据：lg 3＝0.477，lg 5＝0.699) 18.(17分)已知函数y＝φ(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是y＝φ(a＋x)－b是奇函数，给定函数f(x)＝x－. (1)求函数f(x)图象的对称中心； (2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性； (3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称，且当x∈[0,1]时，g(x)＝x2－mx＋m.若对任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[1,5]，使得g(x1)＝f(x2)，求实数m的取值范围. 19.(17分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且f(x)＝log2(2x＋1)－kx，g(x)＝f(x)＋x. (1)若不等式g(4x－a·2x＋2)>g(－2)恒成立，求实数a的取值范围； (2)设h(x)＝x4＋xln x－2mx＋1，若对任意的x1∈[0,3]，存在x2∈[e，e2]，使得g(x1)≥h(x2)，求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 达标测试卷(二)　函数 1.A　由解得0<x<1，即函数f(x)的定义域为(0,1).故选A. 2.C　由题知θ0＝30，θ1＝120，θ＝40，所以40＝30＋(120－30)e－0.05t，可得e－0.05t＝， 所以－0.05t＝ln＝－2ln 3，∴t＝40ln 3≈44， 即某物体的温度从120 ℃下降到40 ℃以下，至少大约需要44分钟.故选C. 3.A　当x≤1时，f(x)＝x2＋1， 所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，则f(x)min＝f(0)＝1； 当x>1时，f(x)＝2x－a，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，无最小值， 根据题意，f(x)存在最小值，所以2－a≥1，即a≤1.故选A. 4.C　因为函数f(x)＝x＋的定义域为{x|－1≤x≤1}，且不是周期函数， 当x＝h(t)时，－1≤h(t)≤1， 对于A项，当t∈时，0≤sin t≤1，即0≤h(t)≤1，这与－1≤h(t)≤1不符合，故A项不成立； 对于B项，当t∈[0，π]时，0≤sin t≤1，即0≤h(t)≤1，这与－1≤h(t)≤1不符合，故B项不成立； 对于C项，当t∈时，－1≤sin t≤1，即－1≤h(t)≤1，故C成立； 对于D项，当t∈[0,2π]时，－1≤sin t≤1，即－≤h(t)≤，这与－1≤h(t)≤1不符合，故D项不成立；故选C. 5.A　令g(x)＝f(x)＋2＝(ex＋e－x)sin x，定义域为R， 因为f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值分别为M，N， 所以g(x)在[－2,2]上的最大值和最小值分别为M＋2，N＋2， 因为g(－x)＝(e－x＋ex)sin(－x)＝－(e－x＋ex)sin x＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数，g(x)的图象关于原点对称， 所以g(x)的最大值和最小值互为相反数， 即M＋2＋N＋2＝0， 所以M＋N＝－4，故选A. 6.B　由题意可知，定义域为(0，＋∞)， 函数f(x)在定义域内单调递增，函数g(x)在定义域内单调递减， 则|AB|＝loga4－log4＝loga4＋2，所以loga4＋2＝3，解得a＝4， 所以h(x)＝log4x＋logx＝log4x－log2x＝log4x－2log4x＝－log4x.故选B. 7.B　依题意，g(x)＝f ＝为偶函数， 当x<0时，g(－x)＝m1e－2x－4x＋6，g(x)＝2e－2x＋m2x＋m2＋m3， 由g(－x)＝g(x)可知m1＝2，m2＝－4，m2＋m3＝6， 解得m1＝2，m2＝－4，m3＝12，所以m1＋m2＋m3＝10.故选B. 8.B　由题意得：g(x)＝x－3为R上的增函数，且g(3)＝0， 当x≤3时，g(x)≤0，f(g(x))＝ex－3， 当x>3时，g(x)>0，f(g(x))＝ln(x－3)， 方程f(g(x))=-3-g(x)=-x有两个不同的根等价于函数y=f(g(x))与y=-x的图象有两个交点，作出函数f(g(x))与y=-x的图象如图所示，由图可知y=ex-3与y=ln(x-3)图象关于y=x-3对称， 则A，B两点关于y=x-3对称，中点C在y=x-3图象上， 由解得C.所以x1+x2=2×=3.故选B. 9.ABD　由题意知1－|x|≠0，则x≠±1，当x∈(0,1)时，1－|x|>0，xα>0，f(x)>0， 当x∈(1，＋∞)时，1－|x|<0，xα>0，f(x)<0， 所以f(x)的大致图象不可能为C，而当α为其他值时，A，B，D均有可能出现， 不妨设α＝，定义域为[0,1)∪(1，＋∞)，此时A选项符合要求； 当α＝1时，定义域为{x|x≠±1}，且f(－x)＝＝＝－f(x)， 故函数f(x)＝为奇函数，所以B选项符合要求， 当α＝2时，定义域为{x|x≠±1}，且f(－x)＝＝＝f(x)， 故函数f(x)＝为偶函数，所以D选项符合要求.故选ABD. 10.BC　[f(1)]＝＝0，[f(－1)]＝＝－1，所以[f(1)]≠[f(－1)]且[f(1)]≠－[f(－1)]， 所以，函数[f(x)]既不是奇函数，也不是偶函数，A错误； 因为f(－x)＝－＝－＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，B正确； 根据题意知，f(x)＝－＝－＝－，因为函数y＝1＋ex为R上的增函数，则函数y＝为R上的减函数， 故函数f(x)＝－为R上的增函数，C正确； 因为ex>0，则1＋ex>1，所以0<<1， 故－<f(x)<， 所以，函数[f(x)]的值域为{－1,0}，D错误. 故选BC. 11.ACD　 f[f(-2)]=f(8)=-32，故A正确； 作出函数f(x)的图象如图所示， 观察可知，0<λ<4，而f(λ)∈(0,4)， 故y=f(x)，y=f(λ)有3个交点， 即函数g(x)有3个零点，故B错误； 由对称性，b+c=4， 而a∈， 故a+b+c∈，故C正确； b，c是方程x2-4x+λ=0的根，故bc=λ， 令3-a-1=λ，则a=-log3(1+λ)， 故abc=-λlog3(1+λ)，而y=λ，y=log3(1+λ)均为正数且在(0,4)上单调递增， 故abc∈(-4log35,0)，故D正确，故选ACD. 12.解析　因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)， 即ln(e－2x－a)＋x＝ln(e2x－a)－x， 即ln(1－ae2x)－x＝ln(e2x－a)－x， 即1－ae2x＝e2x－a，所以a＝－1. 答案　－1 13.解析　由f(a)＝f(b)(a≠b)，得－lg a＝lg＝lg b，即ab＝1，令z＝2a·3b， 则ln z＝a·ln 2＋b·ln 3≥2＝2， 当且仅当a·ln 2＝b·ln 3，即＝＝log23时，ln z取得最小值，此时z也取得最小值. 答案　log23 14.解析　由f(x＋3)＝－f(－x)，可得f(x)的图象关于点对称， 又f(x)是奇函数，所以f(x＋3)＝－f(－x)＝f(x)， 则f(x)的周期为3，所以f(0)＝f(3)＝f(6)＝0， f(5)＝f(2)＝0，f(4)＝f(1)＝f(－2)＝－f(2)＝0， 而f(1.5)＝f(－1.5)＝－f(1.5)， 则f(1.5)＝f(4.5)＝0. 故f(x)在[0,6]上的零点个数的最小值为9. 答案　9 15.解析　(1)因为f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－3≤x≤1，x∈R}， 所以可设f(x)＝a(x＋3)(x－1)，a>0， 所以当x＝－1时，f(x)min＝f(－1)＝－4a＝－4， 所以a＝1， 故函数f(x)的解析式为f(x)＝(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3. (2)因为函数g(x)与f(x)的图象关于y轴对称， 所以g(x)＝f(－x)＝x2－2x－3， 当x>0时，g(x)的图象恒在直线y＝kx－4的上方， 所以g(x)>kx－4在(0，＋∞)上恒成立， 即x2－2x－3>kx－4，所以k<x＋－2， 令h(x)＝x＋－2(x>0)，则k<h(x)min， 因为h(x)＝x＋－2≥2－2＝0当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立， 所以实数k的取值范围是(－∞，0). 16.解析　(1)若a>1，则f(x)＝ax－x在R上单调递增； 若0<a<1，则f(x)＝ax－x在R上单调递减. (2)(ⅰ)f(x)≤，即2x－x－≤0， 设g(x)＝2x－x－，则g(1)＝0，g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数， 当x>0时，g(x)单调递增， 由g(x)≤g(1)，解得0<x≤1， 根据奇函数的性质，当x<0时，g(x)≤g(－1)的解为x≤－1， 综上所述，f(x)≤的解集为(－∞，－1]∪(0,1]. (ⅱ)g(x)＝22x＋1－f(2x)＋2tf(x) ＝22x＋2－2x＋2t(2x－2－x)， 令2x－2－x＝m，因为x∈[－1,1]，则m∈， 所以g(x)＝h(m)＝m2＋2tm＋2，其图象为开口向上，对称轴为m＝－t的抛物线， ①当－t≤－，即t≥时，h(m)min＝h＝－3t＋2＝－3t＝－，解得t＝2. ②当－<－t<，即－<t<时，h(m)min＝h(－t)＝t2－2t2＋2＝－t2＋2＝－， 解得t1＝，t2＝－，矛盾. ③当－t≥，即t≤－时，h(m)min＝h＝＋3t＋2＝＋3t＝－，解得t＝－2. 综上所述，t＝－2或t＝2. 17.解析　(1)由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则即 可得 所以y＝90×0.9x＋10，x≥0. (2)令y＝90×0.9x＋10＝60，则x＝log0.9＝≈5.54 min. 所以泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间为5.54 min. (3)由0.9x∈(0,1]，即y∈(10,100]，所以进行实验时的室温约为10 ℃. 18.解析　(1)设函数f(x)的图象的对称中心为(a，b)，则f(a＋x)＋f(a－x)－2b＝0， 即(x＋a)－＋(－x＋a)－－2b＝0， 整理得(a－b)x2＝(a－b)(a＋1)2－6(a＋1)， 可得解得a＝b＝－1， 所以f(x)的对称中心为(－1，－1). (2)函数f(x)＝x－在(0，＋∞)上单调递增. 证明如下： 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1－－x2＋ ＝(x1－x2)， 因为x1，x2∈(0，＋∞)且x1<x2，可得x1－x2<0且1＋>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)＝x－在(0，＋∞)上单调递增. (3)由对任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[1,5]， 使得g(x1)＝f(x2)， 可得函数g(x)的值域为f(x)值域的子集， 由(2)知f(x)在[1,5]上单调递增，故f(x)的值域为[－2,4]， 所以原问题转化为g(x)在[0,2]上的值域A⊆[－2,4]， 当≤0，即m≤0时，g(x)在[0,1]上单调递增， 又由g(1)＝1，即函数g(x)＝x2－mx＋m的图象恒过对称中心(1,1)， 可知g(x)在(1,2]上亦单调递增，故g(x)在[0,2]上单调递增， 又因为g(0)＝m，g(2)＝2－g(0)＝2－m， 故A＝[m,2－m]， 因为[m,2－m]⊆[－2,4]，所以m≥－2,2－m≤4， 解得－2≤m≤0； 当0<<1，即0<m<2时，g(x)在上单调递减，在上单调递增， 因为g(x)过对称中心(1,1)，故g(x)在上单调递增，在上单调递减， 故此时A＝， 欲使A⊆[－2,4]， 只需 且 解不等式，可得2－2≤m≤4，又因为0<m<2，此时0<m<2； 当≥1，即m≥2时，g(x)在[0,1]上单调递减，在(1,2]上亦单调递减， 由对称性知g(x)在[0,2]上单调递减， 所以A＝[2－m，m]， 因为[2－m，m]⊆[－2,4]，所以 解得2≤m≤4， 综上可得，实数m的取值范围是[－2,4]. 19.解析　(1)由题意知，log2(2－x＋1)＋kx－log2(2x＋1)＋kx＝0，即2kx＝log2(2x＋1)－log2(2－x＋1)＝log2＝log22x＝x，所以k＝， 故f(x)＝log2(2x＋1)－x， 所以g(x)＝f(x)＋x＝log2(2x＋1)＋x， 因为函数y＝2x＋1在R上为增函数，函数y＝log2x在其定义域上单调递增， 所以y＝log2(2x＋1)在R上单调递增，又 y＝x为增函数，所以函数g(x)在R上单调递增， 所以不等式g(4x－a·2x＋2)>g(－2)恒成立等价于4x－a·2x＋2>－2，即a<恒成立， 设t＝2x，则t>0，＝＝t＋≥4，当且仅当t＝2，即x＝1时等号成立，所以a<4， 故实数a的取值范围是(－∞，4). (2)因为对任意的x1∈[0,3]，存在x2∈[e，e2]，使得g(x1)≥h(x2)， 所以g(x)在[0,3]上的最小值不小于h(x)在[e，e2]上的最小值， 因为g(x)＝log2(2x＋1)＋x在[0,3]上单调递增，所以当x∈[0,3]时，g(x)min ＝g(0)＝1， 所以h(x)＝x4＋xln x－2mx＋1≤1， 即存在x∈[e，e2]，使m≥x3＋ln x成立， 令t(x)＝x3＋ln x，x∈[e，e2]， 因为y＝x3在[e，e2]上单调递增，y＝ln x在[e，e2]上单调递增， 所以t(x)在[e，e2]上单调递增， 所以t(x)min＝t(e)＝e3＋，所以m≥e3＋， 所以实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$