1.达标测试卷(一) 集合与常用逻辑用语、不等式-【精讲精练】2026年高考数学一轮达标测试卷

达标测试卷(一)　 集合与常用逻辑用语、不等式 (本卷满分150分　考试时间120分钟) 　　 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2－2x－2<0}，则A∩B＝(　　) A.{1} B.{1,2} C.{1,2,3} D.∅ 2.已知命题p：有些实数的相反数是正数，则綈p是(　　) A.∀x∈R，－x<0 B.∀x∈R，－x≤0 C.∃x0∈R，－x0≤0 D.∃x0∈R，－x0<0 3.如图，已知全集U＝R，集合A＝{x|(2x－3)·(x＋1)≤0}，B＝{x|x>0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A.{x|x≤－1} B.{x|x<－1} C. D. 4.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，则“φ＝是函数f(x)为偶函数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.下列命题是真命题的是(　　) A.若a<b，则> B.若a>b，则a2>ab>b2 C.若0<a<b<c，则logca<logcb D.若a＋2b＝2，则2a＋4b≥4 6.已知正数x，y满足x＋2y＝1，则下列说法错误的是(　　) A.xy的最大值为 B.x2＋4y2的最小值为 C.＋的最大值为2 D.＋的最小值为7＋2 7.甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：A＝{x|0<Δx<2}，B＝{x|－3≤x≤5}，C＝，然后他们三人各用一句话来正确描述“Δ”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：x∈B是x∈A的必要不充分条件；丙：x∈C是x∈A的充分不必要条件.则“Δ”表示的数字是(　　) A.3或4 B.2或3 C.1或2 D.1或3 8.沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.沙漏由两个完全一样的圆锥和一个狭窄的连接管道组成，通过充满了沙子的玻璃圆锥从上面穿过狭窄的管道流入底部玻璃圆锥所需要的时间来对时间进行测量.西方发现最早的沙漏大约在公元1100年，比我国的沙漏出现要晚.时钟问世之后，沙漏完成了它的历史使命.现代沙漏可以用来助眠.经科学认证，人类的健康入睡时间是15分钟，沙漏式伴睡灯便是一个15分钟的计时器.它将古老的计时沙漏与现代夜灯巧妙结合，随着沙粒从缝隙中滑下，下部的灯光逐渐被沙子掩埋，直到15分钟后沙粒全部流光，柔和的灯光完全覆盖.就这样，宁静的夜晚，听着沙粒窸窸窣窣的声音，仿佛一首缓缓流动的安眠曲.如图，一件沙漏工艺品，上、下两部分可近似看成完全一样的圆锥，测得圆锥底面圆的直径为10 cm，沙漏的高(上、下底面圆心的距离)为8 cm，通过圆锥的顶点作沙漏截面，则截面面积最大为(　　) A.40 cm2 B.41 cm2 C.42 cm2 D.43 cm2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知集合A＝{(x，y)|x＋ay＋2a＝0}，B＝{(x，y)|ax＋ay－1＝0}，则下列结论正确的是(　　) A.∀a∈R，A≠∅ B.当a＝－1时，A∩B＝ C.当A∩B＝∅时，a＝1 D.∃a∈R，使得A＝B 10.下列结论中，所有正确的结论是(　　) A.若a>b>0，c<d<0，则ac<bd B.命题p：∃x0∈[1，＋∞)，ex0≥x0＋1的否定是∀x∈[1，＋∞)，ex<x＋1 C.若0<a<b且c>0，则> D.若∀x∈(0，＋∞)，ax<x2＋1，则实数a∈(－∞，2] 11.下列说法正确的有(　　) A.若0<a<1，则ln a＋≤－2 B.若lg a<lg b，则a2<b2 C.若a<b<c，a＋b＋c＝0，则(c－a)b2>0 D.若2a<2b(a，b∈N*)，则a－b≤－1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知集合A＝，B＝，若A∩B⊂{a，a2,4}，则a的值为________. 13.若x，y，z>0，且x2＋xy＋2xz＋2yz＝4，则2x＋y＋2z的最小值是________. 14.已知有限集A＝{a1，a2，…，an}(n≥2，n∈N*)，如果A中元素ai(i＝1,2，…，n)满足a1×2a2×…×nan＝a1＋2a2＋…＋nan，就称A为n元“均衡集”.若{a1，a2}是二元“均衡集”，则2a1＋a2的取值范围是________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知p：|2x－5|≤3，q：x2－(2a－2)x＋a2－2a≤0. (1)若p是真命题，求对应x的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围. 16.(15分)已知命题p：∃x∈{x|6≤x≤20}，x<2a，命题q：∀x∈R，x2＋2x－a>0. (1)若命题p和命题綈q有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围. 17.(15分)已知二次函数y＝x2＋2ax＋2. (1)若x∈{x|1≤x≤5}时，不等式y>3ax恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式(a＋1)x2＋x>y(其中a<0). 18.(17分)已知实数集A＝{a1，a2，…，an}(n≥3)，定义φ(A)＝{aiaj|ai，aj∈A，i≠j}. (1)若A＝{－2,0,1,2}，求φ(A)； (2)若φ(A)＝{0，－6，－8，－12,12,18,24}，求集合A. 19.(17分)某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量x吨与年促销费用t万元之间满足函数关系式x＝2－(k为常数)，如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. (1)求k值； (2)将下一年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数； (3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ (注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 达标测试卷(一)　集合与常用逻辑用语、不等式 1.B　因为A＝{1,2,3}， B＝{x|x2－2x－2<0}＝{x|1－<x<1＋}， 所以A∩B＝{1,2}.故选B. 2.B　已知命题p：有些实数的相反数是正数， 即p：∃x∈R，－x>0， 则綈p：∀x∈R，－x≤0，故选B. 3.B　依题意，集合A＝， 而B＝{x|x>0}，则A∪B＝{x|x≥－1}， 由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为∁U(A∪B)＝{x|x<－1}.故选B. 4.A　当φ＝时，f(x)＝sin＝cos(ωx)，故函数f(x)为偶函数，即充分性成立； 当f(x)＝sin(ωx＋φ)为偶函数时，φ＝＋kπ，此时φ＝不一定成立，即必要性不成立； 所以“φ＝是函数f(x)为偶函数”的充分不必要条件.故选A. 5.D　对于A，当a＝－1，b＝1时，则<，故A错误； 对于B，当a＝－1，b＝－2时，则a2＝1，ab＝2，则a2<ab，故B错误； 对于C，当0<c<1时，根据对数函数单调性知logc a>logc b，故C错误； 对于D，若a＋2b＝2，则2a＋4b≥2＝2＝4， 当且仅当a＝1，b＝时等号成立，故D正确.故选D. 6.C　对于A，∵x>0，y>0，x＋2y＝1. ∴x·2y≤2＝2＝，xy≤. 当且仅当即x＝，y＝时等号成立，∴A正确； 对于B，x2＋4y2＝(x＋2y)2－4xy＝1－4xy，由选项A知xy≤，∴－4xy≥－. ∴x2＋4y2＝1－4xy≥1－＝.∴B正确； 对于C，(＋)2＝x＋2y＋2 ＝1＋2≤1＋x＋2y＝1＋1＝2. ∴＋≤，∴C错误； 对于D，(x＋2y)＝1＋＋＋6＝7＋＋≥7＋2， 当且仅当＝，即时等号成立，∴D正确. 7.C　因为此数为小于5的正整数， 所以A＝{x|0<Δx<2}＝， 因为x∈B是x∈A的必要不充分条件，x∈C是x∈A的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集， 所以≤5且>，解得≤Δ<3，所以“Δ”表示的数字是1或2，故C正确.故选C. 8.B　如图，在圆锥PO中，过顶点P作截面为PAB，作OM⊥AB于M，延长OM交底面圆交于点C，连接PM，OA，OB，|PO|=4 cm，|OA|=|OB|=5 cm， 设|OM|=x cm，|PM|==，|AB|=2=2， S△PAB=|AB||PM|=·≤=， 当且仅当16+x2=25-x2时，“=”号成立，解得x= (cm)，所以沙漏截面面积最大值为41 cm2，故选B. 9.AB　对于选项A，因为x＋ay＋2a＝0表示过定点(0，－2)，且斜率不为0的直线， 可知A＝{(x，y)|x＋ay＋2a＝0}表示直线x＋ay＋2a＝0上所有的点， 所以∀a∈R，A≠∅，故A正确； 对于选项B，当a＝－1时，则A＝{(x，y)|x－y－2＝0}，B＝{(x，y)|x＋y＋1＝0}， 联立方程解得所以A∩B＝，B正确； 对于选项C，当A∩B＝∅时，则有 若B＝∅，则a＝0； 若B≠∅，可知直线x＋ay＋2a＝0与直线ax＋ay－1＝0平行，且a≠0， 可得＝≠，解得a＝1； 综上所述：a＝0或a＝1，故C错误； 对于选项D，若A＝B，由选项C可知a≠0，且＝＝，无解，故D错误.故选AB. 10.AB　对于A，c<d<0，则－c>－d>0，又a>b>0，则－ac>－bd>0，ac<bd，故A正确； 对于B，命题p：∃x0∈[1，＋∞)，ex0≥x0＋1的否定是∀x∈[1，＋∞)，ex<x＋1，故B正确； 对于C，－＝＝，因为0<a<b且c>0，故<0，即<，故C错误； 对于D，当a＝2，x＝1时，ax<x2＋1不成立，故D错误；故选AB. 11.ABD　选项A，当0<a<1时，ln a<0，(－ln a)＋≥2， 所以ln a＋≤－2，当且仅当ln a＝，即a＝时等号成立，故选项A正确； 选项B，由lg a<lg b得0<a<b，所以a2<b2，故选项B正确； 选项C，令a＝－3，b＝0，c＝3，满足a<b<c，a＋b＋c＝0，但(c－a)b2>0不成立，故选项C错误； 选项D，由2a<2b得a<b，因为a，b∈N*，所以a＋1≤b，所以a－b≤－1，故选项D正确.故选ABD. 12.解析　由A＝＝{0,2,4,6,8,10,12}，B＝＝{x|1≤x<5}， 则A∩B＝{2,4}， 又A∩B⊂{a，a2,4}，即{2,4}⊂{a，a2,4}， 当a＝2时，{a，a2,4}变为{2,4,4}，不满足集合元素的互异性，故不符合； 当a2＝2时，即a＝±， 当a＝时，{a，a2,4}＝{，2,4}，故符合； 当a＝－时，{a，a2,4}＝{－，2,4}，故符合； 因此a＝±. 答案　± 13.解析　由x2＋xy＋2xz＋2yz＝4，则2z＝， 即2x＋y＋2z＝2x＋y＋ ＝ ＝＝ ＝＝x＋y＋≥2＝4， 当且仅当x＋y＝，即x＋y＝2时，等号成立. 答案　4 ·39·14.解析　由题意知{a1，a2}是二元“均衡集”，所以a1×2a2＝a1＋2a2，即2a2(a1－1)＝a1. 当a1＝1时，显然不成立，所以a1≠1，所以a2＝，所以2a1＋a2＝2a1＋＝2a1＋＋. 设x＝2(a1－1)，x≠0，所以2a1＋a2＝2a1＋＋＝x＋2＋＋＝x＋＋. 当x＞0时，2a1＋a2＝x＋＋≥2＋＝2＋＝，当且仅当x＝1时，等号成立； 当x＜0时，2a1＋a2＝x＋＋＝－－x＋＋≤－2＋＝－2＋＝，当且仅当x＝－1时，等号成立.所以2a1＋a2的取值范围是∪. 答案　∪ 15.解析　(1)∵p：|2x－5|≤3是真命题，∴|2x－5|≤3， ∴－3≤2x－5≤3，解得1≤x≤4， ∴x的取值范围是[1,4]. (2)由(1)知p：1≤x≤4，q：x2－(2a－2)x＋a2－2a≤0， 即a－2≤x≤a. 因为p是q的必要不充分条件，所以 解得3≤a≤4. 综上所述a的取值范围是[3,4]. 16.解析　(1)若命题p为真命题，即命题∃x∈{x|6≤x≤20}，x<2a，所以6<2a，所以a>3； 若命题q为真命题，即∀x∈R，x2＋2x－a>0， 所以Δ＝22＋4a<0，解得a<－1. 因为命题p和命题綈q有且只有一个为假命题， 当命题p为假，命题綈q为真时 解得－1≤a≤3； 当命题p为真，命题綈q为假时所以a∈∅.所以实数a的取值范围为[－1,3]. (2)若命题p和命题q都为假命题，则 即－1≤a≤3； 因为命题p和命题q至少有一个为真命题， 所以a>3或a<－1， 即实数a的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞). 17.解析　(1)不等式y>3ax即为x2－ax＋2>0， 当x∈[1,5]时，可变形为a<＝x＋， 即a<min， 又x＋≥2＝2，当且仅当x＝， 即x＝∈[1,5]时，等号成立， ∴min＝2，即a<2， ∴实数a的取值范围是(－∞，2). (2)不等式(a＋1)x2＋x>y，即(a＋1)x2＋x>x2＋2ax＋2，等价于ax2＋(1－2a)x－2>0， 即(x－2)(ax＋1)>0， ∵a<0， ①当－<a<0时，－>2，解不等式(x－2)(ax＋1)>0得2<x<－； ②当a＝－时，－＝2，不等式(x－2)(ax＋1)>0的解集为∅； ③当a<－时，－<2，解不等式(x－2)(ax＋1)>0得－<x<2； 综上所述，不等式的解集为 当－<a<0时，不等式解集为； 当a＝－时，不等式解集为∅； 当a<－时，不等式解集为. 18.解析　(1)φ(A)＝{－4，－2,0,2}. (2)首先，0∈A； 其次A中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记A＝{0，a，b，c，d}，不妨设a<0<b<c<d或者a<b<c<0<d. ①当a<0<b<c<d时，{ab，ac，ad}＝{－6，－8，－12}，{bc，bd，cd}＝{12,18,24}， 相乘可知bcd＝72，a3bcd＝－576， 从而a3＝－8⇒a＝－2， 从而{b，c，d}＝{3,4,6}，所以A＝{0，－2,3,4,6}； ②当a<b<c<0<d时，与上面类似的方法可以得到d3＝8⇒d＝2， 进而{c，b，a}＝{－3，－4，－6}， 从而A＝{0,2，－3，－4，－6}. 所以A＝{0，－2,3,4,6}或A＝{0,2，－3，－4，－6}. 19.解析　(1)由题意可知，当t＝0时，x＝1， 所以1＝2－，解得k＝2. (2)由于k＝2，故x＝2－， 由题意知，当年生产x吨时，年生产成本为32x＋3＝32＋3， 当销售x吨时，年销售收入为＋t， 由题意，y＝＋t－322－＋3－t， 即y＝－－t＋(t≥0). (3)由(2)知y＝－－t＋(t≥0)， 即y＝－－＋＝－＋ ≤－2＋＝26.5， 当且仅当＝，又t＋2≥2，即t＝6时，等号成立. 此时，ymax＝26.5. 所以该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大，为26.5万元. 学科网（北京）股份有限公司 $$