精品解析：广东省茂名高州市2024-2025学年下学期期中考试九年级数学试题

广东省中考总复习各科综合模拟试卷 2025年广东省初中毕业生学业考试 数学综合模拟试卷（三） 说明： 1．全卷三大题，共4页，满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号、学校按要求填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握该知识点是解题关键．先将四个数从小到大排列，再找出最小的数即可． 【详解】解：将四个数从小到大排列为， 其中最小的数是：， 故选：A． 2. 下列银行标志图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行依次判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 年1月号，由我国梁文锋团队开发的人工智能软件在全球上线，其强大的搜索功能轰动全球，上线仅天，累计下载量达次，数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题关键是掌握科学记数法的一般形式． 直接利用科学记数法的一般形式求解．科学记数法的一般形式为，其中，为正整数． 【详解】解：， 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握积的乘方，幂的乘方，单项式的除法，完全平方公式的运用是解题的关键．根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式的法则，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 已知单项式与是同类项，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类项，如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，根据同类项的定义求出，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 6. 如图，在圆O中，是直径，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，直角三角形两个锐角互余，解题关键是熟悉上述知识点，并能运用求解． 先利用圆周角定理的推论，得到，再根据直角三角形两个锐角互余，得到，然后利用圆周角定理求得，代入上式后求得． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∴， 又， ， ∴，解得：， 故选：C． 7. 某校准备从甲、乙、丙、丁中选派一名队员代表学校参加全市跳绳比赛，下表是这四名队员几次选拔赛成绩的平均数和方差，你觉得最适合的队员是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数（个/分钟） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 7.4 7.4 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由平均数和方差做决策．解题的关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大说明数据波动大，不稳定．方差越小说明数据波动小，越稳定． 根据平均数和方差的意义选择即可． 【详解】根据表格可知甲和丙队员的平均成绩高，而甲的方差又小于丙，即成绩比丙稳定， 所以最适合的队员是甲， 故选A． 8. 电动曲臂式高空作业车在高空作业时只需一个人就可操作机器连续完成升降、前进、后退、转向等动作，极大地减少了操作人员的数量和劳动强度．如题图所示是一辆正在工作的电动曲臂式高空作业车，其中，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角的定义，解题关键是掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 先根据平行线的性质得到，根据邻补角的定义得，最后根据平行线的性质可得结论． 【详解】解：延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 故选：D． 9. 如题图，连接四边形各边中点，得到四边形，为了使四边形是矩形．还需添加条件（ ） A. B. C. D. 四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，解题关键是掌握这些定理，并能运用这些定理求解． 根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵E、F、G、H分别是四边形各边中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 当时，， ∴， ∴四边形为矩形， 故选：C． 10. 下列函数中：①；②；③；④．当时，y随x的增大而增大的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减质，反比例函数的增减性，二次函数的增减性，解题关键是熟悉常见函数的增减性． 根据一次函数的性质，反比例函数的增减性，二次函数的增减性，对相应函数作出分析，再判断． 【详解】，y随x增大而减小，错误； ②，当时，y随x增大而增大，正确； ③，当时，y随x的增大而增大，正确； ④，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x增大而增大，错误． 综上所述，②③正确， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 12. 如题图，与位似，点O是它们的位似中心，其中，则与的面积之比是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似三角形，相似三角形的性质等知识；利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质． 【详解】解：∵与位似， ∴与相似， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如题图，点D在反比例函数的图象上，轴于点A，点B在x轴上，则平行四边形的面积为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质等知识；由反比例函数比例系数的几何意义，可求得的面积为1，再由平行四边形的性质得平行四边形的面积为，由此即可求解． 【详解】解：∵点D在反比例函数的图象上，轴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：2． 14. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】：k＜1． 【解析】 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△==4﹣4k＞0， 解得：k＜1， 则k的取值范围是：k＜1． 故答案为k＜1． 15. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 _____． 【答案】25 【解析】 【分析】过A作于D，根据旋转的性质得出，，利用含30度角的直角三角形的性质得出，结合图形得出即可求解． 【详解】解：过A作于D，如图： 在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴， ∴， 又∵，且， ∴， 故答案为：25． 【点睛】题目主要考查旋转的性质及含30度角的直角三角形的性质，结合图形，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，各8分，共24分） 16. （1）计算：． （2）解不等式组：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键； （1）依次计算特殊角的函数值，绝对值，负整数指数幂及算术平方根，再相加减即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分即可． 【详解】解：（1）原式． （2）解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是． 17. 如题图，内接于圆，，是圆的直径． （1）尺规作图：过点作直线，使得直线交弦于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（）的基础上，若，，求的长． 【答案】（1） 直线即为； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了用尺规作图作一个角等于已知角、中位线定理、勾股定理． 利用尺规作图作一个角等于已知角，作，根据同位角相等两直线平行，可知； 根据点是的中点，，可知是的中位线且，从而可知，，利用勾股定理求出的长度即可． 【小问1详解】 解：如下图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、， 以点为圆心，同样长度为半径画弧，交于点， 以点为圆心，长度为半径画弧，交前弧于点， 作直线交于点， ， ． 【小问2详解】 解：，点是的中点，， ，， ， ， ， ， 点是的中点， 是的中位线， ， ， ， ． 18. 为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“舞蹈”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如图统计图： 某校学生课余兴趣爱好抽样调查扇形统计图 某校学生课余兴趣爱好抽样调查条形统计图 根据统计图所提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“书法”选项所对应的扇形圆心角的大小为多少？ （3）若该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数． （4）学校从“打球”、“书法”和“舞蹈”三类兴趣课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，请你利用树状图或列表的方法，求出“书法”和“舞蹈”被同时选中的概率． 【答案】（1） 补全条形统计图如图： （2） （3）800人 （4） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、样本估计总体、画树状图或列表求事件发生的概率，理解题意，正确求解是解答的关键． （1）先根据阅读人数及其所占百分比求得调查总人数，进而求得打球人数即可补全统计图； （2）由“书法”选项所对占百分比乘以可求解； （3）用该校总人数乘以样本中“打球”的学生人数所占比例求解即可； （4）画出树状图得到所有等可能的结果数，找出满足条件的结果，进而利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查的总人数为：％（人）， 打球的人数为（人）， 【小问2详解】 解：“书法”选项所对应的扇形圆心角为 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数为800人； 【小问4详解】 解：设“打球”、“书法”和“舞蹈”分别为甲、乙、丙，画树状图如下： 共有6种等可能的结果数，其中恰好选中丙和乙的情况有2种， ∴“书法”和“舞蹈”被同时选中的概率为． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如题图1是一台手机支架，题图2是其侧面示意图，，可分别绕点A，B转动，测得，点B到的距离为，，． （1）在题图2中，过点B作，垂足为E，则__________； （2）求点C到的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和定理，矩形的性质与判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用角的和差关系进行计算即可得； （2）过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为G，则， ，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：如图： ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为G， ∴四边形是矩形， 在中，， ，， ， ， 点到的距离为． 20. 茂名地区的荔枝和三华李已入选广东非物质文化遗产名录．为满足消费者需求，某超市购进荔枝和三华李，已知荔枝比三华李每千克进价少2元，用900元购进荔枝与用1100元购进三华李的重量相同． （1）求荔枝和三华李每千克进价分别是多少元； （2）本次购进荔枝和三华李共800千克，均按每千克13元出售，购进荔枝的重量不超过三华李重量的3倍，且重量不少于400千克．若该批水果全部售完，则该超市应购进荔枝和三华李各多少千克才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）荔枝每千克9元，三华李每千克11元 （2）当购进荔枝600千克，三华李200千克时获利最大，最大利润为2800元 【解析】 【分析】此题考查了分式方程、一次函数、一元一次不等式的应用，读懂题意是解题的关键． （1）设荔枝每千克x元，则三华李每千克元，根据“用900元购进荔枝与用1100元购进三华李的重量相同”列方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设超市获得利润为y元，购进荔枝m千克，则购进三华李千克，根据“购进荔枝的重量不超过三华李重量的3倍，且重量不少于400千克”求出m的取值范围，再根据一次函数的性质求出答案即可． 【小问1详解】 解：设荔枝每千克x元，则三华李每千克元， 由题意可得：， 解得． 经检验是原分式方程的解， ∴， 答：荔枝每千克9元，三华李每千克11元． 【小问2详解】 解：设超市获得利润为y元，购进荔枝m千克，则购进三华李千克， ∵， ∴， ， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴当时，y的值最大，， 三华李数量千克． 答：当购进荔枝600千克，三华李200千克时获利最大，最大利润为2800元． 21. 【综合与实践】 【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【实践操作】如题图1所示． 操作1：将正方形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形纸片展开，得到折痕； 操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，得到折痕，与交于点P．则P即为的三等分点，即． 【解决问题】如题图1中， （1）若与交于点Q，连接．求证：四边形是菱形， （2）证明． 【发现感悟】若E为正方形纸片的边上的任意一点，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考并解决如下问题： （3）如题图2所示，若时，求的值． 【答案】 （1）证明：由折叠可得，，，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （2）证明：设正方形的边长为1，，则，， 在中，由勾股定理可得：， 即，解得， ∴，， 由折叠知：， ∴，， ∴， 又∵， ∴∽， ∴，即， 解得， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠知，，四边形是矩形，则，从而得，则可得，从而得四边形是平行四边形，进而得四边形是菱形； （2）设正方形的边长为1，，则可表示出，在中，由勾股定理建立方程求得x的值；再证明∽，由相似三角形的性质求得的长，即可求得的长，从而证得； （3）设正方形的边长为1，，则可表示出，在中，由勾股定理建立方程求得x的值；再证明∽，由相似三角形的性质求得的长，即可求得结果的值． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）解：设正方形的边长为1，，则，， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理可得：， 即，解得， 即， ∴， ∵∽， ∴， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，其中折叠性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题2小题，各12分，共24分） 22. 【知识技能】 （1）如题图1，在正方形中，点E是边延长线上一点，，连接交于点O，以点O为圆心，为半径作．求证：是的切线； 【知识迁移】 （2）如题图2，在菱形中，点E是边延长线上一点，，连接交于点O，以点O为圆心的与相切于点M． ①若，求的值； ②若，，求的半径长度． 【答案】（1）见解析；（2）①．② 【解析】 【分析】（1）过点O作于点K，，根据可得，结合正方形的性质可推出，由，，可得，即可证明； （2）：①过点O作于点G，连接，延长交于点F．同（1）可得，证明，得到即可求解；②过点A作于点H，，由，设，，结合在中，根据勾股定理求出x，得到，．根据等面积法求出圆的半径即可求解． 【详解】解：（1）证明：过点O作于点K， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∴． ∵，， ∴． 又∵为的半径， ∴点K在上． ∴是的切线． （2）解：①过点O作于点G，连接，延长交于点F． ∵与相切于点M， ∴． 四边形是菱形， ∴． ，即是的高． ∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，． ∴． ∴． 又∵，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴． ∴． ∴． ②过点A作于点H， ∵， ∴设，． ∴． 由菱形的性质可得：， ∴． 在中，． ∴，解得或（不合题意，舍去）． ∴，． ∴． ∵， 即，解得， ∴的半径长度为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，三角函数，角平分线的性质，圆的相关性质，相似三角形的判定与性质等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 23. 【综合与探究】 乒乓球被誉为中国国球．在世界乒乓球大赛中，中国队经常夺得冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的，如题图1，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分，如题图2所示． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位；cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位；cm）测得数据如下表所示： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0 （1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； （2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________cm； ②求满足条件的抛物线解析式； （3）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长为，球网高为，现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计） 【答案】（1）见解析 （2）①；；② （3）乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为 【解析】 【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解； （2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，； ②待定系数法求解析式即可求解； （3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 ①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为， 又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是， 当时，， ∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是； 故答案为：；． ②设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问3详解】 ∵当时，抛物线的解析式为， 设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 依题意，当时，， 即， 解得：． 答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省中考总复习各科综合模拟试卷 2025年广东省初中毕业生学业考试 数学综合模拟试卷（三） 说明： 1．全卷三大题，共4页，满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号、学校按要求填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2 2. 下列银行标志图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 年1月号，由我国梁文锋团队开发的人工智能软件在全球上线，其强大的搜索功能轰动全球，上线仅天，累计下载量达次，数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知单项式与是同类项，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 6. 如图，在圆O中，是直径，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 某校准备从甲、乙、丙、丁中选派一名队员代表学校参加全市跳绳比赛，下表是这四名队员几次选拔赛成绩的平均数和方差，你觉得最适合的队员是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数（个/分钟） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 7.4 7.4 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 电动曲臂式高空作业车在高空作业时只需一个人就可操作机器连续完成升降、前进、后退、转向等动作，极大地减少了操作人员的数量和劳动强度．如题图所示是一辆正在工作的电动曲臂式高空作业车，其中，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如题图，连接四边形各边中点，得到四边形，为了使四边形是矩形．还需添加条件（ ） A. B. C. D. 四边形是矩形 10. 下列函数中：①；②；③；④．当时，y随x的增大而增大的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 12. 如题图，与位似，点O是它们的位似中心，其中，则与的面积之比是__________． 13. 如题图，点D在反比例函数的图象上，轴于点A，点B在x轴上，则平行四边形的面积为__________． 14. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 15. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 _____． 三、解答题（一）（本大题共3小题，各8分，共24分） 16. （1）计算：． （2）解不等式组：． 17. 如题图，内接于圆，，是圆的直径． （1）尺规作图：过点作直线，使得直线交弦于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（）的基础上，若，，求的长． 18. 为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“舞蹈”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如图统计图： 某校学生课余兴趣爱好抽样调查扇形统计图 某校学生课余兴趣爱好抽样调查条形统计图 根据统计图所提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“书法”选项所对应的扇形圆心角的大小为多少？ （3）若该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数． （4）学校从“打球”、“书法”和“舞蹈”三类兴趣课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，请你利用树状图或列表的方法，求出“书法”和“舞蹈”被同时选中的概率． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如题图1是一台手机支架，题图2是其侧面示意图，，可分别绕点A，B转动，测得，点B到的距离为，，． （1）在题图2中，过点B作，垂足为E，则__________； （2）求点C到的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 20. 茂名地区的荔枝和三华李已入选广东非物质文化遗产名录．为满足消费者需求，某超市购进荔枝和三华李，已知荔枝比三华李每千克进价少2元，用900元购进荔枝与用1100元购进三华李的重量相同． （1）求荔枝和三华李每千克进价分别是多少元； （2）本次购进荔枝和三华李共800千克，均按每千克13元出售，购进荔枝的重量不超过三华李重量的3倍，且重量不少于400千克．若该批水果全部售完，则该超市应购进荔枝和三华李各多少千克才能获得最大利润？最大利润是多少？ 21. 【综合与实践】 【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【实践操作】如题图1所示． 操作1：将正方形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形纸片展开，得到折痕； 操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，得到折痕，与交于点P．则P即为的三等分点，即． 【解决问题】如题图1中， （1）若与交于点Q，连接．求证：四边形是菱形， （2）证明． 【发现感悟】若E为正方形纸片的边上的任意一点，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考并解决如下问题： （3）如题图2所示，若时，求的值． 五、解答题（三）（本大题2小题，各12分，共24分） 22. 【知识技能】 （1）如题图1，在正方形中，点E是边延长线上一点，，连接交于点O，以点O为圆心，为半径作．求证：是的切线； 【知识迁移】 （2）如题图2，在菱形中，点E是边延长线上一点，，连接交于点O，以点O为圆心的与相切于点M． ①若，求的值； ②若，，求的半径长度． 23. 【综合与探究】 乒乓球被誉为中国国球．在世界乒乓球大赛中，中国队经常夺得冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的，如题图1，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分，如题图2所示． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位；cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位；cm）测得数据如下表所示： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0 （1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； （2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________cm； ②求满足条件的抛物线解析式； （3）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长为，球网高为，现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $