期末考试数学B卷解答题之乘法公式与几何压轴题专项训练（三）-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都七年级数学下册题型全攻略（北师大版）

期末考试数学B卷解答题之乘法公式与几何压轴题专项训练（三） 【本地期末精选】 1．（成华区）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形； (1)直接写出图2中阴影部分的正方形的边长__________；请写出下列三个代数式，，之间的等量关系_________； (2)若，，运用你所得到的公式，试求的值； (3)如图3，点是线段上的一点，以、为边向两侧作正方形，两正方形的面积和，图中阴影部分面积为，求的长度． 2．（金牛区）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形及长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形的面积可以验证公式 ； (2)若，，求的值； (3)如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为．求的长度． 3.（青羊区）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． (1)观察图1，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号） ①：  ②：  ③： (2)如图2，边长为，的长方形，它的周长为12，面积为5，求的值． (3)将正方形与正方形如图3摆放，当正方形与正方形面积和为74，，求图中阴影部分面积和． 4．（天府七中）如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． (1)由图2可以直接写出之间的一个等量关系是______． (2)两个正方形如图3摆放，边长分别为．，，求图中阴影部分面积和． 【全国各地期末精练】 1．（材料阅读）小刚的家庭作业其中一道题要用计算器计算： （1）；（2）；（3）； 但小刚身边并没有计算器，并且直接计算量大．通过思考，他发现可以巧用乘法分配律：，按如下解法去完成： （1）； （2） ； （3）； 观察上述解法，你能发现什么规律． （1）【问题解决】 用你发现的规律直接写出______． （2）【拓展探究】 请你用含字母a、b的等式表示你发现的规律：______． （3）【拓展延伸】 下图将一个边长为a的正方形ABCD分割成一个边长为b的正方形和两个长方形，根据你上述观察规律，判断你发现的规律是否正确，若正确，写出过程，如不正确，请说明理由． 2．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图1，可得等式：． (1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来． (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 3．【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 4．综合与实践 如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)请直接用含和的代数式表示__________， __________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：__________（用式子表达）． (2)依据这个公式，康康展示了“计算：”的解题过程． 解：原式 ． 在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：． (3)对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数． 5．如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）． A． B． C． (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若，，则______； ②计算：； 6．根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式：． 问题解决 任务1 将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：______(只填序号)． 任务2 如图，若将个直角边长分别为，，斜边长为的直角三角形拼成如图所示的五边形，请你用两种不同的方法表示五边形的面积． 方法1：______；方法2：______；你可以得到一个关于，，的等式是：______． 任务3 如图，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为，．若，求的值． 7．如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________； (2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________； (3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________． (4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为___________． ②直接写出下面算式的计算结果：． 8．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题： (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：________________． (2)如图1中，，满足，，求的值． (3)如图2，点在线段上，以，为边向两边作正方形，，两正方形的面积分别为，，且，求图中阴影部分面积． 9．【提出问题】 利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容． 【自主探究】 用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．    （1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题． （ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形的面积为___________．（用含a，b的字母表示） （ⅱ）当时，比较大小：__________．（填“>”或“<”） （ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明． 【知识应用】 （2）已知，，且，利用（1）发现的结论求的最小值． 10．【知识生成】 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)根据图1，可以得到等式：，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是______（填选项）： A．分类讨论        B．转化        C．由特殊到一般        D．数形结合 (2)根据图2，可以得到等式：______； (3)①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，可以得到等式______； ②已知，．利用①中所得到的等式，直接写出代数式的值为______； (4)画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【知识迁移】 (5)①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式为______； ②已知，，利用①中所得的等式，直接写出代数式的值为______． (6)图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末考试数学B卷解答题之乘法公式与几何压轴题专项训练（三） 【本地期末精选】 1．（成华区）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形； (1)直接写出图2中阴影部分的正方形的边长__________；请写出下列三个代数式，，之间的等量关系_________； (2)若，，运用你所得到的公式，试求的值； (3)如图3，点是线段上的一点，以、为边向两侧作正方形，两正方形的面积和，图中阴影部分面积为，求的长度． 【答案】(1)， (2)或； (3)9 【分析】本题考查完全平方公式及应用，解题的关键是用不同方法表达同一图形面积． （1）用代数式表示阴影部分正方形的边长即可求周长，再结合图2表示大正方形面积，利用等面积法可得答案； （2）利用（1）结论，先计算即可得到答案； （3）设，，根据已知求出即可得到结果． 【详解】（1）由题意得，阴影部分的正方形边长为， 大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：， 大正方形边长为，故面积也可表达为：， ； 故答案为：，； （2）由（1）知：； ，， ； 或； （3）设，； ，图中阴影部分面积为， ，， ， ， ， 解得或（舍去）， ． 2．（金牛区）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形及长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形的面积可以验证公式 ； (2)若，，求的值； (3)如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为．求的长度． 【答案】(1) (2) (3)的长度为 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，完全平方公式变形求值； （1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据整体代入计算即可； （3）设正方形的边长为正方形的边长为由题意可得，，根据求出的值即可． 【详解】（1）解：图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2），， ； （3）设正方形的边长为正方形的边长为由题意可得， ， 即， ， ， ，， ， 即． 3.（青羊区）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． (1)观察图1，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号） ①：  ②：  ③： (2)如图2，边长为，的长方形，它的周长为12，面积为5，求的值． (3)将正方形与正方形如图3摆放，当正方形与正方形面积和为74，，求图中阴影部分面积和． 【答案】(1)① (2)12 (3)12 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何中的应用．熟练掌握完全平方公式、平方差公式在几何中的应用是解题的关键． （1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个长方形的面积的和求解即可； （2）先根据长方形的周长和面积得出，，然后化简整式，并代入求值即可； （3）设正方形与正方形的变成分别为a，b，则，，利用完全平方公式的变形可求，，，，然后利用阴影部分的面积等于大正方形的面积与小正方形面积差的一半求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故选：①； （2）解：∵边长为，的长方形，它的周长为12，面积为5， ∴，， ∴， ∴ ； （3）解：设正方形与正方形的变成分别为a，b， ∵正方形与正方形面积和为74，， ∴，， ∴，∴， ∴， ∴（负数舍去）， ∴，即， ∴阴影部分的面积为． 4．（天府七中）如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． (1)由图2可以直接写出之间的一个等量关系是______． (2)两个正方形如图3摆放，边长分别为．，，求图中阴影部分面积和． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用． （1）分别表示出长方形面积公式及正方形面积公式即可得出结论； （2）先推出，再根据，求出，由得到，进而利用完全平方公式的变形得到，则，据此可得答案． 【详解】（1）解：长方形的面积为：，大正方形的面积为：，中间小正方形的面积为：； ； （2）解：根据图形可得：， ， ， ， ， ，， ， ， 为正数， ， ． 【全国各地期末精练】 1．（材料阅读）小刚的家庭作业其中一道题要用计算器计算： （1）；（2）；（3）； 但小刚身边并没有计算器，并且直接计算量大．通过思考，他发现可以巧用乘法分配律：，按如下解法去完成： （1）； （2） ； （3）； 观察上述解法，你能发现什么规律． （1）【问题解决】 用你发现的规律直接写出______． （2）【拓展探究】 请你用含字母a、b的等式表示你发现的规律：______． （3）【拓展延伸】 下图将一个边长为a的正方形ABCD分割成一个边长为b的正方形和两个长方形，根据你上述观察规律，判断你发现的规律是否正确，若正确，写出过程，如不正确，请说明理由． 【答案】（1）6396；（2）；（3）正确，理由见解析 【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确根据图形列出算式，再推导、运用平方差公式． （1）运用题目中给出的方法进行求解； （2）结合（1）题中算式的特点进行归纳、求解； （3）运用图形面积的不同求解方法进行推理、证明． 【详解】解：（1）由题意得， ， 故答案为：6396； （2）由题意得，， 故答案为：； （3）规律正确， ∵， 又∵， ∴规律正确． 2．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图1，可得等式：． (1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来． (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，一种是大正方形的面积，可得等式； （2）利用（1）中的等式变形后，直接代入求得答案即可； 【详解】（1）； （2）∵，， ∴； 【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． 3．【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）29；（3）17 【分析】（1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积正方形的面积长方形的面积小长方形的面积，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）根据题意，延长交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是47，得出方程，根据 ，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 本题考查了平方差公式、完全平方公式，代数式，解决本题的关键是熟练运用正方形的面积公式、三角形的面积公式、梯形的面积公式． 【详解】解：（1）阴影部分的面积： 阴影部分的面积： 故答案为： （2）若，， （3）如图：延长交于点H 设正方形的边长为x，正方形的边长为， 得， ， ， 即， ， 即 答：图中阴影部分的面积是17． 4．综合与实践 如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)请直接用含和的代数式表示__________， __________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：__________（用式子表达）． (2)依据这个公式，康康展示了“计算：”的解题过程． 解：原式 ． 在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：． (3)对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数． 【答案】(1)；； (2) (3)证明见详解 【分析】（1）根据图形可知，，根据两个面积相等即可求解； （2）根据康康的演示，可知将代入，即可求解； （3）根据（1）中结论，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∵， ∴， 故答案为：；；． （2）解： ， 故答案为：． （3）解：设一个奇数为，则另一个相邻的奇数为， ∴ ， ∴任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数． 【点睛】本题主要考查平方差公式的运算，掌握有理数的加减乘除混合运算法则是解题的关键． 5．如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）． A． B． C． (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若，，则______； ②计算：； 【答案】(1)B (2)①4；②300 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用； （1）观察图形，利用拼接前后的面积关系即可得出结论； （2）①利用平方差公式解答即可； ②利用平方差公式解答即可． 【详解】（1）解：由于拼接前后的面积相等， ∴， ∴上述操作能验证的等式是B， 故答案为：B； （2）①∵ ∴， ∴， 故答案为：4； ② ． 6．根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式：． 问题解决 任务1 将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：______(只填序号)． 任务2 如图，若将个直角边长分别为，，斜边长为的直角三角形拼成如图所示的五边形，请你用两种不同的方法表示五边形的面积． 方法1：______；方法2：______；你可以得到一个关于，，的等式是：______． 任务3 如图，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为，．若，求的值． 【答案】任务1，；任务，，，；任务， 【分析】本题考查了平方差公式，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理的验证是解题的关键， 任务，根据梯形及正方形的面积公式求解判定即可得解； 任务，如图，延长交于点，由题意可得四边形，四边形，四边形都是正方形，根据正方形的面积公式及三角形的面积公式即可得解； 任务，如图，连接，由得，进而得 【详解】解：任务，图中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为， ∴，不可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 故答案为：； 任务，如图，延长交于点，由题意可得四边形，四边形，四边形都是正方形， 方法： ， 方法： ， ∴， ∴， ∴可以得到一个关于，，的等式是； 故答案为：，，； 任务，如图，连接， ∵ ∴， ∵，， ∴即， ∵， ∴ 7．如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________； (2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________； (3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________． (4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为___________． ②直接写出下面算式的计算结果：． 【答案】(1) (2) (3) (4)①3；② 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的有关应用，灵活运用平法差公式是解题的关键． （1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即可求解； （2）经分析，图2中长方形长为、宽为．根据长方形面积公式，即可求解； （3）因阴影部分图形拼接前后，面积不变，即可求解； （4）①根据平方差公式，进行计算即可求解． ②连续使用平方差公式，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ； 故答案为：； （2）解：由题意得 拼接后的长方形长为、宽为， ； 故答案为：； （3）解：阴影部分图形拼接前后，面积不变， ； 故答案为：； （4） 解：①， （5） ，， 故答案为：； ② ． 故答案为：． 8．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题： (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：________________． (2)如图1中，，满足，，求的值． (3)如图2，点在线段上，以，为边向两边作正方形，，两正方形的面积分别为，，且，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2)51 (3)39 【分析】（1）阴影部分的面积可以表示为：①大正方形面积空白面积；②两个阴影正方形面积之和； （2）根据（1）中得出的结论，代入求值，即可解答； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，根据完全平方公式转换，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：大正方形面积空白面积两个阴影正方形面积之和， 即． （2）解：根据（1）中的式子，代入求值，可得：． （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， ，， ，， ， ， ， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练完全平方公式转换是解题的关键． 9．【提出问题】 利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容． 【自主探究】 用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．    （1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题． （ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形的面积为___________．（用含a，b的字母表示） （ⅱ）当时，比较大小：__________．（填“>”或“<”） （ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明． 【知识应用】 （2）已知，，且，利用（1）发现的结论求的最小值． 【答案】（1）（ⅰ），，；（ⅱ）（ⅲ）见详解（2） 【分析】本题考查了利用图形面积证明不等式； （1）（ⅰ）根据图形即可求解； （ⅱ）由图②中的矩形面积及两个三角形的面积和即可求解； （ⅲ）甲同学：当时，分别计算即可求解；乙同学：画出图形即可求解； （2）由（1）得，即可求解； 理解图形面积与不等式之间的关系是解题的关键． 【详解】解：（1）（ⅰ）由题意得 ①中两个三角形的面积分别为和，图②中长方形ABCD的面积为， 故答案：，，； （ⅱ）由图②得 当时，， 故答案：； （ⅲ）当时，， 甲同学：当时， ， ， 当时，； 乙同学：   当时，； （2） ， 由（1）得： ， ， ， 的最小值为． 10．【知识生成】 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)根据图1，可以得到等式：，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是______（填选项）： A．分类讨论        B．转化        C．由特殊到一般        D．数形结合 (2)根据图2，可以得到等式：______； (3)①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，可以得到等式______； ②已知，．利用①中所得到的等式，直接写出代数式的值为______； (4)画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【知识迁移】 (5)①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式为______； ②已知，，利用①中所得的等式，直接写出代数式的值为______． (6)图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______． 【答案】(1)D (2) (3)①；②29 (4)见解析 (5)①；②35 (6) 【分析】（1）体现的数学思想是数形结合； （2）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式； （3）①先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形的面积，由两个结果相等即可得出结论； ②利用①中的等式直接代入求得答案即可； （4）根据长方形的长和宽即可画出图形，将展开即可； （5）①如图3，由图形体积的两种不同表示方法可得等式； ②由等式利用代入法即可求解； （6）根据两个图形体积相等即可列出恒等式． 【详解】（1）解：这体现的数学思想是数形结合； 故选：D； （2）解：由题意得阴影部分的面积． 故答案为：； （3）解：①∵正方形面积为， 小块四边形面积总和为， ∴由面积相等可得：； 故答案为：； ②由①可知， ∵，， ∴， 故答案为：29； （4）解：面积为的长方形如图所示： ∴； （5）解：①用不同的方法表示这个大正方体的体积， 得到的等式为； ②∵，， ∴ ． 故答案为：；35； （6）解：左边体积大正方体的体积小长方体的体积； 右边体积长方体的体积； ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方式的几何背景，掌握完全平方公式的几个特征是正确判断的前提，用代数式表示图形的面积、体积是解决问题的关键．注意应用数形结合思想． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$